经济数学基础复习题及答案(三)
经济数学基础3参考答案
经济数学基础3 作业分类答案一、单项选择题（共29 题）：A ,B 为两个事件，则（ B ）成立．⒈A. (A +B) −B AB. (A +B) −B ⊂AC. (A −B) +B AD.(A −B) +B ⊂A⒉如果（C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件．A. AB =∅ A BB. UUC. ABA ∅B且UUD.A 与B 互为对立事件⒊袋中有5 个黑球，3 个白球，一次随机地摸出4 个球，其中恰有3 个白球的概率为（ A ）．5 3 3 5 4 3 3 5 3A. 4B. ( )C. C8 ( )D.C 8 8 8 8 88⒋10 张奖券中含有3 张中奖的奖券，每人购买1 张，则前3 个购买者中恰有1 人中奖的概率为（ D ）．A. C3 ×0.72 ×0.3B. 0.3C. 0.72 ×0.3D. 3 ×0.72 ×0.310⒌同时掷3 枚均匀硬币，恰好有2 枚正面向上的概率为（ D ）．A. 0.5B. 0.25C. 0.125D. 0.375⒍已知P(B) >0, A A ∅，则（ B ）成立．1 2A. P(A1 B) >0B. P[(A1 +A2 ) B ] P (A1 B ) =+P (A2 B )C. P(A A B) ≠0D. P(A A B) 11 2 1 2⒎对于事件A , B ，命题（ D ）是正确的．A. 如果A , B 互不相容，则A , B 互不相容B. 如果A ⊂B ，则A⊂BC. 如果A , B 对立，则A , B 对立D. 如果A , B 相容，则A , B 相容⒏某随机试验每次试验的成功率为p (0 <p <1) ，则在3 次重复试验中至少失败1 次的概率为（ B ）．A. (1−p )3B. 1−p 3C. 3(1−p )D. (1−p )3 +p (1−p )2 +p 2 (1−p )⎛0 1 2 3 ⎞9.设离散型随机变量 cX 的分布列为X ~ ⎜⎟，若为常数，F (x) 为分布函数，则⎝0.2 c 0.3 0.1⎠（B ）．A. c 0.4, F (2) 0.3B. c 0.4, F (2) 0.9C. c 0.3, F(2) 0.3D. c 0.3, F(2) 0.9a10.设离散型随机变量X 的分布列为P(X k ) (k 1, 2,L,n) ，则a （D ）．3n1A. B. 1 C. 2 D. 33Ax , 0 ≤x ≤2⎧11. 设随机变量X 的密度函数的是f (x ) ⎨，则A （C ）．0, 其它⎩1 1A. 2B. 3C.D.2 312 设连续型随机变量X 的密度函数为f (x) ，分布函数为F (x) ，则对任意的区间(a , b) ，则P(a <X <b) （D ）．b bA. F (a) −F (b)B. ∫a F (x)dxC. f (a) −f (b)D. ∫a f (x)dxc, 3 ≤x ≤5⎧13 设随机变量X 服从均匀分布，其概率密度函数为 f (x ) ⎨，则c （ B ）．⎩0, 其它1 1A. B. C. 1 D. 23 214 设随机变量X ~ P(λ) ，且已知P(X 2) P(X 3) ，则常数λ（C ）．A. 5B. 4C. 3D. 1c c15. 设随机变量X ~ N (0,1) ，又常数满足P(X ≥c) P(X =<c) ，则（B ）．1A. −1B. 0C.D. 1216. 每张奖券中末尾奖的概率为0.1，某人购买了20 张号码杂乱的奖券，设中末尾奖的张数为X ，则X服从（C ）．A.泊松分布B. 指数分布C.二项分布D. 正态分布17. 设随机变量X ~ N (−3, 2) ，则X 的概率密度函数 f (x) （B ）．x2 (x+3)21 − 1 −A. e 2 (−∞<x <+∞)B. e 4 (−∞<x <+∞)2π 2 π(x+3)2 (x−3)21 − 1 −C. e 4 (−∞<x <+∞)D. e 4 (−∞<x <+∞)2π 2 π18 设随机变量X ~ B(n, p) ，且E (X ) 4.8,D(X ) 0.96 ，则参数n 与p 分别是（ A ）．A. 6, 0.8B. 8, 0.6C. 12, 0.4D. 14, 0.2⎧0, x <0⎪319.设随机变量X 的分布函数，F (x) ⎨x , 0 =≤x <1 ，则E (X ) （B ）．⎪⎩1, x ≥1(x +1)21 −20.设随机变量X 的密度函数的是f x e 18 −∞<x <+∞，则E (X ),D (X ) 的值为( ) ( )3 2π（B ）．A. E (X ) =−1,D(X ) 6B. E (X ) −1,D(X ) 9C. E (X ) 1,D(X ) 6D. E (X ) 1,D(X ) 921.设随机变量X ~U (2,8) ，则E(X 2 ) （C ）．A. 24B. 26C. 28D. 3022.设X 为随机变量，则D(2X −3) （D ）．A. 2D(X ) +3B. 2D(X )C. 2D(X ) −3D. 4D(X )223.设X 为随机变量，E(X ) μ,D(X ) σ，当Y （B ）时，有E (Y ) 0,D(Y ) 1 ．μ−X X −μ σ−X μ−σ A. B. C. D.σ σ μ X24. 设 2 Y aX +bX 是随机变量，D(X ) σ，设，则D(Y ) （B ）．A. 2B. 2 2C. 2D.2 2 （二）25.设X ,X ,L,X 是aσ +b a σ aσ a b σ +1 2 n来自正态总体 2 2N (μ,σ) （μ,σ均未知）的样本，则（A ）是统计量．X 2A. X 1B. X 1 +μC. 1D. μX 12σ26.设 2 2X 1,X 2 ,X 3 是来自正态总体N (μ,σ) （μ,σ均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计．1A. m ax{X ,X , X }B. (X +X )C. 2X −XD. X −X −X1 2 3 1 2 1 2 12 32ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,27.设θθθθθθθθθ1 2 3 4 都是参数的估计量，其中1 2 3 是参数的无偏估计量，若它们满足条件ˆ ˆ ˆ ˆ,Dθ<DθDθ>Dθ，则以下结论不正确的是（ C ）.1 2 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θ θ θ θ θ θA. 1 比 2 有效 B. 3 比 2 有效 C. 2 最有效D. 3 最有效28. 设X θθX 1,X 2 ,L,X n 是来自总体的一个样本，对于给定的α(0 <α<1) ，若存在统计量和，使得P(θ≤θ≤θ) 1=−α，则称[θ,θ]是置信度为（ A ）的置信区间．α αA. 1−αB. αC. 1−D.2 229.对正态总体方差的检验用的是（C ）．U 2 FA. 检验法B. t 检验法C. χ检验法D. 检验法二、填空题（共35 题）2⒈从数字1,2,3,4,5 中任取3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为．5⒉从个数字中有返回地任取个数（r ≤n ，且个数字互不相同），则取到的个数字中有重复数字n r n rn(n −1)L(n −r +1)的概率为1− ．rn⒊有甲、乙、丙三个人，每个人都等可能地被分配到四个房间中的任一间内，则三个人分配在同一间房间的概率为1/16，三个人分配在不同房间的概率为3/8．⒋已知P(A) 0.3, P(B) 05. ，则当事件 A , B 互不相容时，P(A +B)0.8，P(AB ) 0.3．⒌A , B 为两个事件，且B ⊂A ，则P(A +B) P(A) ．⒍已知P(AB) P(AB ) , P(A) p ，则P(B) 1-P ．⒎若事件A , B 相互独立，且P(A) p , P(B) q ，则P(A +B) p +q −pq ．⒏若A , B 互不相容，且P(A) >0 ，则P(B A) 0，若A , B 相互独立，且P(A) >0 ，则P(B A) P(B)．9 ．已知P(A) 0.3, P(B) 05. ，则当事件 A , B 相互独立时，P(A +B) 0.65，P(A B) 0.3．2 −210 设随机变量X ~ P(λ) ，且已知P(X 1) P(X 2) ，则常数P(X 4) e ．3⎧0, x ≤0⎪11 设随机变量X ~U (0, 1) ，则X 的分布函数F (x) ⎨x, 0 <x <1 ．⎪⎩1, x ≥18 212 设每次打靶中靶的概率是p ，则10 次独立射击中至多有2 次中靶的概率为(1−p ) (36p +8p +1) ．213 设X ~ N (μ, σ ) ，则P(| X −μ|≤3σ) 0.9974 ．2x t1 −( ) 214 设Φx ∫2πe dt ，则Φ(0) 0.5 ．−∞15 设随机变量X 的分布函数F (x) A =+B arctan x (−∞<x <+∞) ，则常数A 1/2，B 1/ π．16.设随机变量X 的分布函数是F (x) ，则P(a <X ≤b) F (b) −F(a) ．得P(θ≤θ≤θ) 1=−α，则称[θ,θ]是置信度为（ A ）的置信区间．α αA. 1−αB. αC. 1−D.2 229.对正态总体方差的检验用的是（C ）．U 2 FA. 检验法B. t 检验法C. χ检验法D. 检验法二、填空题（共35 题）2⒈从数字1,2,3,4,5 中任取3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为．5⒉从个数字中有返回地任取个数（r ≤n ，且个数字互不相同），则取到的个数字中有重复数字n r n rn(n −1)L(n −r +1)的概率为1− ．rn⒊有甲、乙、丙三个人，每个人都等可能地被分配到四个房间中的任一间内，则三个人分配在同一间房间的概率为1/16，三个人分配在不同房间的概率为3/8．⒋已知P(A) 0.3, P(B) 05. ，则当事件 A , B 互不相容时，P(A +B)0.8，P(AB ) 0.3．⒌A , B 为两个事件，且B ⊂A ，则P(A +B) P(A) ．⒍已知P(AB) P(AB ) , P(A) p ，则P(B) 1-P ．⒎若事件A , B 相互独立，且P(A) p , P(B) q ，则P(A +B) p +q −pq．⒏若A , B 互不相容，且P(A) >0 ，则P(B A) 0，若A , B 相互独立，且P(A) >0 ，则P(B A) P(B)．9 ．已知P(A) 0.3, P(B) 05. ，则当事件 A , B 相互独立时，P(A +B) 0.65，P(A B) 0.3．2 −210 设随机变量X ~ P(λ) ，且已知P(X 1) P(X 2) ，则常数P(X 4) e ．3⎧0, x ≤0⎪11 设随机变量X ~U (0, 1) ，则X 的分布函数F (x) ⎨x, 0 <x <1 ．⎪⎩1, x ≥18 212 设每次打靶中靶的概率是p ，则10 次独立射击中至多有2 次中靶的概率为(1−p ) (36p +8p +1) ．213 设X ~ N (μ, σ ) ，则P(| X −μ|≤3σ) 0.9974 ．2x t1 −( ) 214 设Φx ∫2πe dt ，则Φ(0) 0.5 ．−∞15 设随机变量X 的分布函数F (x) A =+B arctan x (−∞<x <+∞) ，则常数A 1/2，B 1/ π．16.设随机变量X 的分布函数是F (x) ，则P(a <X ≤b) F (b) −F(a) ．ˆˆ ˆ( , , , ) [ ( , , , )] ( , , , )35 ．当参数θ的估计量θX 1 X 2 LX n 满足E θx1 x2 Lxn θ时，则θX 1 X 2 LX n 称为θ的无偏估计．（三）解答题（共题）⒈设A,B 为两个事件，试用文字表示下列各个事件的含义：⑴A +B ；⑵AB ；⑶A −B ；⑷A −AB ；⑸AB ；⑹AB +AB ．解：⑴A +B 表示事件A 与事件B 至少有一个发生；⑵AB 表示事件A 与事件B 同时发生；⑶A −B 表示事件A 发生但事件B 不发生；⑷A −AB AB 表示事件A 发生同时事件B 不发生；⑸AB A UB 表示事件A 不发生同时事件B 也不发生；⑹AB +AB A =+B −AB 表示事件A 发生或事件B 发生，但两事件不同时发生．⒉设A , B , C 为三个事件，试用A , B , C 的运算分别表示下列事件：⑴A , B , C 中至少有一个发生；A UB UC⑵A , B , C 中只有一个发生；ABC UABC UABC⑶A , B , C 中至多有一个发生；AB UBC UCA ；⑷A , B , C 中至少有两个发生；AB UBC UAC⑸A , B , C 中不多于两个发生；ABC⑹A , B , C 中只有C 发生．ABC⒊袋中有3 个红球，2 个白球，现从中随机抽取2 个球，求下列事件的概率：⑴ 2 球恰好同色；⑵ 2 球中至少有1 红球．