有限元三角形等参单元

北方工业大学

高等有限元课程总结

姓名:韩双鹏学号: ************* 专业班级:结构研-11 系(部、院):建筑工程学院

2012 年5 月25 日

高等有限元学习总结——六节点三角形等参数单元

1 概述

从弹性力学基本方程到有限元原理再到最新进展，经过本课程的学习，比较系统的掌握了有限元相关内容，更学习到了一种方法、一些生活中的哲理。首先从大方向掌握所学内容，避免迷失在局部造成一叶遮目不见泰山之悲剧，比如弹性力学原理从大方向说就是三类方程，以及其在各类问题中的应用；其次了解了科研的相关过程及创新之处，从已知的东西到无知的领域，正如老师所说，能成功地把某一领域的东西搬到相关领域，这就是一大创造，比如有限元中将梁弯曲的理论研究厚板弯曲问题，由有限元标准单元到等参元的研究等；再有，我们生活中的常识、学习中的某些东西值得我们细细品味，也许这就是平时所说的小事反应大道理，老师的理论：“很多想法都是错误的”“很好想到的方法也许很难走通”“有缺陷的东西才更体现出美”“平衡的理论，吃点亏也许是福”等等，受益匪浅。不再一一赘述，本文将取其中的一个知识点，总结六节点三角形等参单元的相关内容。

我们知道，无论三节点或者六节点三角形单元还是四节点或者八节点矩形单元，它们形状简单、规则但计算精度低，且对于复杂边界的适应性差，难以很好的拟合曲边边界，解决这一问题的通用方法是细分边界，以直代曲，利用更多的简单单元去拟合边界复杂的区域。但这样处理仍存在折线代替曲线所带来的误差，且这种误差不能通过提高单元位移函数的精度来补偿。那么能否构造出单元形状任意、边界适应性好、计算精度高的曲边单元，以便在给定的精度下用较少数目的单元去解决实际问题？这就是有限元中一类重要的单元——等参数单元。本文将总结等参数单元的基本概念，并以六节点三角形单元为例讲述等参元实现过程中的三种变换，以及该等参元的收敛性等问题。

2 等参数单元及实现过程

2.1 等参数单元概念

由于实际问题的复杂性，通常需要使用一些形状不规整和形状复杂的单元来离散边界形状复杂的原问题。如下图所示（a）中为常见的几何形状不规整的实际单元，称为实际单元，也称为参数单元。（b）中为对应的形状规整的单元，称为标准单元。对于形状复杂的实际单元的单元分析，若仍采用前面介绍的方法进行，则在单元位移函数的建立和单元刚度矩阵计算方面会遇到许多困难。由此可考虑利用前面介绍过的形状规整的标准单元的单元分析来研究实际单元，几何形状的不同可认为是坐标变换的结果。

下面以六节点三角形单元为例来说明标准单元和实际单元间的坐标变换。首先回顾下六节点三角形单元。如下图所示：

单元节点位移向量为：

T

e

v u v u v u v u v u v u } {}{665544332211=δ 单元内任意一点的位移是单元节点位移的插值函数,已知u(x,y)和v(x,y)

在六个顶点的函数值，可分别设u(x,y)和v(x,y)为具有六个待定系数的插值多项式

22

12345622

123456u A A x A y A x A xy A y

v B B x B y B x B xy B y

⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩ 将已知条件代入，可解得其中的待定系数。

u(x,y)和v(x,y)也可用Lagrenge 插值公式表示为：

∑=+++++==6

1665544332211k k k u N u N u N u N u N u N u N u

∑=+++++==61

665544332211k k k v N v N v N v N v N v N v N v

写成矩阵形式：

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧66554433221165

4

3

2

1

654321

v u v u v u v u v u v u 0

000000N N N N N N N N N N N N v u 缩写为： {}e ][δδN v u =⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=

单元内任意一点的应变

x y xy u x v y u v y x εεγ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪

⎪∂∂=+⎪∂∂⎩

矩阵形式： {}{}e N H v u H x y y x δε]][[][v u 00=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂= e {}[B]{}εδ=缩写为：

[]12

365

43

2

1

65

4

3

2

1

654321

0000000 0

0]][[][⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂==B B B B B B N N N N N N N N N N N N x y y x

N H B []⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=x N y N y N x

N B k k k k

k 0

0 k = 1,2,3…6 N k (k=1,2,3…6)为六节点三角形单元的形函数，N k 的表达式：

2

6524321),(y a xy a x a y a x a a y x N k k k k k k k +++++= k =1,2,3 (6)

(,)1

(,)0

k k k k i i N x y i k N x y =⎧≠⎨

=⎩ 故可得：

245356 2 2k k k k k

k k k N a a x a y x

N a a x a y y

∂=++∂∂=++∂ 单元内任意一点的应力：}]{][[}]{[}{e

B D D δεσ== 单元刚度矩阵： ⎰

=A

T

e

dxdy B D B t k ]][[][][

有了以上六节点三角形单元的知识，下面我们建立其等参元的概念。如下图所示，在母元中采用面积坐标（123,,L L L ），在子元中采用直角坐标（x,y ）。设两个坐标系间的变换关系为

123123(,,)

(,,)x x L L L y y L L L =⎧⎨

=⎩

利用六个节点在两个坐标系间的一一对应关系，即：

123123(,,)

(1,2...6)(,,)i i i

i x x L L L i y y L L L =⎧=⎨

=⎩

很容易建立两个坐标系间的坐标变换关系。

对照六节点三角形单元的位移函数可知，坐标变换式与其具有完全相同的形式，故可将坐标变换式整理成插值函数的形式：