二维随机变量的分布函数、边缘分布
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如何求边缘分布函数
如何求边缘分布函数一、什么是边缘分布函数边缘分布函数是指多维随机变量中某一个或多个变量的概率分布函数，即将其他变量积分或求和后得到的概率密度函数。
它描述了单个变量的统计特性，可以用于分析随机变量之间的关系。
二、如何求边缘分布函数1. 二维连续型随机变量的边缘分布函数对于二维连续型随机变量(X,Y)，其联合概率密度函数为f(x,y)，则X的边缘概率密度函数为：fX(x)=∫f(x,y)dyY的边缘概率密度函数为：fY(y)=∫f(x,y)dx其中，∫表示对整个定义域进行积分。
2. 二维离散型随机变量的边缘分布函数对于二维离散型随机变量(X,Y)，其联合概率质量函数为p(x,y)，则X的边缘概率质量函数为：pX(x)=∑p(x,y)Y的边缘概率质量函数为：pY(y)=∑p(x,y)其中，∑表示对整个定义域进行求和。
3. 多维随机变量的边缘分布函数对于多维随机变量(X1,X2,...,Xn)，其联合概率密度函数为f(x1,x2,...,xn)，则第i个变量的边缘概率密度函数为：fi(xi)=∫...∫f(x1,x2,...,xi-1,xi,xi+1,...,xn)dx1dx2...dxi-1dxi+1 (x)其中，积分号内的变量是除了第i个变量之外的其他所有变量。
4. 边缘分布函数的性质(1) 边缘分布函数是一个单变量的概率分布函数，它满足概率密度函数的所有性质。
(2) 边缘分布函数可以用于求解期望、方差等统计特性。
(3) 边缘分布函数与联合概率密度函数、条件概率密度函数之间存在一定的关系。
三、实例演示下面以一个二维连续型随机变量(X,Y)为例，演示如何求其边缘分布函数。
假设(X,Y)服从二元正态分布，其联合概率密度函数为：f(x,y)=12πσ12σ22√(1-ρ^2)e-12(1-ρ^2)(x^2/σ12+y^2/σ22-2ρxy/(σ1σ2))其中，μx、μy、σ1、σ2和ρ是已知参数。
求X的边缘概率密度函数：fX(x)=∫f(x,y)dy=12πσ12σ22√(1-ρ^2)∫e-12(1-ρ^2)(x^2/σ12+y^2/σ22-2ρxy/(σ1σ2))dy=12πσ12√(1-ρ^2)e-x^2/2σ12∫e-(y-μy)^2/(2σ22(1-ρ^2)))dy=1√(2π) σ12e-x^2/2σ12其中，积分部分是关于y的正态分布函数，可以用标准正态分布函数进行变量代换和积分计算。
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
12 二维连续型随机变量,边缘分布
fY ( y )
f ( x , y )dx
0 y1 1 24 y( 2 x )dx y fY ( y ) 5 0 其它 24 3 y2 y( 2 y ) 0 y 1 5 2 2 0 其它
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 2 6 , x y x, f ( x, y) 0, 其他.
1
k 1 kx kx 2 1 0 dx0 kxydy 0 [ 2 y ] 0 dx 0 2 dx 4 1
k 4.
7
( 2) P{ X Y }
1 dx 4 xydy 0 0 2
1
x
y x
(3) P{ X Y 1}
dx
0
1
1 x 0
9
二、边缘分布函数
问题 : 已知( X ,Y )的分布, 如何确定X ,Y 的分布?