0.4 0.9⒋一批产品共50 件，其中46 件合格品，4 件次品，从中任取3 件，其中有次品的概率是多少? 次品不超过2 件的概率是多少?C3解：有次品的概率为1− 46 ；C350C3次品不超过2 件的概率为 41− .C350⒌设有100 个圆柱形零件，其中95 个长度合格，92 个直径合格，87 个长度直径都合格，现从中任取一件该产品，求：⑴该产品是合格品的概率；⑵若已知该产品直径合格，求该产品是合格品的概率；⑶若已知该产品长度合格，求该产品是合格品的概率．解：⑴该产品是合格品的概率为0.87 ；87⑵已知该产品直径合格，则该产品是合格品的概率为；9287⑶已知该产品长度合格，则该产品是合格品的概率为．95⒍加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．解：加工出来的零件是正品的概率为0.97×0.98 0.9506 ．⒎市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．解：买到一个热水瓶是合格品的概率为0.9×0.5+0.85×0.3+0.8×0.2 0.865⒏一批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共抽得5 件样品，分别计算这5 件样品中恰有3 件次品和至多有3 件次品的概率．解：,5 件样品中恰有 3 件次品的概率为 3 3 2 ;X ~ B(5,0.2) P{X 3} C5 ×0.2 ×0.8 0.05125 件样品中至多有3 件次品的概率为P {X ≤3} 1=−P {X 4}=−P{X 5} 0.00672 ．⒐加工某种零件需要三道工序，假设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%，并假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．1解：加工出来的零件的次品率为(0.02 +0.03+0.05) 0.033310.袋中装有5 个大小、形状相同的球，编号为1~ 5 ，现从中任取3 个球，设X 表示取出的3 个球中最大号码数，试求（1）X 的概率分布列；（2 ）X 的分布函数F (x) ；（3）P(2 ≤X <4.5) ．⎛3 4 5 ⎞解：（1）X ~ ⎜⎟；⎝0.1 0.3 0.6⎠⎧0, x <3⎪⎪0.1, 3 ≤x <4(2）F (x) ⎨；0.4, 4 ≤x <5⎪⎪⎩1, x ≥5（3）P(2 ≤X <4.5) P(X 3) +P(X 4) 0.1+0.3 0.411.已知100 个产品中有5 个次品，现从中任取1 个，有放回地取3 次，求在所取的3 个产品中恰有2 个次品的概率．95×52解：所取的3 个产品中恰有2 个次品的概率为312.设随机变量X 的概率分布列为⎛0 1 2 3 4 5 6 ⎞X ~ ⎜⎟，⎝0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03⎠试求P(X ≤4),P(2 ≤X ≤5),P(X ≠3) ．解：P(X ≤4) 0.1=+0.15 +0.2 +0.3+0.12 0.87 ；P(2 ≤X ≤5) 0.2 =+0.3+0.12 +0.1 0.72 ；P(X ≠3) 1=−P(X 3) 1−0.3 0.7 ．13.设随机变量X 具有概率密度2x, 0 ≤x ≤θ⎧f (x ) ⎨0, 其它⎩试求（1）θ；（2 ）P(X ≤0.5),P(0.25 <X <2) ．+∞θ解：（1） 2 θ 2 ；∫f (x )dx ∫2xdx x |0 θ 1 ⇒θ 1−∞00.5 11 1 15（2 ）P X ≤xdx P <X < xdx ．( 2) ∫2 0.25, (4 2) ∫2 160 0.2514. 已知某型号电子管的寿命X （单位：h ）服从指数分布，其概率密度为x⎪ e 1000 , x >0( ) ，f x ⎨1000⎪0, 其它⎩一台仪器中有3 只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作，求仪器正常工作1000h 以上的概率．1000 x1 − 11000解:P X > =−P X ≤=− e dx ．( 1000) 1 ( 1000) 1 ∫1000 e⎧ 0, x <0⎪ 2F (x) Ax , 0 x 115.设随机变量X 的分布函数为⎨≤< ，试求：（1）常数A ；⎪⎩ 1, x ≥1（2 ）X 的密度函数f (x) ．解: （1）由，得lim Ax2 A 1 ；lim F (x) F (1) 1−−x →1 x→12x, 0 ≤x ≤1⎧f (x )（2）⎨．⎩0, 其它16.设随机变量X ~ N (2, 0.04) ，计算⑴P(1.8 <X <2.4) ；⑵P(| X −2 |≥0.2) ．解: ⑴P(1.8 <X <2.4) =Φ(2) −Φ−( 1) 0.9772 =+0.8413−1 0.8185 ；⑵P (| X −2 |≥0.2) 1=−P (| X −2 |<0.2) 2[1=−Φ(1)] 2(1=−0.8413)0.3174 ．17 设随机变量X ~ N (1, 0.64) ，计算⑴P(0.2 <X <1.8) ；⑵P(X >0) ．解: ⑴P(0.2 <X <1.8) =Φ(1) −Φ−( 1) 2=×0.8413−1 0.6826 ；⑵P(5 <X <7) P (X =>0) 1=−P(X ≤0) 1=−Φ−( 1.25) =Φ(1.25)0.8944 ．18.一批零件中有9 个正品，3 个次品，在安装机器时，从这批零件中任取1 个，若取出的次品不放回再取 1 个，直到取出的是正品安在机器上，求在取到正品之前，已取出的次品数X 的数学期望和方差．⎛0 1 2 3 ⎞⎜⎟ 3 2 9 9 9 351解：X ~ ⎜⎜3 9 9 1 ⎟⎟；E(X ) 10,E(X ) 22,D(X ) 22 −100 1100 ．⎝4 44 220 220 ⎠19. 已知随机变量X 的概率分布列为⎛2 1 0 −1⎞X ~ ⎜1 1 1 1 ⎟，试求E (X ),D (X ) ．⎜⎜⎟⎟⎝2 6 6 6 ⎠2 8 8 2 5解：E (X ) 1,E (X ) ,D(X ) −1 ．3 3 320.设随机变量X 具有概率密度2(1−x), 0 ≤x ≤1⎧f (x ) ⎨，试求E (X ) ，D(X ) ．0, 其它⎩112 1 2 23 1 1 1 1解：E (X ) ∫2(x =−x )dx 3 , E(X ) ∫2(x −x )dx 6 , D(X ) 6 −9 180 021.设随机变量X 的密度函数为⎧−xe , x ≥0 −2Xf (x ) ⎨，试求（1）E (X ) ；（2 ）D(X ) ；（3）E(e ) ．0, x <0⎩+∞−x解：（1）E(X ) ∫xe dx 1 ；+∞（2 ） 2 2 −x 2 ；E (X ) ∫x e dx 2, D(X ) 2 −1 12X +∞2x x +∞3x 1（3）( − ) − − − ．E e ∫e e dx ∫e dx 30 0122.设随机变量X 的概率密度为( ) −|x| ( ) ，试求（1）；（2 ）；（3）f x e =−∞<x <+∞E (X ) D(X )2E (−2X +3) ．1+∞解：（1）( ) −|x| 0E X 2 ∫xe dx ；−∞+∞（2 ） 2 2 −x 2 ；E (X ) ∫x e dx 2, D(X ) 2 −0 2（3）E (−2X +3) =−2E (X ) +3 0 =+3 3 ．3 2 7 623.设X 为离散型随机变量，且P(X a) ,P(X b) ,a<b ，若E (X ) ,D(X ) ，试求5 5 5 25a,b ．⎛a b ⎞解：⎜⎟， 3 2 7 ；X ~ ⎜3 2 ⎟ E (X ) a =+ b =⇒3a +2b 7⎜⎟ 5 5 5⎝5 5 ⎠2 3 2 2 2 6 49 11 2 2E (X ) a =+ b =+ =⇒3a +2b 11；5 5 25 25 59 4解得：；以及 a <ba 1,b 2 a ,b （由于，舍去）．5 524.设随机变量X 的密度函数为Ax +B , 1≤x ≤2⎧19f x( ) ⎨，且E(X ) ，试求A,B和D(X ) ．0, 其它12⎩+∞23解：由∫f (x )dx ∫(Ax =+B )dx 2A =+B 1；−∞ 1+∞ 22 73 19E(X ) ∫xf (x)dx ∫(Ax +Bx)dx 3 A =+2 B 12 ；−∞ 1x −0.5, 1≤x ≤2⎧解得：A 1,B −0.5，于是f (x ) ⎨．⎩ 0, 其它2 231 31 19 112 3 2 ⎛⎞( ) ( 0.5 ) , ( )E X ∫x =− x dx D X −⎜⎟．12 12 12 1441 ⎝⎠25. 已知E (X ) =−1,D(X ) 3 ，试求E[3(X 2 −1)]．解： 2 2 2 ．E[3(X −1)] 3E (X )=−3 3[3=+(−1) ]−3 12=−3 92 1 n26 设X 1,X 2 , L,X n 是独立同分布的随机变量，已知 E (X ) μ,D(X ) σ，设X ∑X ，求1 1 in i 1E (X ),D (X ) ．⎛1 n ⎞ 1 n 1 n( )解：E X E X E X μμ；( ) ⎜∑i ⎟∑i ∑⎝n i 1 ⎠ n i 1 n i 1⎛1 n ⎞ 1 n 1 n 2 σ2( )D X D X D X σ( ) ⎜∑i ⎟ 2 ∑i 2 ∑⎝n i 1 ⎠ n i 1 n i 1 n27 ．设对总体X 得到一个容量为10 的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值X 和样本方差S 2 ．2 1 10 2解：x 3.6 , s ∑(xk =−3.6) 2.8329 k 128 ．在测量物体的长度时，得到三个测量值：3.00 2.85 3.15若测量值 2 2X ~ N (μ, σ) ，试求μ,σ的极大似然估计值．ˆ ˆ 2 2 1 2 2 2解：μx 3, σs (0.15 +0.15 ) 0.15229 ．设总体X 的概率密度函数为⎧θ(θ+1)x , 0 <x <1f (x ; θ) ⎨，0, 其它⎩试分别用矩估计法和极大似然估计法估计参数θ．1ˆθ θ+1 θ+1解：E (X ) ∫x(θ=+1)x dx θ+2 , 令ˆX ,θ+2ˆ 1−2X得θ的矩估计量为θ;X −1nθ n θ似然函数L(θ) ∏(θ=+1)x (θ=+1) (x x Lx ) ,i 1 2 ni 1nln L(θ) n ln(θ=+1) +θ ln x ,∑ii 1d ln L(θ) n n令=+∑ln xi 0 ,dθ θ+1 i 1ˆ n得θ最大似然估计量为θ=− − ．1n∑ln xii 130. 设有一批钢珠，其直径服从 2X ~ N (μ,σ) ，今随机抽查了八个，测得直径如下（单位mm ）：5.90,6.01,6.12,5.98,6.00,5.94,6.07,5.92对给定的α0.01 ，(1)已知 2 ；(2)未知 2 ，请给出μ的置信度为0.99 的置信区间．σ 1 σ2 1 8 2x 5.9925解：, s ∑(xk =−5.9925) 0.005621,s 0.075 ．7 k 1⑴当 2 时, μ的置信度为0.99 的置信区间为:σ 1σ 1x ±z0.995 5.9925=±×2.575 5.9925=±0.9104 [5.0821,6.9029] ；n 8⑵当σ2 未知的情况下，μ的置信度为0.99 的置信区间为:s 0.075x ±t0.005 (7) 5.9925=±×3.4995 9.9925=±0.0928 [5.8997,6.0853] ．n 831 ．测两点之间的直线距离5 次，测得距离的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可认为是服从正态分布 2 的，求 2 2 2N (μ,σ) 与的估计值，并在⑴；⑵未知的情况下，μ σ σ 2.5 σ分别求μ的置信度为0.95 的置信区间．ˆ ˆ 2 2 1 5 2解：μ x 110 , σ s ∑(xk −110) 1.875 ．4 k 1⑴当 2 时, μ的置信度为0.95 的置信区间为:σ 2.5σ 2.5x ±z0.975 110=±×1.96 110=±1.386 ；n 5⑵当σ2 未知的情况下，μ的置信度为0.95 的置信区间为:s 1.875x ±t0.025 (4) 110 =±×2.7764 110 ±1.7 ．n 532．测试某种材料的抗拉强度，任意抽取10 根，计算所测数值的均值与方差，得1 102 1 10 2X ∑X 20 S ∑(ξ =−ξ) 2.5i i10 i 1 10−1 i 1假设抗拉强度,试以95％的可靠性估计这批材料的抗拉强度的置信区间.s 2.5解：所求置信区间为x ±t0.025 (9) 20 =±×2.2622 20=±1.1311n 10233．