22.9(1)平面向量的减法
平面向量的减法运算
AB BC AD DB _B_C___ MD MN MP DP _M__N__
AM AN MGGE _N__E__ ABCD AC BD __0____
如图所示，在平行四边形ABCD中，设
AB
a
，AD
b，试用
a
，b表示向量
AC、
BD 、DB。
D
C
b
A
a
B
平面向量的数乘运算
a
b
b
b
a
b
a
a
b
a
2、快速抢答：
AB AD __D_B___
OB OC DB _C__D__
BA BC ___C_A__
OA OC BO CO __B_A__
OAOB __B_A__
AB AC BD DC __0___
NQ QP MN MP __0___ AB BC DC DA __0___
1.三角形法则：
a
b
（首尾相接，首指向尾）
平 面
ab
向
量
的
2.平行四边形法则： （同个起点，所夹对角线）
a
ab
b
加 法
平面向量的减法
数量中的减法：5-3=2 也可以看做 5+（-3）=2 即 减去一个数可以看做加上这个数的相反数
类比：减去一个向量可以看做加上这个向量的负向量
向量中的减法： a b OA OB OA ( OB) OA BO BA
B
A
C
a b AB AC CB
例1
已知如图所示向量
a
、b
，请
b
B
a
A
a b
例2 化简：
⑴ OD OA
22.9平面向量的减法
22.9平面向量的减法一、知识归纳:1向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.彳j 呻 4减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即： a_b=a ・（_b ）. 2. 向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减 向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.3. 向量加法的平行四边形法则4 4如果a , b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点 为公共起点作两个向量与 a , b 相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以 所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是 4 4a ,b 的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则.4.另外一个对角线向量，即是 a , b 的差向量，这个差向量与被减向量共终点二、练习A i.C^ -C A= _________T 2.BC —BA —AD =3. DE T T T -CE - DC + AB =T T T T5. BC - BA + DA + AD = ________ .—t —f —t6. AB - AD - DC = ______ .T T T T7. AB -CD +BD — AC = _________T T9.平行四边形 ABCD 中, CD - DA =10.平行四边形 ABCD 中, T T T AC - AD +CB =4. A B + BA - BC = 8.平行四边形ABCD 中,T T AB _ DA= ________ T TAB - AD= _________T 4 —j 4 4 4AB = a , BC —b .试用向量a 和b 表示向11.如图，多边形 ABCDEF 是正六边形，设 T —t — 量 OA , OC , OE . BA EOT T T T T T13.已知：向量a、b、c，求作：a-b-c.三、练习BTTTT —f —i —i —i1.已知：向量a、b、c、d，求作：a - b • c - d2.已知：在△ ABC中, AD是BC的中线。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
平面向量的基本运算知识点总结
平面向量的基本运算知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，它是具有大小和方向的量。
在代数表示中，可以使用向量的分量或坐标表示。
平面向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法和数量除法。
本文将对这些运算进行总结并给出相应的示例。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设 A 和 B 分别为两个向量，则它们的和向量 C 的分量满足以下关系：Cₓ = Aₓ + BₓCᵧ = Aᵧ + Bᵧ示例：已知向量 A = (2, 3) 和 B = (4, -1)，求其和向量 C = A + B。
解：Cₓ = 2 + 4 = 6Cᵧ = 3 + (-1) = 2因此，C = (6, 2)。
二、向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
向量的减法可以视为向量加法的逆运算。
设 A 和 B 分别为两个向量，则它们的差向量 C 的分量满足以下关系：Cₓ = Aₓ - BₓCᵧ = Aᵧ - Bᵧ示例：已知向量 A = (2, 3) 和 B = (4, -1)，求其差向量 C = A - B。
解：Cₓ = 2 - 4 = -2Cᵧ = 3 - (-1) = 4因此，C = (-2, 4)。
三、数量乘法数量乘法指的是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设向量 A 为一个向量，k 为一个实数，则数量乘法的结果向量 B 的分量满足以下关系：Bₓ = k * AₓBᵧ = k * Aᵧ示例：已知向量 A = (2, 3)，求其数量乘法的结果向量 B = 2A。
解：Bₓ = 2 * 2 = 4Bᵧ = 2 * 3 = 6因此，B = (4, 6)。
四、数量除法数量除法指的是将一个向量的每个分量都除以一个实数得到一个新的向量。
设向量 A 为一个向量，k 为一个非零实数，则数量除法的结果向量 B 的分量满足以下关系：Bₓ = Aₓ / kBᵧ = Aᵧ / k示例：已知向量 A = (4, 6)，求其数量除法的结果向量 B = A / 2。
平面向量加减法口诀
向量的加法口诀： 首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的和向量。
二、向量的减法两向量做减法运算，图像如下图所示：向量的减法口诀： 首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量。
向量的学习是高一数学必修四第二章的内容，要求同学们会向量的基本运算，其中就包括加法、减法、数乘。
要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算，学会运用图像解决向量加减法，向量的数乘等问题。
