2015年福建省高中数学竞赛暨数学联赛福建赛区预赛

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年全国高中数学联赛(省级赛区)一等奖名单

姓名2007年全国高中数学联赛(省级赛区)一等奖名单安徽省（37 名）学校证书编号姓名学校证书编号李家夫合肥一中实验班王韬马鞍山二中方显中蚌埠二中（高二）王天齐马鞍山二中刘庆源铜陵市一中张凤逸铜陵市一中钱晨芜湖一中华连盛芜湖一中陈蕾合肥一中（高二）何流芜湖一中张扬翼合肥一中（高二）毕然合肥一中娄卓阳安庆一中陶健铜陵市一中朱宇翔安庆一中胡乐川安庆一中陆正茂安庆一中（高二）陶伟滁州中学王浩培安庆一中姓名学校M072301 胡文伯合肥一中M072302 郑超安庆一中（高二）M072303 胡波铜陵市一中M072304 王冲铜陵市一中M072305 王璐芜湖一中M072306 李辰锴马鞍山二中（高二）M072307 潘清马鞍山二中M072308 朱兵铜陵市一中M072309 杨阳光科大附中M072310 刘凤麟滁州中学M072311 周正华合肥六中M072312 罗丹安庆一中（高二）M072313 张云峰淮北一中M072314 陈志勇铜陵市一中M072315 唐笑天芜湖一中M072316 邓学磊合肥八中M072317 李亚威铜陵市一中M072318 许劲松定远中学M072319北京市（40 名）证书编号姓名学校M072320M072321M072322M072323M072324M072325M072326M072327M072328M072329M072330M072331M072332M072333M072334M072335M072336M072337证书编号林博人大附中（高二）高磊北大附中陈锐人大附中李黎人大附中M071001M071002M071003M071004付桐人大附中赵家璐人大附中王天辰北京八中毕楠人大附中（高二）M071021M071022M071023M071024韩世予人大附中王宇前人大附中章博宇人大附中（高二）李源北京四中姜雾彤北京十二中黄一潇清华附中任诚北京五中M071005M071006M071007M071008M071009M071010M071011王晓翔人大附中胡梦萦人大附中安雨北京四中王烁人大附中窦帅人大附中吕骅人大附中（高二）王其然北京四中M071025M071026M071027M071028M071029M071030M071031曾力玮人大附中M071012 孙羽浩北师大实验中学（高二）M071032李超人大附中（高二）李光昊人大附中刘新萌人大附中（高二）邵世骏人大附中王景行人大附中吴星晔人大附中沈峥迪北京四中（高二）李孟元人大附中（高二）M071013M071014M071015M071016M071017M071018M071019M071020李泰伯人大附中贺行舟北京五中龚任飞北京八中居思远北京二中雷磊人大附中杨道隆北京二中储菁人大附中郭溢譞人大附中（高二）M071033M071034M071035M071036M071037M071038M071039M071040姓名学校福建省（40 名）证书编号姓名学校证书编号刘宇建阳一中M073501 郑经涛厦门外国语学校（高二）M073521黄棱潇泉州五中苏钧福州一中谢松晏厦门双十中学罗翔厦门双十中学陈阳福州一中王行之泉州五中连亦旻泉州一中温玎乔福州一中苏宇坤厦门双十中学涂列捷龙岩一中陈里福州一中（高二）李天阳厦门双十中学游健邵武一中陆俊敏福州三中（高二）吴浩原厦门双十中学林屹冬泉州五中M073502M073503M073504M073505M073506M073507M073508M073509M073510M073511M073512M073513M073514M073515M073516M073517王一畅福州一中林溦南安一中林超扬南安一中任乾厦门双十中学蔡加祥同安一中陈伟杰同安一中董百强泉州五中张海峰三明二中陈延冰霞浦一中杨倩厦门一中（高二）张君华师大附中许建东莆田二中林文斌同安一中戴彦祺厦门一中洪添丁翔安一中梁鑫福州一中M073522M073523M073524M073525M073526M073527M073528M073529M073530M073531M073532M073533M073534M073535M073536M073537黄锦熙福州三中M073518 欧阳伊希厦门双十中学M0735384 李晔晨泉州一中罗赟骅三明二中M073519M073520黄威霖南平一中杨遒景福州一中M073539M073540姓名学校甘肃省（40 名）证书编号姓名学校证书编号项顶兰州一中王骁西北师大附中薛元西北师大附中汤思健西北师大附中周显明西北师大附中王润强西北师大附中王颢霏西北师大附中马优西北师大附中李天江武威一中史煜永昌一中火子榕兰州一中（高二）薛珊西北师大附中王丹西北师大附中陈顥天兰州一中（高二）姚博兰州一中罗成西北师大附中魏冰洁西北师大附中崔晓锐兰州一中李雅婷武威六中孙浩然西北师大附中M077301M077302M077303M077304M077305M077306M077307M077308M077309M077310M077311M077312M077313M077314M077315M077316M077317M077318M077319M077320王成西北师大附中许开龙民勤一中汪佩宁会宁二中刘佳星酒钢三中岳岐峰西北师大附中马文俊西北师大附中鲁兴廷武威一中袁志刚武威一中张节西北师大附中何怡鸥兰州一中刘宏剑兰州一中高翔西北师大附中朱国超兰州一中陈坤兰州一中冯姗喜西北师大附中赵熹兰州一中丁珂兰州一中（高二）赵玉文西北师大附中王天民西北师大附中赵文欣会宁二中M077321M077322M077323M077324M077325M077326M077327M077328M077329M077330M077331M077332M077333M077334M077335M077336M077337M077338M077339M077340姓名学校广东省（45 名）证书编号姓名学校证书编号黄晨笛中山纪念中学M075101 姚国钦深圳中学（高二）M075124 许大昕中山纪念中学M075102 黄钲淇茂名市第一中学（高二）M075125 陆悠深圳中学M075103 吴杰鑫深圳南山外国语学校M075126 谭立宇深圳中学M075104 罗穗骞华南师大附中（高二）M075127 杨礼健深圳中学M075105 陈立华南师大附中M075128 李攀华南师大附中（高二）M075106 冯海明中山纪念中学M075129李响深圳中学杨洋中山纪念中学丁凡伦深圳市翠园中学林泓州华南师大附中赵启轩深圳中学王奕捷中山纪念中学徐骁深圳华侨城中学黄大伟深圳市翠园中学M075107M075108M075109M075110M075111M075112M075113M075114陈贵强深圳市松岗中学肖传炜中山纪念中学王程一深圳外国语学校项婷深圳中学黄景祥深圳中学罗知天华南师大附中邹佛灵华南师大附中马杰波中山纪念中学M075130M075131M075132M075133M075134M075135M075136M075137张中成深圳市翠园中学M075115 蔡畅汕头市金山中学（高二）M075138 姚田田深圳中学M075116 蔡展灏深圳市松岗中学M075139郑豪中山纪念中学孙博深圳中学（高二）M075117M075118张思聪华南师大附中庄梓铨华南师大附中M075140M075141陈智敏深圳中学M075119 老嘉隆中山纪念中学（高二）M075142庾紫林广州大学附属中学刘薇深圳中学潘智健中山纪念中学喻文竹深圳实验学校高中部M075120M075121M075122M075123黎楚君中山纪念中学冯俊杰中山纪念中学张青山深圳市松岗中学M075143M075144M075145姓名潘锦钊南宁二中学校广西自治区（29 名）证书编号姓名M075301 周建山宾阳中学学校证书编号M075316黄俊柳铁一中（高二）钟珺文柳铁一中M075302M075303青慈阳南宁二中黎璇南宁二中（高二）M075317M075318刘少琨柳州高中M075304 李柏柳州地区高中（高二）M075319徐剑韬河池高中郭子彦南宁二中（高二）黄乾泽梧州高中黄冠杰南宁三中杨天悦南宁二中陈柯宇南宁二中徐俨南宁二中周和心广西师大附中李哲柳州高中M075305M075306M075307M075308M075309M075310M075311M075312M075313吴泰霖南宁二中李林毓南宁二中黄整章邕宁高中蒋连军全州高中张震南宁三中李荣战百色高中杨欣怡南宁二中梁孟麟都安高中徐阳彤柳州高中M075320M075321M075322M075323M075324M075325M075326M075327M075328周施成广西师大附中（高二）M075314郑乔舒南宁三中（高二）M075315马骏广西师大附属外国语学校M075329姓名学校贵州省（22 名）证书编号姓名学校证书编号刘玄烨贵州师大附中M075501 王力乐贵阳一中M075512 刘军贵州师大附中（高二）M075502 王栋彬德江一中M075513蒋良虎安顺一中严通行都匀一中李艳华铜仁二中袁伟思南中学杨亚遵义四中安成德江一中牟征辉安顺二中施烁安顺二中冯珊宝德江一中M075503M075504M075505M075506M075507M075508M075509M075510M075511张佳琦贵阳一中（高二）李湘全安顺二中万静修文中学（高二）冯黔湘织金一中蒲富银兴义八中熊万华六枝市二中晁思达贵州师大附中张健安顺二中梁衡眉江中学M075514M075515M075516M075517M075518M075519M075520M075521M075522姓名学校海南省（28 名）证书编号姓名学校证书编号刘知寒海口一中（高二）古斯莹海南中学（高二）蔡峥海南中学吴守君国科园李职壮海南中学袁钰海南中学（高二）王兆盛定安中学王庆凯海南农垦中学陆斌嘉积中学李晓沛海口一中李恩华海南中学杨文瀚海南中学汪若凡海南中学刘取信海南侨中M075701M075702M075703M075704M075705M075706M075707M075708M075709M075710M075711M075712M075713M075714卓睿海南中学刘盛宏定安中学吴丰廷海南中学谢蓓儋州市二中符晓莉嘉积中学冯小艳海南中学郭秋萍嘉积中学方乾海南中学（高二）刘宗悦海南中学王惟正嘉积中学冼明颢海南农垦中学余国民海南中学朱凤娟海南侨中李献翠嘉积中学M075715M075716M075717M075718M075719M075720M075721M075722M075723M075724M075725M075726M075727M075728姓名学校河北省（40 