设某产品的性能指标服从正态分布N (μ,σ) ，从历史资料已知σ4 ，抽查10 个样品，求得均值为17，取显著性水平α0.05 ，问原假设H0 :μ20 是否成立？X −20 17−20解：取检验统计量U ~ N(0,1) ，|U | 3>1.96 z , 故拒绝H ．0.975 0σ/ n 4 / 1634．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8 个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化？（α0.05 ）．2 X −20解：设H0 :μ20, x 20.05,s 0.67 ,取检验统计量t ~ t(7) , 则S / n20.05 −20|t | 0.173 <2.3646 t0.025 (7) ,0.67 / 8故接受H 0 , 认为用新材料做的零件平均长度没有起变化．35 ．从一批袋装食盐中随机抽取5 袋称重，重量分别为（单位：g）：1000，1001，999，994，998假设这批食盐的重量服从正态分布，试问这批食盐重量的均值可否认为是1000g?( α0.05 ).2 X −1000 解：设H0 :μ100, x 999.88,s 10.038 ,取检验统计量t ~ t(4) ,S / n999.88−1000 0.12则|t | 0.083 <2.7764 t0.025 (4) ,10.038 / 5 1.44故接受H 0 , 认为这批食盐重量的平均值为1000g ．36. 正常人脉搏数均值为72 次/分， 2 ，现某医生测得10 例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏如下：σ 30α0.05 ）.（单位：次/分）68，70，66，67，54，78，67，70，65，69 （脉搏数服从正态分布，取问：(1) 四乙基铅中毒患者的脉搏数与正常人脉搏数有无显著差异？(2) 如果方差σ2 未知，则两者的脉搏数有无显著差异？2 1 10 2解：x 67.4, s ∑(x −67.4) 35.155,s 5.93．i9 i 1X −72 （1）设H0 :μ72,H1 :μ≠72 ,取检验统计量U ~ N(0,1) , 则σ/ n67.4 −72 4.6| U | 2.565 >1.96 u ,0.02530 / 10 1.732故拒绝H 0 ，认为两者脉搏数有显著差异．X −72（2 ）设H0 :μ72,H1 :μ≠72 ,取检验统计量t ~ t(9) , 则S / n67.4 −72 4.6|t | 2.4536 >2.2622 t0.025 (9) ,5.93/ 10 1.8748故拒绝H 0 ，认为两者脉搏数有显著差异．。
经济数学基础及参考答案
作业（一）（一）填空题3.曲线x y =在)1,1(的切线方程是 .答案：2121+=x y4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 21. 函数212-+-=x x x y 的连续区间是（ ）答案：D ，可能是cA ．),1()1,(+∞⋃-∞B ．),2()2,(+∞-⋃--∞C ．),1()1,2()2,(+∞⋃-⋃--∞D ．),2()2,(+∞-⋃--∞或),1()1,(+∞⋃-∞ 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：B A.1lim=→xx x B.1l i m=+→xxxC.11sinlim 0=→xx x D.1si n l i m=∞→xx x3. 设y x =lg 2，则d y =（ ）．答案：B A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（ ）. 答案：C A ．x 2 B ．xx sinC ．)1ln(x +D ．x cos(三)解答题问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.答案：（1）当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在；1lim ()lim (sin)x x f x x b b x--→→=+=，0sin lim ()lim 1x x x f x x++→→==，有极限存在，lim ()lim ()1x x f x f x b +-→→===（2）当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。
(完整版)经济数学基础形成性考核册答案
电大经济数学基础形成性核查册及参照答案（一）填空题 1. limx sin x__________ _________ .答案： 0x 0x2. 设 f ( x) x 2 1, x0 0 处连续，则 k________ .答案： 1k ,x，在 x3. 曲线 yx 在 (1,1) 的切线方程是.答案： y1 x 12 24. 设函数 f ( x 1) x 2 2x 5 ，则 f ( x)__________ __ .答案： 2x5. 设 f ( x)x sin x ，则 f ( π __________ . 答案：π) 22（二）单项选择题1. 函数 y x 1的连续区间是（D ）x 2x 2A ． (,1) (1, )B ． ( , 2) ( 2,)C ． ( , 2) ( 2,1) (1,)D ． (, 2)( 2, ) 或( ,1) (1, )2. 以下极限计算正确的选项是（B ）x1B. limx1A. limx xxx 011D. lim sin x 1C. lim x sinxxxx3. 设 ylg2 x ，则 d y（ B ）．A ．1dxB ．1 dx C ．ln10dxD ．1dx2xx ln10xx4. 若函数 f ( x)在点 x 0 处可导，则 (B )是错误的．A ．函数 f (x)在点 x 0 处有定义B ． limf ( x)A，但A f (x 0 )xx 0C ．函数 f (x) 在点 x 0 处连续D ．函数 f (x) 在点 x 0 处可微5. 当 x0 时，以下变量是无量小量的是（C） .A ． 2xB ． sin xC ． ln(1x) D ． cos xx ( 三)解答题 1．计算极限（ 1） limx 22 3x21x 1x12原式 lim( x1)( x 2)x 1( x 1)( x 1)limx2 x 1 x1 12（ 2） lim x25x 6 1 x 2x26x 8 2原式 = lim(x - 2)(x - 3) x 2(x - 2)(x - 4)limx3 x2x 4 12（ 3）lim1 x 11x2x原式 =lim(1 x 1)( 1 x 1) xx( 1 x 1)1= limx 01 x 11 =2x 23x5 1 （ 4） lim2x3x 2x4 31 351xx 2原式 == 3 3 4 3x x 2（ 5）limsin 3x3 xsin 5x53sin 3x3lim 3x原式 =sin 5x=5 x55xx 2 44（ 6） limx2sin( x 2)原式 =limx 22)x2sin( xx 2lim ( x 2)x 2= 4=lim sin( x 2)x 2x 2x sin1b, x 02．设函数 f (x)xx 0 ，a,sin xx 0x问：（1）当 a, b 为何值时，f ( x) 在 x 0处有极限存在？（2）当 a, b 为何值时， f ( x) 在x0处连续 .解： (1) limf ( x) b , lim f ( x)1xx当a b 1时，有 lim f(x)f(0) 1x(2). 当ab 1时， 有lim f(x)f(0) 1x函数 f(x) 在 x=0 处连续 .3．计算以下函数的导数或微分：（ 1）yx22xlog 2 x22 ，求 y答案： y2x 2 x ln 21x ln 2（ 2）yax bcx ，求 yd答案：ya(cx d )c(ax b) ad bc (cxd) 2(cx d )2（ 3）y1，求 y3x 53(3x3答案： y5) 22（ 4） yx xe x ，求 y答案：y 1 (e x xe x ) = 1 e x xe x2 x 2 x（ 5）y eax sin bx ，求 dyy (e ax ) (sin bx e ax (sin bx)答案：∵ax axae sin bx be cosbxe ax (sin bx bcosbx)∴ dy e ax (a sin bx bcosbx)dx 1（ 6）y e x x x ，求 dy1 1 3答案：∵ y e x xx2 2( 311∴ dy x e x )dx2 x2（ 7）y cos x e x2 ，求 dy答案：∵ y sin x ( x) e x 2 (= sin x 2xe x22 x∴ dy ( sin x 2xe x2 )dx2 x（ 8）y sin n x sin nx ，求 y答案： y nsin n 1 x cos x n cosnx （ 9）y ln( x 1 x2 ) ，求y答案： y 1 ( x 1 x 2 )x 1 x 2=1 1 x2 x=x2 x 2x 1 1cot 1 1 3 x 2 2x（ 10）y 2 x ，求 yx x 2 )=1 (1 x )1 x2 1 x2x11x2111 1cos( x 2 x 6y 2xln 2 (cos ) 2) 答案：x12 cos11 112 x ln 2 sinxx 2x 3 6 x 54.以下各方程中y 是 x 的隐函数，试求 y 或dy(1) 方程两边对 x 求导：2x 2 y y y xy 3 0(2 y x) yy 2x 3所以 dyy 2x3dx2y x(2) 方程两边对 x 求导：cos(x y)(1 y ) e xy ( y xy )4[cos(x y)xe xy ] y4 cos(x y) ye xy所以y4 cos(x y) ye xy cos(x y)xe xy5．求以下函数的二阶导数：（ 1）yln(1x 2 ) ，求 y答案： (1)y2x1 x2y 2(1 x 2 ) 2x 2x2 2x 2(1 22(1 22x )x )(2)y (xy3x41 11 x 2x 2 )25 321x 243 21 1x 223 1 1y (1)4 4作业（二）（一）填空题1.若f (x)dx 2 x 2x c ，则 f ( x) __________ _________ .答案： 2x ln 2 22.(sinx) dx ________.答案： sin x c3. 若f ( x) dxF ( x) c ，则 xf (1 x 2 )dx.答案：1F (1 x 2 ) cd24.设函数eln(1 x 2)dx ___________ .答案： 0dx 15. 若 P(x) 01dt ，则 P ( x) __________ .答案：1x 2x1 t 21 （二）单项选择题1. 以下函数中，（ D2）是 xsinx的原函数．A ．1cosx 2B ．2cosx 2C ．- 2cosx2D ． -1cosx 2222. 以低等式成立的是（C ）．A ． sinxdxd(cosx)B ． ln xdxd( 1)xC ． 2 xdx1 d(2 x )D ．1 dx d xln 2x3. 以下不定积分中，常用分部积分法计算的是（C ）．A ． cos(2x1)dx ，B ．x 1 x 2 dxC ． xsin 2xdxD ．x 2 dx1 x4. 以下定积分计算正确的选项是（D）．12 d216B ．dx15x x11C ．23D ． sin d( xx )dx 0x x5. 以下无量积分中收敛的是（ B ）．A ．1(三)解答题1dx B ．112dx C ．e x dxD ．sinxdxxx 011.计算以下不定积分3x（ 1） 3xdx 原式 =3 x dx = (e )c3x ce x(e ) ln 3e x (ln 3 1)e（ 2）(1x) 213dx 答案：原式 = (x 2 2 x x 2 )dxx=14 32 5 c2x 23 x 2x 25x 24 (x 2)dx1 x 22x c（ 3）dx 答案：原式 =（ 4）1 1 dx答案：原式 = 1 d (1 2x)1ln 1 2x c 2x 2 1 2x 21 13（ 5）x 2 x2dx答案：原式 = 2 x 2 d (2 x 2 ) = ( 2 x2) 2 c2 3（ 6）sinxdx 答案：原式=2 sin xd x 2 cos x c x（ 7）xdx xsin2答案：∵ (+) x sinx2(-) 1 2 cosx2(+) 0 4 sinx2∴原式 = 2x cosx4 sinxc2 2（8） ln( x 1)dx答案：∵ (+) ln( x 1) 1(-)1x x 1∴原式 = x ln( x 1) x dxx 1= x ln( x 1) (1 1 )dxx 1 = x ln( x 1) x ln( x 1) c 2.