向量的相关题目难度也不是很大，只要大家认真学习，认真做好笔记，认真做做题目，总结做题规律，那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识，做起来也很顺手，再细心点的话，得满分也没有问题。
学习方法很多，重要的事找到适合自己的方法，当然适合自己方法就是最好的方法。
附一；三角形定则解决向量加减的方法将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
注:两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同;差向量的终点指向被减向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.。
苏科版八年级上册数学知识点
苏科版八年级上册数学知识点重视数学公式。
有很多人数学学不好就是因为对概念和公式不够重视，表现为对数学概念的理解只是停留在表明，不去理解消化，对数学概念的特殊情况不明白。
下面是整理的苏科版八年级上册数学知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
苏科版八年级上册数学知识点一次函数一次函数的概念1.一般地，解析式形如ykxb(kb是常数,k0)的函数叫做一次函数;一次函数的定义域是一切实数2.一般地，我们把函数yc(c为常数)叫做常值函数一次函数的图像1.列表、描点、连线2.一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距3.一般地，直线ykxb(kb是常数,k0)与y轴的交点坐标是(0，b)，直线的截距是b4.一次函数ykxb(b≠0)的图像可以由正比例函数ykx的图像平移得到当b0时，向上平移b个单位，当b0时，向下平移b的绝对值个单位5.一元一次不等式与一次函数之间的关系(看图)一次函数的性质1.一次函数ykxb(kb是常数,k0)具有以下性质：当k0时，函数值y随自变量x的值增大而增大当k0时，函数值y随自变量x的值增大而减小①如图所示，当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);②如图所示，当k0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);③如图所示，当k﹤O，b0时，直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).20.4一次函数的应用1.利用一次函数及图像解决实际问题四边形多边形1.由平面内不在同一直线上的一些线段收尾顺次联结所组成的封闭图形骄傲做多边形2.组成多边形每一条线段叫做多边形的边;相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点3.多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角4.对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余个边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形;否则叫做凹多边形5.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°6.多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角7.对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有的外角的和叫做多边形的外角和8.多边形的外角和等于360°平行四边形1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;用符号2.(1)性质定理1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等简述为：平行四边形的对边相等(2)性质定理2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等简述为：平行四边形的对角相等(3)夹在平行线间的平行线段相等(4)性质定理3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分(5)性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点3.(1)判定定理1：如果一个四边形两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(2)判定定理2：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(3)判定定理3：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形(4)判定定理4：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形特殊的平行四边形1.有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形2.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形3.矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角2：矩形的两条对角线相等菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角4.矩形的判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形2.：对角线互相垂直的平行四边形是菱形5.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形6.正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形2：有一个内角是直角的菱形是正方形7.正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等2：正方形的两条对角线相等，并互相垂直，每条对角线平分一组对角22.4梯形1.一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形2.梯形中，平行的两边叫做梯形的底(短—上底;长—下底);不平行的两边叫做梯形的腰;两底之间的距离叫做梯形的高3.有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形4.两腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形1.等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底商的两个内角相等2.性质定理2.：等腰梯形的两条对角线相等3.等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形4.判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形三角形、梯形的中位线1.联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半3.联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线4.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半平面向量1.规定了方向的线段叫做有向线段，有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向2.既有大小。
