概率论总复习
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
概率论与数理统计总复习参考
定义7 （概率的统计定义） 定义8 （概率的公理化定义） 设试验E的样本
空间为Ω，对任意事件A，赋予一实数 P(A)，若
它满足
非负性公理：0≤P(A) ≤1;
规范性公理：P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …两两互斥, 则
P ( Ai ) P ( Ai ).
二、随机事件的关系与运算
1. 事件的关系
(1) 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B，
记为 A B.
(2) 互斥（互不相容）： 若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥 （互不相容）. 必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的.
2. 事件的运算
(1) 事件的并（和） 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，
fY
(
y)
f
X
[h(
y)] | 0,
h(
y)
|,
y ,
其他.
第三章 二维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
(X, Y )：X, Y 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量.
2. 联合分布函数、性质 F(x, y) =P{X x, Y y}, (任意实数x, y).
3. 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +), FY (y) = F(+, y).
P p1
p2 … pn …
注 ：如果 g( xk ) 中有些项相同，则需将它们 作适当并项.
(2) 连续型随机变量函数的分布 (i) 定义法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y}
{ x|g( x) y} f X ( x)dx.
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。
第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。
所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
概率论与数理统计_知识点总复习
随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m −=从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m−=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
(4)一些常见排列1特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨2重复排列和非重复排列（有序）3对立事件4顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（2）事件的关系与运算①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：BA ⊂如果同时有B A ⊂，A B ⊃，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。
A、B 中至少有一个发生的事件：A ∪B ，或者A +B 。
属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A ∩B ，或者AB 。
A ∩B=Ø，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。
它表示A 不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算：结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：∪∩∞=∞==11i ii i AA B A B A ∩∪=，BA B A ∪∩=3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P ∪常称为可列（完全）可加性。
高中数学概率论复习(全)PPT
F() lim F(x) 0 x
F() lim F(x) 1 x
（3）右连续性：F(x) 是右连续的函数，即对任
意实数 x ，有 F(x 0) F(x) ． （4）对任意实数 x1, x2 (x1 x2 ) ，有 P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
F (x2 ) F (x1)
【注】满足单调性、有界性和右连续性这三个性质的 函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.
离散型随机变量
离散型随机变量 X 的概率分布满足以下两个基本性质：
（1）非负性： pi 0 ， i 1, 2, ；
（2）规范性： pi 1 ． i 1
【注】满足非负性和规范性的数组 pi (i 1, 2, ) ，一 定是某个离散型随机变量的概率分布．
pij
( xi , y j )G
(4)
P{X xi} pij , i 1, 2, j 1
P{Y y j} pij , j 1, 2, i 1
二维连续型随机变量
（1）非负性 p(x, y) 0 ；
（2）规范性 p(x, y)dxdy F (, ) 1.
【注】若二元函数 p(x, y) 具有非负性和规范性，则 p(x, y) 一定是某个二维连续型随机变量的联合概率 密度函数．
定理 设随机变量 X 具有数学期望
E( X ) μ,方差 D( X ) σ 2,则对于任
（3）右连续性 F( x, y ) 分别对 x ， y 右连续，即
F(x 0, y) lim F(x , y) F(x, y) 0
F(x, y 0) lim F(x, y ) F(x, y) 0
（4）非负性 对于任意的实数 x1 x2 ， y1 y2 ，有
概率论与数理统计复习提纲
概率论与数理统计复习提纲概率论与数理统计总复习第⼀讲随机事件及其概率⼀随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件 2.事件关系,运算和运算律⑴事件的关系和运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ?=?,B A B A ?=?；⼆概率的定义和性质 1.公理化定义(P7)2.概率的性质(P8.五个) ⑴)(1)(A P A P -=；⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=?；3.古典概型和⼏何概型4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三常⽤的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P17-20.) 四事件的独⽴性1.定义:A 和B 相互独⽴ )()(B P A B P =或)()()(B P A P AB P ?=，2.贝努利试验在n 重贝努利试验中，事件=k A {A 恰好发⽣k 次})0(n k ≤≤的概率为：k n nk n k p p C A P --=)1()(第⼆讲随机变量及其概率分布⼀随机变量及其分布函数1.随机变量及其分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P35.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ；1)(lim =+∞→x F x ；(常⽤来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常⽤来求概率) ⼆离散型随机变量及其分布律1.分布律2.常⽤的离散型分布三连续型随机变量 1.密度函数 ?∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P39.七个) ⑴1)(=?+∞∞-dx x f ；（常⽤来确定密度函数中的参数）⑵?=≤adx x f b X a P )()(；（计算概率的重要公式）⑶对R x ∈?，有0)(==c X P (换⾔之,概率为0的事件不⼀定是不可能事件). 3.常⽤连续型分布重点:正态分布:)0,(21)(22)(>=--σσµσπσµ都是常数，x ex f标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex -=π四随机变量函数的分布1.离散情形设X 的分布律为则)(X g Y =的分布律为2.连续情形设X 的密度函数为)(x f X ,若求)(X g Y =的密度函数,先求Y 的分布函数,再通过对其求导,得到Y 的密度函数。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论与数理统计复习汇总