名）证书编号姓名学校证书编号李聪石家庄市二中张楠石家庄市二中M070501M070502姜子臻石家庄市二中史妍承德一中M070521M070522张益宁石家庄外国语学校（高二）M070503 胡洋石家庄市九中M070523许励治石家庄市二中石婷石家庄市二中M070504M070505李明石家庄市二中张然石家庄外国语学校M070524M070525王倩雯石家庄市二中（高二）M070506 张名昊衡水中学M070526曲川承德二中王若凡石家庄市二中张策石家庄市二中孙逸夫唐山一中（高二）杨超石家庄市二中张乾尧石家庄市二中蒋赛唐山一中骆云龙衡水中学李彦君衡水中学李卫华唐山一中刘阳衡水中学M070507M070508M070509M070510M070511M070512M070513M070514M070515M070516M070517余晨曦石家庄市一中曹泽宇石家庄市二中张晓颖衡水中学王洪祥衡水中学许尊石家庄市二中任一恒唐山一中魏泽行石家庄市二中王鹏衡水中学高湜源邯郸市一中郑宇薇衡水中学林明博衡水中学M070527M070528M070529M070530M070531M070532M070533M070534M070535M070536M070537薛非石家庄市二中（高二）M070518 李雪石家庄市二中M070538李晨唐山一中李颖哲石家庄市二中M070519M070520郑莎莎保定二中石磐石家庄市二中M070539M070540姓名学校河南省（45 名）证书编号姓名学校证书编号王启辰河南省实验中学（高二）M074501 王驰洋焦作市一中M074524吴亚奇河南师大附中司健河南师大附中M074502M074503王立超河南省实验中学李国帅河南大学附属中学M074525M074526赵唯嘉河南师大附中（高二）M074504 李莹河南大学附属中学M074527 尹航河南省实验中学M074505 张益鸣河南省实验中学M074528 张一甲河南师大附中（高二）M074506 石浩郑州市外国语学校M074529席静怡河南师大附中刘梦伟河南师大附中M074507M074508侯跃伟郑州市一中王博河南师大附中M074530M074531周彤河南师大附中（高二）M074509 刘博语河南师大附中M074532 王佰钦河南师大附中M074510 李源淳河南师大附中（高二）M074533王之光河南师大附中宋超河南师大附中崔慈航辉县市一中陈崭河南师大附中孟凡河南省实验中学陈青祥河南大学附属中学张维涵河南省实验中学王梓河南省实验中学杜亚领河南大学附属中学俞文瀚河南省实验中学王家鑫商丘市一高刘畅河南省实验中学闫龙达焦作市一中M074511M074512M074513M074514M074515M074516M074517M074518M074519M074520M074521M074522M074523张竞可鲁山一高张艺馨郑州市四中徐沫固始慈济高中高远河南师大附中刘昱成河南省实验中学仝一然北大附中河南分校李奕青郑州市一中刘雪晴河南省实验中学刘玉茹河南大学附属中学崔聪濮阳油田三高赵罡郑州市一中张淑均濮阳油田一中M074534M074535M074536M074537M074538M074539M074540M074541M074542M074543M074544M074545姓名学校黑龙江省（40 名）证书编号姓名学校证书编号何昊青哈尔滨师大附中（高二）M071501 李雨田哈尔滨师大附中（高二）M071502 戴德松哈尔滨师大附中杨树驿大庆实验中学M071521M071522王梓哈尔滨师大附中M071503 吴洁强牡丹江一中M071523 吕志远哈尔滨第三中学（高二）M071504 闫家奇哈尔滨第三中学M071524 宋宏宇鹤岗一中M071505 王百洋哈尔滨第三中学（高二）M071525 陆直哈尔滨师大附中M071506 汤博大庆实验中学M071526 田昆哈尔滨师大附中（高二）M071507 张鸣一哈尔滨第三中学M071527孙可哈尔滨师大附中徐建宇哈尔滨第三中学黄寒月阿城一中韩睿哈尔滨师大附中M071508M071509M071510M071511王天宇大庆铁人中学张轩旗大庆一中郝天一哈尔滨师大附中牟景宇黑河中学M071528M071529M071530M071531肖非哈尔滨师大附中（高二）M071512 张若璞齐齐哈尔一中M071532 张晓睿哈尔滨师大附中M071513 韩宏庆哈尔滨师大附中（高二）M071533 杨天博大庆实验中学M071514 李博哈尔滨第三中学（高二）M071534宋宇航大庆一中于浩然哈尔滨第三中学刘峥哈尔滨师大附中M071515M071516M071517吴泽昊哈尔滨第三中学李文婧哈尔滨师大附中朱睿慧哈尔滨第三中学M071535M071536M071537高明志哈尔滨第三中学（高二）M071518 李璐大庆实验中学M071538 符艺大庆中学M071519 薛骁睿哈尔滨师大附中M071539 袁钟达尚志中学M071520 姚冠一卓大庆实验中学湖北省（45 名）M071540 姓名学校证书编号姓名学校证书编号夏素缦黄冈中学周旋随州一中刘亚乔武汉六中M074301M074302M074303田斌武钢三中（高二）齐博武汉二中陈卓华中师大一附中M074324M074325M074326盛开华中师大一附中（高二）M074304 周畅武钢三中M074327张诗翔武钢三中孙玉进夷陵中学张泓洋华中师大一附中陈杭黄冈中学张智元武钢三中褚世敢孝感高级中学杨嘉骐夷陵中学张心航夷陵中学丁晓喜黄冈中学刘昭黄冈中学李文怡仙桃中学M074305M074306M074307M074308M074309M074310M074311M074312M074313M074314M074315周奎武钢三中李斌荆州中学谭海青荆州中学姚帆武钢三中（高二）蒋将军武钢三中王晟武钢三中万一鸣华中师大一附中李望武钢三中蔡坤黄冈中学涂利福黄冈中学刘盾华中师大一附中M074328M074329M074330M074331M074332M074333M074334M074335M074336M074337M074338李佳傲武钢三中M074316 黄盛达华中师大一附中（高二）M074339陈孜夷陵中学孔诗磊武钢三中方翰武钢三中罗圣杰黄冈中学M074317M074318M074319M074320罗斯杰武钢三中严兴天门中学陈飞黄冈中学赵闻达武钢三中M074340M074341M074342M074343韩旭黄冈中学胡千里华中师大一附中杨秋松黄冈中学M074321M074322M074323陈然宜昌市第一中学（高二）M074344谢晋宇华中师大一附中（高二）M074345姓名学校湖南省（48 名）证书编号姓名学校证书编号匡斯萌湖南长沙市一中何孟沅湖南师大附中许江龙湖南师大附中彭哲湖南长沙市雅礼中学M074101M074102M074103M074104冯鑫湖南长沙市长郡中学傅昊湖南师大附中（高二）粟乐湖南长沙市长郡中学罗振华湖南师大附中M074125M074126M074127M074128刘诗南湖南长沙市一中M074105 吴宪湖南长沙市雅礼中学（高二）M074129吴刚祥湖南长沙市长郡中学唐斯侃湖南湘潭县一中梁骁俊湖南长沙市一中M074106M074107M074108阳金珉湖南衡山岳云中学肖超湖南东安一中唐明湖南永州一中M074130M074131M074132唐三湖南湘潭县一中M074109 方俊湖南长沙市麓山国际实验学校M074133龚叶茂湖南长沙市雅礼中学夏运辉湖南长沙市长郡中学M074110M074111何献诚湖南宁乡一中胡争湖南湘潭凤凰中学M074134M074135刘亦圣湖南湘阴知源中学M074112 江昊昱湖南长沙市雅礼中学（高二）M074136周喆湖南师大附中肖昕湖南长沙市一中肖之何湖南长沙市雅礼中学喻杨湖南师大附中（高二）吴宇湖南长沙市一中彭捷湖南师大附中（高二）成昱旻湖南娄底二中M074113M074114M074115M074116M074117M074118M074119罗一贤湖南长沙市长郡中学何春萌湖南永州市一中张航湖南郴州市一中骆亦琦湖南长沙市一中朱尚彬湖南长沙市一中戴巍湖南长沙市长郡中学潘碧宸湖南长沙市一中M074137M074138M074139M074140M074141M074142M074143漆子超湖南长沙市雅礼中学（高二）M074120 李文渊湖南师大附中（高二）M074144陈广山湖南师大附中（高二）海洋湖南长沙市一中谭喻文湖南长沙市雅礼中学高翔湖南长沙市雅礼中学M074121M074122M074123M074124吴朋泽湖南郴州市二中唐翯祎湖南醴陵一中（高二）龚鹤扬湖南师大附中黄哲雨湖南师大附中M074145M074146M074147M074148姓名学校吉林省（42 名）证书编号姓名学校证书编号康毅夫东北师大附中郝瀚东北师大附中李昂东北师大附中卢雨东北师大附中董佳鑫东北师大附中高阳吉林一中宋菲东北师大附中陈思东北师大附中陈晓东北师大附中张志昊东北师大附中赵彦霖东北师大附中付中阳东北师大附中于舸四平一中张旺东北师大附中孙宗汉东北师大附中王钰铭东北师大附中孙宇婷东北师大附中郑虎松东北师大附中宋元平吉林一中朱佳琪东北师大附中伏佳驹东北师大附中M071301M071302M071303M071304M071305M071306M071307M071308M071309M071310M071311M071312M071313M071314M071315M071316M071317M071318M071319M071320M071321吴昊禹东北师大附中宋宇航吉林一中赵乐天东北师大附中李修深吉林一中王宇东北师大附中杨楠东北师大附中赵诣博东北师大附中唐彦哲吉林省实验中学石铎吉林油田高中张若谷吉林一中蒋瑞东北师大附中周航四平一中陈寰宇东北师大附中董博东北师大附中徐斌通钢一中尹曦日东北师大附中孟祥昊东北师大附中刘婉婷江城中学郭龙云延边二中孙天笑东北师大附中刘士星长春市第十一高中M071322M071323M071324M071325M071326M071327M071328M071329M071330M071331M071332M071333M071334M071335M071336M071337M071338M071339M071340M071341M071342 江苏省（49 名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号傅伟扬州市扬州中学（高二）M072101 陈文婧南通市启东中学M072126李行扬州市扬州中学王双雨扬州市扬州中学袁博南通市海门中学M072102M072103M072104刘劼祎南菁高级中学许涛前黄高级中学吕琼石南京外国语学校M072127M072128M072129严昊南京师范大学附属中学M072105 钱雨辰泰州市海陵区泰州中学（高二）M072130 