第八章 位移法
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第八章位移法
8
r22
Z2 1
2
M1 图
2 令EI=4
解： n 2
iAB 1.6
iBC 2
iBD iCE 1
50
60 50
60
R1 p
120
R2 P
R1=0 R2=0
r11Z1 r12 Z 2 R1 p 0 r21Z1 r22 Z 2 R2 p 0
M P图
r11 6i
R1 p 24
代入（8-4）式可得
4 Z1 i
4.计算基本未知量
4 Z1 i
（实际为转角 A ）
M M1Z1 M P
5.采用叠加法绘最后内力图 3i r11
A B
120
96
A
Z1 1
R1P
C
C
96
M p图
B
160
3i
M1 图
108
4 M BA 3i 96 108kN m i 4 M BC 3i 120 108kN m i
两端固定的情况
M AB 4i A 2i B M BA
一端固定一端铰支情况
6i F AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
F F M AB M BA ------固端弯矩
A
B
6i Fl M BA 2i A 4i B AB 0 l 8 1 3i 1 F B ( A AB M BA ) 2 l 2i
基本结构
EI
n4
EI
n3
B A
C
D
G
F
n6 E
08第八章_位移法
第八章位移法本章的问题：A.什么是位移法的基本未知量？B.为什么求内力时可采用刚度的相对值，而求位移时则需采用刚度的真值？C.在力法和位移法中，各以什么方式来满足平衡条件和变形连续条件？D.位移法的基本体系和基本结构有什么不同？它们各自在位移法的计算过程中起什么作用？E.直接平衡法和典型方程法有何异同？F.力法和位移法的优缺点？G.在位移法中如何运用结构的对称性？§8-1位移法概述对图8-1所示单跨梁，象力法[例题7-4]-[例题 7-6]那样进行求解，从而可建立表8-1所示杆端内力。
需要指出的是，对于斜杆除表中所示弯矩、剪力外，还有轴力。
由位移引起的杆端内力称为“形常数”（shape constant）。
由“广义荷载”产生的杆端内力称为“载常数”（load constant），其中外荷载产生的杆端内力称为固端内力（internal force of fixed-end）。
杆端内力的符号及正、负规定见第3章。
两端固定一固一铰一固一定向图8-1 位移法基本单跨梁示意图*P。
P 。
P 有了表8-1，则图8-2 所示的两端固定单跨梁，利用形、载常数和叠加原理可得杆端内力。
例如A 端杆端弯矩为F4322122646ABAB M l EI lEI l EI l EI M ++-+=∆∆∆∆ （a ） A 端杆端剪力为图8-2单跨梁杆段位移和荷载作用AB3∆4∆2∆1∆FQ 42332213Q 612612AB AB F l EI l EI l EI l EI F ++-+=∆∆∆∆ （b ）式（a ）和式（b ）中FAB M 和F Q AB F 为荷载引起的固端弯矩和固端剪力。
同理，也可叠加得到B 端的杆端内力BA M 和BA F Q 。
这些将杆端位移和杆端内力联系起来的式子，称为两端固定单跨梁的转角位移方程（slope-deflection equation ）或刚度方程（stiffness equation ）。
结构力学第8章位移法
结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。
它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。
位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。
位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。
位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。
2.应用边界条件。
根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。
支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。
3.构建位移方程组。
将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。
位移方程组是未知反力系数的线性方程组。
4.解位移方程组。
通过解位移方程组，求解未知反力系数。
可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。
5.求解反力和应力分布。
通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。
这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。
位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。
它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。
同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。
然而，位移法也存在一些限制。
首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。
其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。
此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。
综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。
它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。
然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
位移法
F B 端为铰支座固端弯矩 M AB 由上式得： F M BA F F 铰 支 M AB M AB (c) 2 B 端为滑动支座：q B FQBA 0
P M A 0 FQBAl M AB M BA M A 0
把式(a) 、(b)代入上式，得：