概率论与数理统计复习汇总第⼀章：概率论初步基本概念：随机事件、古典概率、条件概率、事件的独⽴性事件的关系与运算(结合集合论和⽂⽒图来学习)⼦事件(⼦集)、积事件(交集)、和事件(并集)、对⽴事件AB A B ∪A (补集)、差事件 ;A B AB A AB ?==? 互斥事件 AB =Φ事件发⽣：事件A 中⾄少有⼀个样本点出现.处理技巧：把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 []A B A B A =?∪∪运算规律：德摩根律 ;AB A B A B AB ==∪∪加法原理：(分类)，乘法原理：12m n n n +++ 12m n n n (分步)排列：全排列：；组合：,m m nnA P ,!n ,!m m m n nn P C C C m n mn ?==古典概型：满⾜以下两个特点的随机试验 ()An P A n Ω=1. 试验的样本空间中有有限的样本点；2. 每个样本点发⽣的可能性是相等.(对称性和均衡性) 例题1 计算下列概率题 (求概率前先设事件) 1. 抛两颗骰⼦，观察他们点数出现的情况， (1) 写出试验的样本空间；(2) 设两颗骰⼦点数相同，:A :B 两颗骰⼦点数和为5，求(),().P A P B 2. 袋⼦中有a 只⽩球，b 只红球，2个⼈依次在袋⼦中取⼀球，(1) 做有放回的抽样，求第⼆个⼈取得⽩球的概率；()aP A a b=+(2) 做⽆放回的抽样，求第⼆个⼈取得⽩球的概率；1(1)()11()(1)b a a a a b a a P A a b a b a b a b a b a b a b ()+=+==+++++++ 注：当箱⼦中奖券⾜够多时，摸奖不分先后；概率的公理化定义设E 是⼀个随机试验，S 是它的样本空间，对于E 中的每⼀个事件A 赋予⼀个实数，记为，称为事件的概率，如果他满⾜下列的假设：()P A A (1) (2) 对于0()P A ≤≤1;S 有()1;P S = (3) 设两两互不相容，则有12,,,,n A A A 1212()()()n n P A A A P A P A P A =+++∪∪∪∪ ()公理化定义的性质：(1) ()1();P A P A =? (2) ()0;P Φ=(3) 对任意的事件有 ,A B ()()(P A B P A P AB );?=? 差事件的概率(4) 对任意的事件有 ,A B ()()()();P A B P A P B P AB =+?∪概率的⼀般加法公式例题2 利⽤事件关系和运算及公理化定义计算下列概率1. 设,A B 是两个事件，已知1118(),(),(),42P A P B P AB ===(),P A B ∪求(),(),[()()].P AB P AB P A B AB ∪条件概率在事件B 发⽣前提下，事件发⽣的概率，记为A ()()()P AB P A B P B =. 乘法公式：()()()()()P AB P B P A B P A P B A ==或全概率公式和贝叶斯公式样本空间的⼀个划分：设为随机试验S S E 的样本空间，12,,,n B B B 为E 的⼀组事件，若(1);i j B B =Φ (2) 12,n B B B S =∪∪∪则称12,,,n B B B 为样本空间的⼀个划分.或者S 12,,,n B B B 为⼀个完备事件组.全概率公式：设设为随机试验S E 的样本空间，12,,,n B B B 为⼀个完备事件组，则有1122()()()()()()()n n P A P B P A B P B P A B P B P A B =+++i B 称为原因，A 称为结果；全概率公式由原因找结果；贝叶斯公式：由结果找造成的原因1122()()()()()()()()()()()i i i i n n P B P A B P AB P B A P A P B P A B P B P A B P B P A B ==+++ 注：不要盲⽬记公式，分析原因和结果例题3 计算下列概率1. 某商店收进甲⼚⽣产的产品300个，⼄⼚⽣产的同种产品200个，甲⼚⽣产产品的次品率为0.06，⼄⼚⽣产产品的次品率为0.05，求 (1) 任取⼀件产品为次品的概率是多少？(2) 已知取得的产品为次品，求此次品来⾃甲⼚⽣产的概率是多少？2. ⼈们为了了解⼀⽀股票未来⼀定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，⽐如利率的变化. 现假设⼈们经分析评估知利率下降的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，⼈们估计，在利率下调的情况下，该⽀股票价格上涨的概率为80%，⽽在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该⽀股票上涨的概率.事件的独⽴性设是两个事件，若有,A B ()()()P AB P A P B =，则称事件是相互独⽴的.,A B 结论1：设是两个事件，若事件相互独⽴，则,A B ,A B ()(P A B P A =). 若事件,A B 相互独⽴，则,;,;,A B A B A B 也是相互独⽴的. 三个事件相互独⽴若事件满⾜,,A B C ()()();()()();()()();()()()();P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====则称事件相互独⽴.,,A B C 结论2：若事件相互独⽴，则其中任意12,,,n A A A (2)k k n ≤<个事件也相互独⽴；若事件相互独⽴，则中任意多个事件换成他们各⾃的对⽴事件，所得的个事件也相互独⽴. 12,,,n A A A 12,,,n A A A n 例题4计算下列概率1. 某⼀治疗⽅法对⼀个患者有效的概率为0.9. 今对3个患者进⾏了治疗，求对3个患者的治疗中，⾄少有⼀个是有效的概率. 设对各个患者的治疗效果是相互独⽴的.第⼆章：随机变量及其相关内容基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数随机变量：设随机试验的样本空间为{},()S e X X e ==是定义在样本空间上的实值单值函数，称S ()X X e =为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于的取值类型) ..r v 离散型随机变量取值为有限个或者⽆限可列个的随机变量分布律若..r v X 的取值为对应概率值为，即12,,,,n x x x 12,,,,n p p p {}1,2,k kP X x p k === 且满⾜：10;1,k k k p p ∞=≥=∑则称为{}1,2,k kP X x p k === ..r v X 的概率分布律，简称分布律常见的离散型随机变量的分布 (区分背景、分布律、记号)贝努利试验试验E 中只有两个结果，,A A ；n 重贝努利试验可以重复进⾏的，相互独⽴的贝努利试验 (搞清楚背景)01?分布 (1,)X B p ～X0 1kp 1p ? p⼆项分布 X ：次试验中出现的次数取值：0, 分布律为n A 1,2,,n (,)X B n p ～或推导，验证是分布律{}(1)0,1,k kn k n P X K C p p k n ?==?= ,⼏何分布 X ：直到出现经历的试验次数取值：1, A 2,,,n 分布律为：推导，验证是分布律1{}(1)1,,,n P X K p p k n ?==?= 例题1 计算下列概率题⽬1. 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.2. 某⼈进⾏射击，设每次射击的命中率为0.02，独⽴射击100次，记X 为击中⽬标的次数(1) 写出X 的分布律；(2) 恰好击中3次的概率；(3)求⾄少击中两次的概率。
概率论复习
例 一个大学毕业生给四家单位各发出一份 求职信，假定这些单位彼此独立，通知他去 面试的概率分别是 1/2，1/3，1/4，1/5。问这 个学生至少有一次面试机会的概率是多大？
解. 分析：考虑对立事件，一次面试机会都 没有的概率是
1/2×2/3×3/4×4/5 = 1/5，
所以至少有一次面试的概率是 4/5。
x 2, 3,
1,
x 3.
0, x 1,
1 , 1 x 2,
4 3
,
2 x 3,
4
1, x 3.