方乐恒扬州市扬州中学M072106 徐仚南京外国语学校M072131 朱超逸南京外国语学校（高二）M072107 陈林晓南京师范大学附属中学M072132 狄飞溧阳中学M072108 张涵盐城市盐城中学（高二）M072133黄海南通市启东中学徐子评扬州市扬州中学M072109M072110朱沐尧南通市启东中学毛杰明南京外国语学校(高二)M072134M072135陈巍巍南通市海门中学（高二）M072111 嵇一常州高级中学M072136仇丽莎南通市海门中学孔郁斐泰州市江苏省泰兴中学（高二）蔡骏临常州高级中学M072112M072113M072114陈卓南京外国语学校何雨晨扬中高级中学袁洋常州高级中学M072137M072138M072139范博伟南京金陵中学河西分校M072115 曹轩宇南京师范大学附属中学M072116 （高二）徐一超南通市海安高级中学王林森盐城市江苏省东台中学(高二)M072140M072141张心弘南通市启东中学李源南京外国语学校金迪南通市启东中学M072117M072118M072119宋晶晶淮安市淮阴中学杨琳琳南通市海门中学王亮南京市金陵中学M072142M072143M072144陈小尧泰州市海陵区泰州中学M072120 蔡陈骋南通市海门中学M072145（高二）徐达前黄高级中学张成晖南通市海门中学季心尧南菁高级中学钱康来锡山高级中学严子旭南京市金陵中学M072121M072122M072123M072124M072125邢力南菁高级中学邵沁沁南通市启东中学蒋天骁南通市启东中学王芊泰州市海陵区泰州中学(高二)M072146M072147M072148M072149姓名学校江西省（40 名）证书编号姓名学校证书编号范钰超江西师大附中熊雪南昌市二中江灏婺源天佑中学宋浩鹰潭市一中钱诚景德镇一中龚铭景德镇一中张睿景德镇一中罗星晨江西师大附中董长光万年中学M073301M073302M073303M073304M073305M073306M073307M073308M073309卢栋才鹰潭市一中陈理昂南昌市十中许津南昌市二中万喆彦南昌市十中(高二)石彬都昌县一中余正雄景德镇一中胡坤景德镇一中万博闻鹰潭市一中胡宇豪景德镇一中M073321M073322M073323M073324M073325M073326M073327M073328M073329周逸凡南昌市二中赖俊瑜石城中学上官冲余江县一中曹博豪景德镇一中郑力玉山一中余超旻景德镇一中王晨广万年中学吴越南昌市外国语学校卢睿翔景德镇一中周志武临川一中陈思静江西师大附中M073310M073311M073312M073313M073314M073315M073316M073317M073318M073319M073320李巍鹰潭市一中(高二)张大峰临川一中(高二)邹范卿临川二中肖涛景德镇二中(高二)刘建辉萍乡莲花中学谢琛璠吉安白鹭洲中学游简舲赣州市三中彭沛超江西师大附中毛祖丰上饶县中学肖涛吉安白鹭洲中学何长伟鹰潭市一中M073330M073331M073332M073333M073334M073335M073336M073337M073338M073339M073340姓名学校辽宁省（41 名）证书编号姓名学校证书编号马谱皓大石桥市高级中学傅煜东北育才学校王旭霏东北育才学校林松大石桥市高级中学侯宇诗大连八中李岩本溪市高中曲航大连育明高中刘晔东北育才学校田雨适大连二十四中于斯东北育才学校耿照为锦州中学王擎辽宁省实验中学金楠大连八中姜铭大连育明高中宫健华鞍山一中林奕峰东北育才学校(高二) M071101M071102M071103M071104M071105M071106M071107M071108M071109M071110M071111M071112M071113M071114M071115M071116王嵩丹东二中于洋辽河油田第一高中王可宇辽宁省实验中学孙鹏展本溪市高中童贤达大连二十四中李纵横辽河油田第一高中孟庆阳大连二十四中朱傲芃大连二十四中(高二)罗迤丹东北育才学校刘佳奇大连育明高中王烺辽宁省实验中学(高二)兰天本溪市高中毕高源大连二十四中林立大连育明高中许云龙大连育明高中阎镇东北育才学校M071122M071123M071124M071125M071126M071127M071128M071129M071130M071131M071132M071133M071134M071135M071136M071137赵辰辽宁省实验中学(高二) M071117 马畅东北育才学校M071138王腾大连育明高中马征东北育才学校祝荣达辽宁省实验中学孙振喆大连二十四中M071118M071119M071120M071121姜禹东北育才学校张晓鞍山一中姜占胜东北育才学校(高二)M071139M071140M071141姓名学校内蒙古自治区（25 名）证书编号姓名学校证书编号郝舶涵呼和浩特市师大附中杨智超呼和浩特市师大附中任汝飞呼和浩特市第二中学M070101M070102M070103张岩呼和浩特市第二中学金旖包头市第九中学(高二)赵彤呼和浩特市师大附中M070114M070115M070116张超呼和浩特市第二中学M070104 李晨晓赤峰市第二中学M070117 张雅蓉巴市杭锦后旗奋斗中学M070105 徐步祥呼市土默特中学M070118高启睿包头市第一中学陈龙彦呼和浩特市第二中学皓明宇鄂尔多斯市第一中学冯亮巴彦淖尔市临河一中武岳呼和浩特市师大附中丁宣升鄂尔多斯市一中黄天辉兴安盟乌兰浩特一中M070106M070107M070108M070109M070110M070111M070112冯艳雯赤峰市平煤高级中学杨濛赤峰市平煤高级中学张娟包头市第九中学吴限包头市第九中学王超呼和浩特市第二中学戚向涛乌兰察布市集宁一中武祯包头市包钢一中M070119M070120M070121M070122M070123M070124M070125梁硕赤峰市松山区红旗中学M070113宁夏自治区（22 名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号赵永峰银川市第二中学张翔银川市第一中学周家祥银川市第九中学贾元银川市第一中学宋雨航银川市第一中学周立博石嘴山市第三中学乔俊贤银川市第一中学周博银川市第九中学M077501M077502M077503M077504M077505M077506M077507M077508文毅达银川市唐徕回中刘辉银川市第一中学张本兴银川市第一中学(高二)魏永凯中卫市第一中学李天成石嘴山市第三中学李一然银川市第一中学柳嘉强银川市第九中学童冰扬银川市第一中学M077512M077513M077514M077515M077516M077517M077518M077519张志杰银川市第一中学(高二) M077509 纵照宇石嘴山市第三中学M077520 王子文银川市第九中学M077510 徐刘英亮银川市第一中学M077521 秦爽银川市唐徕回中M077511 燕云飞银川市第九中学M077522姓名学校青海省（12 名）证书编号姓名学校证书编号贺连伟青海互助一中徐云飞青海湟川中学李永斌青海乐都一中徐昱青海乐都一中(高二) 许辉青海乐都一中(高二) 贾倩青海师大附中M078101M078102M078103M078104M078105M078106杜浩飞青海格尔木二中姜洁青海油田实验中学马建栋青海乐都一中(高二)曹翔青海湟川中学孙有魁青海互助四中崔钟仁青海油田一中M078107M078108M078109M078110M078111M078112姓名韦东奕山师附中王颖斐实验中学安传恺山师附中王储实验中学邱航牟平一中学校山东省（47 名）证书编号姓名M072501 刘洪元泰安一中M072502 高茉人实验中学M072503 张坤健潍坊一中M072504 张家蔚潍坊一中M072505 张天宇青岛二中学校证书编号M072525M072526M072527M072528M072529秦铭阳日照一中刘青阳山师附中鲁悦山师附中冯龙实验中学张番栋菏泽一中禹泽西实验中学方延博实验中学周光耀泰安一中路若洲实验中学卢吉光德州一中孙丕业青岛二中刘宁实验中学王海琦胜利一中杨飞泰安一中张鸿轩聊城一中曹原青岛二中姜超青岛二中孔向阳邹城二中张堃青岛二中M072506M072507M072508M072509M072510M072511M072512M072513M072514M072515M072516M072517M072518M072519M072520M072521M072522M072523M072524刘博颖潍坊一中刘佳阳青岛二中楚天翔实验中学孙晨正山师附中郭思佳聊城一中朱国梁青岛二中杨彦韬青岛二中周诗林淄博实验姜晖山师附中刘远聊城一中黄子通青岛二中程健泰安一中马俊方胜利一中王宏伟滕州一中东校高林利津县第一中学刘文杰广饶县第一中学贺光辉日照实验高中孙宽泰安一中M072530M072531M072532M072533M072534M072535M072536M072537M072538M072539M072540M072541M072542M072543M072544M072545M072546M072547姓名学校山西省（40 名）证书编号姓名学校证书编号靳竹萱山西大学附属中学(高二) M070301 李毅山西大学附属中学M070321张波太原五中丁欣山西大学附属中学王昕山西大学附属中学孟洪宇山西大学附属中学赵文彬朔城区一中程鹏飞太原五中张勃山西大学附属中学柴晓萌运城中学董沫山西省实验中学任晓琦山西大学附属中学张珏太原市第十二中学郭城桓榆次运输处中学李苏亮太原市第十八中学柴玮山西省实验中学M070302M070303M070304M070305M070306M070307M070308M070309M070310M070311M070312M070313M070314M070315任轩乐太原五中冀崇恩山西大学附属中学(高二)张津太原五中王劲鹏太原五中李瑞山西大学附属中学李金烁山西省实验中学(高二)廉骉山西省实验中学刘国瑞运城市康杰中学赵伟伟长治市一中吉文阳阳泉一中李菁菁山西大学附属中学李欣山西大学附属中学杨鹏新绛中学杨镕玮山西大学附属中学M070322M070323M070324M070325M070326M070327M070328M070329M070330M070331M070332M070333M070334M070335常曌山西省实验中学(高二) M070316 赵眺山西大学附属中学(高二) M070317 张浩山西大学附属中学聂鑫维山西大学附属中学M070336M070337段佳宁山西大学附属中学肖思维山西大学附属中学张尚斌山西大学附属中学M070318M070319M070320杨光山西省实验中学乔晖山西省实验中学(高二)王斐然山西大学附属中学M070338M070339M070340。

