一道典型的函数极值点讨论与不等式问题

一道典型的函数极值点讨论与不等式问题

已知函数2()23.x f x e x x =+-

（1）判断函数()f x 在区间[0,1]上极值点情形及个数；

（2）当1x ≥时，若关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围。

解：（1）()43x f x e x '=+-， ()40x f x e ''=+>，所以()f x '在[0,1]上单调递增， 又因为(0)20f '=-<，(1)10f e '=+>，

所以根据零点存在性定理，()f x '在[0,1]内只有唯一的零点0x ， 且当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，

所以()f x 只有一个极小值点，无极大值点。

（2）()f x ax ≥可以转化为23x

e a x x

≤+-， 令()23,1x e g x x x x =+-≥，则2

(1)()20x e x g x x -'=+>恒成立， 所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，

所以min

()(1) 1.g x g e ==- 若23x e a x x

≤+-恒成立，则1a e ≤-（最值原理）。