由 F(x) P{X x},
得 P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
P{3 X 5} F(5) F(3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 1 3 1 3. 42 4
0
0
第三章 多维随机变量及其分布
PX Y 1
y
f x， ydxdy
x y1 1
12 dx e 3x4 ydy
0 1 x
12 dx e 3x4 ydy
1
0
x+y=1
1
O
4e 3 3e 4
1
x
边缘分布函数
定义 设 F ( x, y) 为随机变量( X ,Y ) 的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} . 令 y , 称 P{X x} P{X x,Y } F( x,) 为随机变量( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数. 记为 FX ( x) F ( x,). 同理令 x ,
FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
概率论与数理统计复习
概率统计综合复习一一、填空：1．已知()0.3,()0.5,(/)0.2P A P B P A B ===,则()P A B ⋃= _ ___。
2．设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，则任取一件产品是一等品的概率是 。
3．设1231()()()3P A P A P A ===，且三事件123,,A A A 相互独立，则三事件中至少发生一个的概率为 ，三事件中恰好发生一个的概率为 。
4．袋中装有1个黑球和2个白球，从中任取2个，则取得的黑球数X 的分布函数()F x = ，()E X = 。
5．设X (4,0.5),b Y 在区间[0,2] 上服从均匀分布，已知X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= _ _。
6．设2(2,)X N σ ，且{0}0.2P X ≤=,那么{24}P X <<= _ ___。
7．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计：{24}P X -≥≤ 。
8．设一批产品的某一指标2(,)X N μσ ，从中随机抽取容量为25的样本，测得样本方差的观测值2100s =，则总体方差2σ的95%的置信区间为 。
二、单项选择：1．甲、乙二人射击，A 、B 分别表示甲、乙击中目标，则AB 表示（ ）。
A.两人都没击中B.至少一人没击中C.两人都击中D.至少一人击中2．设,A B 为两个随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）A.()()P A B P A ⋃=B.()()P AB P A =C.(/)()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=- 3．设123,(,4)X X X N μμ,是来自总体的样本，未知参数的下列无偏估计量中最有效的是 （ ）.A.123111424X X X ++ B. 131122X X + C. 123122555X X X ++ D. 123111333X X X ++ 4．设某种电子管的寿命X ，方差为()D X a =，则10个电子管的平均寿命X 的方差()D X 是（ ） A ．a B. 10a C. 0.1a D. 0.2a5．在假设检验问题中，犯第一类错误是指（ ）A ．原假设0H 成立，经检验接受0HB ．原假设0H 成立，经检验拒绝0HC ．原假设0H 不成立，经检验接受0HD ．原假设0H 不成立，经检验拒绝0H 三、设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占60%、20%、15%、5%，，四个等级的发芽率依次为,0.98，0.95，0.9，0.85 求：1．这批麦种的发芽率；2．若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？四、已知随机变量X 的概率密度函数为,01()0,cx x f x ⎧≤<=⎨⎩其它，求：1．常数c ； 2．{0.40.7}P X <≤； 3．方差()D X五、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数(2)2,0,0(,)0x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩，其它 ，1．求,X Y 的边缘密度函数；2．判断,X Y 是否相互独立、是否不相关；3．求概率{1}P X Y +≤六、设总体X 的密度函数为(1),01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中0θ>是未知参数，12,,,n X X X 是从该总体中抽取的一个样本，12,,,n x x x 是其样本观测值，试求参数θ 的最大似然估计量。
《概率论》总复习题3及参考答案
《概率论》总复习题（3）及参考答案一、填空题（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.（5） 设1217,,,X X X L 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ⊃⊃，故ABC C = 同理 ABC AB =.()()()0.20.50.50.45P ABC ABC P C P AB +=+=+×=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’，1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()(|)()()()P AB P B P B A P A P B P B ==+22223322122222555533(),()100100C C C C P B P B C C C C =⋅==⋅= 所以 21(|)2P B A =.（3）~(4,),Y B p其中 10.52201(0.5)24p P X xdx x=≤===∫， 113341,44444EY DY =×==××=，2215()144EY DY EY =+=+=. （4）(,)X Y 的分布为这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==0.620.4 1.4EX =+×=，0.5EY =故 cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =−=−=.（5）2216(){4}0.014S P S a P a >=>=即 20.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.二、单项选择题（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+− （B ）()().P C P A B ≤U（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+− （D ）()().P C P A B ≥U （ ） （2）设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +−=−∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（A ）1/2, 1.a b == （B ）/2,a b ==（C ）1/2,1a b ==−. （D ）/2,a b == （ ）（3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6XP010.40.6Y P则有（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （ ） （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （ ） 解 （1）由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+−≥+−U 应选C.（2）22(2)4()x f x +−==即~(2,)X N −故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.（3）()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=×+×= 应选C.（4）[()]E E EX EX = 应选C.三、有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
《概率论与数理统计》总复习资料
《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：915C n ==5005事件B 包含的样本点：563514C C C r ==240，则P (B )=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数}。
若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A 种选法；从而共有539A =2520个。
其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224个。
因此410283945)(A A A B P -==2296/5040=0.4562．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B )解：P (AB )=P (A )P (B )=0.3，P (A －B )=P (A )－P (AB )=0.2，P (A B )=P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求：P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P 解：P (A －B )=0.1，P (A B )=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -==2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
概率论复习题
概率论简明教程 一．选择题1．设事件A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，其对立事件为 D ．(A )“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B )“甲、乙两种产品均畅销”； (C ) “甲种产品滞销”； (D ) “甲种产品滞销或乙种产品畅销” .2．设A B ⊂，则下面正确的等式是 B .（A ）)(1)(A P AB P -=； （B ）)()()(A P B P A B P -=-； （C ）)()|(B P A B P =； （D ）)()|(A P B A P =3．设随机变量X 的分布律为 5,4,3,2,1,15/)(===k k k X P 。
则)5.25.0(<<X P 的值是 B .(A ) 6.0 ； (B ) 2.0 ；C ) 4.0 ； (D ) 8.0 ．4．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 B .)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P .5. 设随机变量X 的密度函数为)(x f ，如果 A ，则恒有1)(0≤≤x f .(A ))1,0(~N X ； (B )),0(~2σN X ；(C )),1(~2σ-N X ； (D )),(~2σμN X .6. 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<+=,)(0,)1(/1),(22他其y x y x f π则X 与Y 为 C 的随机变量.(A ) 独立同分布； (B ) 独立不同分布； (C ) 不独立同分布； (D ) 不独立不同分布.7. 设X 为随机变量，若1.1)(2=X E ，1.0)(=X D ，则一定有 B .(A )9.0)11(≥<<-X P ； (B )9.0)20(≥<<X P ； (C )9.0)11(<≥+X P ； (D )1.0)1(≤≥X P .8. 设A B ⊂，则下面正确的等式是 B 。
