2020高考数学热点集锦 向量的运算

向量的运算

【两年真题重温】

【2020?新课标全国理，10】已知a r 与b r

均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：

1p ：2||

1[0,)3a b πθ+>?∈r r ； 2p ：2||1(,]3a b πθπ+>?∈r r ； 3p ：||1[0,)3a b πθ->?∈r r ； 4p ：||1(,]3a b πθπ->?∈r r ．

其中的真命题是( ) A ．

1p ，4p B ．1p ，3p C ．2p ，3p D ．2p ，4p

【答案】A

【解析】本题考查向量的基本运算和性质． ()a b +r r ()0ka b ?-=r

r ，展开易得1k =．

【2020g 新课标全国文，2】a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于

（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）16

65-

【答案】 C

【解析】本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.因a ＝(4,3)，b ＝(x,y), 2a ＋b ＝(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12.

cos<2

2

2

2

1616

=.513654+35+12

?（）

【命题意图猜想】 1. 2020年新课标高考理对向量的考查体现在求向量的夹角和模的运算，难度中等，文科则表现在向量的垂直关系的应用，较为简单；2020年理科没有涉及向量问题，而文科考查以

【最新考纲解读】

【回归课本整合】

1、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r

，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当

θ＝2π

时，，垂直.

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ

r r

叫做与的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝

cos a b θ

r r

.

④平面向量数量积：

1212a b x x y y ?=+r r

.

⑤向量的模：22222

2

||,||a x y a a x y +==+r r r .

3、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+r r r r ，()

()a a λμλμ=r r ，a b b a

?=?r r r r ；(2)结合律：()

(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+r r r r r r r r r r r r ，()()()

a b a b a b

λλλ?=?=?r r r r r r ；（3）分配律：

()()

,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+r r r r r r r ，

()a b c a c b c

+?=?+?r r r r r r r

.提醒：（1）向量运算和

实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即

)()(?≠?，为什么？

4、向量平行(共线)的充要条件：

//a b a b λ?=r r r r

22()(||||)a b a b ??=r r r r 1212x y y x ?-＝0.如(13)设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===u u u r u u u r u u u r

，则k ＝_____时，A,B,C 共线.

5、向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-r r r r r r r r

12120x x y y ?+=.特别地

()()AB AC AB AC AB AC AB AC

+⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r .

||,||,AB c AC b ==u u u r u u u r

则有

()bc AB AC AO a b c AB AC =+++u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r .

AC

AB 和Θ

方向上的单位向量，设

AC

AB

+

=

则有AP 平分BAC ∠,又,共线，所以OA 平分BAC ∠.同理可证BO

平分ABC ∠,CO 平分ACB ∠,从而O 是ABC ?内心.

3. 向量平行和垂直的重要应用

向量平行和垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直或平行；二是利用平行或垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.

（1）向量平行(共线)的充要条件：//a b a b

λ?=r r r r 22()(||||)a b a b ??=r r r r 1212x y y x ?-＝0; （2）向量垂直的充要条件：

0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-r r r r r r r r

12120x x y y ?+=.

例4 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r

2,AF FB =u u u r u u u r 则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r

( )

A.反向平行

B.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

【解法一】利用三角形的加法法则：几何法.如图1，

在1,

3BDA AD AB BD AB BC ?=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

中，

在1,

3ABE BE BA AE BA AC ?=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

中，

在1,

3BCF CF CB BF CB BA ?=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

中，

C

A

B

D

E

F 图1

A.4

B.5

C.6

D.8

解析一：（几何法）

cos 5cos AN AM AN AM θθ?==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，对于cos AM θ

u u u u r 几何含义：

AM AN u u u u r u u u r

在上的投影.

如图所示，当M 和C 重合时，投影为正且最大.

221,5,cos 41010AC NC AN θ=====

Q ,， 则cos 5cos AN AM AN AM θθ?===u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 522610=.

解析二：（代数法）

建立如图的坐标系，则0(2,1),(,),0x N M x y y ???≤≤2

则≤≤22,2AN AM x y x y ?=+∴==u u u

r u u u u r 当时，取

得最大值6.