专题34不等式第三缉(原卷版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题34不等式第三缉1．【2017年浙江预赛】设在中有两个实数根,则的取值范围为.f (x )=x 2+ax +b [0,1]a 2‒2b 2．【2017年江苏预赛】设是实数,则的最大值是.x 、y 2x +2y2x 4+4y 4+93．【2016年陕西预赛】设m 、n 均为正整数，且满足24m =n 4.则m 的最小值为________.4．【2016年陕西预赛】设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且f (x )+g (x )=2x .若对x ∈[1，2]，不等式af (x )+g (2x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______.5．【2016年陕西预赛】设a ∈R .则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_______.6．【2016年福建预赛】设f (x )为定义在R 上的函数，若f (0)=1008，且对任意的x ∈R ，满足f (x +4)-f (x )≤2(x +1)，f (x +12)-f (x )≥6(x +5).则 _________.f(2016)2016=7．【2016年福建预赛】当x 、y 、z 为正数时，的最大值为________.4xz +yz x 2+y 2+z 28．【2016年新疆预赛】已知,且.则的最小值为______.x 、y >0x +2y =2x 22y +4y 2x 9．【2016年山西预赛】设n 为正整数，使介于之间．则n ＝__________.3n +3n 与n +4n +110．【2016年全国】设实数a 满足.则a 的取值范围是________.a <9a 3‒11a <|a |11．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足则2x-y 的最大值为________.{x ‒y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0.12．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足则2x-y 的最大值为________.{x ‒y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0.13．【2016年浙江预赛】已知为互不相等的整数。