D F F P 6iq A 12i M AB M BA M A P M AB M BA M A l FQBA 0 l l F F P 6iq Al M ABl M BAl M A l 1 l F F P D q Al ( M AB M BA M A ) (d) 12i 2 12i
§8-3 无侧移刚架的计算
1、无侧移刚架基本未知量的判定：
其位移法基本未知量数目
结构上刚结点的独立角位移数 等于结构上的自由刚结点数 。
(a)
1 D E 2 C F
A
(b)
B
D
EA=
C
1 C
B
1 A
2 B
A
(c)
(d)
说明：
1）强调位移法基本未知量是结 构中自由结点上的独立结点位移。 结点上的独立角位移是自由刚结 点上的角位移。
(2) B 端为铰支座
式(8-5)中
M BA 0
，得：
D M AB 4iq A 2iq B 6i L D 0 2iq A 4iq B 6i L
整理上式得：
M AB
D 3iABq A 3i L
(8-9)
(3) B 端为滑动支座
代入(8-5)式，得：
D 1 qA 式(8-6)中 q B FQAB FQBA 0 ，得： L 2
(8-10)
位移法整章全(课件类别)
2、哪些结点的位移作为基本未知量。 3、如何确定基本未知量。
课件精选
11
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温 度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力 结果。
FP x
y
课件精选
12
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：
(1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或 支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件 受拉纤维一侧。剪力的规定同前.
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。
力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立 力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。
在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间 存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基 本未知量, 运用结点或截面的平衡条件——建立位移 法方程——求出未知位移——利用位移与内力之间 确定的关系计算相应的内力。
第八章 位移法
§8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 §8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8-6 对称性的利用
课件精选
1
§8-1 概述
已有的知识：
（1）结构组成分析；
（2）静定结构的内力分析和位移计算；
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、 材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(8-1) 。
仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(8-1) 。
课件精选
16
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
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12
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：
(1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或 支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件 受拉纤维一侧。剪力的规定同前.
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。
力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立 力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。
在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间 存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基 本未知量, 运用结点或截面的平衡条件——建立位移 法方程——求出未知位移——利用位移与内力之间 确定的关系计算相应的内力。
第八章 位移法
§8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 §8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8-6 对称性的利用
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§8-1 概述
已有的知识：
（1）结构组成分析；
（2）静定结构的内力分析和位移计算；
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、 材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(8-1) 。
仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(8-1) 。
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§8-2 等截面直杆的转角位移方程
第8章 位移法
第八章 位移法
§8－1 概述
基本方法——力法、位移法
结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系 力 法： 内力 → 位移 位移法：位移 → 内力
基本未知量 力法——多余未知力 位移法——结点位移（线位移，转角位移）
基本概念：（以刚架为例）
n=2 （超静定次数） 忽略轴向变形，
结点位移
Z1（角位移，无线位移） 变形协调条件