计算以下定积分2xdx（ 1） 111x)dx 2 1)dx = 2 ( 1x2 x)12 2 5 9答案：原式 = (1 (x1 12 2 212e x（ 2） x2 dx11112e xx 2)d112答案：原式 =2 ( = ex e e 21xxe3（ 3）1dx1x 1 ln xe3x d(1 ln x) = 2 1 ln xe 3 答案：原式 =1 ln x 21x1（ 4）2x cos2xdx答案：∵ (+) xcos2x (-)11sin 2x2(+)01cos2x4∴ 原式 = (1x sin 2x1cos2x) 0224=1 1 1442e（ 5） x ln xdx 1答案：∵ (+)ln xx(-)1x 2x21 2ln x e1e∴ 原式 =x 12 xdx21 =e 2 1 x 21e1 (e2 1)2 444 xxx(1（ 6）答案：∵原式 = 44 xe xdx(-)1 -e x (+)0e x4e x ) 04∴xe xdx ( xex 0=5e 4 1故：原式 =55e4作业三（一）填空题10 4 51.设矩阵 A32 32 ，则 A 的元素 a 23 __________ ________ .答案： 321612.设 A, B 均为 3 阶矩阵，且 A B3，则2AB T = ________. 答案： 723. 设 A, B 均为 n 阶矩阵，则等式 ( AB) 2 A 2 2 ABB 2 成立的充分必要条件是.答案： AB BA4. 设 A, B 均为 n 阶矩阵， ( IB) 可逆，则矩阵 A BXX 的解 X__________ ____ .答案：( IB) 1 A1 01 0 0 5. 设矩阵 A020 ，则 A1__________ .答案：A0 10 0 032 10 03（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的选项是（ C ）．A ．若 A,B 均为零矩阵，则有 A B B ．若 AB AC ，且 A O ，则 BCC ．对角矩阵是对称矩阵D ．若 AO, B O ，则 AB O2. 设 A 为 34 矩阵， B 为5 2矩阵，且乘积矩阵 ACB T 有意义，则 C T 为（A ）矩阵．A ． 2 4B ． 4 2C ． 3 5D ． 533. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则以低等式成立的是（C ）．`A ． ( A B) 1A 1B 1 ，B ． ( A B) 1 A 1 B 14. 以下矩阵可逆的是（A）．1 2 31 01 A ．2 3 B ．10 1 0 0 3123C ．1 11 1 0 0D ．222 2 25. 矩阵 A3 3 3 的秩是（B ）．4 44A ． 0B ． 1C ．2D ．3三、解答题 1．计算2 1 0 1 1 2（ 1）3 1 0 =553（ 2）（ 3）2．计算0 2 1 1 0 0 03 0 00 0312 5 4= 0121 2 3 1 2 4 2 4 51 2 2 1 4 3 6 1 01 32 23 1 3 2 71 2 3 1 2 4 2 4 5 7 19 7 2 4 5 解1 221 4 3 6 17 12 0 6 1 013 223132 7 0 4 732 7515 2 =1 11 032142 31 12 33．设矩阵 A111 ， B 1 12 ，求 AB 。
经济数学基础(专科)复习资料.docx
《经济数学基础》课程复习资料-、填空题:1 ♦ *x sin —1 .极限1 im ----- 疋= _______ o心0 sin %2.已知兀T 0时°, (1 + 67X2)3 - 1与COSX-1是等价无穷小，则常数沪_____3.已知/(x) = |(C0SX)A '" °；在兀=0 处连续，则a= __________________ o[G,X =O,4.设/(x) = x2-3x4-2, WJ f[f(x)] =_______________ o5.函数 /(兀,y) = ln[(16-x2 - y2)(x2 + y2 -4)]的定义域为__________ 。
6.设u =e x yz2,其中z = z(x,y)由x+y+z +尢yz = 0确定的隐函数，则一- = ________& (0.1)7.j x2 sin 2xdx =_。
8.设/(x) = x2 4- v£fMdx,则/(x)=9.__________________________________________________________ 在区间[0,刃-上曲线y = cosx, y = sin x Z间所围图形的面积为 ____________________________ 。
f4<0 r |10.I c x dx —— 9则k—oJo 22 211.设均匀薄片所占区域D为：^ + ^<l9y>0则其重心处标为___________ oa z tr12.工收敛区间为____________ o 13.函数/(x)=『的Maclaurn级数为=n=i 3" • n14.函数f(x) = arctan x展成x的幕级数为arc tan x = _______ 。
8 115.______________________________________________ 设级数》〒收敛，则常数p的最大取值范围是 _______________________________________ o;?=1 n16.微分方程4y" - 20# + 25 = 0的通解为________ 。
【经济数学基础】形成性考核册答案(附题目)4
电大天堂【经济数学基础】形成性考核册答案电大天堂【经济数学基础】形考作业一答案:（一）填空题 1.___________________sin lim=-→xxx x .0 2.设 , 在 处连续, 则 .答案: 13.曲线 在 的切线方程是 .答案:4.设函数 , 则 .答案:5.设 , 则 （二）单项选择题1.函数 , 下列变量为无穷小量是.... . A. B. C. D.2.下列极限计算正确的是....） A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xx x3.设 , 则 （..）.......A. B. C. D.4.若函数.(x)在点x0处可导，则. . )是错误的.. A ．函数f (x)在点x0处有定义 B ． , 但C. 函数f (x)在点x0处连续D. 函数f (x)在点x0处可微 5.若 , 则 B ）A. 1/B. -1/C.D. (三)解答题 1. 计算极限（1）21123lim 221-=-+-→x x x x （2）218665lim 222=+-+-→x x x x x （3）2111lim0-=--→x x x （4）3142353lim 22=+++-∞→x x x x x（5）535sin 3sin lim 0=→x x x （6）4)2sin(4lim22=--→x x x 2. 设函数 ,问: （1）当 为何值时, 在 处有极限存在？ （2）当 为何值时, 在 处连续.答案: （1）当 , 任意时, 在 处有极限存在； （2）当 时, 在 处连续。
3. 计算下列函数的导数或微分: （1） , 求 答案：2ln 12ln 22x x y x ++=' （2） , 求 答案：2)(d cx cbad y +-='（3） , 求 答案：3)53(23--='x y（4） , 求 答案：x x xy e )1(21+-='（5） , 求答案：dx bx b bx a dy ax )cos sin (e += （6） , 求 答案: （7） , 求 答案: （8） , 求答案：)cos cos (sin 1nx x x n y n +='- （9） , 求 答案：211xy +='（10） , 求答案：652321cot 61211sin2ln 2--+-='x x xx y x4.下列各方程中 是 的隐函数, 试求 或 （1） , 求 答案：x xy xy y d 223d ---=（2） , 求答案：)cos(e )cos(e 4y x x y x y y xy xy +++--='5. 求下列函数的二阶导数: （1） , 求答案：222)1(22x x y +-='' （2） , 求 及答案： ,电大天堂【经济数学基础】形考作业二答案:（一）填空题1.若 , 则 .答案:2. .答案:3.若 ，则........答案：4.设函数 .答案: 05.若 ，则 .答案： （二）单项选择题1.下列函数中, ....）是xsinx2的原函数...A. cosx2B. 2cosx2C. -2cosx2D. - cosx2 2.下列等式成立的是...）...... A. B.C. D.3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ . ）........A. ,B.C.D. 4.下列定积分计算正确的是. .. ）... A. B. C. D.5.下列无穷积分中收敛的是...）.. A. B. C. D.(三)解答题 1.计算下列不定积分（1）⎰x x xd e3答案: （2）⎰+x xx d )1(2答案：c x x x +++252352342（3）⎰+-x x x d 242 答案：c x x +-2212（4）⎰-x x d 211答案：c x +--21ln 21（5）⎰+x x x d 22答案：c x ++232)2(31（6）⎰x xx d sin答案：c x +-cos 2（7）⎰x xx d 2sin答案：c xx x ++-2sin 42cos 2（8）⎰+x x 1)d ln(答案：c x x x +-++)1ln()1( 2.计算下列定积分 （1）x x d 121⎰--答案：25（2）x xxd e2121⎰答案：e e - （3）x xx d ln 113e 1⎰+答案：2（4）x x x d 2cos 20⎰π答案：21-（5）x x x d ln e 1⎰答案：)1e (412+（6）x x x d )e 1(4⎰-+答案：4e 55-+电大天堂【经济数学基础】形考作业三答案:（一）填空题1.设矩阵 , 则 的元素 .答案: 32.设 均为3阶矩阵, 且 , 则 = .答案:3.设 均为 阶矩阵, 则等式 成立的充分必要条件........答案：4.设 均为 阶矩阵， 可逆，则矩阵 的解 .答案：A B I 1)(--5.设矩阵 , 则 .答案: （二）单项选择题1.以下结论或等式正确的是..）.. A. 若 均为零矩阵, 则有 B ．若 , 且 , 则 C. 对角矩阵是对称矩阵 D. 若 , 则2.设 为 矩阵， 为 矩阵，且乘积矩阵 有意义，则 为.. ）矩阵...... A. B.C. D.3.设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ . ）........ ` A ． , B ．C. D. 4.下列矩阵可逆的是. .. ）... A. B. C. D.5.矩阵 的秩是. ...）.. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3三、解答题 1．计算（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01103512=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5321 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00113020⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000 （3）[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21034521=[]02. 计算解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--72301654274001277197723016542132341421231221321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---142301112155 3. 设矩阵 , 求 。
国家开放大学《经济数学基础》期末考试复习题及参考答案
