考研数学极限计算方法：利用单侧极限
考研数学：极限计算方法——利用单侧极限
考研数学：极限计算方法——利用单侧极限今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。
为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢，我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢？第一，当分段函数的分段点两侧表达式不同时，求分段点处的极限利用单侧极限。
例如，讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan )0121x e x x f x x x x ⎧-<⎪⎪⎪==⎨⎪>+-在0=x 处的极限。
分析：在做这道题时我们发现0=x处左右两侧的解析式是不同的，所以计算0=x 处的极限要分左右来求解，也即1lim 221arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==⨯=-+++++→→→x x x x x x x x x ，1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→xx x e x x x ，左右两侧的极限同时存在且相等，所以1)(lim 0=→x f x 。
有一些特殊的分段函数，如,[],max{},min{},sgn x x x ，当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。
第二，如果出现(),arctan e a ∞∞∞，求极限是要分左右的，例如，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析：这道题让我们求解0=x 处的极限，我们发现它有x，在脱绝对值时会出现负号，同时出现了e ∞，故分单侧计算极限，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，所以1sin 12lim 410=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x 。
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点1为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢?第一：e∞,arctan∞,因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2;第二：绝对值;第三：分段函数在分段点处的极限。
有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。
夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。
要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→?，若存在n>0，当n>n时，找到xn，zn，且xn→a，zn→b，a≠b，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。
这一点一定要注意，防止理解偏差。
单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知x1=a,xn=f(xn-1)，n=1,2,.....，求数列{xn}的极限。
当看到这种类型的题目，我们要先知道可以应用于单调有界收敛定理来证明，也就是要证明两点，第一：证明数列有界;第二：证明数列单调。
综合以上两点就可以依据该定理证明数列极限存在，再将xn=f(xn-1)两边同时取极限，即可以得到数列极限的值。
上述几种方法原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，拓宽自己的解题能力。
很多同学都会有这样的感觉，为什么我就是想不到这样解题呢?像这样的'问题在现阶段出现是正常的，因为我们要通过复习来解决问题，所以我们只要认真对待就可以了，首先接受这种方法，然后理解这种方法，最后看看这个解题思路跟题目中的哪个条件是紧密联系在一起的，弄清楚并记住，下次如果做题时遇到了这个条件，我们是不是就可以尝试的做做，时间久了自然而然的就有了自己的解题思路。
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
考研数学极限的运算方法及适用情况
考研数学极限的运算方法及适用情况考研数学极限的运算方法及适用情况在数学考察中，极限的计算占据很大一部分，所以考生必须熟练掌握。
店铺为大家精心准备了考研数学极限的运算秘诀和适用情况，欢迎大家前来阅读。
考研数学极限的运算技巧及使用情况基础阶段，我们的目标是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基础阶段学习极限应从两个方面着手，一是极限的定义，二是极限的运算。
极限的定义在考试大纲中明确要求是理解，理解的意思并不是会背诵定义内容，而是能够领会定义内容背后的所蕴含的含义，正确理解所代表的任意小以及代表的距离。
除定义本身以外，极限的趋近状态也要注意区分，对于函数来说有六种趋近状态：各自的含义要非常清楚，而数列只有一种趋近状态，虽然没有指明，但是数列里边的隐含之意为。
极限的计算则需要首先掌握考研数学要考到的七种基本方法，知道七种方法适用的情况。
第一种是四则运算，此方法大家最为熟悉，但比较容易出错，需要注意使用四则运算的前提是进行运算的函数极限必须都是存在的;第二种是等价无穷小替换，这一方法比较受欢迎，而且很多极限计算的问题只需经过等价无穷小代换就能得出结果，不需再使用其他方法，需要注意的是等价无穷小代换前提必须首先是无穷小才可代换，另外只能在乘积因子内代换(有些是可以在加减因子中代换的，但是在没有十足把握的情况下应避免使用在加减因子中代换);第三种是洛必达法则，适用于及型未定式，在使用的过程中需要注意一下几点：1、洛必达法则必须结合等价无穷小使用;2、使用一次整理一次;3、其他类型未定式需要转化成及型才可以使用洛必达法则等;第四种是泰勒展式，这是解决极限问题的利器，在基础阶段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的内容即可，具体使用原则会在强化阶段给出;第五种是夹逼定理，主要用于解决含有不等式关系的极限问题，特别应用于个分式之和的数列极限问题，通过放缩分母来达到出现不等关系的目的;第六种是定积分的定义，与夹逼定理相区别，夹逼定理解决的问题放缩分母后分子可用一个式子去表示，而定积分的定义可解决夹逼定理不能解决的问题，通过主要的三步：1、提取，2、凑出，3、极限符号及连加符号改写为，改写为，改写为计算定积分即可解决个分式之和的数列极限问题;第七种方法是适用于数列极限的单调有界性定理，难点在于如何确定证明方向，一般单调有界性定理适用于由递推公式给出的数列极限问题，因此可采取数学归纳法证明有界性，做差的办法证明单调性。