《概率论总复习》课件
常见问题解答二：条件概率与独立性的关系？
总结词
条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们之间 存在密切的联系。
详细描述
条件概率是指在某个已知事件发生的条件下，另一个 事件发生的概率。而独立性则是指两个事件之间没有 相互影响，一个事件的发生不影响另一个事件的发生 。在条件概率中，如果两个事件在给定条件下是独立 的，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的 乘积。因此，条件概率和独立性之间存在密切的联系 ，理解它们的概念和关系有助于更好地掌握概率论中 的相关内容。
04
概率论的应用
统计学中的概率论应用
统计推断
概率论为统计学提供了理论基 础，用于估计未知参数、检验 假设和进行预测。
随机抽样
概率论确保了随机抽样的公正 性和代表性，使得样本数据能 够反映总体特征。
统计决策
基于概率论的决策分析方法， 如贝叶斯决策和风险分析，帮 助决策者做出最优选择。
计算机科学中的概率论应用
100%
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布通常由概 率质量函数或概率分布函数描述 。
80%
连续型随机变量的分布
连续型随机变量的分布由概率密 度函数描述，其总概率为1，即 ∫−∞∞f(x)dxF(x)=∫−∞∞f(x)dxF (x)=∫−∞∞f(x)dxF(x)=1。
02
概率论中的重要定理
贝叶斯定理
01
02
03
04
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
《概率论》总复习提纲
ang 《概率论与数理统计》总复习提纲第一块 随机事件及其概率内 容 提 要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E .1） 试验可在相同的条件下重复进行；2） 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3） 每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间ω记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w .（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发生必导致B 发生”，记为B A ⊂或A B ⊃；B A B A ⊂⇔=且A B ⊂.（2）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对立事件Ω=⋃⇔B A 且Φ=AB .（3）独立性：（1）设A B 、为事件，若有)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与B 相互独立. 等价于：若)|()(A B P B P =(0)(>A P ).（2）多个事件的独立：设n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独立．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件A 与B 至少有一个发生”，记为B A ⋃.（2）积事件（交）：“ 事件A 与B 同时发生”，记为B A ⋂或AB .（3） 差事件、对立事件(余事件)：“事件发生A 而B 不发生”，记为A B -称为A 与B 的差事件；B B =-Ω称为B 的对立事件；易知：B A B A =-.4、事件的运算法则1) 交换律：A B B A ⋃=⋃，BA AB =；2) 结合律：C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃)()(，)()(BC A C AB =；3) 分配律：BC AC C B A ⋃=⋃)(，))(()(C B C A C AB ⋃⋃=⋃；4) 对偶(De Morgan)律：B A B A =⋃，B A AB ⋃=，可推广k k k k k k k k A A A A ==,5、概率的概念 （1）概率的公理化定义：（了解）ΩΩ设是一个样本空间，为的某些子集组成F ()A P A ∀∈的一个事件域.,定义在上的一个集值函数满足:F.F1()0;P A ≥）非负性：2()1;P Ω=）规范性：123,,A A ）可列可加性：设是可列个互不相容事件，则11()()n n n n P A P A ∞∞===∑().P A A 则称为事件的概率（2）频率的定义：（了解）事件A 在n 次重复试验中出现A n 次，则比值n n A称为事件A 在n 次重复试验中出现的频率，记为)(A f n ，即n n A f An =)(.（3）概率的统计定义：（了解）频率具有稳定性，即()n k f A n=随n 的增大越来越靠近某个常数p ，称p 为事件A 的（统计）概率.在实际问题中，当n 很大时，取()().n P A p f A =≈（4）古典概率（有限等可能型）： 若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件A 发生的概率为： n A k n k A A P )()(＝＝中样本点总数中所含样本点数Ω=.（5）几何概率（无限等可能型）：（了解）若试验基本结果数无限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域Ω中随机地取一点落在区域A 中”这一事件A 发生的概率为：()A P A Ω的测度＝的测度.（6）主观概率：（了解）人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率为零： ()0P Φ=.（2）有限可加性：设n A A A ,,,21 是n 个两两互不相容的事件，即i jA A =Φ，（i j ≠）n j i ,2,1,,=，则有)(21n A A A P ⋃⋃⋃ ＝)(1A P ＋)()(2n A P A P ++ .（3）单调不减性：若事件,()()B A P B P A ⊃≥则，且()()()P B A P B P A -=-.（4） 互逆性：()1()P A P A =-且()1P A ≤.（5） 加法公式：对任意两事件B A 、，有=⋃)(B A P )()(B P A P +－)(AB P ；此性质可推广到任意n 个事件n A A A ,,,21 的情形.（6）可分性：对任意两事件B A 、，有)()()(B A P AB P A P +=，且()()()P A B P A P B ⋃≤+7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设B A 、是两个事件，若()0,P A >则)()()|(A P AB P A B P =称为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率．（2）乘法公式：设()0,()0,P A P B >>则)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==.称为事件B A 、的概率乘法公式.其可推广成有即个的情形,详见书上第16页，其主要的意义在说明了前面的事件对后面的事件发生的概率产生影响.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ，),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有 ∑=n i i i A B P A P B P 1)|()()(＝称为全概率公式.应用背景：若影响某一事件（“结果”）发生有几种不同的情况（“原因”），那么计算结果的概率就要用全概率公式, 相当于其是由原因计算结果.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有),,1(,)|()()|()()|(1n j A B P A P A B P A P B A P ni ii j j j ==∑= 称为贝叶斯公式或逆概率公式.应用背景：若影响某一事件（“结果”）发生有几种不同的情况（“原因”），那么若告诉你结果已发生，那么要计算某一种情况（“原因”）发生的概率时，就要用到贝叶斯公式，相当其主要的应用是要由结果计算原因.9、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E ．E 也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用)(A P p =表示，其中A ＝“成功”.（2）把E 重复独立地进行n 次，所得的试验称为n 重贝努里试验，记为nE ．（3）把E 重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为∞E ．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）n E 中成功k 次的概率是：)0(,)1(n k q p C p p C k n k k n k n k k n ≤≤=---其中1(01)p q p +=≤≤.疑 难 分 析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件A 与B 必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则A 、B 为互逆事件；如果两个事件A 与B 不能同时发生，则A 、B 为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥两事件A 、B 独立，则A 与B 中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时)()()(B P A P AB P =生，这两事件的发生是有影响的，这时0)(,=Φ=AB P AB .可以用图形作一直观 解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1)(21)(,41)(B P A P AB P ===，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，0)(=AB P ，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率)|(B A P 与积事件概率)(AB P)(AB P 是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而)|(B A P 是在试验E 增加了新条件B 发生后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率.虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用)(AB P ，而在有包含关系或明确的主从关系时，用)|(B A P .如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第二块 随机变量及其分布内 容 提 要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设Ω是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果Ω∈ω，都有唯一的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX 为定义在Ω上的随机变量，简记为X .随机变量通常用大写字母Z Y X 、、等表示.根据其取值的情形可以分成为⎧⎪⎨⎪⎩离散型随机变量（可能取值至多可列）随机变量连续型随机变量（可能取值充满某个区间）奇异型随机变量2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，则称X 为离散型随机变量.如果X 的一切可能值为 ,,21x x ，并且X 取k x 的概率为k p ，则称),3,2,1}({ ===k x X P p k k 为离散型随机变量X 的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为1212n n x x x p p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1,0=≥∑i i i p p .