§8－2 等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力 两端固定等截面梁（两端约束杆） 杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB， 只考虑相对线位移ΔAB
弦转角βAB = ΔAB∕l 顺时针为（＋）
求杆端力 ——力法求支座移动引起的内力
11x1 12 x2 1 A 21x1 22 x2 2 B
1、基本未知量的确定 刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变） 角位移数＝刚结点数
固定端角位移＝0 铰结点、铰支座处杆端转角不独立
线位移数＝独立的结点线位移数
a．观察——φ、Δ
b．独立线位移数——几何构造分析方法确定： （1）将所有刚结点（包括固定支座）变铰结点 （2）铰结体系的自由度数＝独立的线位移数
图8－7 M1：r11=3i + 3i＝6i MP： R1P=96-120=-24kN∙m Z1=-R1P/r11=4kN∙m/i M=MP+Z1M1
无侧移刚架： 【题9－9】2个转角位移 （对称性利用——1个转角位移）
例：（图8－9） （a）有侧移结构
计算步骤 （1）基本未知量 z1（φ1）、z2（Δ2） 刚结点——附加刚臂（只约束转动，不约束移动） 结点——附加支座链杆（独立线位移方向）
§8－1 概述
基本方法——力法、位移法
结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系 力 法： 内力 → 位移 位移法：位移 → 内力
基本未知量 力法——多余未知力 位移法——结点位移（线位移，转角位移）
基本概念：（以刚架为例）
n=2 （超静定次数） 忽略轴向变形，
结点位移
Z1（角位移，无线位移） 变形协调条件
§8－2 等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力 两端固定等截面梁（两端约束杆） 杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB， 只考虑相对线位移ΔAB
弦转角βAB = ΔAB∕l 顺时针为（＋）
求杆端力 ——力法求支座移动引起的内力
11x1 12 x2 1 A 21x1 22 x2 2 B
1、基本未知量的确定 刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变） 角位移数＝刚结点数
固定端角位移＝0 铰结点、铰支座处杆端转角不独立
线位移数＝独立的结点线位移数
a．观察——φ、Δ
b．独立线位移数——几何构造分析方法确定： （1）将所有刚结点（包括固定支座）变铰结点 （2）铰结体系的自由度数＝独立的线位移数
图8－7 M1：r11=3i + 3i＝6i MP： R1P=96-120=-24kN∙m Z1=-R1P/r11=4kN∙m/i M=MP+Z1M1
无侧移刚架： 【题9－9】2个转角位移 （对称性利用——1个转角位移）
例：（图8－9） （a）有侧移结构
计算步骤 （1）基本未知量 z1（φ1）、z2（Δ2） 刚结点——附加刚臂（只约束转动，不约束移动） 结点——附加支座链杆（独立线位移方向）
第8章位移法
将系数和自由项代入典型方程并求解，可得
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
§8-6 对称性的利用
绘弯矩图d、e、g。
6 EI r11 10m r12 r21
112EI r22 1000m 3 6EI 100m 2
R1P 100kN m R2P 60kN
232.7kN m 2 Z1 EI 解得 660.4kN m 3 Z2 EI
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
图a所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点B 加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二 者的位移完全一致了。
典型方程
主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。 副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji。 每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩→结构的刚度系数； 位移法典型方程→结构的刚度方程；位移法→刚度法。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
例8-1 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
§8-6 对称性的利用
绘弯矩图d、e、g。
6 EI r11 10m r12 r21
112EI r22 1000m 3 6EI 100m 2
R1P 100kN m R2P 60kN
232.7kN m 2 Z1 EI 解得 660.4kN m 3 Z2 EI
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
图a所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点B 加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二 者的位移完全一致了。
典型方程
主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。 副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji。 每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩→结构的刚度系数； 位移法典型方程→结构的刚度方程；位移法→刚度法。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
例8-1 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。
第8章位移法
在图（c）、（d）、（e）中分别利用结点和杆件的平衡条件可计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核，在图（f）中取结点1为隔离体，验算是否满足 的平衡条件。由
可知计算无误。
