数学建模习题--第四章

1．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ。用量纲分析方法确定风车获得的功率p 与v 、s 、ρ的关系。

2．深水中的波速v 与波长λ、水深d 、水的密度和重力加速度g 有关。用量纲分析方法证明它们之间的关系可以表示为)/(λϕλd g v =，ϕ是未定函数]18[。

3．原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻t 冲击波达到的半径r 与释放

能量e 、大气密度ρ、大气压强p 有关（设0=t 时0=r ）。用量纲分析方法证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=32655

/12

ρϕρe t p et r ，ϕ是未定函数]42[。 4．用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。记水的流速v ，密度ρ，比热c ，粘性系数μ，热传导系数k ，人体尺寸d 。证明人体与水的热交换系数h 与上述各物理量的关系可表为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=k c d v d k h μμρ,， ϕ是未定函数，h 定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1C 0时的热量交换]18[。

5．用量纲分析方法研究两带电平行板间的引力。两板面积均为s ，间距为d ，电位差为v ，板间介质的介电常数为ε。证明两板之间的引力()22/d

s v f ϕε=。如果又知道f 与s 成正比，写出f 的表达式。这里介电常数ε的定义是221d

q q f ε=，其中1q 、2q 是两个点电荷的电量，d 是点电荷的距离，f 是点电荷间的引力]18[。 6．考察模拟水下爆炸的比例模型。爆炸物质量m ，在距爆炸点距离r 处接收冲击波，产生压强p ，记大气初始压强0p ，水密度ρ，水的体积弹性模量k ，用量纲分析方法已经得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m r k p p p 300,ρϕ。设模拟实验与现场的0p 、ρ、k 相同，而爆炸物模型的质量为原型的1/1000。为了使实验中接收到与现场相同的压强p ，求

实验时接收冲击波仪器的相对位置（即问是现场仪器与爆炸点之间距离的多少倍）]18[。

7．质量m 的小球以初速v 竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数k 。设初始位置为0=x ，x 轴竖直向上，则运动方程为

v x x mg x k x m ===++⋅⋅⋅⋅,0)0(,0

方程的解可表为),,,,(k m g v t x x ⋅=。试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k 很小时求近似解的可能性

]26[。

8．设有如下方程给出的一维热传导问题：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>==<<=<<>==0,),(),0(0,0)0,(0,0,,0221t u t l u t u l

x x u l x t c k a u a u xx ρ 其中k 是热传导系数（卡/厘米·秒·度），c 是比热（卡/克·度），ρ是密度（克/厘米3

）。试选择特征尺度将问

题无量纲化]26[.