福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联

福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知【法规类别】教育综合规定【发文字号】闽科协发[2017]30号【发布部门】福建省科学技术协会福建省教育厅【发布日期】2017.03.23【实施日期】2017.03.23【时效性】现行有效【效力级别】XP10福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知（闽科协发〔2017〕30号）各设区市、平潭综合实验区科协、教育局：为进一步普及数学基础知识，培养高中学生学习数学的兴趣爱好、创新意识和创新思维，经研究，决定联合举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛。

现将有关事项通知如下：一、参赛对象2016～2017学年高一、高二在校生。

二、竞赛形式、时间和地点1.预赛：竞赛形式为笔试。

2017年5月21日（星期日）上午9：00～11：30，在各设区市设立考场同时进行。

2.复赛：竞赛形式为笔试。

2017年9月10日（星期日）上午8：00～12：10（其中8：00～9：20为联赛，9：40～12：10为联赛加试），在福州第一中学高中部（福州市闽侯上街镇福州大学城）举行。

三、报名方法学生自愿参加，其所在学校统一向各设区市组织单位报名。

报名时需提交学生一寸彩色近照2张，用于准考证制作。

四、赛事组织福建省数学学会为福建赛区承办单位，组成福建省中学生数学竞赛委员会，统筹负责福建赛区竞赛工作。

预赛考务工作由各设区市科协、教育局确定组织单位负责组织实施，复赛由省中学生数学竞赛委员会负责组织实施。

1.预赛：预赛由省中学生数学竞赛委员会命题制卷，各设区市组织单位须于2017年4月21日前向省中学生数学竞赛委员会报送预赛报名名单，以便提供试卷，福州一中、福建师大附中纳入福州市统一管理；5月14日左右，省中学生数学竞赛委员会将把试卷寄达各设区市组织单位；6月4日前各设区市应将本设区市预赛总体情况、所有预赛参赛选手的成绩花名册（加盖设区市教育局公章）以及参加复赛选手的答卷、2张一寸彩色近照、复赛报名表（含姓名、学校、年级、身份证号、指导教师及其联系方式等），上报省中学生数学竞赛委员会。

2018年福建省高中数学联赛(福建省赛区)预赛试题参考答案(新)

2bc
6c
∴ c2 10 ， c 10 。
∴ cos C a2 b2 c2 4 9 10 1 。
2ab
223 4
3．设复数 z 满足 z i 2 ，则 z z 的最大值为
。（ i 为虚数单位， z 为复
数 z 的共轭复数）【答案】 6 【解答】设 z x yi （ x ， y Βιβλιοθήκη R ），4 y0
。
∴ r1 r2 16 ，结合 r1 r2 4 ，得 r1 10 ， r2 6 。
由此得到， F1P 2 F1F2 2 F2 P 2 。因此， PF2 F1F2 。
∴
△F1PF2
的外接圆半径
R

1 2
F1P
5。
4
8．最近网络上有一篇文章很火。源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理。（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）
1的左、右焦点，点
P
在双曲线 C
上， G
、I
分别为 △F1PF2 的重心、内心，若 GI∥x 轴，则 △F1PF2 的外接圆半径 R
。
【答案】 5
【解答】不妨设 P(x0 ，y0 ) 在第一象限， PF1 r1 ， PF2 r2 。依题意， r1 r2 4 ， F1F2 8 。
∴ z z 的最大值为 6 。
1
4．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图像关于直线 x 2 对称，当 0 x 2 时，f (x) x 1，
则 f (100) f (101)
。
【答案】 2
【解答】由 f (x) 为奇函数，且其图像关于直线 x 2 对称，知 f (x) f (x) ，且

解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。

2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．

答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ，于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被

2015年全国高中数学联赛试题答案

1≤i ≤ k
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ），故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2

2015年全国高中数学联赛试题及答案解析

5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点，过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点，则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为． x y z 解：设此平面的方程为 1 ， a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距，又点 P 在平面 ABC 内， a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ，即，得 VOABC abc 45 ．当，故 1 ，由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时， VOABC 的最小值为 45．
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3

2
，
1 tan tan
tan tan
tan .
2 tan 1 3tan 2
2 1 3tan tan

3 ， u 的最大值为 . 6 3
4.在单调递增数列 an 中，已知 a1 2 ， a2 4 ，且 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成解：因为 an 单调递增， a1 0 ，所以 an 0 .因为 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成等比数列，所以所以 a2 n 所以 a2 n 等比数列， n 1, 2,3, .那么， a100 _________.

专题39排列组合与图论第二缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题39排列组合与图论第二缉1．【2017年新疆预赛】在某次交友活动中,原计划每两个人都要恰好握1次手,但有4个人各握了两次手之后就离开了.这样,整个活动共握了60次手,那么最开始参加活动的人数是.【答案】15【解析】提示:设参加活动的人数为,其中中途退出的4个人之间的握手次数为.n +4x (0≤x ≤C 24=6)从而由题意得,即.C 2n +4⋅2=60+x n (n ‒1)=104+2x 由且为整数,可得.0≤x ≤6x x =3,n =11故最开始参加活动的人数为.n +4=152．【2016年福建预赛】将16本相同的书全部分给四个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同.则不同的分配方法种数为________(用数字作答).【答案】216.【解析】将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，16=2+3+5+6.故符合条件的不同分配方法数为9=216.A 443．【2016年山东预赛】在的展开式中，x 的整数次幂项的系数和为_____.(x +x +1)2n +1(n ∈Z +)【答案】12(32n +1+1)【解析】令，P =(x +x +1)2n +1.Q =(x ‒x +1)2n +1由二项式定理，知P 、Q 中的x 的整数次幂项之和相同，记作S （x ），非整数次幂项之和互为相反数.故2S (x )=P +Q=(x +x +1)2n +1+(x ‒x +1)2n +1令.则所求的系数和为.12(32n +1+1)4．【2016年山东预赛】设为（1，2，…，20）的一个排列，且满足(x 1,x 2,⋯,x 20)∑20i =1(|x i ‒i |+|x i +i |).则这样的排列有________个.=620【答案】(10!)2【解析】因为，所以，x i >0∑20i =1(|x i ‒i |+|x i +i |)=20∑i =1(|x i ‒i |+(x i +i ))=20∑i =1|x i ‒i |+20∑i =1(x i +i ).=∑20i =1|x i ‒i |+∑20i =12i =620原式化简得.∑20i =1|x i ‒i |=200注意到，，且为（1，2，…，20）的一个排列.|a ‒b |=max {a,b}‒min {a,b}(x 1,x 2,⋯,x 20)于是，在中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次.max{x i ,i}、min{x i ,i}(1,2,⋯,20)20∑i =1max{x i ‒i}‒20∑i =1min{x i ‒i}.≤2∑20i =11i ‒220i =1i 故200=∑20i =1|x i ‒i |20∑i =1(max{x i ‒i}‒min{x i ‒i})=20∑i =1max{x i ,i}‒20∑i =1min{x i ,i}.≤2∑20i =1i ‒220i =1i =200从而，，{x 1,x 2,⋯,x 10}={11,12,⋯,20}.{x 11,x 12,⋯,x 20}={1,2,⋯,10}由分布计数原理，排列的个数为.{x 1,x 2,⋯,x 20}(10!)25．【2016年新疆预赛】平面上个圆两两相交,最多有______个交点.n 【答案】n (n ‒1)【解析】2两个圆相交时,最多有个交点;2+4=6三个圆相交时,最多有个交点;2+4+6=12四个圆相交时,最多有个交点;n2+4+…+2(n‒1)=n(n‒1)个圆相交时,最多有个交点.6．【2016年天津预赛】甲、乙两名学生在五门课程中进行选修,他们共同选修的课程恰为一门且甲选修课程的数量多于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为______.【答案】155【解析】C15(a,b)甲、乙共同选修的课程有种选法,其余的每一门课程甲、乙两人至多只有一人选修.用表示其余四门a b课程中甲选门、乙选门的情形.a>b(4,0),(3,0),(3,1),(2,0),(2,1),(1,0)则由,知共有六种情形.于是,甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为C15(C44+C34+C34+C24+C24C12+C14)=155.7．【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：C24=6（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.C14C13×3=36（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法.故共有42种方法.8．【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：C24=6（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法.C 14C 13×3=36故共有42种方法.9．【2016年上海预赛】将90 000个五位数10 000,10 001,···,99 999打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位数，有些卡片上所打印的数(如19 806倒过来看是90861 )有两种不同的读法，会引起混淆。