题8-5试用位移法计算图（a）所示刚架，并绘制弯矩图。
（6）校核。在图（e）中取结点1为隔离体，验算是否满足平衡条件。由
可知计算无误。
题8-3试用位移法计算图（ห้องสมุดไป่ตู้）所示刚架，并绘制内力图。
题8-3图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 ，基本结构如图（b）所示。
（2）列出位移法方程
（3）求系数和自由项。绘出 和荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图（c）、（d）所示。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘弯矩图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核心。在图（f）中取结点1为隔离体，有
再取杆12为隔离体，有
可知计算无误。
题8-6试用位移法计算题19。6图（a）所示刚架，并绘出弯矩图。
题8-6图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 和结点1的水平线位移 ，基本结构如图（b）所示。
在图（c）、（d）中分别利用结点的平衡条件计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘地内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（e）所示。利用杆件和结点的平衡条件可作出 图，分别如图（f）、（g）所示。其中在绘 图时需补充水平方向的变形条件才能求出，即A1杆的伸长量与B1杆的伸长量之和等于零。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核，在图（f）中取结点1为隔离体，验算是否满足 的平衡条件。由
可知计算无误。
题8-5试用位移法计算图（a）所示刚架，并绘制弯矩图。
（6）校核。在图（e）中取结点1为隔离体，验算是否满足平衡条件。由
可知计算无误。
题8-3试用位移法计算图（ห้องสมุดไป่ตู้）所示刚架，并绘制内力图。
题8-3图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 ，基本结构如图（b）所示。
（2）列出位移法方程
（3）求系数和自由项。绘出 和荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图（c）、（d）所示。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘弯矩图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核心。在图（f）中取结点1为隔离体，有
再取杆12为隔离体，有
可知计算无误。
题8-6试用位移法计算题19。6图（a）所示刚架，并绘出弯矩图。
题8-6图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 和结点1的水平线位移 ，基本结构如图（b）所示。
在图（c）、（d）中分别利用结点的平衡条件计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘地内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（e）所示。利用杆件和结点的平衡条件可作出 图，分别如图（f）、（g）所示。其中在绘 图时需补充水平方向的变形条件才能求出，即A1杆的伸长量与B1杆的伸长量之和等于零。
第8章_位移法
k11
MP
3i
3
1
k11 4i 3i 7i
4i
将以上两式代入基本方程，得：
kR1111
4i
1
2
3Pl 7i Z1 16 0
1=Z1
Z1=
3i 1
3Pl Z1 112i
3
2i
M1
4、根据叠加原理作最后弯矩图
M M1Z1 MP
3Pl Z1 112i
3Pl 28
1
2
11Pl 56
3
3Pl 56
1
M 2
X2=1 1/l
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
A
fA
X1
fB
令 i EI l 线刚度
X1
4i A
2iB
6i l
X1=1
X2
2i A
4iB
6i l
1
M AB
4i A
2i B
6i l
M BA
2i A
4i B
6i l
M 1
M 2
X2=1
VAB
M AB
M BA l
C
D
C
D
1
C
D
A
B
A
B
1
试确定图示结构的独立线位移数
4
0
3、位移法的基本未知数
n n nl
例：确定结构按位移法求解的基本未知数
n 4 n n nl 4 2 6
nl 2
思考：确定结构按位移法求解的基本未知数
n n nl 6 2 8
第八章 位移法
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时， 其杆端弯矩为
6i F ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l M AB 4i A 2i B
转角位移方程
第8章 位移法
三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
EI FP B
FP
EI EI
EI
EI
3、图示结构，各杆长为l， 用位移法求解时， 典型方程的系数r11= ，自由项R1P= 。
FPl FP
4、已知刚架的弯矩图如图所示，各杆 EI为常数，杆长l=4m，则结点B的转角 ΦB= 。 30
30
l
l/2
l/2
第8章 位移法
例8-2 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
由
M M1Z1 M
第8章 位移法
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0
M12 M13 0
如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0
FS13 FS24 0
φA P q βAB φA FSAB FSBA l EI t1˚C t2˚C
MAB
A
B ΔAB
B'
EI EI F M 3 3 Δ M AB A AB l l2 M BA 0
EI 令：i 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
一、杆端力的表示方法和正负号的规定
