定积分的几个简单应用
定积分在几何和物理中的应用
定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。
在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。
一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。
我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。
这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。
二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。
比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。
对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。
我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。
四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。
举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。
考研数学定积分的应用
考研数学定积分的应用一、引言数学定积分是高等数学中的重要概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从几个具体的应用案例入手，探讨考研数学定积分的应用。
二、面积计算数学定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，在工程测量中，我们经常需要计算某个区域的面积，如果该区域的边界曲线可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。
通过将曲线分割成无穷多个微小的矩形，计算每个矩形的面积并进行累加，最终得到所需的面积。
三、物体体积计算除了计算面积，数学定积分还可以用于计算物体的体积。
在工程设计中，经常需要计算复杂形状物体的体积，例如水库的容量、建筑物的体积等。
如果物体的截面可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。
同样地，将截面分割成无穷多个微小的面元，计算每个面元的体积并进行累加，最终得到所需的体积。
四、质心计算质心是物体在空间中的重心，对于复杂形状的物体，质心的计算可以通过数学定积分来实现。
首先，将物体分割成无穷多个微小的体积元，计算每个体积元的质量并与其质心坐标乘积，然后进行累加，最后将总质量除以总体积，即可得到质心的坐标。
五、弯曲杆件的弯矩计算在工程力学中，常常需要计算弯曲杆件的弯矩分布，以确定结构的稳定性和安全性。
通过数学定积分，可以将杆件分割成无穷多个微小的弯曲段，计算每个弯曲段的弯矩，并进行累加，最终得到整个杆件的弯矩分布。
六、概率密度函数计算概率密度函数是概率论与数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的概率分布。
数学定积分可以用于计算概率密度函数的各种性质，例如求解期望值、方差以及其他统计指标。
通过对概率密度函数进行定积分，可以得到具体的数值，从而进行概率分析和决策。
七、总结本文简要介绍了考研数学定积分的几个应用，包括面积计算、物体体积计算、质心计算、弯曲杆件的弯矩计算以及概率密度函数的计算。
这些应用充分展示了数学定积分在实际生活和工程领域中的重要性和广泛应用。
通过学习和掌握数学定积分的应用技巧，可以更好地理解和应用数学知识，提高问题解决能力。
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
定积分在几何学上的应用
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
yx4
y2 2x
选 y为积分变量 y[2,4]
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
整理ppt
6
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3
.
整理ppt
21
2
2
2
例 9 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a32
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
整理ppt
22
25
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
0
2ax12(y)dt
0
a2(tsit)n 2asitn dt 2 a2(tsit)n 2asitn dt 0
0
整理ppt
28
例 求曲线 y3x21 与 x 轴围成的封闭图形
定积分的几何应用例题
定积分的几何应用例题定积分，又称定积分法，是一种求取特定函数积分的方法，它是集概率论、统计学和运筹学于一体，是微分几何学中的重要内容。
它在微分几何中一般用来求取曲面积、表面积、空间积分、距离长度等。
下面将介绍几个典型的定积分的几何应用例题，以便读者更好的理解定积分的几何应用。
例题一：求抛物线y=x2的截面积，其中抛物线两端上的y值分别为a和b。
答：这里的抛物线的截面积S=∫a b x2dx。
因此，将原积分变形可得S=(1/3)∫a b (x3+a3-b3)dx，于是，将积分变量替换，此时，S=(1/3)[(b3-a3)/2]。
例题二：求圆柱体的体积，其中圆柱体的底面半径为a，高度为h。
答：首先，将圆柱体拆成无穷多个小圆柱体，那么，圆柱体的体积V=∫0 hπa2dh。