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法总结数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1：如果（1）（2）（3）若B≠0 则：（4）（5）（n为自然数）上述性质对于也同样成立由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例1. 求的极限解：由定理中的第三式可以知道例2. 求的极限解：分子分母同时乘以式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知，求解：观察因此得到所以12 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在附近有定义，，则如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点的导数记为。
即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。
然后把所求极限都表示成f(x)在定点的导数。
例4. 求的极限解：3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1），（2）但我们经常使用的是它们的变形：，（2）求极限。
例5：解：为了利用极限故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。
==例6：解：将分母变形后再化成“0/0”型所以==例7: 求的极限解：原式=利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。
一般常用的方法是换元法和配指数法。
4 利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果是初等函数,且是的定义区间内的点, 则。
例8：解:因为复合函数是初等函数,而是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此例8：求解：复合函数在处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有==05 利用两个准则求极限。
（1）函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当n>N时，有且则有。
利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。
微积分 函数之单侧极限与无穷大
3x2 10x 7
当 x 1 当 x 1
, 当 x 1
的极限 lim f (x) 存在 , 并算出 lim f (x) .
x1
x1
解：（1） lim f (x) 存在，故 lim f (x) lim f (x) 均存在，
x1
类似地，如果 0 , 0 , 当 x x x
0
0
便可成立 : f (x) A , 这时的具体含义是：
只考虑点 x0 的 右邻域 内，自变量 从右边趋于 有限数 x0 时，函 数值 f ( x ) 有 向常数 A 无限趋近的变化趋势。
这种情况下，称函数 f ( x ) 在点 x0 的右极限 存在，记为：
解：若 a 满足 k 1 a k ，其中 k 为某个正整数 ，
则 lim [x] lim k 1 k 1 [a] ;
xa x xa x
aa
若 a k ，其中 k 为某个正整数 ，
lim [x] lim k 1 k 1 a 1 1 ;
x xa0
x2
x2
解： lim f (x) 存在， lim f (x) lim f (x) .
x2
x 20
x 20
由于
lim
f (x) lim (x3 ax 3a)
代入法
8a
,
x 20
x 20
lim f (x) lim (2ax 4)
x 20
x 20
x 10
x 10
lim f (x) lim (ax b)
x 10
x 10
代入法
ab ,
2021考研数学基础复习：求极限的16种方法
2021考研数学基础复习：求极限的16种方法1.极限分为一般极限，还有个数列极限区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种。
2.解决极限的方法如下(1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记。
(x趋近无穷的时候还原成无穷小)(2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提。
必须是X趋近而不是N趋近。
(所以面对数列极候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。
还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为三种情况(1)0比0无穷比无穷时候直接用(2)0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了(3)0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)3.泰勒公式含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则项除分子分母!看上去复杂处理很简单。
5.无穷小与有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!6.夹逼定理主要对付的是数列极限这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
数学分析中求极限的几种重要方法
数学分析中求极限的几种重要方法数学分析中求极限的几种重要方法极限是数学分析的重要内容，是高等数学的理论基础和研究工具，学习极限相关理论对学习数学分析和掌握高等数学众多理论有着极其关键的作用。
由于极限的计算题目类型多变，而极限的求取方法也种类繁多，因此，针对不同问题找到正确且最简洁的方法意义重大。
1、利用定义求极限极限的概念可细分为函数的极限和数列的极限。
2、利用法则求极限2.1 四则运算法则法2.2 两个准则法本文简单介绍两个准则，分别为夹逼准则和单调有界准则，常用于数列极限的求解。
(2)单调有界准则：单调有界数列必有极限，且极限唯一。
利用单调有界准则求极限过程中，首先需要证明数列的单调性和有界性，然后要证明数列极限的存在，最后根据数列的通项递推公式以及极限的唯一性来求极限。
2.3 洛比达法则法3、利用公式求极限3.1 两个重要极限公式法(1)极限及其变换，常用于包含三角函数的“”型未定式。
利用这两个重要极限公式来求极限时要仔细观察函数形式是否符合。
3.2 泰勒公式法泰勒公式法是指在求极限时，利用泰勒公式将函数进行展开后再通过一般求极限的'方法进行计算的方法。
泰勒公式法对一些比较复杂的求极限过程可以起到简化作用。
4、利用性质求极限4.1 无穷小量性质法利用下列几点无穷小量的性质可解决相关的极限问题。
性质1：有限无穷小量的代数和为无穷小。
性质2：无穷小量与有界函数的乘积为无穷小。
性质3：有限无穷小量的乘积为无穷小。
4.2 函数连续性法函数的连续性：5、其他方法5.1 中值定理法中值定理法包括利用微分或积分中值定理求极限，通过微分或积分中值定理将函数进行变换，再求极限。