结构力学 位移法
n EAi 2 ∑ ⋅ sin α i ∆ = F p li i =1
荷载之间的关系。 荷载之间的关系。 由基本方程得
(e)
上式就是位移法的基本方程 位移法的基本方程， 上式就是位移法的基本方程，它反映了结构的结点位移与结构的结点
Fp ∆= n EAi ⋅ sin2 αi ∑l i =1 i
由虎克定律得
(b)
图(a)
ui =
则：FN i
FN i l i EAi
(c)
∆
ui
EAi = u i (u i = ∆ sin α i ) (d) li
图(c)
上式就是拉压杆的刚度方程 它反映了杆端力F 与杆端位移u 拉压杆的刚度方程， 上式就是拉压杆的刚度方程，它反映了杆端力 N i与杆端位移 i 之间的 关系。 式代入(a)式得 关系。把(d)式代入 式得 式代入
F
p
2 1
Z
1
Z
1
Z
1
3
图(b) 图(a)
图(c)
如果能求出转角Z 则各杆（ 杆 如果能求出转角 1，则各杆（12杆、13杆）的内力均可按前面的 杆 力法求得。因此，在位移法中，以结点位移 作为基本未知量 作为基本未知量， 力法求得。因此，在位移法中，以结点位移Z作为基本未知量，并以 单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时， 单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时， 需要解决下面三个问题： 需要解决下面三个问题： (1)位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量） 位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量） 位移法的基本未知量的数目 (2)单跨超静定梁分析 单跨超静定梁分析 (3)相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解
第8章 位移法
FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
FF Q BA
§8.2
等截面直杆的转角位移方程
（2）一端固定一端铰支的单跨超静定梁
A
M
MAB
A
A
FQAB
q
FP
B
EI
B1
B
(非独立角位移)
FQBA l
M AB
3iA
3i l
M
F AB
M BA 0
FQ AB FQ BA
3i l
A
3i l
A
3i l2 3i l2
σ M1 = M13 + M12 = 0
（a）
σ Fx = Fs13 + Fs24 = 0
（b）
利用转角位移方程（8-2）、（8-3）及
（8-5）
r11Z1 + ⋯ + r1iZi + ⋯ + r1nZn + R1p = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯
ri1Z1 + ⋯ + riiZi + ⋯ + rinZn + Rip = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯
rn1Z1 + ⋯ + rniZi + ⋯ + rnnZn + Rnp = 0
在上述典型方程中，主斜线上的系数rii称为主系数或主反力；其 他系数rij称为副系数或副反力；Rip称为自由项。系数和自由项的 符号规定是：以与该附加联系所设位移方向一致者为正。主反力
§8.3
位移法的基本未知量和基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都可以看成是一根单跨 超静定梁，因此位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变成两 端固定的或一端固定一端铰支的单跨超静定梁。为此，可以在每个 刚结点上假想的加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动（但不能 阻止结点的移动），同时加上附加支座链杆以阻止结点的线位移。 例如图8-3a所示刚架，在两刚结点1、3处分别加上刚臂，并在结点 3处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件就都成为两端固 定或一端固定一端铰支的梁。原结构的基本结构如图8-3所示，它 是单跨超静定梁的组合体。 又如图8-4a所示刚架，其结点角位移数目为4（注意其中结点2也是 刚结点，即杆件62与32在该处刚结），结点线位移数目为2，一共 有6个基本未知量。加上4个刚臂和两根支座链杆后，可得到基本结 构如图8-4b
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
第八章 位移法
FSBA
转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation
石铁大 结构力学
Chapter 8 Displacement Method
同理，另两类杆的转角位移方程为 A端固定B端铰支
M AB = 3iϕ A − 3i F ∆AB + M AB l
3i 3i F FSAB = − φ A + 2 ∆ AB + FSAB l l 3i 3i F FSBA = − φ A + 2 ∆ AB + FSBA l l
石铁大 结构力学
Chapter 8 Displacement Method
§8-1 概
EA = ∞ Z1
述(Introduction)
内力计算的关键是 求结点位移Z1
l/2 P l/2
Z1 =
EI
EI
Z1=1
× Z1
Z1
Z1 =
P
P
+
石铁大 结构力学
Chapter 8 Displacement Method
R2P r12
q
M2
4i / l
M1
4i
3i 2i
ql / 8 ql 2 / 8
MP
2
q R1P
3i / l
r11 = 34i / 3l 2
r12 = −4i / l
16 i / 3 l 3 i / l 2
2
r22 r11
3i 4i
r21
3i
R1 P = −3ql 2 / 4 r21 = −4i / l r22 = 10i R2 P = 0
石铁大 结构力学
Chapter 8 Displacement Method
《结构力学》第八章 位移法
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
na 2 nl 3
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。整理后形式 均为：
K R 0
典型方程法基本概念
有一(A 点
转角,设为
).