常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为(1,)((1,))X b p B p ，分布列为10,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k 或 01~X q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）二项分布：记为(,)((,))X b n p B n p ，概率函数10,,,1,0,)1(}{<<=-==-p n k p p C k X P k n k k n （3）泊松分布，记为()(())X P πλλ，概率函数0,,1,0,!}{>===-λλλ k k e k X P k泊松定理： 设0>λ是一常数，n 是任意正整数，设λ=nnp ，则对于任一固定的非负整数k ，有!)1(lim k e p p C k k n n k n k n n λλ--∞→=-.根据泊松定理可得，当n 很大(大于50)且p 很小（一般是小于0.05）时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即!)1(k e p p C k k n k k n λλ--≈-，其中np =λ3、分布函数及其性质 分布函数的定义：设X 为随机变量，x 为任意实数，函数)}({)(+∞<<-∞≤=x x X P x F称为随机变量X 的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性： )(1)(0+∞<<-∞≤≤x x F ； （2）单调性： 如果21x x <，则)()(21x F x F ≤；（3）右连续： 即)()0(x F x F =+；（4）极限性： 1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x ；（5）完美性： )()(}{}{}{121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=≤<.4、连续型随机变量及其分布如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负函数()p x ，使对于任一实数x ，有()()xF x p t dt -∞=⎰，则称X 为连续型随机变量.函数()p x 称为X 的概率密度函数，简称为概率密度.概率密度函数具有以下性质：（1）()0p x ≥； （2）()1p x dx +∞-∞=⎰； （3）2112{}()x x P x X x p t dt <≤=⎰； （4）0}{1==x X P ；（5）如果()p x 在x 处连续，则()()F x p x '=.常用连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为),(~b a U X ，概率密度为1,,()0,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x bx a a b a x a x x F ,1,,0)(性质：若a c d b <<<，则().d c P c X d b a -<<=- （2）指数分布：记为()X Exp θ，概率密度为/1,0,()0,x e x p x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他， 分布函数为/1,0,()0,x e x F x θ-⎧->=⎨⎩其他. 无记忆性质：对于任意,0,s t >有{|}{}P X s t X s P X t >+>=>.（3）正态分布：记为),(~2σμN X ，概率密度为2()2(),x p x X μσ--=-∞<<+∞，相应的分布函数为 ⎰∞---=x x dt e x F 22)(21)(σμπ当1,0==σμ时，即)1,0(~N X 时，称X 服从标准正态分布.这时分别用)(x ϕ和)(x Φ表示X 的密度函数和分布函数，即⎰∞---=Φ=x t x dt e x e x 222221)(,21)(ππϕ 性质：① 若2(,)X N μσ,则其密度函数关于x μ=对称，从而1()()2P X P X μμ>=<=. ② )(1)(x x Φ-=-Φ.③ 若2(,)X N μσ,则(0,1)X N μσ-，即一般正态分布),(~2σμN X 的分布函数)(x F 与标准正态分布的分布函数)(x Φ有关系：)()(σμ-Φ=x x F .5、随机变量函数的分布 （1）离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2则)(X g Y =任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3i y 有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，概率密度为()X p x ，则)(X g Y =的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若)(x g y =在X 的取值区间内有连续导数)(x g '，且)(x g 单调时，)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧<<'=其它,0,)()]([)(βαy y h y h f y f XY .其中)()}.(),(max{)},(),(min{y h g g g g +∞-∞=+∞-∞=βα是)(x g 的反函数. 2）分布函数法：先求)(X g Y =的分布函数∑⎰∆=≤=≤=k y xY k dxx fy X g P y Y P y F )()(})({}{)(然后求 ()[()]Y Y p y F y '=. 结论：若2(,)X N μσ，则22(0)(,)aX b a N a b a μσ+≠+.疑 难 分 析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间Ω上，对试验的每一个可能结果Ω∈ω，都有唯一的实数)(ωX 与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间. 2、分布函数)(x F 的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数)(x F 左连续，但大多数书籍定义分布函数)(xF为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算)(xF时，xX=点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于}{1==xXP，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于}{1≠=xXP，则定义左连续或右连续时)(xF值就不相同，这时，就要注意对)(xF定义左连续还是右连续.第三块 多维随机变量及其分布内 容 提 要基本内容：多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的联合分布列，二维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独立性和不相关性，常用多维随机变量，随机向量函数的分布.1、二维随机变量及其联合分布函数 12(),(),,()(,,),n X X X F P ωωωΩ如果随机变量定义在同一概率空间上则称12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（为n 维(n 元)随机变量或随机向量.n 当=2时,称为二维随机变量,常记为(,).X Y 联合分布函数的定义： 设12(),(),,()n XX X X n ωωωω=（）（）是维随机变量,,nx R n ∀∈则称元函数121122(,,,),,,)n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤（为随机向量12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（的联合分布函数2,,n =特别时称为二维联合分布函数即(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性： ),(y x F 是变量x 或y 的非减函数； （2）有界性： 1),(0≤≤y x F ；（3）极限性：1),(0),(0),(0),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ， ， ，，但注意(,)(),(,)()Y X F y F y F x F x +∞=+∞=，其中()X F x 与()Y F y 分别表示X 与Y 的分布函数.（4）连续性: ),(y x F 关于x 右连续，关于y 也右连续；（5）非负性: 对任意点),(),,(2211y x y x ，若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F .上式表示随机点),(Y X 落在区域],[2121y Y y x X x ≤<≤<内的概率为：},{2121y Y y x X x P ≤<≤<.2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量),(Y X 所有可能取值是有限对或可列对，则称),(Y X 为二维离散型随机变量.设),(Y X 为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为,2,1,),,(=j i y x j i 将),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i 或表3.1称为),(Y X 的联合分布列.表3.1联合分布列具有下列性质：（1）≥ij p ；（2）111=∑∑∞=∞=i j ijp.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数),(y x p ,使得二维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 对任意实数y x ,有⎰⎰∞-∞-=xydydx y x p y x F ),(),(，则称),(Y X 是二维连续型随机变量，称),(y x p 为),(Y X 的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）非负性 对一切实数y x ,，有0),(≥y x p ； （2）规范性1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x p ；（3）在任意平面域D 上，),(Y X 取值的概率⎰⎰=∈Ddxdyy x p D Y X P ),(}),{(；（4）如果),(y x p 在),(y x 处连续，则),(),(2y x p y x y x F =∂∂∂.常用连续型随机变量的分布：(1) 设D 是平面上的一个有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为1,(,),(,)0,x y D f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它，则称(,)X Y 服从区域D 上的二维均匀分布.(2) 二元正态分布：其密度函数不要求背，具体的请见课本P67. 4、二维随机变量的边缘分布设),(Y X 为二维随机变量，则称},{)(+∞<<-∞≤=Y x X P x F X },{)(y Y X P y F Y ≤+∞<<-∞=分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘（边际）分布函数.当),(Y X 为离散型随机变量，则称),2,1(),2,1(1.1. ====∑∑∞=∞=j p p i p p i ij j j ij i 分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布列.当),(Y X 为连续型随机变量，则称⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxy x p y p dy y x p x p Y X ),()(,),()( 分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘密度函数. 性质：221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ，则211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ.5、随机变量的独立性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=则称随机变量X 与Y 相互独立.