角动量和氢原子

l 0,1,2, , ( n 1) 角量子数：角动量大小量子化、状态
磁量子数：角动量空间量子化、状态 氢原子的状态基本可以用三个量子数表达。
4. 电子径向概率分布
r～ r+dr
2 4 2 2 Wnl ( r )dr Ylm ( , ) d R nl ( r )r dr 0 2 2 R nl ( r )r dr z
B
2
2
0
Z
m 0, 1, 2
Lz 0， , 2
三 .中心力场中的定态薛定谔方程
2 2 [ U ( r )] E 2m
1 球坐标系
( U( r )为中心力场 )
2 ˆ 1 L 2 2 (r 2 ) 2 2 r r r r
U (r )
e2 4 0 r
me 4 1 En 2 2 (4 0 )2 n2
(n 1,2,3,)
2. 氢原子光谱
3. 本征波函数
h nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
主量子数——能量量子化、能态
＝
Ei E f
n 1,2,3, m 0,1,2, , l
主量子数n: n=1,2,3,… 磁量子数ml: ml=0,1, …, l 三.泡利不相容原理
不能有两个电子具有相同的n,l,ml ,ms 1)费米子和玻色子
费米子：自旋为 的奇数倍的粒子 2 玻色子：自旋 S＝0 或 的偶数倍的粒子 2 2) 玻色凝聚
玻色子不受泡利不相容原理的限制，一个单粒子态可容 纳多个玻色子—玻色凝聚。
一 角动量和氢原子
中心力场中的定态薛定谔方程 氢原子的解 电子概率分布
二 电子的自旋
四个量子数
泡利不相容原理
三 碱金属原子能级和分子能级简介
§11 角动量和氢原子
一.角动量算符
ˆ ＝L ˆ L ˆ L ˆ L
2 2 x 2 y
2 z
球坐标系
ˆ Lx i (sin ctn cos )
1
总可在原子量级空间发现电子
§12 电子的自旋
一.电子的自旋
四个量子数
s1 s2 S N P
斯特恩－盖拉赫实验（1921） • 轨道运动磁矩 基态银原子 l＝0
射线的偏转表明：电子还应具有自旋角动量
• 设自旋角量子数为S，磁量子数为mS
• 自旋角动量的本征值问题
2S 1 2
1 S 2
2 定态薛定谔方程
ˆ2 2 1 2 L { [ 2 (r ) 2 2 ] U ( r )}( r , , ) E ( r, , ) 2m r r r r
3 分离变量 角动量守恒
(r, , ) R(r)Yl ,m( , )
四. 氢原子的解 1. 能量本征值
z

5. 电子角向概率分布 ( , )方向立体角d O w00 w10

z
w1±1
2 2 2 Wlm ( , )d Rnl r r dr Ylm ( , ) d 0
Ylm ( , ) d
2
例：氢原子的三个状态电子的波函数分别是：
2,1,0 ( r , , ) (1 / (4 2 ))a0 3/2 ( r / a0 )e r /( 2 a0 ) cos 2,1,1 ( r , , ) (1 / (8 ))a0 3/2 ( r / a0 )e r /( 2 a0 ) sin e i 2,1, 1 ( r , , ) (1 / (8 ))a0 3/2 ( r / a0 )e r /( 2 a0 ) sin e i
1 1 1 2 1 2 ˆ S ( , m ) 1 ( , m ) 2 s 2 2 2 s
ˆ ( 1 , m ) m ( 1 , m ) S z s s 2 2 s
1 (ms ) 2
自旋角动量无经典对应，是相对论效应。
二.四个量子数
电子运动由四个量子数决定 角量子数l: l=0,1,2,…,(n-1) 自旋磁量子数ms: ms=1/2
2 5
2
r / a0
sin
2
P2,1,1 2,1,1 P2,1,1
2
P2,1,0 P2,1,1 P2,1,1 (1 / (32 ))(r 2 / a05 )e r /a0

00
球对称
2 5 r / a0 2 2 (1/ (32 ))( r / a ) e cos r sin drd d 2）P P2,1,0dV 0
ˆ ˆ x Lr p ˆx p
i
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j y ˆy p
k z ˆz p
ˆ Ly i ( cos ctn sin ) ˆ i L z

ˆ2 2 L
1 1 2 2 (sin ) 2 , sin sin 2
nl 为量子数亏损
2.振动能级
1 E n n , n 0,1,2 2
3.转动能级
分子振动光谱在近红外区
ˆ2 L ˆ H 2J
2 EL＝ L L＋1 2J
三. 分子光谱的带状结构 紫
J代表分子的转动惯量 分子转动光谱在远红外和微波区
红
C2分子的一个光谱带系结构
2

二 . 角动量算符的本征值问题 1.角动量的描述
L2 ，Lz 描述角动量
2

ˆ2 2 L

1 1 (sin ) 2 sin sin 2
ˆ Lz i

2.本征值问题的解
2 2Y2 ˆ2Y L ˆ2 2 ll( ll 1) Y ( ,( ) L ( , ) L Y ( , ) L Y ( , ) ( 1) Y , ) l ,m l ,m l ,m
ˆY L ˆ( ) ( , ,) L )L Y ( Y,( ) , L,Y ( ,, ) ) mYl( ,m z l ,m z z lz m
求：1）三个状态的概率密度P2，1，0
2
， P2，1，0 ， P2，1，0 ，及其和；
2）在2，1，0 态，全空间中找到电子的概率
r/a 2 5 2 解：1） P2,1,0 2,1,0 (1 / (32 ))(r / a0 )e 0 cos
P2,1,1 2,1,1 (1 / (64 ))( r / a0 )e
角量子数
l 0,1,2,
磁量子数
m 0, 1, 2,, l
对于确定的角量子数l ,磁量子数m可取 (2l+1) 个值
3.角动量的量子化 角动量大小量子化
L l (l 1)
l 0,1,2,
角动量在空间取向的量子化
Lz m
m 0, 1, 2,, l
l2
§13 碱金属原子能级和分子能级简介
一.碱金属原子能级 1 E nl 13.6 2 (eV ) n nl 二 .分子能级简介 • 分子能级 • 能级间隔 1.电子能级 由分子的电子能级间发生跃迁，光谱在可 见区和紫外区。 E＝E电子＋E振动＋E转动 ΔE电子 > Δ E振动 > Δ E转动