位移法第一种基本思路
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
3i
ql 2 8
M AB
4i
FP l 8
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移) 关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立 和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可 得原结构受力
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载 载
1
超静定单跨梁的力法结果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载 载
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（2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）改为铰结点，如此 体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不变体系所需添加的链 杆数目即等于原结构的独立线位移数目。
位移法
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。
图a所示刚架，在刚结点1、3处 分别加上刚臂，在结点3处加上一根 水平支座链杆，则原结构的每根杆件 都成为单跨超静定梁。
2iA
6i l
ΔAB
M
F BA
转角位移方程
位移法
三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B 端为铰支，则有
φA P
MAB A φA
FSAB
q
βAB
EI
l
t1˚C
B
t2˚C
ΔAB
B'
FSBA
M AB
3iA
3i l
AB
'
M
F AB
M BA 0
M BA
4iB
2i A
位移法
如何确定基本未知量
附加刚臂：阻止刚结点的转动，但 不能阻止结点的移动。
1、在刚结点处加上附加刚臂；
附加链杆：阻止结点的线位移。
2、在结点会发生线位移的方向上加上附加链杆；
3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目；
4、确定线位移的方法:
（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点。
位移法
作X1、X2分别等于1时的单位弯矩图如图c、d。
11
l 3EI
,
22
l 3EI
12
21
l 6EI
由图e可得
Δ1Δ
Δ2 Δ
AB
ΔAB l
βAB—弦转角，顺时针方向为正。
解典型方程得
X
1
4EI l
A
2EI l
B
6EI l2
ΔAB
X
2
4EI l
B
2EI l
A
6EI l2
ΔAB
位移法
令 i EI —杆件的线刚度 l
(d’) A
B
C
C
以图（b’）、（c’）（d’）分别 代替图（b）、（c）、（d）：
位移法
q
A
øB
B
øB
C
l
l
原结构
Z1= øB
R1 q
A
øB
B
øB
C
基本体系
Z1= øB
A
øB B
R11 øB
C
R1P q
A
B
C
1、基本体系
2、平衡条件 R11+R1P=0
因为：R11=r11Z1 (见下图） 所以： r11Z1 +R1P=0
位移法
EI EA
1
2
1 2
EA
EA 3
3
（考虑轴向变形）
位移法
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
(a) A (b) A (c) A
q
øB
B
øB
l
l
øB B
q
øB
øB B
øB
C
(b’) A C
(c’) A C
Z1= øB
R1 q
øB
B
øB
C
Z1= øB
øB B
R11 øB
C
(d) A
B
q
R1P q
MAB=X1，MBA=X2，可得
M
AB
4iA
2iB
6i l
ΔAB
M
BA
4iB
2iA
6i l
ΔAB
固端弯矩
M
AFB、M
F BA
：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的
杆端弯矩。
因此，当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变 化时，其杆端弯矩为
M AB
4iA
2iB
6i l
ΔAB
M
F AB
M BA
4iB
基本未知量： 结点角位移 结点线位移
1、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图a所示刚架 独立结点角位移数目为2。
2、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯曲变形是微小的。如图a， 4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖 向位移。两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的水 平位移。
6i l
ΔAB
M
F BA
0
B
1 2
( A
3 l
ΔAB
1 2i
M
F BA
)
B 不是独立的
M
F＇
AB
M
F AB
1 2
M
F BA
位移法
杆端弯矩
杆端剪力
两端固定梁的转角位移方程
M AB
4iA