将原积分变形可得V=πa2∫0 hdh=(πa2h2)/2，可见，圆柱体的体积大小取决于高度h和底面半径a的平方乘积。
例题三：求圆锥的表面积，其中圆锥的底面半径为a，高度为h，底面圆心角为2α。
答：此时，圆锥的表面积S=∫0 hΠa2sindαdh，将原积分变形可得S=Πa2∫0 hsindαdh=(2Πahcosα)/2，可以得出，圆锥的表面积大小取决于高度h、底面半径a以及底面圆心角2α因此，定积分在几何学中具有重要意义，可以求出各类几何体的表面积、体积等，解决实际问题。
上面提供了典型的定积分的几何应用例题，可以让读者对定积分的几何应用有一个深入的理解。
定积分的计算方法广泛，不仅可以采用数值积分法，还可以采用把积分分解为若干小段然后求和的方法。
同时，它还可以利用积分变量的变换，把定积分变为求解较为容易的积分，可以较好地解决实际问题。
总之，定积分是一门极其重要的数学科学，在几何学和实际问题中都有重要的应用，使用正确的计算方法，可以较好地解决实际问题。
定积分的应用体积
定积分的应用体积
定积分是数学中的一种基本概念，用于计算曲线下的面积或曲线围成的体积。
其中，定积分的应用体积主要有以下几种情况：
1. 计算曲线围成的体积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线围成的体积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线围成的体积可以表示为：
V =∫[a,b] f(x)dx
其中，a和b是曲线的两个端点，f(x)是曲线的方程。
通过对曲线围成的体积进行积分，可以得到曲线围成的体积。
2. 计算旋转体的体积：旋转体是指通过将一个平面曲线围绕一个轴旋转而得到的立体。
如果已知旋转体的旋转轴和曲线方程，可以使用定积分来计算旋转体的体积。
具体来说，旋转体的体积可以表示为：
V = ∫[a,b] r2 d A
其中，a和b是旋转轴上的两个点，r是曲线在该点处的半径，d A是曲线在该点处的微小面积。
通过对旋转体的体积进行积分，可以得到旋转体的体积。
3. 计算曲线下的面积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线下的面积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线下的面积可以表示为：
A = ∫[a,b] f(x)dx
通过对曲线下的面积进行积分，可以得到曲线下的面积。
定积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
它可以用于计算曲线下的面积、曲线围成的体积以及曲线在一定区间内的累积量等问题。
1.7定积分的几何应用
2
2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组 x 0 x 1 y x 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
y xx
2
B
2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲 边 梯 形 OABC - S曲 边 梯 形 OABD
B(1，－ 1)． ∴围成图形 (阴影部分 )面积为
S＝
-2
1
(－ x2－ x＋ 2)dx 9 ＝ . 2
1 3 1 2 ＝ (－ x － x ＋ 2x) 3 2
9 答案： (1) 2
例 2 计算由曲线 y 围成的图形的面积.
2x
，直线 y
x 4 以及
y 2x
x 轴所
解:
两曲线的交点
2
|0 8
8
X型求解法
40 3
x 1 2 y
2
16 2 8
1 2
3
2
[( 4 y )
y ]d y
4
(4 y
44
1 2 1
2
y
2
2
1 6
x 4 y
y ) |0
1 6
3
4
4
40 3
Y型求解法
练习 1（例 2 变式题） ： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成的图形的面积
2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2 解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝ 1－ x2，∴ S＝ 1 3 1 1 4 1 2 ＝ (1－ )－(－ 1＋ )＝ . -1 (1－ x )dx＝ (x－3x ) 3 3 3
第五章 定积分的几何应用
) ( r r
d
例 5
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 部分面积
A 4A1
y x
2 a 2 cos 2
A 40
4
1 2 a cos 2d a 2 . 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的 面积 (a 0).
小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积. 求旋转体的体积
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
思考题
1. 设 曲 线 y f ( x ) 过 原 点 及 点( 2,3) ， 且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线 上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平 行线与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一 条平行线与 y 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积的 两倍，求曲线方程.