高中一年级下学期数学《平面向量的运算—向量的减法运算》教案
《平面向量的运算-减法运算》教案【教学目标】1、知识与技能：掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；2、过程与方法：通过类比相反数，得到相反向量的概念的过程，提升学生的逻辑推理、数学抽象核心素养，掌握向量减法的运算的方法，提升学生的数学运算核心素养；3、情感态度价值观：通过本节的学习，培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣。
【教学重难点】重点：向量减法的运算和几何意义；难点：减法运算时差向量方向的确定。
【教学方法】讲授法【教学用具】多媒体【教学过程】一、提出问题在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”。
类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？二、向量的减法及运算法则1、相反向量：与向量a→长度相等，方向相反的向量，叫做a →的相反向量，记作−a→ 。
性质：（1）−（−a →）=a→； （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量，即−0→=0→； （3）a →+（−a →）=（−a →）+a →=0→ （4）如果a →，b →互为相反向量，那么a →=−b →，b →=−a →，a →+b →=0→ 2、向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。
a →－b →=a →+（－b →） 即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
a →－b →叫做a →与b→的差。
向量的差仍为向量探究：向量减法的几何意义是什么？向量减法的几何意义是：a →－b →可以表示为从向量b →的终点指向向量a →的终点的向量。
作法：共起点，连终点，箭头指向被减向量。
问：如图，红色向量表示什么？思考：若向量a →，b →共线，怎样作出a →－b→？若a→，b →方向相同，则|a →−b →|=|a →|−|b →|（或者|b →|−|a →|） 若a →，b →方向相反，则|a →−b →|=|a →|+|b →|思考：若向量a →，b →不共线，怎样作出a →－b→？ 3、不共线三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之差小于第三边若a →、b →不共线时，||a →|−|b →||<|a →−b →|<|a →|+|b→| 探究： |a →−b →|,|a →|,|b→|之间的关系。
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算在数学中，平面向量是指具有大小和方向的有序对。
平面向量的基本运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
本文将为您详细介绍平面向量的基本运算。
一、加法运算平面向量的加法运算指的是将两个向量相加得到一个新向量。
设有向量A和向量B，其加法运算规则如下：A = (A1, A2)B = (B1, B2)则A + B = (A1 + B1, A2 + B2)在几何上，向量A表示从原点出发的箭头，向量B表示从同一起点出发的箭头，A + B则表示连接两个箭头的箭头，也就是从原点到终点的有向线段。
二、减法运算平面向量的减法运算指的是将一个向量减去另一个向量，得到一个新向量。
设有向量A和向量B，其减法运算规则如下：A = (A1, A2)B = (B1, B2)则A - B = (A1 - B1, A2 - B2)减法运算的结果是从向量A的终点指向向量B的终点所得到的向量，即连接两点的有向线段。
三、数量乘法平面向量的数量乘法指的是将向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新向量。
设有向量A和实数k，数量乘法运算规则如下：A = (A1, A2)k为实数则kA = (kA1, kA2)数量乘法运算的结果是改变向量的大小但不改变其方向。
四、点乘法平面向量的点乘法（也称为内积或数量积）是一种将两个向量相乘得到一个实数的运算。
设有向量A和向量B，其点乘法运算规则如下：A = (A1, A2)B = (B1, B2)则A·B = A1B1 + A2B2点乘法运算的结果是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。
五、运算性质1. 加法的交换律：A + B = B + A2. 加法的结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 减法的定义：A - B = A + (-B)4. 数量乘法的分配律：k(A + B) = kA + kB5. 数量乘法的结合律：(kl)A = k(lA)6. 点乘法的交换律：A·B = B·A7. 点乘法的结合律：(kA)·B = k(A·B)8. 点乘法与加法的分配律：A·(B + C) = A·B + A·C这些运算性质在解决平面向量运算的过程中起着重要的作用，可以简化运算过程，并帮助我们更好地理解向量的几何意义。
平面向量的加减法
uuur
这说明，在平行四边形ABCD中，uAuCur
uuur 所表示的向量就是AB 与
AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a；
(3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
即
uuur uuur uuur OA OB BA．
（7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
运算法则
已知a、b， a-b可以表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.