H

N

C(M)

B

A

D x

o

M D

y

N

4.平面向量共线的坐标表示

(1)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b的充要条件a＝λb与x1y2－x2y1＝0在本质上是相同的，只是形式上有差异．

(2)要记准坐标公式特点，不要用错公式．

5.求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角．

6.如果高考单独考查向量运算，如代数或几何运算，一般试题难度较低，位置较为靠前，此时为得全分的题目；如果向量和其他知识相结合，考查最值问题，一般以后几道选择题出现，难度较大，此时应充分考虑向量的几何意义或坐标法进行解决.在利用坐标法解决问题时，可考虑一般问题特殊化，即恰当的建立坐标系，将问题转化代数运算.如果探求一些范围问题，适当的代值检验是一个良策.

（A ）1123AB AD

u u u

r u u u r - （B ）1142AB AD

u u u

r u u u r +

（C ）1132AB DA u u u

r u u u r +

（D ）1223AB AD u u u

r u u u r -

【答案】D

【解析】在CEF ?中，有,EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r 因E 为DC 的中点，故1,2EC DC =u u u r u u u r

因点F 为BC 的

一个三分点，故2,3CF CB =u u u r u u u r 121212.

232323EF DC CB AB DA AB AD ∴=+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选D.

4.【唐山市2020学年度高三年级第一次模拟考试】

在ABC ?中，60,2,3,BAC AB AC ∠===o

，则AB BC BC CA CA AB ?+?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

(A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4 [答案]B

【答案】A

【解析】 因OP uuu r =xOA yOB +u u u

r u u u r ，其中10≤≤x ，10≤≤y ，动点P 的轨迹所覆盖的区域以,OA OB 为邻边的平行四边形，则,S AB r r =?为内切圆的半径.

由余弦定理可知2222671

cos ,512650, 5.

265c A c c AB c c +-==∴--=∴==??

又1

65sin 66,

2ABC S A ?=???=因O 为三角形的内心，故O 到三角形各边的距离均为,r 此

时三角形的面积可以分割为三个小三角形的面积的和1

(6+5+7)2r ?，即

答案：D

解析：由向量加法法则可知四边形ABCD 是平行四边形，故选D 9.【山东省枣庄市2020届高三上学期期末测试试题】

若平面向量c b a ,,两两所成的角相等，,3,1===c b a 则=

++c b a _______.

【答案】2或5

【解析】①三个向量a 、b 、c 两两所成的角均相等且为120o时，

113

1192()42

222a b c ++=++-++==r r r .

②三个向量a 、b 、c 两两所成的角均相等且为0o时，

||||||1135

a b c a b c ++=++=++=r r r r u u r r

.

10.【福州市2020届第一学期期末高三质检】

已知||1a =r ，||2b =r ，a r 与b r 的夹角为120?，0a c b ++=r r r r ，则a r 与c r 的夹角为

A ．150?

B ．90?

C ．60?

D ． 30?

【答案】

B

21331(,)(1)(1)222x CD BE x x x x ?=-+?-+=--+u u u r u u u r ，因101,2x x <<∴=当时

函数取得最大值3.

8-故答案为C.

A.－1 B．1 C. D．2

【答案】 B

【解析】 |a＋b－c|＝＝，由于a·b＝0，所以上式＝，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝≤1，故选B.

16.【北京市东城区2020学年度高三数第一学期期末教学统一检测】

若非零向量

,a b

r r

满足

a b a b

==-

r r r r

，则a

r

与a b

+

r r

的夹角为．

【答案】30?

【解析】如图

,a b

r r

与a b

-

r r

构成等边三角形，则a

r

与a b

+

r r

的夹角为30?

r

b

r

17.【北京市石景山区2020学年高三第一学期期末考试】

AG uuu u r

的最小值是_____________．

【答案】2

3

【解析】因为点G 是ABC ?的重心，(,),AG AB AC R λμλμ=+∈uuu r uu u r uuu r 所以

13λμ==

， 因为120,A ∠=?2AB AC ?=-uu u r uuu r ，所以4

AB AC ?=uu u r uuu r

， 所以

22221114

()(2)(24)9999AG AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++?≥?-=

uuu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，