练习题答案 32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 4、y ； 5、 e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 a ； 2 6 5 3 2 2 4、3a ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
其上相应的窄条左、右曲边分别为 1 2 x y ,x y4 2 4 1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化
上述问题的一般情况是
d
y
x ( y)
定积分在几何中的应用
782020年第 5 期中定积分在几何中的应用杨姜维一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲线（）与直线及轴所围成的平面图形面积为，则面积元素，面积。
例1：求曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积=2.设曲线与直线及轴所围成的图形面积为，则面积元素，面积。
3.设由，所围成的平面图形的面积：函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公式，也可以看作是，轴即直线。
例2：求直线与抛物线所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点面积元素，图形面积4.任意由所围成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物线，与轴及直线在第一象限所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由交点面积+（二）以为积分变量的情形1.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
2.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
3.由曲线直线及轴围成的平面图形面积：若，。
可看作是函数由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积的几种情形，即分别以为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕轴和轴旋转一周所得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／教海探航解：如图5，由交点为方便计算，选取为积分变量，则有4.任意由曲线直线及轴围成的平面图形面积：。
二、旋转体的体积一个平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见的旋转体有圆柱体、圆锥、圆台、球体等,这些都有对应的体积公式，面对日常生活中所用到的水杯、花瓶等立体物件，求解体积时可考虑以下情况：（一）曲线绕轴旋转的情形由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
（二）曲线绕轴旋转的情形由曲线、直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
- 1 -。
1.7.1 定积分在几何中的简单应用
a
O a
b
f (x )d x f (x )d x
a
c
b
a
b
f (x )d x -S f (x )d x
a
c
f
c
f (x )d x 。
c
yf (x)
b x
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成
的曲边梯形位于 x 轴的下方，
一、复习回顾
2、牛顿—莱布尼茨公式
2 2
-1
O
1A
x
-1
＝
2 3
3
1
x
2
0
1 3
x
3
1 0
＝
2 3
-
1 3
＝
1 3
归纳
定 积 分 的 简 单 应 用
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积 （3）确定被积函数及积分区间 （4）计算定积分，求出面积
四、例题实践求曲边形面积
1.7.1定积分在几何中的简单应用
定 积 分 的 简 单 应 用
一、复习回顾 1、定积分的几何意义：
当 f(x ) 0 时 ， 积 分
a f ( x ) dx
b
在 几 何 上 表 示 由 y = f (x )、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x) O a b y
x
b
思考
如图, 一桥拱的形状为抛 定 积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b. 的 2 简 求证: 抛物线拱的面积 S bh 3 单 应 用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
定积分在几何上的应用 主要是平面几何、立体几何和弧长
定积分在几何上的应用非常广泛，主要包括平面几何、立体几何和弧长三个方面。
在平面几何中，定积分可以用来求解面积。
例如，如果有一个曲线y=f(x)，那么这条曲线与x轴所夹的面积可以通过对f(x)在x的某个区间[a,b]上进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解平面图形的面积，比如矩形、圆形、椭圆形等。
在立体几何中，定积分可以用来求解体积。
例如，如果有一个旋转体，它的基圆半径为r，高为h，那么这个旋转体的体积可以通过对基圆的周长进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解其他形状的体积，比如球体、圆锥体、圆柱体等。
在弧长方面，定积分也有应用。
例如，如果有一条曲线的长度为s，那么这条曲线的长度可以通过对曲线的斜率进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解其他形状的长度，比如圆弧、摆线等。
总的来说，定积分在几何上的应用非常广泛，它可以用来解决各种与几何量有关的计算问题。
6.定积分的几何应用
x + dx b
x
小切线段的长 (dx )2 + (dy )2 = 1 + y′ 2 dx
′ 2 dx 弧长 s = 弧长元素 ds = 1 + y 1 + y′ 2 dx . ∫
b a
2 3 例 7 计算曲线 y = x 2 上相应于 x 从 a 到 b 3
的一段弧的长度. 的一段弧的长度
解
∵ y′ = x ,
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 倍第一象限 部分面积
A = 4A1
y= x
ρ 2 = a 2 cos 2θ
1 2 A = 4∫0 a cos2θdθ = a2 . 2
4
π
例 6 求心形线r = a (1 + cos θ )所围平面图形的 面积 (a > 0).
解
dθ
1 2 2 dA= a (1+ cos ) dθ θ 2
2π
的周长. ( 0 ≤ t ≤ 2π) 的周长
s1 = ∫ =∫
0
0
′ 2 dx 1+ y 1 + a 2 cos 2 xdx 1 + a cos xdx ,
2 2
2π
= 2∫
π
0
设椭圆的周长为 s2
s2 =
∫0
π
π
2π
(x ′ )
2
2
+ ( y ′ ) dt ,
2
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
x = r (θ ) cosθ ∵ y = r (θ ) sinθ
2 2
(α ≤ θ ≤ β )
= r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ , ∴ ds = (dx ) + (dy )
高等数学课件：元素法定积分在几何学上的应用(1)
2.平行截面面积已知的立体的体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
则对应于小区间
的体积元素为
因此所求立体体积为
上连续.
取 x 为积分变量,
切 片 法
计算该平面截圆柱体所得立体的体积.
x
交成 角，
一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,
并与底面
例10.
作垂直于 x 轴的截面.