巩固知识 典型例题
向量加r 法r满足r交换r 律和r 结r 合律r ：r r r a b b a (a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该u船uur 的实际航行u速uur度．
创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到
达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行
A
走200 m到达学校（C处）（如
图）．王涛同学这两次位移的 总效果是从家（A处）到达了学
500m
C 200m
校（C处）．
位移uAuCur
叫做位移
uAuBur 与位移
22.9(2)平面向量的加减法：平行四边形法则
22.9（2）平面向量的加减法：平行四边形法则教学目标1．理解向量的减法，熟悉向量减法的三角形法则，2．理解向量减法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则. 3．通过向量加减法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则，加深体会化归思想.教学重点及难点1．理解向量减法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则，会通过作图的方法得出向量加减之后的向量.2．理解平行四边形法则.教学过程设计一、温故知新复习：向量的加减法（PPT展示）1．向量的加法法则：三角形法则；（首尾相接……）例如：已知向量,a b；求作a b+.2．向量的减法法则：三角形法则（同起点……）例如：已知向量,a b；求作a b-.3．减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量.4．零向量：模为0，方向任意.5．习题评析1：已知向量,,,--+.a b c d；求作a b c d技巧：可以考虑用向量加法的多边形法则.二、向量的加法的平行四边形法则：1． 例题1：已知□OACB,设,OA a OB b ==，试用向量a ，b 表示向量,OC AB .2． 向量加法的平行四边形法则：如果,a b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与,a b 相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是,a b 的和向量.——这个规定叫做向量加法的平行四边形法则.3． 另外一个对角线向量：即是,a b 的差向量，这个差向量与被减向量共终点.三、向量的加法的平行四边形法则运用举例（PPT 展示） 例1：作图：已知向量,a b ，平行四边形法则作图：a b +；a b -.例2：在一段宽阔的河道中，河水以40米/分的速度向东流去，一艘小艇顺流航行到A 处，然后沿着北偏东10度的方向以12千米/小时的速度驶向北岸，请用作图的方法指出小艇实际航行B A的方向.分析：1）速度单位化为一致；2）作图时，比例要正确；作图.（此处略）四、小试牛刀：P116：练习五、本课小结：✗向量减法：方法一：在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.方法二：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量.✗平行四边形法则：共起点！作平行四边形，以共起点为起点的对角线向量，就是,a b的和向量.与被减向量共终点的对角线向量：即是,a b的差向量.六、布置作业：练习册第57页习题22.9（2）教学设计说明向量的加法的平行四边形法则是由三角形法则演变而来，三角形法则可用于两个首尾相连的向量的加法.平行四边形法则可用于两个起点相同的向量的加法.平行四边形法则为后期学习向量的分解以及向量的线性组合奠定学习基础.。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
向量的减法运算(优秀经典公开课课件)
[素养聚焦] 利用向量减法的几何意义，把直观想象、逻辑推理等核心素养体现在解题过 程中．
[规律方法] 1．用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量． (2)化归为向量问题，进行向量运算． (3)将向量问题还原为平面几何问题． 2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 (1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明 对应有向线段所表示的向量相等即可． (2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题 的关键．
(1)可以转化为向量的加法来进行，如 a－b，可以先作－b，然后作 a＋(－b) 即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为 连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[触类旁通] 2.如图，已知向量 a，b，c，求作向量 a－b－c.
解析 在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，O→B＝b，则向量 a－b＝B→A，再 作向量B→C＝c，则向量C→A＝a－b－c.