设),(Y X 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij .设),(Y X 为二维连续型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是对几乎一切实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.性质：221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ，则0X Y ρ=⇔与相互独立.6、两个随机变量函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ϕ=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdyy x p z F zy x Z ⎰⎰≤=),(),()(ϕ.对于一般的函数ϕ,求()Z F z 通过分布函数的方法，如第三章，习题29就是使用这种方法.但对于以下的几个，更加常用的是公式的方法. 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p .（1）Y X Z +=的分布:dyy y z p dx x z x p z p Z ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=),(),()(.特别地，若X 与Y 相互独立，则()()()()().Z X Y X Y p z p x p z x dx p z y p y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰（2）Z X Y =-的分布：()(,).Z p z p z y y dy +∞-∞=+⎰特别地，若X 与Y 相互独立，则()()().Z X Y p z p z y p y dy +∞-∞=+⎰（3）Z XY =的分布：1()(,).||Z zp z p x dx x x+∞-∞=⎰特别地，若X 与Y 相互独立，则1()()().||Z X Y zp z p x p dx x x+∞-∞=⎰（4）Y XZ =的分布若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：⎰+∞∞-=dyy yz p y z p Z ),()(.性质：①若(,),(,),(,)X b n p Y b m p X Y X Y b n m p ++且与相互独立，则.②若1212(),()().XY X Y X Y πλπλπλλ++且与相互独立，则③若221122(,),(,)XN YN μσμσ，且X 与Y 相互独立的，则22221212(,).X bY cN a b c a b μμσσ+++++a7．最大值与最小值的分布 1,,n X X n 设是相互独立的个随机变量,则1()()(max(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤1()ni i F y ==∏1()()(min(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤11(1())n i i F y ==--∏其中的()i F y 表示的是随机变量i X 的分布函数.疑 难 分 析1、事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤⋅≤？如同仅当事件B A 、相互独立时，才有)()()(B P A P AB P ⋅=一样，这里},{y Y x X P ≤≤依乘法原理}|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤⋅≤=≤≤.只有事件}{x X P ≤与}{y Y P ≤相互独立时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，因为}{}|{y Y P x X y Y P ≤=≤≤.2、二维随机变量),(Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由)|()(),(|x y p x p y x p X Y X ⋅=知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果Y X 、相互独立，则}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=.说明当Y X 、独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量Y X 、相互独立，是指组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有)()()(B P A P AB P ⋅=.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、是同一试验E 的样本空间上的两个一维随机变量，而B A 、也是一个试验1E 的样本空间的两个事件.因此，若把“x X ≤”、“y Y ≤”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.第四块 随机变量的数字特征内 容 提 要基本内容：随机变量的数学期望和方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中心矩，协方差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量X 的分布列为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，如果级数∑∞=1k kk p x 绝对收敛，则称级数的和为随机变量X 的数学期望.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，如果广义积分⎰+∞∞-dxx xp )(绝对收敛，则称此积分值⎰+∞∞-=dxx xp X E )()(为随机变量X 的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设C 是常数，则C C E =)(； （2）设C 是常数，则)()(X CE CX E =；（3）若21X X 、是随机变量，则)()()(2121X E X E X X E +=+； 对任意n 个随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ；（4）若21X X 、相互独立，则)()()(2121X E X E X X E =； 对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =.2、随机变量函数的数学期望（1）设离散型随机变量X 的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为2,1,)()]([1==∑∞=k p x g x g E k k k ，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为⎰+∞∞-=dxx p x g x g E )()()]([，式中积分绝对收敛.（2）若二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布列为3、随机变量的方差设X 是一个随机变量，则})]({[)()(2X E X E X Var X D -==称为X 的方差.)()(X X D σ=称为X 的标准差或均方差.计算方差也常用公式22)]([)()(X E X E X D -=. 方差具有如下性质：（1）设C 是常数，则0)(=C D ；（2）设C 是常数，则)()(2X D C CX D =； （3）22()()()2(())(())D aX bY a D X b D Y abE X E X Y E Y ±=+±--=22()()2cov(,)a D X b D Y ab X Y +±=22()()2a D X b D Y ab ρ+±. 特别地，若X Y 与相互独立，则22()()()D aX bY a D X b D Y ±=+.更加一般地，对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=+++ ；（4）0)(=X D 的充要条件是：存在常数C ，使))((1}{X E C C X P ===. 4、几种常见分布的数学期望与方差：（1）~(1,),.(),()(1)X B p E X p D X p p ==-； （2）)1()(,)().,(~p np X D np X E p n B X -==； （3）~().(),()X P E X D X λλλ==；（4）12/)()(,2/)()().,(~2a b X D b a X E b a U X -=+=； （5）()XExp θ,则2(),()E X D X θθ==；（6）22)(,)().,(~σμσμ==XDXENX.6、协方差与相关系数随机变量),(YX的协方差为)]}()][({[),cov(YEYXEXEYX--=.它是1+1阶混合中心矩，有计算公式：)()()(),cov(YEXEXYEYX-=.随机变量),(YX的相关系数为DYDXYXXY),cov(=ρ.相关系数具有如下性质：（1）1≤XYρ；（2）⇔=1XYρ存在常数ba,，使}{baXYP+==1，即X与Y以概率1线性相关；（3）若YX,独立，则0=XYρ，即YX,不相关.反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的方差都存在,则2[(,)]Cov X Y DX DY≤⋅疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义.例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数XY ρ反映了随机变量X 和Y 之间的什么关系？相关系数XY ρ是用随机变量X 和Y 的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量X 和Y 之间的相关程度.当1=XY ρ时，称X 与Y 依概率1线性相关；当0=XY ρ时，称X 与Y 不相关；当10<<XY ρ时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量X 与Y 相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若X 、Y 相互独立，则X 、Y 不相关.因为X 、Y 独立，则)()()(Y E X E XY E =，故0)()()(),cov(=--=Y E X E XY E Y X ，从而0=XY ρ，所以X 、Y 不相关.（2）若X 、Y 不相关，则X 、Y 不一定独立.如：⎩⎨⎧≤+=.,0,1,/1),(22 其它 y x y x p π 因为0)()(==Y E X E ，4/1)()(==Y D X D 0,0),cov(==XY Y X ρ，知X 、Y 不相关.但π/12)(2x x p X -=，π/12)(2y y p Y -=,)()(),(Y p x p y x p y X ≠,知X 、Y 不独立.（3）若X 、Y 相关，则X 、Y 一定不独立.可由反证法说明.（4）若X 、Y 不相关，则X 、Y 不一定不相关.因为X 、Y 不独立，)()()(Y E X E XY E ≠，但若0)()()(===XY E Y E X E 时，可以有0=XY ρ，从而可以有X 、Y 不相关.但是，也有特殊情况，如),(Y X 服从二维正态分布时，X 、Y 不相关与X 、Y 独立是等价的.第五块 大数定律和中心极限定理内 容 提 要基本内容：切比雪夫（Chebyshev ）不等式，切比雪夫大数定律，伯努里（Bernoulli ）大数定律，辛钦（Khinchine ）大数定律，棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理，列维-林维德伯格(Levy-Lindberg)定理.1、切贝雪夫不等式设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则对任意正数ε，有不等式 22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-><-X P 成立.2、大数定律（了解）（1）贝努利大数定律:设A n 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的0>ε，有1}|{|lim =<-∞→εp n n P A n .