则
(2) 绕 y 轴旋转,
取 y 为积分变量
a = b 时, 得半径为 a的球体的体积
例9. 计算由曲线
及直线
图形绕 y 轴旋转而成的立体的体积.
解：绕 y 轴旋转,
取 y 为积分变量，则
所围成的
图形绕 y 轴旋转而成的立体的体积.
图形绕 y 轴旋转而成的立体体积.
则体积元素为
因此所求体积为
定积分在几何学上的应用(1)
一、元素法
二、平面图形的面积
三、立体的体积
1 曲边梯形面积的求法:
分割 近似 求和 取极限
一 、元素法
分割:
近似:
求和 取极限：
面积元素 记作
(1)
选取积分变量,
如选取 x ,
并确定其变化区间
在[a ,b]上选取任一小区间
(2)
任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
设
曲边扇形的面积.
对应 从 0到2
例5 计算阿基米德螺线
解:
的一段弧与x轴所围成的图形的面积.
例6. 计算心形线
围成图形的面积.
解:
(利用对称性)
由一个平面图形绕这平面内
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。
在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。
接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。
1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。
公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。
2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。
考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。
公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。
3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。
设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。
公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。
4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。
设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。
同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。
曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。
以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。
在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。
定积分的物理应用
定积分的物理应用在物理学中，定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
定积分可以用于求解某一物理量在给定范围内的总量、平均值、功率等问题，为理解和解决物理问题提供了强大的数学支持。
本文将探讨定积分在物理学中的几个典型应用。
一、质点运动中的位移和路径长度在物理学中，研究质点在空间中的运动是一项基础工作。
定积分可以用来计算质点在一段时间内的位移和质点沿着某一曲线运动的路径长度。
假设质点在一维坐标轴上运动，位移是计算质点所在位置与初始位置之间的距离差。
可以用定积分来描述质点在一段时间内的位移，其计算公式为：\[ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]其中，v(t)表示质点运动的速度函数，t1和t2表示计算位移的时间段。
路径长度是描述质点沿着某一曲线运动的总距离。
即使质点速度在不同位置的大小和方向都不同，也可以通过定积分来计算路径长度。
计算公式如下：\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[dx(t)]^2 + [dy(t)]^2 + [dz(t)]^2} \]其中，x(t)、y(t)、z(t)分别表示质点在x轴、y轴和z轴上的位置函数。
二、力学中的功和能量在力学中，定积分可以用来计算力学系统中的功和能量。
功是描述力对物体做功的量，可以通过定积分来计算。
在一维情况下，力对物体做功的公式为：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx \]其中，F(x)表示作用在物体上的力，x1和x2表示计算功的位置范围。
能量是物理系统的重要性质，也可以通过定积分来计算。
例如，在弹簧振子系统中，弹性势能可以用以下定积分表示：\[ E = \frac{1}{2} \int_{x_1}^{x_2} kx^2 dx \]其中，k表示弹簧的弹性系数，x1和x2表示弹簧伸缩的位置范围。
三、流体力学中的流量和质量在流体力学中，定积分可以用来计算流体在一定时间内通过某一截面的流量和质量。
定积分的几何应用(体积))
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a3
2
x3
3
x[a,a]
a
o
ax
旋转体的体积
a 2 23
a 2 23
V a
a3x3dx2
0
a3x3dx
32 a3. 105
星形线
x y
a cos3 t a sin3 t
或
2
2
2
x3 y3 a3 (a0)
星形线是内摆线的一种.(当小圆在圆内沿圆周滚动
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
Vy
2a
π
0
x22 ( y) d
y
2a 0
π
x12
(
y)
d
y
x x1( y)
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
0
6π3a3
2 a 32 (t sit)n 1 ( cto )2 d st63a3. 0
注：
Vy
2 a 32 (t sit)n 1 ( cto )2 d st 0
8 π a3
2π
(t
sin
t) sin 4
t
d
t
0
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
b
大一上 高数A 定积分的几何应用
x = b 所围成。 所围成。
bdx
面积表示为定积分的步骤如下
） 的小区间， （1）把区间[a , b]分成n 个长度为 ∆x i 的小区间， 个小窄曲边梯形， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形， i 第 小窄曲边梯形的面积为∆Ai ，则 A = ∑ ∆Ai .