2．几何意义： 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则向量 a－b＝B→A，如图所示．
3．文字叙述：如果把两个向量的__起__点____放在一起，那么这两个向量的差 是以减向量的终点为__起__点____，被减向量的终点为__终__点____的向量．
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于 0.( ) (2)两个相反向量之差等于 0.( ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( ) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[答案] B
(2)[解析] ∵||A→B|－|A→D||≤|A→B－A→D|≤|A→B|＋|A→D|， 且|A→D|＝9，|A→B|＝6，∴3≤|A→B－A→D|≤15. 当A→D与A→B同向时，|A→B－A→D|＝3； 当A→D与A→B反向时，|A→B－A→D|＝15. ∴|A→B－A→D|的取值范围为[3,15]．
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量是二维空间中的矢量量，可以用有向线段表示。
平面向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘法等。
下面将对平面向量的这些基本运算进行详细介绍。
一、向量的加法向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量A和向量B，记为A+B。
向量A的起点与向量B的终点相连，则新的向量A+B的起点为A的起点，终点为B的终点。
向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
设有向量A和向量B，记为A-B。
即A-B=A+(-B)，其中-B表示向量B 的反向量。
向量的减法可以转化为向量的加法处理。
三、数量乘法数量乘法即一个向量乘以一个实数。
设有向量A和实数k，记为kA。
数量乘法改变了向量的长度，但不改变其方向。
当k>0时，kA与A的方向相同；当k<0时，kA与A的方向相反；当k=0时，kA为零向量。
数量乘法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
四、点乘法点乘法又称为内积或数量积，是两个向量之间的一种运算。
设有向量A和向量B，记为A·B。
点乘法的结果是一个实数。
点乘法的计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ为A和B之间的夹角。
点乘法具有交换律和分配律，即A·B=B·A，(A+B)·C=A·C+B·C。
以上是平面向量的基本运算。
借助这些运算，我们可以解决很多有关平面向量的问题，比如求向量的模长、求向量的方向角、求向量的单位向量等。
在实际应用中，平面向量常用于力学、几何、物理等多个领域，并且在工程、航天等行业中有广泛的应用。
总结起来，平面向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘法。
通过这些运算，可以定义向量的线性组合、向量的模长、向量的方向角等重要概念，并在实际问题中得到应用。
229平面向量的减法
22.9平面向量的减法（1）教学目标:1•知识与技能：掌握平面向量减法运算，并理解其几何意义。
2•过程与方法：利用向量加法与减法的互逆关系导出向量减法的三角形法则；引导学生主体参与，合作探究，用类比的方法突破难点，最 后得到平面向量减法的运算法则。
3•情感态度与价值观：增强学生的数学应用意识和创新意识，培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识。
教学重点及难点理解向量减法是加法的逆运算，会进行向量的减法运算 ，会用向量减法的三角形法则求出两个向量的差向量。
教学过程:、新课教学流程一~复习 引入向量，求另一个向量的运算，叫做向加法也有逆运有利于减量的减法。
算，引出向量的法运算的2、a-b=x这个式子中a是被减向量，减法定义。
掌握。
b是减向量，x就是a和b的差向量。
教师引导学生比较学习，2、探索向量减法的三角形法则：由向量加法得到向量减法。
印象深刻。
八x-A B0^^活动2：（探索问题1:向量有加法法则，今天我们向量减法的三一起来探索向量的减法法则。
请你仔角形法则）细观察图形，你有什么发现？学生观察图形师总结：向量减法的三角形法则本质比较向量加法是1）两个向量共起点。
2）差向量与向量减法的终点指向被减向量。
作图法则的不试一试：EG-EF=FG 同，总结规律。
得到向量减法再从图中验证。
的三角形法则，教师规范语言，3、利用向量减法的三角形法则作引导学生从图有向量加图。
屮和式子中观法的基础，小试牛刀：察法则的本质。
学生解决已知向量a和b，求作a-b? 这类习题，应该更轻松，所以建A议由学生为主，教师为辅完成。
b 但向量加问题：被减向量是？减向量是教师在黑板上法运算与?作图时，他们共，差向量作图示范。
学生减法运算终点。
独立作图。
教师又不同，在巡视辅导。
加法知识作法：先入为主----- r-h 1）、在平面内任取一点0,作0A = a，的思维障碍下，有些2)、作OB =b3）、结论：=a -b4、证明向量减法作图也可转换为加法。
向量的减法
向量的减法
向量是一种数学工具，它是由大小和方向构成的数学对象。
在二维平面上，向量可以
