受力图 汇交力系例题

[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X0 T2cosT10 ①
Y0T 2sin Q N D 0
②
由①得 cosT T122PP12 600
由②得N D Q -T 2 si n Q -2 P s6 i0 n 0 Q 3 P
[例] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h 解：研究块,受力如图，
3）、不要画错力的方向 约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不 能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析 两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力 的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反， 不要把箭头方向画错。
4)、受力图上不能再带约束。
即受力图一定要画在分离体上。
5)、受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有 可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分 内力，就成为新研究对象的外力。
合 M R A 力 d ( P 1 P 2 ') d P 矩 1 d P 2 'd m 1 m 2
结论:
M m 1m 2 m n nm i
i 1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和
等于零。
即
n
mi 0
i1
mO(F)FdFsiln
mo(Q)Ql
②应用合力矩定理
mO(F)FxlFylctg
mo(Q)Ql
三、力偶的概念和性质
1、力偶的概念
力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
①两个同向平行力的合力
大小：R=Q+P
方向：平行于Q、P且指向一致
③ MO (F )是影响转动的独立因素。 当F=0或d=0时，MO (F ) =0。
④单位N•m，工程单位kgf•m。 ⑤ MO (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
2、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
n
mO(R)mO(Fi)
Q',F'合成R'， 得到新力偶(R,R'), 将R,R'移到A',B'点，则(R,R')，取 代了原力偶(F，F' ) 并与原力偶等效。
比较(F,F')和(R,R')可得
m(F,F')=2△ABD=m(R,R') =2 △ABC
即△ABD= △ABC， 且它们转向相同。
由上述证明可得下列两个推论： ②只要保持力偶矩大小和转向
力偶无合力 R=F'-F=0
CB F' 1 C BCA
CA F
若 C C B d 成 B,必 立 C 有 B
d合力的作用点在 处无
mO(R)0
d
mO(F)mO(F')0 证明 mO(R)0为有限量 m O (F ) m O (F ') F (x d ) F 'x
FdmO(R)
由于O点是任取的
画受力图应注意的问题
1）、不要漏画力
除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受
力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，
接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
2）、不要多画力
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对 于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出 它是哪一个施力体施加的。
解：①研究AB杆 ②画出受力图
③列平衡方程
X0 RAco sSCD co 40s5 0
Y0 P R A si n S Cs D4 i0 n 5 0
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解得：
tgE AB B1 0..2 41 3
SCD si4n05cPo4s05tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16kN
6 )、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致， 相互协调，不能相互矛盾。
对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局 部或单个物体的受力图上要与之保持一致。
7 )、正确判断二力构件。
2、受力图例题 画物体受力图主要步骤为：①选研究对象；②取分离体；
③画上主动力；④画出约束反力。 [例1]
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；
③作力多边形，选择适当的比例尺；
④求出未知数
几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
Hale Waihona Puke Baidu
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：
解析法。
[例] 已知 P=2kN 求SCD , RA
①力偶可以在其作用面内任 不变，可以任意改变力偶中力
意移动，而不影响它对刚体 的大小和相应力偶臂的长短，
的作用效应。
而不改变它对刚体的作用效应。
2、力偶系的合成与平衡
平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m 1F 1d1;
m2F2d2
又m1P1d
m2P2d
RAP1P2' RBP1' P2
解力三角形：
NcoFs
又： co s R 2R (Rh)2R 1 h(2Rh)
N FR h(2Rh)
再研究球，受力如图：
作力三角形
解力三角形：
P N sin
又 si nRR h NN PNsinhF (2R R h)RR h
NB=0时为球 离开地面 P F(Rh)
h(2Rh)
FP
h(2Rh) Rh
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。
§2–2 力的投影、力矩和力偶
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
二、力矩
1、力矩的概念
MO(F)Fd
+-
说明：① MO (F )是代数量。
② F↑,d↑转动效应明显。
i1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
又∵ M o(F1)2oAoBA ob
M o(F 2)2oAoC A oc
M o(R)2oAoD A od
现 m o(R )m o(F 1)m o(F 2)证
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q )
解：①用力对点的矩法
作用点：C处
确定C点，由合力距定理
mB(R)mB(Q) 又 RPQ
RCB QAB ABAC C代 B 入 整理得ACP
CB Q
②两个反向平行力的合力 大小：R=Q-P
方向：平行于Q、P且与较大的相同
作用点：C处
（推导同上）
CB Q CA P
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而
与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
[例2] 画出下列各构件的受力图
O
C
E
D
Q
A
B
O
C
E
D
Q
A
B
O
C
E
D
Q
A
B
[例3] 画出下列各构件的受力图
说明：三力平衡必汇交 当三力平行时，在无限 远处汇交，它是一种特 殊情况。
[例4] 尖点问题
应去掉约束
应去掉约束
[例5] 画出下列各构件的受力图
汇交力系例题
[例] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍 物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
m F d + —
说明：① m是代数量，有+、-； ②F、 d 都不独立，只有力偶矩 mFd是独立量； ③m的值m=±2⊿ABC ； ④单位：N• m
性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，
转向相同，则该两个力偶彼此等效。 [证] 设物体的某一平面 上作用一力偶(F,F') 现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q'), 再将Q,F合成R，
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
FPtg
NBcoPs
又由几何关系：
tg
r2(rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。
当FP
h(2Rh)时球方能离开地面 Rh
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出