专题12导数与极限第一辑2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题12导数与极限第一辑1．【2021年福建预赛】若关于x 的不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解，则整数a 的最小值为.【答案】3【解析】设f(x)=(x −2)e x , g(x)=ax +1.则f ′(x)=(x −1)e x ,x <1时,f ′(x)<0;x >1时,f ′(x)>0. 因此,f(x)在区间(−∞,1)上递减，在区间(1,+∞)上递增: 且x <2时，f(x)<0;x >2时,f(x)>0. 由此作出f(x)的草图如图所示.又g(x)的图像是过点(0,1)的直线，结合图像可知a >0.由于a >0时，f(0)=−2<g(0)=1;f(1)=−e <g(1)=a +1; f(2)=0<g(2)=2a +1,因此,0,1,2是不等式(x −2)e x <ax +1的三个整数解. 由于不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解, 所以{f(−1)≥g(−1)f(3)≥g(3) ，即{−3e −1≥−a +1e 3≥3a +1,1+3e ≤a ≤e 3−13 .经检验，a=3符合要求，所以，符合条件的a 的最小值为3.2．【2019年贵州预赛】已知函数f(x)=(e x −e −x )⋅x 3,若m 满足f (log 2m )+f (log 0.5m )⩽2(e 2−1e).则实数m 的取值范围是 .【答案】[12,2]【解析】由f(x)=(e x −e −x )⋅x 3⇒f(−x)=f(x),且x ∈(0,+∞)时,f(x)是增函数.又由f(log2m)+f(log0,5m)≤2(e2−1e)⇒f(log2m)≤f(1).所以|log2m|≤1⇒−1≤log2m≤1⇒12≤m≤2.即m的取值范围是[12,2].3．【2018年广西预赛】若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)−2f(x)−4>0，f(0)=−1，则不等式f(x)> e2x−2的解为___________.【答案】x>0【解析】构造函数g(x)=e−2x[f(x)+2]，则g(0)=1.由g′(x)=e−2x[f′(x)−2f(x)−4]>0可知g(x)在（−∞,+∞）内单调递增，从而有g(x)>1⇔x>0.故f(x)>e2x−2⇔x>0.4．【2018年甘肃预赛】已知函数f(x)=x3+sinx（x∈R），函数g(x)满足g(x)+g(2−x)=0（x∈R），若函数ℎ(x)=f(x−1)−g(x)恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019【解析】易知函数f(x)=x3+sinx为奇函数，从而f(x−1)的图象关于(1,0)点对称．函数g(x)+g(2−x)=0，可知g(x)的图象也关于(1,0)点对称．由此ℎ(x)的图象关于(1,0)点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于ℎ(1)=f(0)−g(1)=0⇒x=1是ℎ(x)的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于(1,0)点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．5．【2018年四川预赛】设直线y=kx+b与曲线y=x3−x有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=2，则k的值为______.【答案】1【解析】曲线关于点(0,0)对称，且|AB|=|BC|=2，所以直线y=kx+b必过原点，从而b=0.设A(x,y)，则{y=kx, y=x3−x,√x2+y2=2.由此得x=√k+1,y=k√k+1，代入得(k+1)+k2(k+1)=4,即(k−1)(k2+2k+3)=0,解得k=1.故答案为：16．【2017年广西预赛】设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R 有f (x )+f (−x )=x 2,在(0,+∞)上f ′(x )>x .若f (1+a )−f (1−a )≥2a ,则实数a 的范围是 .【答案】a ≥0【解析】提示:由题意得f ′(x )>x ,构造函数g (x )=f (x )−12x 2,则g ′(x )=f ′(x )−x >0.从而g (x )在(0,+∞)上单调递增. 由条件f (x )+f (−x )=x 2得g (x )+g (−x )=0,则g (x )是奇函数.因为g (x )在R 上单调递增,由f (1+a )−f (1−a )≥2a 知g (1+a )−g (1−a )≥0,g (1+a )≥g (1−a )，所以1+a ≥1−a 解得a ≥0.7．【2017年湖南预赛】设函数f (x )是定义在(−∞,0)上的可导函数,其导函数为f ′(x ),且有2f (x )+xf ′(x )>x 2,则不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0的解集为 .【答案】(−∞,−2018)【解析】提示:将不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0 化为(x +2017)2f (x +2017)>(−1)2f (−1)，①构造F (x )=x 2f (x ),使得①式化为F (x +2017)>F (−1)，② 因为F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x ),由已知条件2f (x )+xf ′(x )>x 2，两边同乘以x ,可得F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )<x 3<0(因x ∈(−∞,0)). 所以,F (x )在(−∞,0)上是减函数,不等式②化为x +2017<−1,即x <−2018，所以,不等式的解集为(−∞,−2018).8．【2016年福建预赛】函数f (x ) =x 2lnx +x 2-2零点的个数为________. 【答案】1 【解析】由条件知f ′(x)=2x ln x +x +2x =x(2lnx +3). 当0<x <e −32时，f ′(x)<0；当x >e −32时，f ′(x)>0.于是，f (x )在区间(0，−32)上为减函数，在区间(−32，+∞)上为增函数.又0<x <e −32时，lnx +1<−32+1=−12<0f (x )=x 2(lnx +1)-2<0，注意到，f(e −32)=e −3(−32+1)−2<0，f(e)=2e 2−2>0 故函数f (x )零点的个数为1.9．【2015年山东预赛】设a >1.若关于x 的方程a x =x 无实根,则实数a 的取值范围是______. 【答案】a >e 1e【解析】由函数y =a x 与y =x 的图像,知若a >1,且a x =x 无实根,则a x >x 恒成立，设f (x )=a x −x .则：f′(x )=a x (lna )−1>0⇒x >−log a (lna ).故f (x )=a x −x 在区间(−∞,−log a (lna ))上递减,在区间(−log a (lna ),+∞)上递增. 从而, f (x )在x =−log a (lna )时取得最小值,即：f (x )min =f(−log a (lna ))=a −log a (ln a )−(−log a (lna ))>0， ⇒1lna −(−log a (lna ))>0.又1lna =log a e,−log a (lna )=log a 1lna ， ⇒log a e >log a1lna⇒lna >1e⇒a >e 1e .10．【2015年福建预赛】函数f (x )=e x (x −ae x )恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)，则a 的取值范围是__________．【答案】(0,12) 【解析】∵函数f (x )=e x (x −ae x )，∴f′(x )=(x +1−2a ⋅e x )e x ，由于函数f (x )两个极值点为x 1,x 2，即x 1,x 2是方程f′(x )=0的两个不等实数根，即方程x +1−2ae x =0，且a ≠0，∴x+12a=e x ；设y 1=x+12a(a ≠0),y 2=e x ，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示,要使这两个函数有2个不同的交点，应满足{12a >01 2a >1，解得0<a<12，所以a的取值范围为(0,12)，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解11．【2018年湖南预赛】函数f(x)=ln(x2+1)的图像大致是（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.12．【2018年湖南预赛】设函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x−3，则f(x)的零点个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f （x ）有一个零点，又根据对称性知，当x ＜0时函数f （x ）也有一个零点．综上所述，f （x ）的零点个数为3个，故选：C ．13．【2017年四川预赛】已知函数f (x )=a ln x +x 2在x =1处有极值,则实数a 的值是()(A)−2(B)−1(C)1(D)2【答案】A【解析】提示：因为f ′(x )=ax+2x =a+2x 2x由条件知f ′(1)=0,解得a =−2.14．【2016年陕西预赛】设函数f (x )=x 3+ax 2+6x +c (a 、b 、c 均为非零整数).若f (a )=a 3，f (b )=b 3，则c 的值为（）. A ．-16 B ．-4 C ．4 D ．16 【答案】D 【解析】设g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c . 由f (a )=a 3，f (b )=b 3⇒g (a )=g (b )=0.则a 、b 为方程g (x )=0的两个根⇒a +b =−ba，ab =ca⇒c =−a 4a+1=−(a 2+1)(a −1)−1a+1.因为c 为整数，所以，a +1=±1⇒a =0(舍去)或-2. 故c =16. 选D.15．【2015年黑龙江预赛】设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8280128(1)kx a a x a x a x -=++++，则128a a a +++=（）A.-1B.0C.1D.256 【答案】B 【解析】试题分析：000(sin cos )sin cos cos sin 2k x x dx xdx xdx x x πππππ=-=-=--=⎰⎰⎰,所以88280128(1)(12)kx x a a x a x a x -=-=++++，令1x =得80128(12)1a a a a ++++=-=，,令0x =得01a =，所以12801280()110a a a a a a a a +++=++++-=-=，故选B.考点：1.积分运算；2.二项式定理.16．【2015年黑龙江预赛】设函数f (x )=sin 5x +1.则∫f (x )π2−π2dx 值为（）。