2iB
6 i l
Δ AB
M
F AB
M BA
2iA
4iB
6i l
Δ AB
M
F BA
FSAB
6i l
A
6i l
位移法
位移法：先确定某些位移，再推求内力。
图a所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴
向变形，可将结构分解如图b、c。
思路：将结点1的角位移Z1
作为基本未知量，求
出Z1，进而求出各杆
内力。
需解决的问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力；
（2）确定哪些位移作为基本未知量； （3）如何求出这些位移。
B
12i l2
Δ
FF SAB
FSAB
6i l
A
6i l
B
12i l2
Δ
FF SBA
一端固定、另一端铰支梁的 转角位移方程
M AB
3iA
3 i l
Δ AB
M
F AB
MBA 0
FS AB
3i l
A
3i l2
Δ AB
FF SAB
FSAB
3i l
A
3i l2
Δ AB
FF SBA
位移法
§ 8.3 位移法的基本未知量和基本结构
Z1=－ R1P／ r11
Z1= １
r q 11
A
øB
B
øB
C
A
q
øB
B
øB
l
l
原结构 Z1
q
r11 Z1 R1 p 0
C
r11
4EI l
3EI 7EI
Z1
l
l R1 p
r11
ql2 8
7 EI
ql 2 R1P 8 ql3
位移法
§ 8.2 等截面直杆的转角位移方程
一、杆端力的表示方法和正负号的规定
P
A
B
MAB0
MBA0
P
A FSAB0
B FSBA0
符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正； 剪力正负号规定同“材力”。
位移法
二、两端固定梁的转角位移方程
φA P q
MAB A
βAB φA
FSAB
t1˚C
EI
t2˚C
φB
βAB
l
B
ΔAB
B' MBA
FSBA
图a所示两端固定的等截面梁， 两端支座发生了位移。取基本结构如 图b。
X3对梁的弯矩无影响，可不考虑， 只需求解X1、X2。
力法典型方程为
11X1 12 X 2 Δ1Δ A 21X1 22 X 2 Δ2Δ B
符号规定： A、B 均以顺时针方向为正；
△AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。
这个单跨超静定梁的组合体称为
位移法的基本结构。如图c。
位移法
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2） 结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
位移法
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
位移法
如何确定基本未知量举例：
位移法
第8章 位移法
§8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 §8-5 直接由平衡条件建立位移法方程 §8-6 对称性的利用
位移法
§ 8.1 概述
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一
P
力法计算,9个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量
位移法
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。
图a所示刚架，在刚结点1、3处 分别加上刚臂，在结点3处加上一根 水平支座链杆，则原结构的每根杆件 都成为单跨超静定梁。
2iA
6i l
ΔAB
M
F BA
转角位移方程
位移法
三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B 端为铰支，则有
φA P
MAB A φA
FSAB
q
βAB
EI
l
t1˚C
B
t2˚C
ΔAB
B'
FSBA
M AB
3iA
3i l
AB
'
M
F AB
M BA 0
M BA
4iB
2i A
位移法
如何确定基本未知量
附加刚臂：阻止刚结点的转动，但 不能阻止结点的移动。
1、在刚结点处加上附加刚臂；
附加链杆：阻止结点的线位移。
2、在结点会发生线位移的方向上加上附加链杆；
3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目；
4、确定线位移的方法:
（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点。
位移法
作X1、X2分别等于1时的单位弯矩图如图c、d。
11
l 3EI
,
22
l 3EI
12
21
l 6EI
由图e可得
Δ1Δ
Δ2 Δ
AB
ΔAB l
βAB—弦转角，顺时针方向为正。
解典型方程得
X
1
4EI l
A
2EI l
B
6EI l2
ΔAB
X
2
4EI l
B
2EI l
A
6EI l2
ΔAB
位移法
令 i EI —杆件的线刚度 l
(d’) A
B
C
C
以图（b’）、（c’）（d’）分别 代替图（b）、（c）、（d）：
位移法
q
A
øB
B
øB
C
l
l
原结构
Z1= øB
R1 q
A
øB
B
øB
C
基本体系
Z1= øB
A
øB B
R11 øB
C
R1P q
A
B
C
1、基本体系
2、平衡条件 R11+R1P=0