国家开放⼤学《经济数学基础》期末考试复习题及参考答案题⽬1：函数的定义域为（）.答案：题⽬1：函数的定义域为（）.答案：题⽬1：函数的定义域为（）.答案：题⽬2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题⽬2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题⽬2：下列函数在指定区间上单调减少的是（）.答案：题⽬3：设，则（）.答案：题⽬3：设，则（）.答案：题⽬3：设，则=（）．答案：题⽬4：当时，下列变量为⽆穷⼩量的是（）.答案：题⽬4：当时，下列变量为⽆穷⼩量的是（）.答案：题⽬4：当时，下列变量为⽆穷⼩量的是（）.答案：题⽬5：下列极限计算正确的是（）.答案：题⽬5：下列极限计算正确的是（）.答案：题⽬5：下列极限计算正确的是（）.答案：题⽬6：（）.答案：0题⽬6：（）.答案：-1题⽬6：（）.答案：1题⽬7：（）.答案：题⽬7：（）.答案：（）.题⽬7：（）.答案：-1题⽬8：（）.答案：题⽬8：（）.答案：题⽬8：（）.答案：（）.题⽬9：（）.答案：4题⽬9：（）.答案：-4题⽬9：（）.答案：2题⽬10：设在处连续，则（）.答案：1 题⽬10：设在处连续，则（）.答案：1 题⽬10：设在处连续，则（）.答案：2题⽬11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题⽬11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题⽬11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题⽬12：曲线在点的切线⽅程是（）.答案：题⽬12：曲线在点的切线⽅程是（）.答案：题⽬12：曲线在点的切线⽅程是（）.答案：题⽬13：若函数在点处可导，则（）是错误的．答案：，但题⽬13：若函数在点处可微，则（）是错误的．答案：，但题⽬13：若函数在点处连续，则（）是正确的．答案：函数在点处有定义题⽬14：若，则（）.答案：题⽬14：若，则（）.答案：1题⽬14：若，则（）.答案：题⽬15：设，则（）．答案：题⽬15：设，则（）．答案：题⽬15：设，则（）．答案：题⽬16：设函数，则（）.答案：题⽬16：设函数，则（）.答案：题⽬16：设函数，则（）.答案：题⽬17：设，则（）.答案：题⽬17：设，则（）.答案：题⽬17：设，则（）.答案：题⽬18：设，则（）.答案：题⽬18：设，则（）.答案：题⽬18：设，则（）.答案：题⽬19：设，则（）.答案：题⽬19：设，则（）.答案：题⽬19：设，则（）.答案：题⽬20：设，则（）.答案：题⽬20：设，则（）.答案：题⽬20：设，则（）.答案：题⽬21：设，则（）.答案：题⽬21：设，则（）.答案：题⽬21：设，则（）.答案：题⽬22：设，⽅程两边对求导，可得（）.答案：题⽬22：设，⽅程两边对求导，可得（）.答案：题⽬22：设，⽅程两边对求导，可得（）.答案：题⽬23：设，则（）.答案：题⽬23：设，则（）.答案：题⽬23：设，则（）.答案：-2题⽬24：函数的驻点是（）.答案：题⽬24：函数的驻点是（）.答案：题⽬24：函数的驻点是（）.答案：题⽬25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题⽬25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题⽬25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题⽬1：下列函数中，（）是的⼀个原函数．答案：题⽬1：下列函数中，（）是的⼀个原函数．答案：题⽬1：下列函数中，（）是的⼀个原函数．答案：题⽬2：若，则（）. 答案：题⽬2：若，则（）．答案：题⽬2：若，则（）. 答案：题⽬3：（）. 答案：题⽬3：（）．答案：题⽬3：（）. 答案：题⽬4：（）．答案：题⽬4：（）．答案：题⽬4：（）．答案：题⽬5：下列等式成⽴的是（）．答案：题⽬5：下列等式成⽴的是（）．答案：题⽬5：下列等式成⽴的是（）．答案：题⽬6：若，则（）. 答案：题⽬6：若，则（）．答案：题⽬6：若，则（）. 答案：题⽬7：⽤第⼀换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬7：⽤第⼀换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬7：⽤第⼀换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬8：下列不定积分中，常⽤分部积分法计算的是（）．答案：题⽬8：下列不定积分中，常⽤分部积分法计算的是（）．答案：题⽬8：下列不定积分中，常⽤分部积分法计算的是（）．答案：题⽬9：⽤分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬9：⽤分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬9：⽤分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬10：（）. 答案：0题⽬10：（）．答案：0题⽬10：（）. 答案：题⽬11：设，则（）. 答案：题⽬11：设，则（）．答案：题⽬11：设，则（）. 答案：题⽬12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题⽬12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题⽬12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题⽬13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题⽬13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题⽬13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题⽬14：计算定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬14：（）．答案：题⽬14：（）．答案：题⽬15：⽤第⼀换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬15：⽤第⼀换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬15：⽤第⼀换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题⽬16：⽤分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题⽬16：⽤分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题⽬16：⽤分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题⽬17：下列⽆穷积分中收敛的是（）．答案：题⽬17：下列⽆穷积分中收敛的是（）．答案：题⽬17：下列⽆穷积分中收敛的是（）．答案：题⽬18：求解可分离变量的微分⽅程，分离变量后可得（）．答案：题⽬18：求解可分离变量的微分⽅程，分离变量后可得（）．答案：题⽬18：求解可分离变量的微分⽅程，分离变量后可得（）．答案：题⽬19：根据⼀阶线性微分⽅程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题⽬19：根据⼀阶线性微分⽅程的通解公式求解，则下列选项正确的是答案：题⽬19：根据⼀阶线性微分⽅程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题⽬20：微分⽅程满⾜的特解为（）．答案：题⽬20：微分⽅程满⾜的特解为（）．答案：题⽬20：微分⽅程满⾜的特解为（）．答案：题⽬1：设矩阵，则的元素（）．答案：3题⽬1：设矩阵，则的元素a32=（）．答案：1题⽬1：设矩阵，则的元素a24=（）．答案：2题⽬2：设，，则（）．答案：题⽬2：设，，则（）答案：题⽬2：设，，则BA =（）．答案：题⽬3：设A为矩阵，B为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（）矩阵．答案：题⽬3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题⽬3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题⽬4：设，为单位矩阵，则（）答案：题⽬4：设，为单位矩阵，则(A - I )T =（）．答案：题⽬4：，为单位矩阵，则A T–I =（）．答案：题⽬5：设均为阶矩阵，则等式成⽴的充分必要条件是（）．答案：题⽬5：设均为阶矩阵，则等式成⽴的充分必要条件是（）．答案：题⽬5：设均为阶矩阵，则等式成⽴的充分必要条件是（）．答案：题⽬6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：对⾓矩阵是对称矩阵题⽬6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：数量矩阵是对称矩阵题⽬6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：若为可逆矩阵，且，则题⽬7：设，，则（）．答案：0题⽬7：设，，则（）．答案：0题⽬7：设，，则（）．答案：-2, 4题⽬8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成⽴的是（）．答案：题⽬8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成⽴的是（）．答案：题⽬8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成⽴的是（）．答案：题⽬9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题⽬9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题⽬9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题⽬10：设矩阵，则（）．答案：题⽬10：设矩阵，则（）．答案：题⽬10：设矩阵，则（）．答案：题⽬11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵⽅程的解（）．答案：题⽬11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵⽅程的解（）．答案：题⽬11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵⽅程的解（）．答案：题⽬12：矩阵的秩是（）．答案：2题⽬12：矩阵的秩是（）．答案：3题⽬12：矩阵的秩是（）．答案：3题⽬13：设矩阵，则当（）时，最⼩．答案：2题⽬13：设矩阵，则当（）时，最⼩．答案：-2题⽬13：设矩阵，则当（）时，最⼩．答案：-12题⽬14：对线性⽅程组的增⼴矩阵做初等⾏变换可得则该⽅程组的⼀般解为（），其中是⾃由未知量答案：题⽬14：对线性⽅程组的增⼴矩阵做初等⾏变换可得则该⽅程组的⼀般解为（），其中是⾃由未知量．答案：题⽬14：对线性⽅程组的增⼴矩阵做初等⾏变换可得则该⽅程组的⼀般解为（），其中是⾃由未知量．选择⼀项：A.B.C.D.答案：题⽬15：设线性⽅程组有⾮0解，则（）．答案：-1 题⽬15：设线性⽅程组有⾮0解，则（）．答案：1题⽬15：设线性⽅程组有⾮0解，则（）．答案：-1题⽬16：设线性⽅程组，且，则当且仅当（）时，⽅程组有唯⼀解．答案：题⽬16：设线性⽅程组，且，则当（）时，⽅程组没有唯⼀解．答案：题⽬16：设线性⽅程组，且，则当（）时，⽅程组有⽆穷多解．答案：题⽬17：线性⽅程组有⽆穷多解的充分必要条件是（）．答案：题⽬17线性⽅程组有唯⼀解的充分必要条件是（）．：答案：题⽬17：线性⽅程组⽆解，则（）．答案：题⽬18：设线性⽅程组，则⽅程组有解的充分必要条件是（）．答案：题⽬18：设线性⽅程组，则⽅程组有解的充分必要条件是（）．答案：题⽬18：设线性⽅程组，则⽅程组有解的充分必要条件是（）答案：题⽬19：对线性⽅程组的增⼴矩阵做初等⾏变换可得则当（）时，该⽅程组⽆解．答案：且题⽬19：对线性⽅程组的增⼴矩阵做初等⾏变换可得则当（）时，该⽅程组有⽆穷多解．答案：且题⽬19：对线性⽅程组的增⼴矩阵做初等⾏变换可得则当（）时，该⽅程组有唯⼀解．答案：题⽬20：若线性⽅程组只有零解，则线性⽅程组（）答案：解不能确定题⽬20：若线性⽅程组有唯⼀解，则线性⽅程组（）．答案：只有零解题⽬20：若线性⽅程组有⽆穷多解，则线性⽅程组（）．答案：有⽆穷多解。
经济数学基础试题及答案