贝努利大数定理给出了当n 很大时，A 发生的频率/A n n 依概率收敛于A 的概率，证明了频率的稳定性.(2)辛钦大数定律：设 ,,,,21n X X X 相互独立,服从同一分布的随机变量序列,且()k E X μ=(1,2,k =),则对任意给定的0>ε，有11lim {||} 1.nk n k P X n με→∞=-<=∑3、中心极限定律（1）林德贝格-勒维中心极限定理:设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，μ=)(i X E ，),2,1(0)(2 =≠=i X D i σ.则对任意实数x ，随机变量σμσμn n X n X Y n i i n i i n ∑∑==-=-=11)(的分布函数)(x F n 满足⎰∞--∞→∞→=≤=x t n n n n dt e x Y P x F 2/221}{lim )(lim π.（2）李雅普诺夫定理:（了解）设 ,,,,21n X X X 是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：i i X E μ=)(,),2,1(0)(2 =≠=i X D i i σ.记 ∑==n i i nB 122σ,若存在正数δ，，使得当∞→n 时，有0}{1122→-∑=++n i i i n X E B δδμ, 则随机变量n n i i n i i n i i n i i n i i n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=-=11111)()(μ的分布函数)(x F n 对于任意的x ，满足⎰∑∑∞--==∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n n i i n i i n n n dt e x B X x F 2/11221lim )(lim πμ.当n 很大时,),(~),1,0(~12.1.∑∑==n i n i n i i n B N X N Z μ.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量),2,1( =n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意的x ，恒有 ⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x t n n dt e x p np np P 2/221)1(lim πη.疑 难 分 析1、依概率收敛的意义是什么？依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列}{n x 依概率收敛于a ，说明对于任给的0>ε，当n 很大时，事件“ε<-a x n ”的概率接近于 1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“ε<-a x n ”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法.2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据.4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当 时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.例 题 解 析【例3】一本书共有100万个印刷符号.排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求校对后错误不多于15个的概率.分析：根据题意构造一个独立同分布的随机变量序列，具有有限的数学期望和方差，然后建立一个标准化的随机变量，应用中心极限定理求得结果.解：设随机变量⎩⎨⎧=.,0,1 其它 错个印刷符号校对后仍印 第n X n 则)1(≥n X n 是独立同分布随机变量序列，有5101.00001.0}1{-=⨯===n X P p .作)10(,61==∑=n X Y n k K n ，nY 为校对后错误总数.按中心极限定理（德—拉定理），有 )58.1(]))101(1010/[5(15}15{553Φ≈-Φ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=≤--npq np npq np Y P Y P n n9495.0=.。
概率论期末复习知识点
知识点第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 和事件： A B ⋃； 12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）．(3) 积事件： AB ， 12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ= (5) 对立事件： A ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作A B -(或AB ) ．(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.2． **古典概率的定义 古典概型：()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．几何概率()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·3．**概率的性质 (1) ()0P φ=．(2) (有限可加性) 设n 个事件1,2,,n A A A 两两互不相容，则有121()()nn i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑．(3)()1()P A P A =-．(4) 若事件A ，B 满足A B ⊂，则有()()()P B A P B P A -=-,()()P A P B ≤．(5) ()1P A ≤．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.对于任意n 个事件1,2,,n A A A ，有111111()()()()(1)()nnn i i i j i j k ni i j ni j k ni P A P A P A A P A A A P AA -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑.4．**条件概率与乘法公式()(|)()P AB P A B P B =.乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：(|)()P A B P A =．对于任意n 个事件1,2,,n A A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n =，任意的11k i i n ≤<<≤，若事件1,2,,n A A A 总满足 11()()()k k i i i i P A A P A P A =，则称事件1,2,,n A A A 相互独立．这里实际上包含了21n n --个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：如果事件1,2,,n A A A 两两互不相容，且1ni i A ==Ω，()0i P A >，1,2,,i n =，则1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k niii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑．第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律(),1,2,,,.i i p P X a i n ===分布律也可用下列表格形式表示：2．*概率函数的性质 (1) 0i p ≥， 1,2,,,;i n =(2)11ii p∞==∑．3．*常用离散型随机变量的分布(1) 0—1分布(1,)B p ，它的概率函数为1()(1)i i P X i p p -==-，其中，0i =或1，01p <<．(2) 二项分布(,)B n p ，它的概率函数为()(1)i n in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中，0,1,2,,i n =，01p <<．(４)** 泊松分布()P λ，它的概率函数为()!iP X i e i λλ-==，其中，0,1,2,,,i n =，0λ>．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====其中，0,,1,2,,1ij ijijp i j p≥==∑∑．5．*二维离散型随机变量的边缘概率 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率（,1,2,i j =），称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘分布律，记为i p 并有.(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑，称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘分布率，记为.j p ，并有.j p =(),1,2,j ij iP Y b p j ===∑.6．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设X 是一个随机变量，()g x 是一个已知函数，()Y g X =是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ，下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为则随机变量函数Y g =的概率函数可由下表求得但要注意，若()i g a 的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率i p 相加．第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算． 1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，．2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤(2) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==;由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ．3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数． 4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；(2)(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==，(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(3) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<()()xF x f x dx-∞=⎰成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．**概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==； (5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤＝()baf x dx⎰．7．**常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布(,)R a b ，它的概率密度为1,;()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余. 其中，)a b -∞<<<+∞．(2) 指数分布()E λ，它的概率密度为,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余. 其中，0λ>．(3) 正态分布2(,)N μσ，它的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞，其中，,0μσ-∞<<+∞>，当0,1μσ==时，称(0,1)N 为标准正态分布，它的概率密度为22(),x f x x -=-∞<<+∞，标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即22()t xx dt -Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)xyF x y f s t dtds-∞-∞=⎰⎰成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；’(3) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(4) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０，**二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．11．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布． 12．**随机变量的相互独立性 ．(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切，那么，称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么，X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=．第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。