表示为一个有向线段，并用两个数字$(x, y)$表示。
在三维空间中，向量可以用三个数字$(x, y, z)$表示。
向量的减法就是求两个向量的差，我们通常用“-”号表示。
给定两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的减法定义为：
$$\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x, a_y-b_y)$$
在三维空间中，两个向量的减法可以表示为：
可以看到，向量减法的本质就是减去每个分量的差值。
在三维空间中，两个向量$\vec{a}=(1, 2, 3)$和$\vec{b}=(0, 1, 2)$的差可以表示为：
向量的减法具有以下性质：
1. 减法满足交换律，即$\vec{a}-\vec{b}=\vec{b}-\vec{a}$。
结合律确保了我们可以随意移动括号，并且仍然得到相同的答案。
结合性质可以帮助
我们更轻松地计算向量减法的结果，以及在应用中更轻松地组合向量。
结论
向量的减法是计算两个向量之间差的方式。
向量减法的本质就是减去每个分量的差值。
正如我们在这篇文章中看到的，它具有可交换性、结合性等性质，这些性质在数学和工程
学科中也会用到。
通过深入理解向量的减法，我们可以更好地应用它来实现各种数学和工
程应用。
平面向量及其运算
平面向量及其运算平面向量是指在平面上用箭头表示的量，具有大小和方向。
在数学中，平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
一、向量的表示平面向量通常用有箭头的字母表示，例如a、b等。
向量的起点为初始点，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小可以用线段的长度来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量首尾相接，然后连接起点和终点的线段就是它们的和向量。
加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
三、向量的减法向量的减法是指将被减向量反向后与减向量相加。
减法可以转化为加法的形式，即a - b = a + (-b)。
四、数量乘法向量与一个实数相乘，称为数量乘法。
数量乘法改变向量的大小和方向。
当实数为正数时，向量与实数的乘积与向量的方向相同；当实数为负数时，向量与实数的乘积与向量的方向相反。
五、向量的点积向量的点积是指相互垂直的两个非零向量的数量积。
点积的结果是一个实数。
设a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则a·b = a1 * b1 + a2 * b2。
六、向量的运算性质1. 向量加法满足交换律和结合律。
2. 数量乘法满足结合律和分配律。
3. a·b = b·a，a·(kb) = k(a·b)，(a + b)·c = a·c + b·c。
七、平面向量的应用平面向量在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 平面向量可以用来描述物体在平面上的位移和速度。
2. 平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而研究物体在平面上的受力情况。
3. 平面向量可以用来解决几何问题，如判断线段是否平行、垂直等。
总结：平面向量是具有大小和方向的量，在数学中有着广泛的应用。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
通过理解和掌握向量的运算法则，我们可以更好地应用平面向量解决问题，在几何、物理等领域中有着重要的作用。
向量的减法高一上学期数学人教B版(2019)必修二
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向
量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
变式训练2(1)如图,在四边形ABCD中, =a, =b, =c,则 = a+b-c .
(3)若a-b=-b,则a=0.( √ )
(4)若a=b,则a-b=0.( × )
(5)当向量a,b起点重合时,向量a-b可以看作从向量b的终点指向向量a的终
点的向量.( √ )
(6)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.( × )
2.[人教A版教材习题]填空:
− =
基础落实·必备知识全过关
知识点 向量的减法及相反向量
1.向量的减法
(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,
则称x为向量a与b的差,并记作 x=a-b
.
(2)作法:在平面内任取一点 O,作=a,=b,则向量 a-b=,如图所示.
2.相反向量
(1)定义:给定一个向量,我们把与这个向量 方向相反、大小相等的向量称
为它的相反向量,向量a的相反向量记作
-a
(2)性质:
①对于相反向量有:a+(-a)=0.
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.
③零向量的相反向量仍是 零向量
.
.
名师点睛
对向量减法的理解
(1)在用三角形法则作两个向量的差向量时,只要记住“连接两向量终点,箭
头指向被减向量”即可.
(2)向量的减法也可以看成向量加法的逆运算,即a-b=a+(-b).