经济数学基础试题及答案I. 选择题1. 在经济学中，边际成本指的是：A. 总成本与产量之间的比率B. 达到某一产量水平所需的额外成本C. 固定成本的变化程度D. 不需支付的成本费用答案：B. 达到某一产量水平所需的额外成本2. 在市场需求曲线下，垄断行为会导致：A. 价格和数量增加B. 价格和数量减少C. 价格增加，数量减少D. 价格减少，数量增加答案：C. 价格增加，数量减少3. 边际收益递减指的是：A. 达到最大产量后，每单位产量的成本逐渐降低B. 达到最大产量后，每单位产量的成本逐渐增加C. 达到最大产量后，每单位产量的收益逐渐降低D. 达到最大产量后，每单位产量的收益逐渐增加答案：C. 达到最大产量后，每单位产量的收益逐渐降低II. 计算题1. 假设市场需求曲线为Qd = 100 - 2P，市场供给曲线为Qs = 2P - 20，则市场均衡价格和数量分别是多少？答案：将市场需求曲线和市场供给曲线相等，得到：100 - 2P = 2P - 204P = 120P = 30将P = 30代入市场供给曲线，得到：Qs = 2P - 20Qs = 2(30) - 20Qs = 40所以，市场均衡价格为30，数量为40。
2. 一个企业的总成本函数为TC = 1000 + 10Q + 0.2Q^2，其中Q代表产量。
每单位产品的售价为20。
求该企业的最优产量和利润。
答案：企业的利润为总收入减去总成本，即Profit = TR - TC。
总收入为售价乘以产量，即TR = 20Q。
代入总成本函数，得到Profit = 20Q - (1000 + 10Q + 0.2Q^2)。
为求最优产量，对利润函数求导数并令其等于0：d(Profit)/dQ = 20 - 10 - 0.4Q = 0-0.4Q = -10Q = 25最优产量为25，将其代入总成本函数，得到：TC = 1000 + 10(25) + 0.2(25^2)TC = 1000 + 250 + 125TC = 1375最优利润为20Q - TC = 20(25) - 1375 = 125 - 1375 = -1250。
最新国家开放大学电大《经济数学基础》期末题库及答案
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《经济数学基础》题库及答案一一、单项选择题(每小题3分。
共l5分)1．下列各函数对中，( )中的两个函数相等．x x g x x f A ==)(,)()(.21)(,11)(.2+=--=x x g x x x f Bx x g x y C ln 2)(,ln .2==1)(,cos sin )(22=+=⋅x g x x x f D2．已知,1sin )(-=xx x f 当( )时，，(z)为无穷小量．0.→x A1.→x B-∞→x C .+∞→x D .=⎰∝+dx x1131.3 ( )．A ．0⋅-21.B21.C∞.D4．设A 是可逆矩阵，且AB A +=1，则=-1A()．B A .B B +1.B IC +.1).(--AB I D5．设线性方程组b AX =的增广矩阵为,124220621106211041231⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------ 则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为( )．A ．1 、B ．2C 3D ．4二、填空题(每小题3分，共15分)6．若函数,11)(xx f +=则⋅-=-+hx f h x f )()( 7．已知,{)(11112=/--==x x x ax x f若，(z)在),(+∞⊃-α内连续，则=a8．若)(x f '存在且连续，则⋅-='⎰)]([x df9．设矩阵1,3421⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A 为单位矩阵，则-=-T A I )(10．已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则≤)(A r三、微积分计算题(每小题10分。
(完整版)经济数学基础试题及答案
经济数学基础（05）春模拟试题及参考答案、单项选择题（每小题 3分，共30分）1.下列各函数对中，（）中的两个函数是相等的.2C. f (x) In x , g(x) 2ln x22,、D. f (x) sin x cos x , g(x)A. x y 1 C. x y 1B. x y 1 D. x y14 .下列函数在区间（，）上单调减少的是（ ）.A. sin xB. 2 xC. x 25 .若 f(x)dx F (x) c,则 xf (1 x 2)dx=()12 xA. - F (1 x ) c___ 2C. 2F(1 x ) c 6.下列等式中正确的是( A . sin xdx d(cos x)~ 1 …C.a dx d(a ) ln a1 2、8. - F (1 x ) c____2D. 2F(1 x ) c8. ln xdx d(-) x1 . D. dx d(、, x) .x25, 22, 35, 20, 24是一组数据，则这组数据的中位数是（B. 23C. 22.5D. 2228.设随机变量X 的期望E(X) 1,万差D(X) = 3,则E[3(X2)]=()9.设A, B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）A. f(x) x 2 1 x 1，g(x) x 1B. f(x) xx 2 , g(x) x2.设函数f（x ） xsin — k,x 1,在x = 0处连续，则k =（)•A. -2B. -1C. 1D. 23.函数f (x)ln x 在x 1处的切线方程是（A. 36B. 30C. 6D. 9D. 3 - x7.设 23, A. 23.5 ).2.-一11.若函数 f(x 2) x 4x 5,则 f (x)13 . d cosxdx .14 .设A,B,C 是三个事件，则 A 发生，但B,C 至少有一个不发生的事件表示 为. 15 .设A, B 为两个n 阶矩阵，且I B 可逆，则矩阵方程 A BX X 的解X三、极限与微分计算题(每小题 6分，共12分)17 .设函数y y(x)由方程x 2 y 2 e xy e 2确定，求y(x).四、积分计算题(每小题6分，共12分)18 .2xcos2xdx19 .求微分方程 y Y x 21的通解. x五、概率计算题(每小题 6分，共12分)20 .设A, B 是两个相互独立的随机事件，已知 P(A) = 0.6 , P(B) = 0.7 ,求A 与B 恰有 一个发生的概率.一 一一 2._ . 一 — 一 一一 一21 .设 X ~ N(2,3 )，求 P( 4 X 5)。
国家开放大学《经济数学基础》期末考试复习题及参考答案
题目1：函数的定义域为（）.答案：题目1：函数的定义域为（）.答案：题目1：函数的定义域为（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调减少的是（）.答案：题目3：设，则（）.答案：题目3：设，则（）.答案：题目3：设，则=（）．答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目6：（）.答案：0题目6：（）.答案：-1题目6：（）.答案：1题目7：（）.答案：题目7：（）.答案：（）.题目7：（）.答案：-1题目8：（）.答案：题目8：（）.答案：题目8：（）.答案：（）.题目9：（）.答案：4题目9：（）.答案：-4题目9：（）.答案：2题目10：设在处连续，则（）.答案：1 题目10：设在处连续，则（）.答案：1 题目10：设在处连续，则（）.答案：2题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目13：若函数在点处可导，则（）是错误的．答案：，但题目13：若函数在点处可微，则（）是错误的．答案：，但题目13：若函数在点处连续，则（）是正确的．答案：函数在点处有定义题目14：若，则（）.答案：题目14：若，则（）.答案：1题目14：若，则（）.答案：题目15：设，则（）．答案：题目15：设，则（）．答案：题目15：设，则（）．答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目23：设，则（）.答案：题目23：设，则（）.答案：题目23：设，则（）.答案：-2题目24：函数的驻点是（）.答案：题目24：函数的驻点是（）.答案：题目24：函数的驻点是（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目2：若，则（）. 答案：题目2：若，则（）．答案：题目2：若，则（）. 答案：题目3：（）. 答案：题目3：（）．答案：题目3：（）. 答案：题目4：（）．答案：题目4：（）．答案：题目4：（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目6：若，则（）. 答案：题目6：若，则（）．答案：题目6：若，则（）. 答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目10：（）. 答案：0题目10：（）．答案：0题目10：（）. 答案：题目11：设，则（）. 答案：题目11：设，则（）．答案：题目11：设，则（）. 答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目14：计算定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目14：（）．答案：题目14：（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目1：设矩阵，则的元素（）．答案：3题目1：设矩阵，则的元素a32=（）．答案：1题目1：设矩阵，则的元素a24=（）．答案：2题目2：设，，则（）．答案：题目2：设，，则（）答案：题目2：设，，则BA =（）．答案：题目3：设A为矩阵，B为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（）矩阵．答案：题目3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题目3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题目4：设，为单位矩阵，则（）答案：题目4：设，为单位矩阵，则(A - I )T =（）．答案：题目4：，为单位矩阵，则A T–I =（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：对角矩阵是对称矩阵题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：数量矩阵是对称矩阵题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：若为可逆矩阵，且，则题目7：设，，则（）．答案：0题目7：设，，则（）．答案：0题目7：设，，则（）．答案：-2, 4题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目12：矩阵的秩是（）．答案：2题目12：矩阵的秩是（）．答案：3题目12：矩阵的秩是（）．答案：3题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：2题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：-2题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：-12题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量答案：题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量．答案：题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量．选择一项：A.B.C.D.答案：题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：-1 题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：1题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：-1题目16：设线性方程组，且，则当且仅当（）时，方程组有唯一解．答案：题目16：设线性方程组，且，则当（）时，方程组没有唯一解．答案：题目16：设线性方程组，且，则当（）时，方程组有无穷多解．答案：题目17：线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（）．答案：题目17线性方程组有唯一解的充分必要条件是（）．：答案：题目17：线性方程组无解，则（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）答案：题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组无解．答案：且题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组有无穷多解．答案：且题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组有唯一解．答案：题目20：若线性方程组只有零解，则线性方程组（）答案：解不能确定题目20：若线性方程组有唯一解，则线性方程组（）．答案：只有零解题目20：若线性方程组有无穷多解，则线性方程组（）．答案：有无穷多解一、计算题（每题6分，共60分）1.解：综上所述，2.解：方程两边关于求导：，3.解：原式=。