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } , F ( x ) P{ X x },
P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) FX ( x )
X
Y
0 1
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49
解
X Y
0
1
12 42 6 42
pi
012 42 12 142 4 p j 7
3 7
4 7 3 7
1
注意 联合分布 边缘分布
练习 将一枚均匀硬币掷三次 ，设 X 为三次中正 面出现的次数，而Y 为正面次数与反面次数 差的 绝对值, 求( X , Y )的联合概率分布及边缘 分布律。 解： 由已知， ( X , Y )所有可能取值有
二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度
ｙ→＋∞
数学学习与研究 ２０２１ ２０
ＪＩＥＴＩ ＪＩＱＩＡＯ ＹＵ ＦＡＮＧＦＡ
解题技巧与方法
１５９
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
Ｆ Ｙ（ ｙ）＝ ｌｉｍ Ｆ（ ｘ，ｙ）
ｘ→＋∞
( π１ ａｒｃｔａｎ ｘ＋ ２１ ) ( π１ ａｒｃｔａｎ ３ｙ ＋ ２１ )
０，其他．
－∞
４ ５
＋∞
ｙ ２ ，０≤ｙ≤１，
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝ ３
－∞
０， 其他．
２．２ 已知联合分布函数求边缘概率密度
主要有两种方法：方法一：利用联合分布函数和边缘分
布函数之间的关系求出边缘分布函数，由于边缘分布函数
在其定义域内是可导的，则对边缘分布函数求导即可得到
边缘概率密度，即：
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｘ（ ｘ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｙ ＝
ｄｙ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
１
＝
，
π（１＋ｘ２ ）
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝
ｄｘ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
３
＝
，
π（９＋ｙ２ ）
－ ∞ ＜ｙ＜＋∞ ．
一般地，当联合分布函数或者联合概率密度已知求边
【 摘要】 二维连续型随机变量（ Ｘ，Ｙ） 的边缘分布函数与
边缘概率密度，能够全面地描述二维连续型随机变量（ Ｘ，
Ｙ） 的分布规律，是概率论与数理统计的重要组成部分．若不
理解相关概念和性质就盲目求解边缘概率密度与边缘分布
边缘分布和条件分布
FX ( x) P{ X ≤x} P{ X ≤x, Y ≤ } F ( x, )
即
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y )
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自 的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
解： ( X , Y )的概率密度
1/ , x y ≤1 f ( x, y ) 其它 0,
2 2
y
1 y2
1
y
1 y2
O
1
fY ( y )
x
f ( x, y )dx
2 1 y 2 1 dx 1 y 2 , 1≤y≤1 1 y 2 0, 其它
16
1 于是， 当－ y 1时有
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y ) 1/ 1 , 1 y2 x 1 y2 (2 / ) 1 y 2 2 1 y 2 0, 其它
当 | y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
7
例： 设(X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ), 求X , Y的边缘密度.
2 2
解：
f X ( x)
1 f ( x, y)dy e 2 1
( x 1 )2
2 21
所以 同理
X ~ N ( 1 , 12 )
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
FY | X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A fY | X ( y | x)dy
即
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y )
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自 的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
解： ( X , Y )的概率密度
1/ , x y ≤1 f ( x, y ) 其它 0,
2 2
y
1 y2
1
y
1 y2
O
1
fY ( y )
x
f ( x, y )dx
2 1 y 2 1 dx 1 y 2 , 1≤y≤1 1 y 2 0, 其它
16
1 于是， 当－ y 1时有
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y ) 1/ 1 , 1 y2 x 1 y2 (2 / ) 1 y 2 2 1 y 2 0, 其它
当 | y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
7
例： 设(X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ), 求X , Y的边缘密度.
2 2
解：
f X ( x)
1 f ( x, y)dy e 2 1
( x 1 )2
2 21
所以 同理
X ~ N ( 1 , 12 )
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
FY | X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A fY | X ( y | x)dy
边缘分布
P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }
即
pij pi. p. j .
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《概率统计》
例1．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量 （X，Y）的分布表及关于X和Y的边缘分布表中的部分数据， 请补充下表：
Y X
y1
y2
1/8
解: (1) 由于
1 e , x0 FX ( x) F ( x,) 0, 其它
0.5 x
(2) P{X 0.1, Y 0.1}
P{0.1 X ,0.1 Y }
1 e 0.5 y , y 0 FY ( y ) F (, y ) 0, 其它
j 1
p j P{Y y j } pi j
i 1
(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
X,Y 的边缘分布函数分别为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
即
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}
则称随机变量X与Y是相互独立的. 补充例1．一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个 部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) , x 0, y 0, F ( x, y) 0, 其他 (1)问X和Y是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过0.1小时的概率.
F , F ,0.1
概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第二节：边缘分布
FX x P X x P X x ,Y F x , FY y P Y y P X ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
概率论
பைடு நூலகம்
一般地, 对离散型 r.v. (X,Y ), X 和 Y 的联合分布律为: P ( X xi ,Y y j ) pij , i , j 1,2,
(X, Y) 关于Y 的边缘概率密度为:
fY ( y )
f ( x , y )dx y
例2 设(X, Y)的概率密度是
概率论
cy( 2 x ), 0 x 1,0 y x f ( x, y ) 0 , 其它 求 (1) c的值； (2) 两个边缘密度。 y
3 k 0 3
P{Y=3}= P X k ,Y 3=1/8+1/8=2/8.
k 0
概率论
X
0 1 2 3
Y
1 3 0 18 38 0 38 0
0 18
P X xi
18 38 38 18
P Y yj
68 28
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上， 由此得出边缘分布这个名词.