2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ．先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4

cos 2 sin 2 sin
sin 2

(1 sin )(1 cos2 )

2 sin
cos2

2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表

2015全国高中数学联赛

2
王宝
静海一中
2
王程程
天津市实验中学
2
王铎澄
南开中学
2
王飞宇
汉沽一中
2
王涵斌
大港一中
2
王昊天
宝坻一中
2
王昊文
宝坻一中
2
王昊宇
天津一中
2
王浩然
2
裴兆辰
南开中学
2
彭安頔
杨柳青一中
2
彭启洲
天津第一零二中学
2
彭希
新华中学
2
彭晓菡
耀华中学
2
彭正达
南开中学
2
戚宝玥
天津市实验中学
2
齐长悦
天津市实验中学
2
齐涛
静海一中
2
曲鹏桥
开发区第一中学
2
全婧琳
天津一中
2
任晋辉
耀华中学
2
任云飞
南开中学
2
申佳军
大港一中
2
石浤澔
耀华中学
2
石岩
蓟县一中
2
史书毓
杨村一中
2
宋知遇
静海一中
1
赵川喆
天津一中
1
郑宸
天津一中
1
邹尚宏
天津市实验中学
1
安金旭
南开中学
2Hale Waihona Puke 安睿龙天津市实验中学
2
安泰然
南开中学
2
白洋
耀华中学
2
蔡俊禹
耀华中学
2
蔡明睿
天津市实验中学
2
蔡翔宇
塘沽一中
2
曹体睿
南开中学
2

2015年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值是 .【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以 (2)424f a b =++=2.若实数θ满足cos tan θθ=,则41cos sin θθ+的值为 . 【答案】2【解析】由条件知，2cos sin αα=，反复利用此结论，并注意到22cos sin 1αα+=，得2242221cos sin cos sin (1sin )(1cos )2sin cos 2sin sin αααααααααα++=+=++-=+-= 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位, n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值是 .【答案】2015+1007i【解析】由已知得，对一切正整数n,有211(1)1(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=++++=++ 于是201511007(2)20151007z z i i =++=+ z 学科xx 网k4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC 上(包括点,)D C 的动点P 与CB 延长线上(包括点)B 的动点Q 满足||||DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .【答案】3422133(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥当t=12时，min 3()4PA PQ ⋅= 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EF GH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=. z 学科xx 网k 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 . 【答案】247.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则实数ω的取值范围是【答案】9513[,][,)424w ∈+∞ 【解析】由sin sin 2wa wb +=知sin sin 1wa wb ==，而[,][,2],wa wb w w ππ⊆故题目条件等价于：存在整数()k l k l <，，使得222.22w k l w ππππππ≤+<+≤ ⑴当4w ≥时,区间[,2]w w ππ的长度不小于4π,故必存在k,l 满足(1)式. 当04w <<时，注意到[,2]0,8w w πππ⊆（），故仅需考虑如下几种情况: 5)2,22i w w ππππ≤<≤（此时15,24w w ≤≥且无解；59)2,22ii w w ππππ≤<≤（此时有95;42w ≤≤913()222iii w w ππππ≤<≤，此时有13913,4424w w ≤≤≤<得.综合)()(),i ii iii （、、并注意到4w ≥亦满足条件，可知9513[,][,)424w ∈+∞. z 学科xx 网k8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】285下面计算0||:A 对任一四位数00,abc A b ∈可取0,19⋅⋅⋅，，，对其中每个b ，由9b a <≤及9b c <≤知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019||=(9)285.6b k b k ==⨯⨯-===∑∑A 因此()()285.N P N Q -=二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9. （本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 【解析】将2,2,2a b c 分别记为,,x y z ，则,,0x y z >由条件知，222,,x y z x y z +=+=故 2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+ 因此，结合均值不等式可得，4223321111113(2)3222444y y y y y y y y y +=++≥⋅⋅⋅=z= 当212=y y ，即312y =时，z 的最小值为3324.此时相应的x 值为3124，符合要求. 由于2,z c=log 故c 的最小值为32235log (2)log 3.43=- 10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得{|14}i j a a i j ≤<≤,31{24,2,,,1,3}28=---- 求1234a a a a +++的值.2231412113{,}{,24}{2,},82a a a a a a =--=-- z 学科xx 网k 结合1,a Q ∈只可能11.4a =±由此易知，123411,4,642a a a ==-==-，a 或者123411,4,642a a a =-==-=，a . 经检验知这两组解均满足问题的条件，故12349.4a a a ++=±+a11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->（，即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y yk x x ++、、依次成等差数列知, 12112212+2,,11y yk y kx m y kx m x x ==+=+++又，所以122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++（（化简并整理得，12)(2)0m k x x -++=（假如m=k ，则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F （-），不符合条件.因此必有122=0x x ++，故由方程（1）及韦达定理知，z 学科xx 网k12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即由22212321=2k m k k +>+（）、（）知，（），化简得221,4k k >这等价于2||2k > 反之当m,k 满足（3）及2||2k >l 必不经过点1F （否则将导致,m k =与（3）矛盾），21313()().(4)222t t t t⋅+=⋅+d= z 学科xx 网k考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1,3]上单调递减，故由（4）得，(3)(1),f d f <<即(3,2)d ∈.一．（本题满分40分）设12,,,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以连取12,,,{1,1}n εεε∈-使得222111()()(1)()nnni i i i i i i a a n a ε===+≤+∑∑∑【证明】我们证明：[]2222111[]12()()(1)()(1)nnnni i j i n i i i j a a a n a ====++-≤+∑∑∑∑1,,[],1;[]1,,,122i i n ni i n εε=⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅=-即对取对取符合要求，[].)x x （这里，表示实数的整数部分1事实上，（）的左边为[][]222211[]1[]122(+)+()nn nni j i j nn i i j j a a a a ===+=+-∑∑∑∑[]2221[]12=2(+2)nni j n i j a a ==+∑∑）（[]2221[]122[]([]))(22n ni j n i j n n a a ==+≤∑∑）+2(n-（柯西不等式）[]2221[]12++=2[](+]))([]])2222n ni j ni j n n a a n ==+-=∑∑n 1n 1）2([（利用[ z 学科xx 网k[]2221[]12()([]n ni j n i j n a a x x ==+≤≤∑∑）+(n+1)（利用）[]221n+1(1.ni i a =≤∑（）），所以（）得证，从而本题得证二、(本题满分40分)设12{,,,}n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合(2)n ≥,满足对任意,i j A A S ∈,均有ij A A S ∈,若1min ||2i i nk A ≤≤=≥,证明:存在1n i i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少nk个集合(这里||X 表示有限集合X 的元素个数)1121212={,}.,,k n s A A A A A A A B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅设，，在，，中除去，，，12,t C C C n s t ⋅⋅⋅--，，后，在剩下的个集合中，设包含 i k),n-s-t i a x ≤≤的集合有个（1由于剩下的个集合中1i A a 每个集合与的交非空，即包含某个，从而12+.k x x x n s t +⋅⋅⋅+≥--111max ,,i i kn s tx x x n s t k≤≤--=≥--不妨设则由上式知即在剩下的个集合中，1112(1,,),,i t n s tA C i t C C C k--⊆=⋅⋅⋅⋅⋅⋅包含a 的集合至少有个，又由于故，，都 11,a a 包含因此包含的集合个数至少为(1)+(2)n s t n s k t n s t t k k k k ---+--+=≥≥利用()nt s k≥≥利用三、(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆,O P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ,连结BD 交圆Ω于点E ,连结PE 并延长与边AB 交于点F ,证明:2ABC FCB ∠=∠四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 【解析】对正整数m,设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)(),(1)v m m s m =- z 学科xx 网k().s m m 这里表示正整数在二进制表示下的数码之和1)12)!)!2()(1),!!k n kn kn v k n n n -+≤-（（（由于不整除等价于即22(()!)(!),1kn v kn n v n -≥-进而由（）知，本题等价于 ≥求所有正整数k,使得s(kn)s(n)对任意正整数n 成立.(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅我们证明，所有符号条件的k 为2(2)()a S n S n n =一方面，由于对任意正整数成立，故2.a k =符合条件 22,0,1.a k k q a q =⋅≥另一方面，若不是的方幂，设是大于的奇数 )().)=2)(),a n S kn S n S kn S qn S qn <=下面构造一个正整数，使得（因为（（ ,)().mq m S m S q<因此问题等价于我们选取的一个倍数使得（ z 学科xx 网k212102,u u u u q q --<<由于故正整数的二进制表示中的最高次幂小于，由此2121(01),22t tu u lu ju i j i j t q qαα++--≤<≤-⋅⋅易知，对任意整数，数与的二进制表示中没有相同的项.210,20,1,,1)1tu lu t l t qαα+->⋅=⋅⋅⋅-又因为故（的二进制表示中均不包含，故(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅综合上述的两个方面可知，所求的k 为2 z 学科xx 网k。

