第五章应力状态分析与强度理论

第五章 应力状态分析与强度理论一、 内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。

1.2一点的应力状态的表示方法——单元体研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。

若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。

1.3主平面、主应力单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。

过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。

相应的主应力用1σ、2σ、3σ来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即321σσσ≥≥。

1σ是最大主应力，3σ是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。

1.4应力状态的分类（1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零； （2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。

单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。

2.平面应力状态分析的解析法在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。

可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。

图5-12.1任意α斜截面上的应力当已知x σ、y σ、yx xy ττ=时，应用截面法，可得ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy yx xy yx yx +-=--++= （5-1）式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；α为斜截面外法线与x 平面外法线即x 轴间的夹角，α角从x 轴量起，反时针转向为正，反之为负。

2.2主应力22min max 22xy yx y x τσσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫ （5-2） 式中，max σ和min σ分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。

它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。

三个主应力max σ、min σ和0要按代数值大小排列，分别用1σ、2σ、3σ表示。

2.3主平面的方位角0α主平面与x 轴间的夹角0α可按下式计算yx xy tg σ-στ-=α220 （5-3）由上式可确定两个主平面的方位角0α和 900+α，其中当y x σ≥σ时，0α主平面上的主应力为max σ， 900+α主平面上的主应力为min σ；当y x σ<σ时，0α主平面上的主应力为min σ， 900+α主平面上的主应力为max σ。

3．平面应力状态分析的图解法图5-23.1应力圆方程 222222xy y x y x τ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-σ=τ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ-σαα圆心坐标 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛σ+σ0,2y x 半径222xy y x τ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-σ 3.2画法当已知x σ、y σ、yx xy ττ=时，选取τσ-坐标系统，选取适当的比例尺，确定),(1xy x D τσ和),(2yx y D τσ两点，连接两点，交σ轴于C 点，以C 为圆心，以1CD 和2CD 为半径，画出对应于此应力状态的应力圆，如图5-2所示。

3.3单元体与应力圆的对应关系（1） 对于某一平面应力状态而言，单元体的应力状态一定和一个应力圆相对应。

（2） 单元体中的一个面一定和应力圆上的一个点相对应。

（3） 单元体中一个面上的应力对应于应力圆上一个点的坐标。

（4） 应力圆上两点沿圆弧所对应的圆心角是单元体上与这两点对应的两个平面间夹角的两倍，且转向相同。

4.三向应力状态图5-3如已知三向应力状态的主应力单元体及主应力1σ、2σ和3σ，则有 （1） 一点处的最大正应力1max σσ=。

（2） 一点处的最大切应力231max σστ-=，其作用面与2σ平行且与1σ、3σ所在主平面夹角各成 45。

（3） 根据1σ、2σ和3σ作出三个应力圆，则该点任意斜截面上的应力对应于三个应力圆所围的阴影区内的一点的坐标值，如图5-3所示。

5.广义胡克定律 5.1一般形式对于各向同性材料，在小变形情况下，线应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关()[]()[]()[]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+-==+-==+-=zx zx x y z z yz yz z x y y xy xy z y x x G E G E GE τγσσνσετγσσνσετγσσνσε111111 (5-5)5.2主应力与主应变间的关系()[]()[]()[]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=+-=+-=213313223211111σσνσεσσνσεσσνσεE E E（5-6）5.3平面应力状态下的应力应变关系[][][]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-==-=yx z x y y xy xy y x x E E GE σσνενσσετγνσσε111 （5-7a ）或[][][]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-=-=21312221111σσνενσσενσσεEEE （5-7b ） 6.体积应变和变形应变已知三个主应力1σ、2σ和3σ，及材料的弹性常数E 和ν，则 6.1体积应变)(21)(21321321z y x EE σσσνσσσνεεεθ++-=++-=++= （5-8） 6.2体积改变能密度2321)(621σσσνν++-=Eu （5-9）6.3畸变能密度])()()[(61213232221σσσσσσν-+-+-+=Eu d （5-10）6．4应变能密度)](2[21133221232221σσσσσσνσσσνε++-++=+=Eu u u d （5-11）7.强度理论7.1材料失效破坏现象的两种类型（1）屈服失效 材料出现不可恢复的塑性变形而导致材料的失效。

塑性材料的失效就属于屈服失效。

（2）断裂失效 材料无明显的变形而突然断裂。

脆性材料的失效就属于断裂失效。

7.2强度理论的概念强度理论是关于材料失效现象主要原因的假设。

即认为不论是简单应力状态还是复杂应力状态，材料某一类型的破坏是由于某一种因素引起的。

据此，可以利用简单应力状态的实验结果，来建立复杂应力状态的强度条件。

7.3几种常用的强度理论（1） 有关脆性断裂的强度理论①最大拉应力理论（第一强度理论）基本假设 最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。