则 (X, Y) 关于X 的边缘分布律为:
P X xi P X xi ,Y y j pij
X xi X xi ,Y y j j 1
(X,Y) 关于Y 的边缘分布律为:
j 1
i 1, 2 ,
概率论
f X ( x ) f ( x, y )dy x
边缘分布
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
X 的边缘分布函数
x
FX (x) F(x,)
f (x, y)d y d x,
F x x f t dt
fX (x)
f (x, y)d y.
X 的边缘概率密度.
同理可得Y的概率密度为：fY ( y) f ( x, y)dx
我们称
参量积分
f X ( x) f ( x, y)dy —(X,Y)关于X的边缘概率密度
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
pi 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律.
y)dy
e
y
dy
x
0
x 0 ex
x 0 0
x0 ,
x0
Y 的密度函数 fY ( y) 为
y
fY
( y)
f
(x,
y)dx
0
e ydx
0
y 0 ye y
y 0 0
y0 .
y0
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在1, 2, 3,,10 十 个 值 中 取
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
X 的边缘分布函数
x
FX (x) F(x,)
f (x, y)d y d x,
F x x f t dt
fX (x)
f (x, y)d y.
X 的边缘概率密度.
同理可得Y的概率密度为：fY ( y) f ( x, y)dx
我们称
参量积分
f X ( x) f ( x, y)dy —(X,Y)关于X的边缘概率密度
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
pi 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律.
y)dy
e
y
dy
x
0
x 0 ex
x 0 0
x0 ,
x0
Y 的密度函数 fY ( y) 为
y
fY
( y)
f
(x,
y)dx
0
e ydx
0
y 0 ye y
y 0 0
y0 .
y0
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在1, 2, 3,,10 十 个 值 中 取
二维随机变量的边缘分布
概率论与数理统计
❖ 3.边缘概率密度 1.概念
➢由连续型随机变量的定义知，X是一个连续型随机变
量，且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y) f ( x, y)dx
➢分别称
fX ( x) f ( x, y)dy 和 fY ( y) f ( x, y)dx
➢ 例3.4.1 设(X，Y)的分布函数为
1
F ( x,
y)
2
(arctan x
)(arctany 2
), 2x,y求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y)．
➢ 解：由定义知
1
FX (x)
lim F( x,
y
y)
lim [
y
2
(arctan x
)(arctany 2
)] 2
1
(arctanx )
❖ 2.边缘分布律 1.概念
➢ 例3.4.2 袋中有2只白球3只黑球，现从中摸两次，每次摸一球，分
别采用有无放回两种摸球方式，令
1, 第一次摸出白球,
1, 第二次摸出白球,
X 0, 第一次摸出黑球, Y 0, 第二次摸出黑球.
求 X 和 Y 的联合分布律与边缘分布律.
➢ 解 利用古典概型的方法求其分布律.
概率密度为 f(x, y)，因为X的分布函数为
x
FX ( x) F ( x, )
(
f ( x, y)dy)dx
➢由连续型随机变量的定义知, X 是一个连续型随机变量，
且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样, Y 也是一个连续型随机变量，其概率密度为
概率论与数理统计课件 2.6 二维随机变量的边缘分布
xi
pi1
pi 2
pij
pi
p j
p1
p2
p j
1
例2 设随机变量 X 在数1,2,3,4中等可能取值，另一个随机变量 Y
在1至 X 之间等可能取值，试求二维随机变量 (X ,Y )的联合
分布律与边缘分布律.
1
解
P(X i,Y j) P(X i)P(Y j | X i) ,
§2.6 二维随机变量的边缘分布
一、二维随机变量的边缘分布函数
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x, )
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
pi P( X xi ) pij , i 1, 2, 3, . j 1
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
若二维随机变量 (X ,Y ) 的联合分布函数为 F(x, y) ，则 (X ,Y )
中随机变量 X 的分布函数称为 (X ,Y )关于 X 的边缘分布函数，
记为
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x, )
二维随机变量 (X ,Y )关于随机变量 Y 的边缘分布函数
fY
( y)
f
(x,
y)dx
3(1 0,
y ),
0 y 1, 其它.
均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布
若 D 是矩形区域, 则 (X ,Y) 的边缘分布仍为均匀分布
解 (X ,Y ) 的联合分布律为
关于X 的边缘分布
关于 Y 的边缘分布
几何分布
帕斯卡分布.