5.2 定积分法则可知定积分可化为和式极限的形式，同样，在求和式极限时，可转为定积分的形式来求解。
具体步骤：(1)首先选择恰当的可积函数f(x)。
(2)然后将所求和式极限表示成为f(x)在某区间[a，b]上的等分的积分和式的极限。
考研数学求极限方法小结
一．求极限方法小结极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.1. 知识要点（1）利用极限的定义求极限. （2）利用极限运算法则求极限. （3）利用不等式求极限. （4）利用变量代换法求极限. （5）利用两个重要极限求极限. （6）利用单调有界准则求极限. （7）利用函数的连续性求极限. （8）利用等价无穷小代换求极限. （9）利用单侧极限求极限.（10） 利用罗必达法则求极限. （11） 利用导数定义求极限. （12） 利用定积分定义求极限. （13）利用Taylor 公式求极限.2．典型例子例1：设 ,12,,12,21121nn x x x x x +=+==+ 求证：n n x ∞→lim 存在，并求其值.)21(+答案：例2：求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim （答案：1） 例3：求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n 1212)1(1)1(111lim （答案：1） 例4：求nn n 2642)12(531lim⋅⋅-⋅⋅∞→ （答案：0）例5：求 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 2 （答案：21）例6：xx x cos lim 0+→ （答案：21-e）例7：求常数c ，使dt te c x c x ct xx ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-+2lim （25=c ） 例8：已知 ,11,,11,1111121++=++==--n n n x x x x x x x ,证明数列}{n x 收敛，并求出此数列的极限. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+251例9：设)0(3)1(3,010≥++=>+n x x x x nn n ，求n n x ∞→lim （答案：3）例10：求 1tan 1tan 1lim---+→xx e xx （答案：1） 例11：求 xx x x x x x cos sec )1ln()1ln(lim 220-+-+++→ （答案：1）例12: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++→x x e e x xx sin 12lim 410 （答案：1）例13：设x x x g tdt x f x 6702sin )(,tan )(2+==⎰，证明：当0→x 时，)(x f 与)(x g 是同阶无穷小量.例14：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot1lim （答案：32）例15：求 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n n 1sin 212sin 1sin lim πππ （答案：π2） 例16：求 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++∞→n n n n n n n n n n n n n 222sin 22sin 211sin 1lim （答案：1cos 1sin -） 例17：设)(x f 在原点的邻域内二次可导，且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f x x x ，求)0("),0('),0(f f f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+→220)(3lim x x f x x （答案：29,9,0,3-）例18：设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶导数，且310)(1lim e x x f x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→，求)0(''),0('),0(f f f 及xx x x f 10)(1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.（答案：4)0('',0)0(',0)0(===f f f ，210)(1lim e x x f xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+→） 例19：设}{n a ，}{n b ，}{n c 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则必有)(A n n b a <对任意n 成立； )(B n n c b <对任意n 成立； )(C 极限n n n c a ∞→lim 不存在； )(D 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2003年数学一）例20：已知011lnarctan 2lim≠=-+-→c x x xx px ，求c p , （答案：34,3-==c p ）例21：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0('≠f ，0)0(''≠f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→λ时，)0)3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小.例22：求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++→)1ln(1)1ln(1lim20x x x x （答案：21-） 例23：已知当0→x 时⎰-222cos x dt t x 与kAx 是等价无穷小，求常数A 和k .（答案：10,101==k A ） 例24：设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是)(A 若}{n x 收敛，则)}({n x f 收敛. )(B 若}{n x 单调，则)}({n x f 收敛. )(C 若)}({n x f 收敛, 则}{n x 收敛. )(D )}({n x f 若单调，则}{n x 收敛.(答案：B) （2008年数学一）例25：求极限 40sin )]sin(sin [sin limx x x x x -→ （答案：61）（2008年数学一）例26：(I)证明:对任意的正整数n ,都有nn n 1)11ln(11<+<+ (II)设),2,1(1211 =+++=n na n ,证明数列}{n a 收敛. （2011年数学一、二）。
单侧极限的归结原则(老黄学高数第97讲)
老黄学高数
第97讲 单侧极限的
归结原则
设函数f在点x0的某空心右邻域U⁰+(x0)有定义.