因为：R11=r11Z1 (见下图） 所以： r11Z1 +R1P=0
位移法
EI EA
1
2
1 2
EA
EA 3
3
（考虑轴向变形）
位移法
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
(a) A (b) A (c) A
q
øB
B
øB
l
l
øB B
q
øB
øB B
øB
C
(b’) A C
(c’) A C
Z1= øB
R1 q
øB
B
øB
C
Z1= øB
øB B
R11 øB
C
(d) A
B
q
R1P q
MAB=X1，MBA=X2，可得
M
AB
4iA
2iB
6i l
ΔAB
M
BA
4iB
2iA
6i l
ΔAB
固端弯矩
M
AFB、M
F BA
：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的
杆端弯矩。
因此，当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变 化时，其杆端弯矩为
M AB
4iA
2iB
6i l
ΔAB
M
F AB
M BA
4iB
基本未知量： 结点角位移 结点线位移
1、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图a所示刚架 独立结点角位移数目为2。
2、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯曲变形是微小的。如图a， 4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖 向位移。两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的水 平位移。
6i l
ΔAB
M
F BA
0
B
1 2
( A
3 l
ΔAB
1 2i
M
F BA
)
B 不是独立的
M
F＇
AB
M
F AB
1 2
M
F BA
位移法
杆端弯矩
杆端剪力
两端固定梁的转角位移方程
M AB
4iA
2iB
6 i l
Δ AB
M
F AB
M BA
2iA
4iB
6i l
Δ AB
M
F BA
FSAB
6i l
A
6i l
位移法
位移法：先确定某些位移，再推求内力。
图a所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴
向变形，可将结构分解如图b、c。
思路：将结点1的角位移Z1
作为基本未知量，求
出Z1，进而求出各杆
内力。
需解决的问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力；
（2）确定哪些位移作为基本未知量； （3）如何求出这些位移。
B
12i l2
Δ
FF SAB
FSAB
6i l
A
6i l
B
12i l2
Δ
FF SBA
一端固定、另一端铰支梁的 转角位移方程
M AB
3iA
3 i l
Δ AB
M
F AB
MBA 0
FS AB
3i l
A
3i l2
Δ AB
FF SAB
FSAB
3i l
A
3i l2
Δ AB
FF SBA
位移法
§ 8.3 位移法的基本未知量和基本结构
Z1=－ R1P／ r11
Z1= １
r q 11
A
øB
B
øB
C
A
q
øB
B
øB
l
l
原结构 Z1
q
r11 Z1 R1 p 0
C
r11
4EI l
3EI 7EI
Z1
l
l R1 p
r11
ql2 8
7 EI
ql 2 R1P 8 ql3
位移法
§ 8.2 等截面直杆的转角位移方程
一、杆端力的表示方法和正负号的规定
P
A
B
MAB0
MBA0
P
A FSAB0
B FSBA0
符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正； 剪力正负号规定同“材力”。
位移法
二、两端固定梁的转角位移方程
φA P q
MAB A
βAB φA
FSAB
t1˚C
EI
t2˚C
φB
βAB
l
B
ΔAB
B' MBA
FSBA
图a所示两端固定的等截面梁， 两端支座发生了位移。取基本结构如 图b。
X3对梁的弯矩无影响，可不考虑， 只需求解X1、X2。
力法典型方程为
11X1 12 X 2 Δ1Δ A 21X1 22 X 2 Δ2Δ B
符号规定： A、B 均以顺时针方向为正；
△AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。
这个单跨超静定梁的组合体称为
位移法的基本结构。如图c。
位移法
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2） 结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
位移法
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
位移法
如何确定基本未知量举例：
位移法
第8章 位移法
§8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 §8-5 直接由平衡条件建立位移法方程 §8-6 对称性的利用
位移法
§ 8.1 概述
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一
P
力法计算,9个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量