三、某些立体的体积
1. 平行截面面积为已知的立体的体积 已知平行截面面积为 A(x)的立体 dV=A(x)dx 的立体
.
V =
∫
b
a
A ( x )d x
A(x)
a
x
V
V =
b
x
已知平行截面面积为 A(y)的立体 的立体
∫
d
c
A ( y )d x
半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 例7. 半径为 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成α角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
1
3
1
2
例 2
计算由曲线 y = x 3 − 6 x 和 y = x 2 所围成
y = x3 − 6x
的图形的面积. 的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x3 − 6x y = x2
⇒ (0,0), ( −2,4), ( 3,9).
y = x2
− 选 x 为积分变量 x ∈ [−2, 3] (1) x ∈ [−2, 0], dA1 = ( x 3 − 6 x − x 2 )dx ( 2) x ∈ [0,3], dA2 = ( x 2 − x 3 + 6 x )dx
o a x x + dx x b
） （1）U 是与一个变量 x 的变化区间[a, b ]有关 的量； 的量；
定积分的应用--简单几何体的体积
11
结论 2
旋转体由曲线x=(y), ya, yb
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b((y))2dy bx2dy
a
a
精品文档
12
探究3 设两抛物线yx22x,yx2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V？
精品文档
13
2. 5
2
y x2
1. 5
1
0. 5
fx = -x2+2x
a
精品文档
6
旋转轴是 x 轴的旋转体的体积公式是 V＝πb[f(x)]2dx(a＜b)．
a
精品文档
7
结论 1
由y f (x)，xa,xb和x轴围
成的平面图形绕x轴旋转一周，则
V=
b
2
(f (x)) dx
b y2dx
a
a
精品文档
8
练习： 一个半径为 1 的球可看作由曲线y 1x2
与 x 轴所围成的区域（半圆）绕 x 轴旋转一周得到 的，求球的体积。
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
精品文档
16
gx = x2
-2
-1
1
2
3
4
-0. 5
yx2 2x
-1
精品文档
14
-1. 5
结论 3
探由y f (x)2和y g(x)2所
围成的图形为M，将M绕
x轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体
的 体 积 V
b
[
f
(
x)2
g
(x)2
]d x
定积分的几何应用总结 知乎
定积分的几何应用总结
对于定积分的几何应用，以下是一些常见的总结：
1.面积计算：定积分可以用于计算曲线与x轴之间的有界区
域的面积。
将曲线或曲线组合表示为函数，并将其积分，
可以得到该区域的面积。
2.弧长计算：曲线的弧长是曲线沿着x轴或y轴的长度。
通
过使用定积分，可以计算曲线的弧长，将其表示为函数，
并应用弧长的求和公式来获得结果。
3.体积计算：通过将曲线或曲面绕着轴旋转，可以使用定积
分来计算所得到的旋转体的体积。
例如，旋转一条曲线或
一个区域围绕x轴或y轴旋转，可以使用定积分来计算所
得到的圆柱体或圆锥体的体积。
4.重心和质心计算：通过将物体划分为无穷小的微元，并使
用定积分来计算每个微元的质量，可以计算出物体的重心
和质心。
这对于研究物体的平衡和运动以及静力学方面很
有用。
5.曲线长度计算：通过将曲线表示为参数方程或极坐标方程，
并使用定积分来计算微元曲线的长度，可以得到整个曲线
的长度。
这些是定积分的一些常见几何应用示例，但实际上，定积分在几何学中还有更多的应用。
它们在计算和描述曲线、平面和空间几何形状的属性时起着关键作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分的几个简单应用
一、定积分在经济生活中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．
例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．
解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是
dq q )5015.065(10000
0--⎰
10000023
)
1.015(q q -=
50000=，
所求消费者剩余为50000元．
例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．
解 所求的总产量为
⎰⎰+='=10
5105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)
640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限
例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123
lim ．
解 n
n n n n n n n k n k 12111123
+++=∑= )21(1n n n n n +++=
． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有
∑=∞→n k n n k 12
3lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑
=∞→． 解 212213)(11n k n
k n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有
2213lim k n n k n k n -∑=∞→3
1)1(311102321
02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．
例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：
⎰⎰
+≥b a
b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x x
a x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且
)(2
)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2
))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2
ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以
0)()(=≥a x ϕϕ，
取b x =得
⎰⎰+≥b a b
a dx x f
b a dx x xf )(2
)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。