f(x)=A的充要条件是：对任何以x0为极限的
递减数列{xn}⊂U⁰+(x0)，有 f(xn) =A.
证： [必要性]若
f(x) =A，∀ε>0，有正数δ，
当x0<x<x0+δ时，有|f(x)-A|<ε. 设递减数列{xn}⊂U⁰+(x0)趋于x0，则 对δ，存在N，使当n>N时，有0<xn-x0<δ，即 x0<xn<x0+δ，从而有|f(xn)-A|<ε. ∴ f(xn)=A.
证： [必要性]若 f(x) =A，∀ε>0，有正数δ，
当x0-δ<x<x0时，有|f(x)-A|<ε. 设递增数列{xn}⊂U⁰+(x0)趋于x0，则 对δ，存在N，使当n>N时，有0<x0-xn<δ，即 x0-δ<xn<x0，从而有|f(xn)-A|<ε. ∴ f(xn)=A.
类似地，设函数f在某空心左邻域U⁰-(x0)有定义.
f(x)=A的充要条件是：对任何以x0为为极限的
递增数列{xn}⊂U⁰+(x0)，有 f(xn) =A.
[充分性]若
f(x)≠A，则存在ε0>0，对任意δ>0,
设U⁰-(x0)=(x0-δ1,x0), 有x1∈U⁰-(x0,δ1), 使|f(x1)-A|≥ε0； 取δ2=min{δ1/2,x0-x1}, 有x且x1<x2；…依此类推…取δn=min{δn-1/2,x0-xn-1}, 有xn∈U⁰-(x0,δn), 使|f(xn)-A|≥ε0，且x1<x2<…<xn-1<xn,
考研数学三极限与导数专题重点解析
考研数学三极限与导数专题重点解析极限与导数专题重点解析1，极限：（1）极限计算的常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
（2）四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度。
（3）遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效。
（4）利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限。
（5）如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算。
（6）单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
2，导数：（1）常考题型：a,利用定义计算导数或讨论函数可导性;b,导数与微分的计算(包括高阶导数);c,切线与法线;d,对单调性与凹凸性的考查;e,求函数极值与拐点;f,对函数及其导数相关性质的考查。
（2）对于导数与微分，对于它们的定义要给予足够的重视，按定义求导在分段函数求导中是特别重要的。
（3）要熟练掌握可导、可微与连续性的关系。
（4）求导计算中常用的方法是四则运算法则和复合函数求导法则。
（5）一元函数微分法则中最重要的是复合函数求导法及相应的一阶微分形式不变性。
（6）利用求导的四则运算法则与复合函数求导法可求初等函数的任意阶导数。
（7）幂指函数求导法、隐函数求导法、参数式求导法、反函数求导法及变限积分求导法等都是复合函数求导法的应用。
3，导数计算中需要掌握的常见类型：（1）基本函数类型的求导。
（2）复合函数求导。
（3）隐函数求导，对于隐函数求导，不要刻意记忆公式，记住计算方法即可，计算的时候要注意结合各种求导法则。
（4）由参数方程所确定的函数求导，不必记忆公式，要掌握其计算方法，依据复合函数求导法则计算即可。
07[1].单侧极限与无穷大
![07[1].单侧极限与无穷大](https://img.taocdn.com/s3/m/840d9a4df7ec4afe04a1dfcf.png)
) 。
[ x] k −1 k −1 a −1 Q lim = lim = = <1 ; x→ a −0 x x→ a−0 x a a k [ x] k 而 lim = lim = =1 ; x→ a+0 x x→ a+0 x a [ x] [ x] [ x] ∴ lim ≠ lim ⇒ 此时 lim 不存在 。 x→ a x x→ a+0 x x→ a−0 x
x → x0 ± 0
lim x = x0 .