平面向量的减法ppt课件
例1 已知如图所示向量 a、b，请画出向量 ab
a b
a O
A
b ab
B
例2 化简：
⑴ ODOA ⑵ AB AC BD DC
解：⑴ ODOA AD ⑵ AB AC BD DC CBBDDC
CDDC CC 0
1、已知 a、b，求作 ab
b
b
a
a
a
b
b
a
2、快速抢答：
ABAD_D_B____
备选题：
如图所示，在平行四边形ABCD中，设
ABa，ADb，试用 a，b表示向量 AC 、
BD 、DB 。
D
C
b
A
a B
1、向量减法的定义及其几何意义 2、正确熟练地掌握向量减法法则：
共起点、连终点、指向被减
职业中专数学组
热身运动：拔河
1、负向量： 与非零向量 a长度相等，且方向相
反的向量叫做向量 a的负向量，记作 a。
说明： ① 规定 00
② 性质 aa
a a a a 0
2、向量的减法：
向量a与向量b的负向量的和定义为向量 a 与向量 b的差，即
a b a b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
1、向量减法法则：已知向量 a，b不共线，求作
向量作O O法cAA，：O使a在，B平c O 面O B a 内b任 bA ，取 则O 一点B O，作bbbObabbaaaBaaAb
OABOBOOABA
向量减法法则
OAOBBA
O
a A
b
ab
B
归纳概括： ⑴ 将两向量移到共同起点
⑵ 连接两向量的终点,
⑶ 方向指向被减向量
同起点，连终点，指向被减
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例3 如图，已知向量 a，b ，c ，求作： （1）a – b + c a –b – c （2） A c C a
O
b
B
例3 如图，已知向量 a，b ，c ，求作： （1）a – b + c （2）a – b – c
D
c
A
E
O
-b a
例3 如图，已知向量 a，b ，c ，求作： （1）a – b + c （2）a – b – c
A
C
−b
a
a
O b B
例1 已知AD是△ABC的中线，试用 向量AB、AC、AD表示向量BD和DC
方法一 方法二 从向量减法的角度考虑 从向量加法的角度考虑
B A
D
C
解： BD 的起点和终点分别是 BA AD AB AD 解： BD AB与AD的终点， 而 AB 与AD 共起点， DC DA AC AD AC BD AD AB 同理可得DC AC AD
练习：2. 判断下列等式是否正确？如果错误， 请改正： 解：（1）错 （1）AB CB CA AB CB AB BC AC
（2）AB BC EC AE （3）AB EA BE 0
解：（2）对 AB BC EC AB BC CE AE
先计算再作图!!! R K
类比得知新
减法是已知两个数的和，及其中一个数， 求另一个数的运算 减法是加法的逆运算 已知两个向量的和，及其中一个向量，求另一 个向量的运算叫做向量的减法 向量的减法是向量的加法的逆运算
22.9(1) 平面向量的减法
复习
几个向量相加的多边形法则
①将这几个向量顺次首尾相接
②和向量是以第一个向量的起点为起点; 最后一个向量的终点为终点的向量
首尾相接首尾连
F AB + BC+ CD+ DE+ EF
E
D
C
= AF A
B
新授
平面向量的减法
C
b x a
x ab
A
b
x
a
定义：如果 b x a ，那么 x 叫做向量 a 与向量 b 的差向量， 这时 a 是被减向量，
C
-c
B
-b a
O
A
向量的减法
•特殊情况
两个向量平行
1. 同向
注意：差向量将两 个相减的向量终点 联结，方向指向被 减的向量
2. 反向 a
a
b
a b
B B A
b
C
a b
A C
CB a b
CB a b
练习：1. 计算：
（ 1） AB AD BD
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：
1 ABAD AD BD 1 AB BD
0
DB BD AB DA BD （2）NQ QP MN MP 0 BD DA AB
（ 3） AB BC AD CE
（4）AB EC EB AD 解： 2 NQ QP MN MP 3 AB 4 AB BC EC AD EB CE AD 3 BC AD CE AB NQ QP MP NQ QP MN PM BC DA CE AB AB EC AD BE EC MN DA CE EB AB AD BC DA NP PN NQ QP PM MN AB DA DB BC AB BC BE CE EC DB BE DE 0 DE DC
解：（3）错 AB EA BE AB AE BE AB BE AE AE AE 2AE
练习：已知a，b，c，求作：
（1）(a+b)−c a c b
（2）a−(b−c)
有括号先去括号， 减法转化为加法
册57/5
解：（ 1） OR、 PK即 为 所 求 作 的 向 量 ； （2） OP OQ Q P ， QP 即为所求作的 OP OQ ； （3） OQ OK KQ ， KQ即 为 所 求 作 的 OQ OK.
b 是减向量 。
如图，写出一个向量的加法算式 B a C b c b O
a
A
A
注意：差向量将两 a 个相减的向量终点 O b B 联结，方向指向被 减的向量
在平面内任取一点，以这点为公共点分别作出与 ①两个向量有公共起点 . 已知向量相等的两个向量，那么它们的差向量是 ②差向量是以减向量的终点为起点，被减向 以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点 量的终点为终点的向量 的向量。
例2 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC 与BD相交于点O，设 AB a, AD b ，用 a 、b 表示下列向量： BD, AC, AO, BO 。
解： BD BA AD AB AD a b
b
A
D
C
O
a
B
AC AB BC AB AD a b 1 1 AO AC (a b) 2 2 1 1 BO BD ( a b) 2 2