例4 已知随机变量 X 和 Y 的分布律分别为
二维随机变量的概率分布和边缘分布表格
随机变量是统计学和概率论中的一个重要概念，它描述了在一定条件下可能发生的各种数值。
在随机变量中，二维随机变量是一种特殊的形式，它包含了两个变量而不是一个。
为了更好地理解二维随机变量的概念和特性，我们可以通过概率分布和边缘分布表格来进行详细的分析和讨论。
一、二维随机变量的概率分布1.1 概率分布的定义概率分布是描述随机变量各种取值可能性的概率大小的一种数学函数。
对于二维随机变量而言，概率分布可以通过一个二维表格来表示，其中行和列分别代表两个随机变量可能的取值，格子中的数值表示这两个变量同时取某个值的概率。
1.2 二维随机变量的联合分布对于二维随机变量(X, Y)，其联合分布可以表示为P(X=x, Y=y)，表示X取值为x且Y取值为y的概率。
联合分布的表格可以清晰地展示X和Y之间的关系，以及它们各自可能的取值和概率大小。
1.3 二维随机变量的条件分布在给定Y的取值条件下，X的分布称为X在Y的条件下的分布。
条件分布可以通过联合分布和边缘分布的关系来求得，它可以帮助我们更好地了解在不同条件下X的可能取值情况。
1.4 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布是指在给定一维随机变量的分布后，另一维随机变量的分布。
通过边缘分布表格，我们可以清楚地看到X和Y各自的取值和概率大小，从而更好地了解它们的分布特性。
二、二维随机变量的边缘分布2.1 边缘分布的定义对于二维随机变量(X, Y)，其边缘分布可以表示为P(X=x)和P(Y=y)，分别表示X和Y各自取某个值的概率。
边缘分布表格可以清晰地展示X和Y各自的分布情况。
2.2 边缘分布表格的内容边缘分布表格的横纵坐标分别表示X和Y可能的取值，表格中的数值表示各自的概率。
通过分析边缘分布表格，我们可以得到X和Y各自的取值范围和概率大小，以及它们之间的关系。
2.3 边缘分布与联合分布的关系通过边缘分布表格和联合分布表格的比较，我们可以看到它们之间的关系和差异。
边缘分布可以帮助我们更好地理解在单个随机变量的条件下，另一个随机变量的取值情况和概率大小。
3.4二维随机变量的分布函数、边缘分布
(1) 求常数 A; (2) （X，Y）落在由 y x, x y 及 2 所围区域G内的概率
y0
解
(1) f ( x, y )dxdy 1
y
2 2
f ( x, y)dxdy 1
2 0
D
2 0
A sin( x y )dxdy
0 0
1
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
2 0
1
0
1
c =24/5
解: (2)
24 y(2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 5 0 , 其它
f X ( x)
y
y=x
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P ( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
同理有
P ( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15,
1 2 1 3 2 6
P ( X 0, Y 2) C / C 1 / 15 ; P ( X 1, Y 0) C C / C 3 / 15,
x
A 2 [ cos( x y )]02 dx
0
A [ cos( x ) cos x]dx 2
2 0
1 A 2
P{( X , Y ) G} 2 1 sin( x y )dxdy 4 2 G y 1 4 dy 2 sin( x y )dx 0 0 y 2 y 1 4 2 [ cos( x y )] y dy 2 0 1 1 [sin 2 y ]04 4 4
y0
解
(1) f ( x, y )dxdy 1
y
2 2
f ( x, y)dxdy 1
2 0
D
2 0
A sin( x y )dxdy
0 0
1
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
2 0
1
0
1
c =24/5
解: (2)
24 y(2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 5 0 , 其它
f X ( x)
y
y=x
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P ( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
同理有
P ( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15,
1 2 1 3 2 6
P ( X 0, Y 2) C / C 1 / 15 ; P ( X 1, Y 0) C C / C 3 / 15,
x
A 2 [ cos( x y )]02 dx
0
A [ cos( x ) cos x]dx 2
2 0
1 A 2
P{( X , Y ) G} 2 1 sin( x y )dxdy 4 2 G y 1 4 dy 2 sin( x y )dx 0 0 y 2 y 1 4 2 [ cos( x y )] y dy 2 0 1 1 [sin 2 y ]04 4 4
二维随机变量及边缘分布
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 0 ,
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 1.
y
3o F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.
二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i , j 1, 2,, 记 P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1 , y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1 } P{ X x1 ,Y y2 } P{ X x1 ,Y y1 } 0,
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
F ( ,) x lim F ( x , y ) 0 ,
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 1.
y
3o F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.