（3）求 “整式函数 ” 和 “某些 有理分式函数 ” 的 单侧极限 时 ）
代入法 仍然成立；求 “另一些 有理分式函数 ” 的 单侧极限
时，消去零因式法 仍然成立 ；求 “某些 无理分式函数 ” 的
单侧极限 时，共轭因式法 也仍然成立 。
2. 单侧极限的应用实例 函数 f ( x ) 的 单侧极限 概念在研究 分段函数 的应用。 限时有 不可或缺 的应用。 的极
x →−1 x →−1
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , s.t. 0 <
x − x0
<δ ⇒
f ( x) − A < ε
Q
0 < x − x0 < δ ⇔ x0 − δ < x < x0 或 x0 < x < x0 + δ
或者 x0 < x < x0 + δ 都可成立 f ( x) − A < ε
∴ ε − δ 语言可以表为：∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , 无论 x0 − δ < x < x0
而 lim (2ax + 3bx + 4) = 16a + 6b + 4 ⇒ 8a + 3b + 2 = 0 ;
高等数学中极限问题地解法详析
数学分析中极限的求法摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。
关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。
如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。
极限是研究数学分析的基本公具。
极限是贯穿数学分析的一条主线。
学好极限是从以下两方面着手。
1：是考察所给函数是否存在极限。
2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。
本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。
1：利用两个准则求极限。
(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a→∞= .利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。
例[1]222111.......12n x n n n n =+++++求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项2222111.......n n x n nn nn nn n ≥+++=++++2222111 (1)111n n x n n n n ≤+++=++++则221n nn x n nn ≤≤++ 又因为22limlim11x x n n n nn →∞→∞==++lim 1n x x →∞=（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
函数在一点的极限与单侧极限
3.2.2（1）、函数在一点的极限 3.2.2（2）、单侧极限
当n 时, f (n) A n :1,2,3,4 当x 时, f (x) A 当x 时, f (x) A 当x 时, f (x) A x R
3.2.2、函数在一点的极限
极限定义3： 设函数f (x)在x0的某个去心 邻域有定义，若当x x0且x x0时，
定理 2 对基本初等函数 f ( x) 定义域 D f 的任何 内点 x0 D f ，有
lim f (x) f (xБайду номын сангаас )
x x0
例8 : lim ax a0 1
x0
lxim1loga x loga1 0
lim
x2
sin
x
sin
2
1
lim x 9 3
x9
3.2.3、单侧极限
f (x) A, (x x0)
f (x) A 即 f (x) A (任意小)
称函数f (x)在x0处的极限为A. 或以A为极限. 当x x0时，函数f (x)收敛于A.
记为：lim f (x) A
xx0
或f (x) A, (x x0)
几何意义是：
y
f (x)
A
O
x0
x
x x0时：f (x) A,
否则：称f (x)在x0处没极限或发散。
左极限：
lim
且xxx0x0
f (x)
lim
x x0
f (x)
A
f (x0)
右极限：且xlixmx0x0
f (x)
lim
x x0
f (x)
f (x0)
B
注：左右极限统称为单 侧极限。
单侧极限记法
单侧极限记法单侧极限记法是微积分中的重要概念，它在计算极限时起到了关键的作用。
本文将详细介绍单侧极限记法的定义、性质以及应用，并通过一些例子来说明其使用方法和意义。
我们来看一下单侧极限的定义。
在微积分中，单侧极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的极限值。
在单侧极限中，我们只考虑自变量从左侧或右侧趋于特定值时的极限情况，而不考虑自变量同时从两个方向趋近于该值的情况。
单侧极限记法用于描述自变量趋于某一特定值时函数的极限。
对于自变量趋近于特定值a的情况，我们可以分别用x→a⁺和x→a⁻来表示自变量从右侧和左侧趋近于特定值a。
其中，x→a⁺表示x从大于a的值逐渐趋近于a，x→a⁻表示x从小于a的值逐渐趋近于a。
在单侧极限的计算中，我们需要根据函数的定义来确定极限的值。
对于函数f(x)，当x→a⁺时，我们需要考虑自变量从右侧趋近于a 时函数的变化规律；当x→a⁻时，我们需要考虑自变量从左侧趋近于a时函数的变化规律。
在单侧极限的计算中，我们可以利用一些性质来简化计算过程。
首先，对于两个函数的和、差、积和商，我们可以利用单侧极限的性质将其分别转化为对应的单侧极限。
其次，对于幂函数、指数函数和对数函数等常见函数，我们可以利用它们的性质来计算它们的单侧极限。
此外，我们还可以利用夹逼定理来确定函数的单侧极限。
单侧极限在微积分中有着广泛的应用。
它不仅可以用于求解函数的极限值，还可以用于求解函数的连续性、可导性等性质。
在实际问题中，我们经常会遇到需要计算函数在某一点处的单侧极限的情况。
例如，在物理学中，我们经常需要计算速度、加速度等物理量在某一时刻的单侧极限。
为了更好地理解单侧极限的概念和应用，我们来看几个例子。
首先，考虑函数f(x) = 2x + 1，当x→2⁺时，我们可以看到自变量x从右侧趋近于2时，函数值逐渐增大，即函数的单侧极限为5；当x→2⁻时，我们可以看到自变量x从左侧趋近于2时，函数值逐渐减小，即函数的单侧极限为3。
考研 高数 极限运算法则
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x → x0 ( x→∞ )
准则Ⅰ和准则Ⅰ`称为两边夹原理.
杨 树 文
*利用两边夹关键在于构造不等关系式
网 络 高 等 数 学 教 程
例
求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
).
1 1 n n < +L+ < , 解 Q 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
则 lim f ( g ( x)) = lim f (lim g ( x)) = A
x →a u →b x→a x →a u →b
例： limsin(sin x)) = limsin x = 0
x →0 x →0
幂指函数的极限运算
f ( x) → A > 0, g ( x) → B, 则f ( x) g ( x ) → AB
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
杨 树 文
网 络 高 等 数 学 教 程
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点数学分析中，单侧极限和夹逼定理是两个重要的概念和定理。
它们主要应用在函数的极限和连续性的研究中。
一、单侧极限当函数在其中一点x0的左（右）侧趋近于一个有限值或无穷大时，我们称该函数在x0处具有左（右）侧极限。
左（右）侧极限可以形式化为以下数学定义：1. 左侧极限：如果函数f(x)在x0的一些左邻域内有定义，并且当x 趋近于x0时，函数值f(x)都趋近于L，则称函数f(x)在x0处具有左侧极限，记作lim_(x→x0-) f(x) = L。
2. 右侧极限：如果函数f(x)在x0的一些右邻域内有定义，并且当x 趋近于x0时，函数值f(x)都趋近于L，则称函数f(x)在x0处具有右侧极限，记作lim_(x→x0+) f(x) = L。
单侧极限的定义表明了函数在其中一点的左右极限是可以不相等的，也可能不存在。
下面是一些与单侧极限相关的重要性质：1. 函数f(x)在x0处具有左侧极限lim_(x→x0-) f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<x0-x<δ，且x0-x>0成立时，f(x)-L，<ε。
2. 函数f(x)在x0处具有右侧极限lim_(x→x0+) f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<x-x0<δ，且x-x0>0成立时，f(x)-L，<ε。
二、夹逼定理夹逼定理也被称为夹挤定理或夹紧定理，是分析数学中一个重要的极限定理。
它用于求解极限问题，通常用于确定一个函数在其中一点处的极限。
夹逼定理的数学表述如下：假设函数f(x)，g(x)，h(x)在区间(a,b)内，除去a点或b点，都有定义，且对于该区间内的所有x值，恒有f(x)≤g(x)≤h(x)。
如果lim_(x→a)f(x) = lim_(x→a)h(x) = L，那么lim_(x→a)g(x) = L。
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考研数学极限计算方法：利用单侧极限
今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。
为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢，我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢？
第一，当分段函数的分段点两侧表达式不同时，求分段点处的极限利用单侧极限。
例如，讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan ),0121x e x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪==⎨⎪+⎪>+-⎪⎩
在0=x 处的极限。
分析：在做这道题时我们发现0=x 处左右两侧的解析式是不同的，所以计算0=x 处的极限要分左右来求解，也即
1lim 22
1arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==⨯=-+++++→→→x x x x x x x x x ，1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→x
x x e x x x ，左右两侧的极限同时存在且相等，所以1)(lim 0
=→x f x 。
有一些特殊的分段函数，如,[],max{},min{},sgn x x x ，当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。
第二，如果出现(),arctan e a ∞∞∞，求极限是要分左右的，例如，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析：这道题让我们求解0=x 处的极限，我们发现它有x ，在脱绝对值时
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2会出现负号，同时出现了e ∞，故分单侧计算极限，
11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
，所以1sin 12lim 410=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x 。
上述几种情况原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，提高自己的解题能力。