经济数学基础形考作业参考完整答案
【经济数学基础】形考作业一答案：（一）填空题1. 答案：02.设,在处连续,则.答案：13.曲线在地切线方程是 .答案：4.设函数,则.答案：5.设,则（二）单项选择题1. 函数,下列变量为无穷小量是（ D ）A． B．C． D．2. 下列极限计算正确地是（ B ）A. B.C. D.3. 设,则（ B ）．A． B． C． D．4. 若函数f (x)在点x0处可导,则( B )是错误地．A．函数f (x)在点x0处有定义 B．,但C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微5.若,则 B ）A．1/ B．-1/ C． D．(三)解答题1．计算极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．设函数,问：（1）当为何值时,在处有极限存在？（2）当为何值时,在处连续.答案：（1）当,任意时,在处有极限存在；（2）当时,在处连续.3．计算下列函数地导数或微分：（1）,求答案：（2）,求答案：（3）,求答案：（4）,求答案：（5）,求答案：（6）,求答案：（7）,求答案：（8）,求答案：（9）,求答案：（10）,求答案：4.下列各方程中是地隐函数,试求或（1）,求答案：（2）,求答案：5．求下列函数地二阶导数：（1）,求答案：（2）,求及答案：,【经济数学基础】形考作业二答案：（一）填空题1.若,则.答案：2. .答案：3. 若,则 .答案：4.设函数.答案：05. 若,则.答案：（二）单项选择题1. 下列函数中,（ D ）是x sin x2地原函数．A．cos x2 B．2cos x2 C．-2cos x2 D．-cos x2 2. 下列等式成立地是（ C ）．A． B．C． D．3. 下列不定积分中,常用分部积分法计算地是（ C ）．A．, B． C． D．4. 下列定积分计算正确地是（ D ）．A． B．C． D．5. 下列无穷积分中收敛地是（ B ）．A． B． C． D．(三)解答题1.计算下列不定积分（1）＝（2）＝（3）＝（4）＝（5）＝（6）＝（7）＝（8）＝2.计算下列定积分（1）＝（2）＝（3）＝2 （4）＝（5）＝（6）＝【经济数学基础】形考作业三答案：（一）填空题1.设矩阵,则地元素.答案：32.设均为3阶矩阵,且,则=. 答案：3. 设均为阶矩阵,则等式成立地充分必要条件是 .答案：4. 设均为阶矩阵,可逆,则矩阵地解.答案：5. 设矩阵,则.答案：（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确地是（ C ）．A．若均为零矩阵,则有B．若,且,则C．对角矩阵是对称矩阵D．若,则2. 设为矩阵,为矩阵,且乘积矩阵有意义,则为（ A ）矩阵．A． B．C． D．3. 设均为阶可逆矩阵,则下列等式成立地是（ C ）． ` A．, B．C． D．4. 下列矩阵可逆地是（ A ）．A． B．C． D．5. 矩阵地秩是（ B ）．A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题1．计算（1）=（2）（3）=2．计算解= 3．设矩阵,求.解因为所以4．设矩阵,确定地值,使最小.解：→→∴时,达到最小值.5．求矩阵地秩.解：∴.6．求下列矩阵地逆矩阵：（1）解：∵∴（2）A =．解：∵∴7．设矩阵,求解矩阵方程．解：∴X =四、证明题1．试证：若都与可交换,则,也与可交换.证明：（1）∵∴与可交换.（2）∵∴也与可交换.2．试证：对于任意方阵,,是对称矩阵.证明：（1）∵∴是对称矩阵.（2）∵∴是对称矩阵.（3）∵∴是对称矩阵.3．设均为阶对称矩阵,则对称地充分必要条件是：.证明：充分性：∵∴∴对称必要性：∵对称,∴∴对称地充分必要条件是：.4．设为阶对称矩阵,为阶可逆矩阵,且,证明是对称矩阵.证明：∵为阶对称矩阵为阶可逆矩阵∴=∴是对称矩阵.【经济数学基础】形考作业四答案：（一）填空题1.函数地定义域为（1,2）∪（2,4］2. 函数地驻点是 x=1 ,极值点是 x=1 ,它是极小值点.3.设某商品地需求函数为,则需求弹性 .答案：4.行列式.答案：45. 设线性方程组,且,则时,方程组有唯一解.答案：（二）单项选择题1. 下列函数在指定区间上单调增加地是（ B ）．A．sin x B．e x C．x 2 D．3 –x 2. 设,则（ C ）．A．1/x B．1/ x 2 C．x D．x 23. 下列积分计算正确地是（ A ）．A．B．C． D．4. 设线性方程组有无穷多解地充分必要条件是（ D ）．A． B． C． D．5. 设线性方程组,则方程组有解地充分必要条件是（ C ）．A． B．C． D．三、解答题1．求解下列可分离变量地微分方程：(1)解：∴原微分方程地通解为：（2）解：∴原微分方程地通解为：2. 求解下列一阶线性微分方程：（1）解：∴∴∴y=（2）解：两端分别积分：∴3.求解下列微分方程地初值问题：(1) ,解：两端积分：∵y(0)=0 ∴c＝∴(2),解：两端积分：∵∴C＝-e∴4.求解下列线性方程组地一般解：（1）解：所以,方程地一般解为（其中是自由未知量）（2）解：∴（其中是自由未知量）5.当为何值时,线性方程组有解,并求一般解.解：→当λ＝8时,方程组有解,其一般解为：（其中是自由未知量）6．为何值时,方程组有唯一解、无穷多解或无解.解：→→当且时,方程组无解；当时,方程组有唯一解；当且时,方程组无穷多解.7．求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品个单位时地成本函数为：（万元）,求：①当时地总成本、平均成本和边际成本；②当产量为多少时,平均成本最小？解：①（万元）（万元/单位）（万元/单位）当时地总成本、平均成本和边际成本分别为185（万元）；18.5（万元/单位）；11（万元/单位）.②＝16当产量q=20个单位时可使平均成本达到最低16（万元/单位）.（2）.某厂生产某种产品件时地总成本函数为（元）,单位销售价格为（元/件）,问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．解：L（q）=pq-c(q)=(14-0.01q)q-(20+4q+)=14q--20-4q-=-+10q-20当时,q=250针对此这实际问题可知,当产量为250个单位时可使利润达到最大,且最大利润为（元）.（3）投产某产品地固定成本为36(万元),且边际成本为(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本地增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低．解：先求成本函数 c(x)= ∵x=0时,c=36(万元)∴c(x)= C(4)=212(万元) C(6)=312(万元) 当产量由4百台增至6百台时,总成本地增量为100（万元）∴当（百台）时可使平均成本达到最低为52(万元/百台).（4）已知某产品地边际成本=2（元/件）,固定成本为0,边际收益,求：①产量为多少时利润最大？②在最大利润产量地基础上再生产50件,利润将会发生什么变化？解：①当时,x=500针对此实际问题知道,当产量x=500件时,利润最大.②即利润将减少25元.。
经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)
习 题 一1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).解 (1) Ω={正面，反面} △ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m } 2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ⊃D ，C ⊃D.3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来.解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++=B －C 表示三个车间都完成生产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++=321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=-5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解 不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解 由于AB ⊂A ⊂A+B ，A －B ⊂A ⊂A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B). 因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容， D ⊃A ⊃F ，A ⊃C.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率. 解 记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1315C C .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解 设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P －10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解 设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此图1－1图1－2143821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解 设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=CC A A P A P －＃＃ 从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色.解 设事件A 表示“四张花色各异”；B 表示“四张中只有两种花色”.，113113113113452##C C C C A ， C Ω== ） ＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P ===30006048＋74366##)(452 ）（.C ΩB B P ===13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解 设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω ， = 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球” △ “全红”，B ＝“全白”，C ＝“全黑”，D ＝“无红”，E ＝“无白”，F ＝“无黑”，G ＝“三次颜色全相同”，H ＝“颜色全不相同”，I ＝“颜色不全相同”.解 ＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1， ＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8， ＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝24271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率. 解 设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P =16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +. 解 由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ⊃A ，求证P (B )≥P (A ）. 