二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i , j 1, 2,, 记 P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1 , y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1 } P{ X x1 ,Y y2 } P{ X x1 ,Y y1 } 0,
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
边缘分布函数
边缘分布函数
如果二维随机变量,Y的分布函数F{x,y}为已知，那么
因此边缘分布函数F(x)，FY(y)可以由(,Y)的分布函数所确定。
如果二维随机变量,Y的分布函数F{x,y}为已知，那么随机变量x，y的分布函数F x{x}和Fʏ{y}可由F{x,y}求得。
则F x{x}和Fʏ{y}为分布函数F{x,y}的边缘分布函数。
扩展资料：
离散型随机变量：
在一定区间内变量取值为有限个或可数个。
例如地区2022年人口的
出生数、死亡数，药治疗病病人的有效数、无效数等。
离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。
连续型型随机变量：
在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。
例如地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。
有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。
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x2
二、二维离散型随 机变量
X和Y 的联合概率函数
P(X xi ,Y yj) pij,
i, j =1,2, …
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
为了直观，一般用表格表示联合分布律
y2 2
]1 x2
dx
4 21
K
y x2
1
K 21 4
(2)
P( X Y ) 21 x2 ydxdy
4 D1
21
1
dx
x x2 ydy
④ 对于任意x1 < x2 , y1 < y2
F (x2, y2) – F (x1, y2 ) – F (x2, y1) + F (x1 , y1) 0
事实上
y2
F (x2, y2) – F (x1, y2 ) – F (x2, y1) + F (x1 , y1)
y1
P x1 X x2, y1 Y y2 0 x1
kx2 y, x2 y 1
f (x, y) 0,
其它
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ; (2) P ( X > Y )
解 (1)
f (x, y)dxdy 1
f (x, y)dxdy 1
D
1
K
1 x2 ydxdy
1 x2
1
K
1
dx
1 x2 ydy
1
x2
K1 1x2[ Nhomakorabea一维随机变量X
F(x, y) P(X x,Y y) x, y
X的分布函数
F(x) P(X x) x
{X x,Y y} 表示 {X x}与的{Y y} 积事件
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.
在打靶时,命中点的位置是由 一对r.v(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三 个坐标）来确定的等等.
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
一、二维随机变量（X,Y） 的联合分布函数
§3.1二维随机变量的分布函数、 边缘分布
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其 分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述 还不够，而需要用几个随机变量来描述.
Y X
y1
y2
L
x1 p11 p12 L
x2 p21 p22 L
ML L L
xi pi1 pi2 L
ML L L
yj L p1 j L p2 j L LL pij L LL
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的概率函数 .
0
y)]02
dx
A
2
[
cos(
x
)
cos
x]dx
0
2
y
2
2
x
A 1 2
y
(2) P{(X ,Y ) G}
1 sin(x y)dxdy
2
4
G
2
dy 2
y
1
sin(x
y)dx
4
0
0
y2
1
2
y
4 0
[
cos(x
y)]
2 y
dy
1 4
[sin
2
y]04
1 4
y=x
x y
2
x
2
例3 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为
y (x, y)
x
联合分布函数的性质
y
① 0 F(x, y) 1
F (, )
lim F (x, y) 1
x
y
F (, )
y
lim F (x, y) 0 x y
(,)
(,)
x
(x, y)
x
F (x, ) lim F (x, y) 0
y
F(, y)
lim F(x, y) 0 x
f (x, y)dxdy
A
一维随机变量X 连续型
X的密度函数
P{a X b}
b
a f (x)dx
f (x) 0
f (x)dx 1
定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) ,使得对 于任意实数 x , y 有
xy
F (x, y) f (u,v)dvdu
Asin(x
y),
0 x ,0 y ,
2
2
0,
其它
(1) 求常数 A; (2) （X，Y）落在由
y x, x y 及
y0
所围区域G内的概率
2
解 (1)
f (x, y)dxdy 1
f (x, y)dxdy 1
D
2 2 Asin(x y)dxdy 00
A
2 [ cos(x
y
x
y
x
② 对每个变量单调不减
固定 x , 对任意的 y1< y2 ,
F (x, y1) F (x, y2)
固定 y , 对任意的 x1< x2 ,
F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续
F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8
P(X=1,
Y=1)=
c
1 3
(1/2)3=3/8
P(X=2, Y=1)=3/8
列表如下
P(X=3, Y=3)=1/8
三、二维连续型随 机变量
X和Y 的联合密度函数
f (x, y)
P{( x, y) A}
4 若G 是平面上的区域，则
P( X ,Y ) G f (x, y)dxdy
G
对于二维连续型随机变量有
P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,- < Y < + ) = 0 P(- < X < + , Y= a ) = 0
例2 设（X，Y）具有概率密度
f
(x,
y)
则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 p.d.f.
联合密度的性质
1 f (x, y) 0
2 f (x, y)dydx 1
3 对每个变量连续, 在 f (的x, 连y) 续点处
2F f (x, y) xy