断裂准则 b σσ=1强度条件 ][1σσ≤ （5-12）②最大伸长线应变理论（第二强度理论）基本假设 最大伸长线应变是引起材料断裂的主要因素。

断裂准则 ()[]b E E σσσνσε113211=+-=强度条件 ()][321σσσνσ≤+- （5-13）③对两种强度理论的分析最大拉应力理论比较符合铸铁、大理石、混凝土等脆性材料的脆性断裂规律，应用较广。

但没有考虑到2σ和3σ对破坏的影响，对没有拉应力的应力状态则无法应用此理论检验其强度。

最大伸长线应变理论，在形式上除了考虑第一主应力1σ外，还考虑了第二、第三主应力的影响。

但实践表明，它只与少数脆性材料的实验结果相符合，如铸铁在拉—压二向应力、且压应力较大的情况吻合。

故现今工程中甚少应用这一理论。

（2）有关塑性屈服的强度理论① 最大切应力理论（第三强度理论）基本假设 最大切应力是引起材料塑性流动的主要因素。

断裂准则 s σσστ21)(2131max =-=强度条件 ][31σσσ≤- （5-14）② 畸变能密度理论（第四强度理论）基本假设 畸变能密度是引起材料塑性屈服的主要因素。

断裂准则 )2(61])()()[(612213232221s d E E u σνσσσσσσν+=-+-+-+= 强度条件][])()()[(21213232221σσσσσσσ≤-+-+- （5-15）③ 对两种强度理论的分析最大切应力理论与畸变能理论均能适合于塑性材料的屈服失效。

按第三强度理论计算出的构件尺寸往往偏于安全，按第四强度理论计算的结果与实验接近。

7.4上述四种强度理论可写成统一形式)4,3,2,1(][=≤i ri σσ （5-16）其中ri σ称为计算应力，从第一到第四强度理论的次序分别为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-+-+-=-=+-==])()()[(21)(2132322214313321211σσσσσσσσσσσσνσσσσr r r r （5-17） 7.5莫尔强度理论基本假设 以实验资料为基础，考虑了材料拉、压强度的不同，承认最大切应力是引起屈服剪断的主要原因并考虑了剪切面上正应力的影响。

强度条件 [][]][31σσσσσ≤=c t （5-18）分析 莫尔强度理论考虑了材料抗拉和抗压能力不等的情况，这符合脆性材料（如岩石混凝土等）的破坏特点。

但未考虑中间主应力2σ的影响是其不足之处。

对于[]t σ和[]c σ相同的材料，式（5-18）可演化成式（5-14）7.6强度理论的选用一般情况下，脆性材料选用关于脆断的强度理论与莫尔强度理论，塑性材料选用关于屈服的强度理论。

但材料的失效形式还与应力状态有关。

例如，无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力情况下将以断裂形式失效，宜采用最大拉应力理论。

在三向压应力情况下都引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论 二、基本要求1.理解应力状态的概念。

2.熟练掌握平面应力状态分析的解析法和图解法。

3.了解三向应力状态的最大应力。

4.理解广义胡克定律并熟练应用。

5.了解复杂应力状态应变能密度的概念及计算。

6.理解强度理论的概念及常用的四种强度理论。

三、典型例题分析例5.1已知图（a ）所示单元体的MPa x 60=σ，MPa y 40-=σ，MPa xy 30-=τ，MPa yx 30=τ。

试求（1） 30-=α斜截面上的应力；（2）主应力、主平面和主应力单元体；（3）最大切应力。

图5-4图5-5解：1．α斜截面上的应力()()MPaxy yx yx 02.960sin 3060cos 24060240602sin 2cos 22=-+-++-=--++=ατασσσσσα()()MPa xy yx 3.5860cos 3060sin 240602cos 2sin 2-=---+=+-=ατασστα 2．主应力、主平面和主应力单元体()⎩⎨⎧-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫MPa xy yx y x 3.483.68302406024060222222min max τσσσσσσ由此得到：MPa 3.681=σ，02=σ，MPa 3.483-=σ 主方向可由下式求得53406060220=+--=--=yx xytg σστα解得 5.151=α， 5.1052=α或 5.742-=α，由于y x σσ>，可知1α主平面的主应力为1σ，2α主平面的主应力为3σ。