概率论总复习 知识总结
P{X = xi ,Y = y j } = P{X = xi }P{Y = y j }
p(x, y) = pX (x) pY ( y)
F(x0+ ) = lim F(x) = F(x0 ). +
x→x0
10
分布函数的几点说明 1）分布函数 F(x) 是一个普通的函数， F(x) 在 x 处 2）离散型： 若 P( X = xk ) = pk 由于 F(x) 是X 取 ≤ x 的诸值
F(x)
pk
xk <x xk <x
的值表示了X落在 (−∞, x) 内的概率。
p(t)dt
F(x)＝ ( X ≤ x) ∫ P ＝
x
−∞
0
x
p (x)
x
P(x1 < X ≤ x2 )＝ (x2 ) − F( x1 ) F
＝ ∫
在
x2
x1
p(t) d t
x1 < x2
0
x1 x2 x
p( x) 的 续 处 连 点 ， p( x) = F′( x)
12
4、随机变量函数的分布 、 1、问题：若 X,Y是随机变量， = ϕ(X ). 其中 y = ϕ(x) Y 是 x的函数。 已知X 的分布，求 Y = ϕ(X ) 的分布。 2、基本方法 1）由 Y = ϕ(X ) 研究 X,Y 之间的事件等价关系。 2）由 X,Y 之间的事件的关系再求 X,Y 之间的分布 关系和分布函数关系。 3）把Y的分布用表（离散型）或Y的密度（连续性） 表述出来。 3、具体讨论
F(x) P( X ≤ x) ∫ ＝ ＝
x
−∞
p(u)du
p( x) ≥ 0 x ∈(− ∞,+∞)
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二． 样本空间与随机事件
1. 样本空间 实验E的所有可能结果构成的集合，称为E的样
本空间，用S表示. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.
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2. 随机事件
定义
一般将样本空间的子集称为随机事件。
随机事件用大写字母A，B，C表示.
事件的发 生
在一次试验中，事件A发生的含义是，当 且仅当A中一个样本点(或基本事件)发生
S {( x, y) T1 x y T2}
无限样本空间
2020/6其/7 中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
§1-2 事件的概率
一.古典概型
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
称这种试验为古典型试验，简称古典概型.
解 令 A 灯泡能用到1000小时, B 灯泡能用到 1500小时
所求概率为
PB
A
P( AB) P( A)
P(B) P( A)
0.4 0.8
1 2
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B A
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n
Bi S
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 ) P( An )
常由实际问题的意义 判断事件的独立性
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第二章 随机变量及其分布
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工 具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同 结果.
例 电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个 变量 X 来描述
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
（或出现）。事件A发生也称为事件A出现。
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例 给出一组随机试验及相应的样本空间
E1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
S {0,1,2,3}
有限样本空间
E2 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数
S {0,1,2,3, , N }
可列样本空间
E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
概率论与数理统计复习
引言
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第一章 随机事件与概率 §1.1 样本空间与随机事件
一 .随机试验:
对随机现象进行一次观察和实验，统称为随机试验。
随机实验简称为实验，用E 表示
特点:（1）实验可以在相同的条件下重复进行；（2） 实验的全部可能结果不止一个，并且在实验之前能够明 确知道所有的可能结果;（3）每次实验必发生全部可能 结果中的一个且仅发生一个
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§1.3 条件概率 定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则
PB A P(AB)
P( A)
称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件 概率.
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例3 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为 0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小 时的灯泡能用到1500小时的概率
可视为事件A1与A2相互独立
P(A1A2 ) (3/ 8)2 P(A1)P(A2 A1) P(A2 )
定义
设 A , B 为两事件，若
P( AB) P( A)P(B)
则称事件 A 与事件 B 相互独立
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定义
三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立：
P( AB) P( A)P(B)
例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一 个变量来描述
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X
(
)
1, 0,
正面向上 反面向上
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.
e.
s
X(e) R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数 不一样。
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二、引入随机变量的意义
有了随机变量，随机试验中的各种事件，就 可以通过随机变量的取值来表达.
2020/6/7（正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度）
3．概率的频率定义
在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n 次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大 时，如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动， 而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动 的幅度越来越小，称数值p为事件A在这一组不 变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.
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定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样 本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的 概率为：
A包含的样本点数
P(A)＝k/n＝
S中的样本点总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古 典方法 .
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
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三.概率的频率定义
求 P(A1) , P(A2), P(A2 A1), P( A2 A1) ,
解 P(A1) 3/ 8 P(A2),
P(A2 A1) 3 / 8,
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P(A2 A1) 3/ 8, P( A2 A1) P( A2 ) P( A2 A1)
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响
P( AC) P( A)P(C)
(1)
P(BC) P(B)P(C)
P( ABC) P( A)P(B)P(C) (2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj ), 1 i j n P(Ai Aj Ak ) P(Ai )P(Aj )P(Ak ), 1 i j k n
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
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三．全概率公式
定理 事件B1,…Bn,为样本空间的一个划分则对任 何事件A，均有
n
P( A) P(Bi )P( A | Bi )
i 1
上式称为全概率公式.
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§1.4 事件的独立性
一．事件的独立性
例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取 球两次，设第 i 次取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .