概率论总复习
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解 令 A 灯泡能用到1000小时, B 灯泡能用到 1500小时
所求概率为
PB
A
P( AB) P( A)
P(B) P( A)
0.4 0.8
1 2
2020/6/7
B A
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n
Bi S
P( AC) P( A)P(C)
(1)
P(BC) P(B)P(C)
P( ABC) P( A)P(B)P(C) (2)
2020/6/7
定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj ), 1 i j n P(Ai Aj Ak ) P(Ai )P(Aj )P(Ak ), 1 i j k n
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
2020/6/7
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样 本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的 概率为：
A包含的样本点数
P(A)＝k/n＝
S中的样本点总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古 典方法 .
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2020/6/7
三.概率的频率定义
（或出现）。事件A发生也称为事件A出现。
2020/6/7
例 给出一组随机试验及相应的样本空间
E1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
S {0,1,2,3}
有限样本空间
E2 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数
S {0,1,2,3, , N }
可列样本空间
E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一 个变量来描述
2020/6/7
X
(
)
1, 0,
正面向上 反面向上
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.
e.
s
X(e) R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数 不一样。
2020/6/7
二、引入随机变量的意义
有了随机变量，随机试验中的各种事件，就 可以通过随机变量的取值来表达.
2020/6/7
§1.3 条件概率 定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则
PB A P(AB)
P( A)
称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件 概率.
2020/6/7
例3 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为 0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小 时的灯泡能用到1500小时的概率
求 P(A1) , P(A2), P(A2 A1), P( A2 A1) ,
解 P(A1) 3/ 8 P(A2),
P(A2 A1) 3 / 8,
2020/6/7
P(A2 A1) 3/ 8, P( A2 A1) P( A2 ) P( A2 A1)
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响
可视为事件A1与A2相互独立
P(A1A2 ) (3/ 8)2 P(A1)P(A2 A1) P(A2 )
定义
设 A , B 为两事件，若
P( AB) P( A)P(B)
则称事件 A 与事件 B 相互独立
2020/6/7
定义
三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立：
P( AB) P( A)P(B)
2020/6/7（正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度）
3．概率的频率定义
在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n 次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大 时，如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动， 而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动 的幅度越来越小，称数值p为事件A在这一组不 变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
2020/6/7
三．全概率公式
定理 事件B1,…Bn,为样本空间的一个划分则对任 何事件A，均有
nFra Baidu bibliotek
P( A) P(Bi )P( A | Bi )
i 1
上式称为全概率公式.
2020/6/7
§1.4 事件的独立性
一．事件的独立性
例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取 球两次，设第 i 次取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .
S {( x, y) T1 x y T2}
无限样本空间
2020/6其/7 中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
§1-2 事件的概率
一.古典概型
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
称这种试验为古典型试验，简称古典概型.
2020/6/7
二． 样本空间与随机事件
1. 样本空间 实验E的所有可能结果构成的集合，称为E的样
本空间，用S表示. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.
2020/6/7
2. 随机事件
定义
一般将样本空间的子集称为随机事件。
随机事件用大写字母A，B，C表示.
事件的发 生
在一次试验中，事件A发生的含义是，当 且仅当A中一个样本点(或基本事件)发生
概率论与数理统计复习
引言
2020/6/7
第一章 随机事件与概率 §1.1 样本空间与随机事件
一 .随机试验:
对随机现象进行一次观察和实验，统称为随机试验。
随机实验简称为实验，用E 表示
特点:（1）实验可以在相同的条件下重复进行；（2） 实验的全部可能结果不止一个，并且在实验之前能够明 确知道所有的可能结果;（3）每次实验必发生全部可能 结果中的一个且仅发生一个
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 ) P( An )
常由实际问题的意义 判断事件的独立性
2020/6/7
第二章 随机变量及其分布
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工 具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同 结果.
例 电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个 变量 X 来描述
所求概率为
PB
A
P( AB) P( A)
P(B) P( A)
0.4 0.8
1 2
2020/6/7
B A
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n
Bi S
P( AC) P( A)P(C)
(1)
P(BC) P(B)P(C)
P( ABC) P( A)P(B)P(C) (2)
2020/6/7
定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj ), 1 i j n P(Ai Aj Ak ) P(Ai )P(Aj )P(Ak ), 1 i j k n
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
2020/6/7
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样 本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的 概率为：
A包含的样本点数
P(A)＝k/n＝
S中的样本点总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古 典方法 .
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2020/6/7
三.概率的频率定义
（或出现）。事件A发生也称为事件A出现。
2020/6/7
例 给出一组随机试验及相应的样本空间
E1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
S {0,1,2,3}
有限样本空间
E2 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数
S {0,1,2,3, , N }
可列样本空间
E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一 个变量来描述
2020/6/7
X
(
)
1, 0,
正面向上 反面向上
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.
e.
s
X(e) R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数 不一样。
2020/6/7
二、引入随机变量的意义
有了随机变量，随机试验中的各种事件，就 可以通过随机变量的取值来表达.
2020/6/7
§1.3 条件概率 定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则
PB A P(AB)
P( A)
称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件 概率.
2020/6/7
例3 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为 0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小 时的灯泡能用到1500小时的概率
求 P(A1) , P(A2), P(A2 A1), P( A2 A1) ,
解 P(A1) 3/ 8 P(A2),
P(A2 A1) 3 / 8,
2020/6/7
P(A2 A1) 3/ 8, P( A2 A1) P( A2 ) P( A2 A1)
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响
可视为事件A1与A2相互独立
P(A1A2 ) (3/ 8)2 P(A1)P(A2 A1) P(A2 )
定义
设 A , B 为两事件，若
P( AB) P( A)P(B)
则称事件 A 与事件 B 相互独立
2020/6/7
定义
三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立：
P( AB) P( A)P(B)
2020/6/7（正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度）
3．概率的频率定义
在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n 次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大 时，如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动， 而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动 的幅度越来越小，称数值p为事件A在这一组不 变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
2020/6/7
三．全概率公式
定理 事件B1,…Bn,为样本空间的一个划分则对任 何事件A，均有
nFra Baidu bibliotek
P( A) P(Bi )P( A | Bi )
i 1
上式称为全概率公式.
2020/6/7
§1.4 事件的独立性
一．事件的独立性
例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取 球两次，设第 i 次取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .
S {( x, y) T1 x y T2}
无限样本空间
2020/6其/7 中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
§1-2 事件的概率
一.古典概型
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
称这种试验为古典型试验，简称古典概型.
2020/6/7
二． 样本空间与随机事件
1. 样本空间 实验E的所有可能结果构成的集合，称为E的样
本空间，用S表示. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.
2020/6/7
2. 随机事件
定义
一般将样本空间的子集称为随机事件。
随机事件用大写字母A，B，C表示.
事件的发 生
在一次试验中，事件A发生的含义是，当 且仅当A中一个样本点(或基本事件)发生
概率论与数理统计复习
引言
2020/6/7
第一章 随机事件与概率 §1.1 样本空间与随机事件
一 .随机试验:
对随机现象进行一次观察和实验，统称为随机试验。
随机实验简称为实验，用E 表示
特点:（1）实验可以在相同的条件下重复进行；（2） 实验的全部可能结果不止一个，并且在实验之前能够明 确知道所有的可能结果;（3）每次实验必发生全部可能 结果中的一个且仅发生一个
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 ) P( An )
常由实际问题的意义 判断事件的独立性
2020/6/7
第二章 随机变量及其分布
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工 具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同 结果.
例 电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个 变量 X 来描述