2013年全国高中数学联赛福建赛区预赛

ＰＦ、ＦＤ、ＥＤ．
综上，当ｎ：６时，取最小值．
２矗注意到，当１＜＜２时，
＿厂（）＝３ｘ。一２ｘ＝ｘ（３ｘ一２）＞Ｏ．
于是，，（）＝一＋１在区间［１，２］上为增
２０１４年第３期
２９
２０１３年全国高中数学联赛福建赛区预赛
中图分类号：Ｇ４２４．７９文献标识码：Ａ文章编号：１００５—６４１６（２０１４）０３— ００２９—０６
一
、
填空题（每小题６分，共６０分）
Ｒ，均有）一３）＝４．则２）＝ — — ．
∈ Ｄ，存在唯一的ＥＤ，使得
Ｊｆ（。）：）＝Ｍ，
则称函数）在Ｄ上的几何平均数为已知）＝一＋１（Ｅ［１，２］）．则函数Ｘ）＝一＋ｌ在［１，２］上的几何平均数Ｍ＝
点，求△ ＰＣＤ面积的最小值．
２故：ｎ一１＋３
—
．
当ｎ＝５时，ａｎ＝５２；当ｎ：６时，ａ一ｎ：３１
．
１３．如图３，在△ ＡＢＣ中，已知Ｂ＝９０。，其内切圆分别与边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ依次切于点Ｄ、Ｅ、，联结ＡＤ，与内切圆交于另一点Ｐ，联结ＰＣ、ＰＥ、
）｛，：卫（ＭＥＺ＋，（ｐＩｑ）：ｌ，ｐ＞ｑ）．

2021年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2021年福建省高中数学竞赛试题(含答案)

3
2
所以， a 的取值范围为 (3， 1) ( 1 ，1) .
2
23
3．如图，在四边形 ABCD 中，已知 cos BAD 3 ，BAC DAC ，AD AB ，且 AB 5 ，
uuur uuur uuur
4
AC BD 14 .若 AC AB AD （， R ），则
又 h(1) 21g(1) 20 f (1) 0 ， h(1) 21g(1) 20 f (1) 0 ，
所以， h(x) (x 1)(x 1) x 2 1 .
因此， h(6) 21g(6) 20 f (6) 6 2 1 35 .
所以， 21 35 20 f (6) 35 ， f (6) 35 .
f (1) g (1)
f (1) g (1)
21 20
，则
f
(6)
.
6．若关于 x 的不等式 (x 2)ex ax 1 有且仅有三个不同的整数解，则整数 a 的最小值
为
.
3
7．若正实数 x ， y 满足 x(x 2 y) 9 ，则 x5 y 的最大值为
.
8．已知离心率为
6 2
的双曲线 C ：
1，1
3 e
a
e3 1 3
.
经检验， a 3符合要求.
所以，符合条件的 a 的最小值为 3 .
7．若正实数 x ， y 满足 x(x 2 y) 9 ，则 x5 y 的最大值为
.
【答案】 54
【解答】解法一：由题设及平均不等式知，
9 x(x 2y) x(1 x 1 x 2y) x 33 1 x 1 x 2y .
14 m2
， 14
，m
2
，

1_2020年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试题(2020.06.27)

１2020年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷（考试时间：2020年6月27日上午9：00－11：30）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分. 请直接将答案写在答题卷相应位置上）1．已知复数z 满足1z z i -=-，若61z z z ---为正实数，则z = ★★★ . 2．已知()3cos()f x x ωϕ=+（0ω>，ϕπ<），若5()08f π=，11()38f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ= ★★★ .3．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合{}260A x x x =--<，[]{}22350B x x x =--=，则A B = ★★★ .4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，当12x ≤≤时，()ln f x x =. 若关于x 的方程()10f x ax +-=在[]35x ∈，上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为 ★★★ .5．设1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-= (0a >，0b >) 的左、右焦点，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，且120AF AF ⋅=，2220F B F A +=，则双曲线C 的离心率为 ★★ . 6．在以凸十八边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形，则所取的三角形与该十八边形无公共边的概率为 ★★★ .7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别在棱1AA 、11A D 、11D C 上，E 为1AA 中点，11111113D F D G D A D C ==. 记平面EFG 与平面11A B CD 的交线为m ，则直线m 与平面ABCD 所成角的正切值为 ★★★ .8．已知a 、b 、c 、d 为正数，且20202a b c d +=+=，则11a bcd+的最小值为 ★★★ . 9．已知实数m 满足：当关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根时，2222()()()a b b c c a ma -+-+-≥总成立，则m 的最大值为 ★★★ .10．设正整数n 为合数，()f n 为n 的最小的三个正约数之和，()g n 为n 的最大的两个正约数之和. 若3()()g n f n =，则n 的所有可能值为 ★★★ .（第7题图）２二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程，写在答题卷相应位置上）11．已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2143n n n a a a ++=-（*n N ∈）.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设13n n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项的和，求证：34n T <.12．已知椭圆C ：22221x y a b+= (0a b >>) 的离心率为12，右焦点F 到直线20x y -+=的距离为22，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点 (点A 在x 轴上方)，T 为直线1A A 、2A B 的交点. 当点T 的纵坐标为63时，求直线l 的方程.13．如图，在ABC △中，AB AC <，ABC △的内切圆I 与边BC 、CA 分别切于点D 、E ，连AI 并延长交ABC △的外接圆O 于点N ，连ND 、NO 并延长分别交O 于点G 、M ，连GE 并延长交O 于点F .(1) 求证：NIG NDI △∽△；(2) 求证：MF AC ∥.14．已知2()(1)1x f x x a x e ⎡⎤=+-+⎣⎦，若2()0f x e +≥恒成立，求实数a 的取值范围.15．将一个20202020⨯方格表的每个小方格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件：方格表中的任意一个小方格A ，它所在的行与列的所有小方格中，与A 异色的小方格多于与A 同色的小方格. 证明：染色后，方格表中每行、每列两种颜色的小方格一样多.（第13题图）。

2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷及答案

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为。

【答案】(15)-，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。

由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。

若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。

∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。

2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，3()f x x =，则9()2f =。

【答案】18【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。

又()f x 为奇函数，∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。

∴ 391111()()()()22228f f f ==--=--=。

3．已知{}n a 为等比数列，且120171a a =，若22()1f x x =+，则12320()()()()f a f a f a f a ++++=L 。

【答案】2017【解答】由22()1f x x =+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x+=+=+=++++。

∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 12017220163201521a a a a a a a a =====L 。

2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ，于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
K1 、 K2 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积 S ．
由于直线 CD 的方程为 x 3y 6 ，直线 GH 的方程为 3x y 6 ，故它们的交点 P 的
坐标为

3 2
,
3 2

．由对称性知，
S

8SCPG

8
1 4 2
3 2

解：由条件知，点 F1 、 F2 的坐标分别为 (1, 0) 和 (1, 0) ．
设直线 l 的方程为 y kx m ，点 A 、 B 的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2 ) ，则 x1, x2 满足方程 x2 (kx m)2 1，即
2
(2k 2 1)x2 4kmx (2m2 2) 0 ．
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被