证 ∵B ⊃A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解 由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋b2P (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3aP(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率. 解 设事件A 表示“取到废品”，则A 表示没有取到废品，有利于事件A 的样本点数目为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA－＝＃＃ ＝0.225520. 已知事件B ⊃A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解 因B ⊃A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,⇒a ≥b ，又因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都大于0，比较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来).解 由于对任何事件A ，B ，均有AB ⊂A ⊂A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解 设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A 的样本点数目为＃A ＝，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P= 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解 设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解 设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”，B 表示“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB PP (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB PP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证 ∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --==P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独立，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ). 解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B )⇒ 0.7＝0.4＋0.6P ( B )⇒ P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都大于0，如果A 与B 独立，问它们是否互不相容，为什么?3解 因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A 与B 独立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率. 解 设事件Ai表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”，i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独立，事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率. 解 设事件A 表示“任取一个零件为合格品”，依题意A 表示三道工序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解 设事件A i 表示“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解 设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i )=)41(1213141≤≤=⨯j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j )=41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3)=2411213141=⨯⨯⨯ 85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P83)(1)(=-=B P B P33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A 2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3). 解 依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3)＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=-34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解 设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )4=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452 (1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解 设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n －1次投中”与“乙在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.⋯+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P⋯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42 743.014.0=-=计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解 设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解 设事件A 1，A 2，A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为0.3，加工零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解 设事件A 表示“机床加工零件A ”，则A 表示“机床加工零件B ”，设事件B 表示“机床停工”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=⨯+⨯= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解 设事件A i 表示“第一次取到i 号球”，B i 表示第二次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成一个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P应用全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大. 40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解 设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”，B 表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可5知P (A )＝0.0035，应用贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=01.09965.095.00035.095.00035.0⨯⨯⨯=＋25.0= 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解 设事件A 1，A 2，A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B 表示“废品”，应用贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P7305020＋1030＋06.05.006.05.0=⨯⨯⨯⨯=....74)|(1)|(11=-=B A P B A P42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解 设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表示“外出人如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯==0.20943. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应用贝叶斯公式21212121)()|()()|(111111=⨯==B P A B P A P B A P44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解 设事件A i 表示一箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B )∑++⨯===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P37.0)(31)|(0==B P B A P45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, …其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?解 设事件A n ＝“一个虫产下几个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该虫下一代有k 条虫”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n⎩⎨⎧≤≤=-nk qp C n k A B P kn k k n n k 00)|(＞其中q =1－p . 应用全概率公式有∑∑∞=∞===kn n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n kk n q k p !)()(e !)(6由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有 ,2,1,0e)(e e !)()(===--k kp k p B P pp q k k λλλλλ7习 题 二1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8. 2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P mm 依次计算得X 的概率分布如下表所示：3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有{}1694302=⎪⎭⎫⎝⎛==X P{}1664341112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P {}1614122=⎪⎭⎫⎝⎛==X P4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X 的概率分布. 解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表示抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n . 因此X 的概率分布为 {}⋯=⎪⎭⎫⎝⎛==-,2,143411n n X P n5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=⨯====X P X P {}22091091121233=⨯⨯==X P {}2201991011121234=⨯⨯⨯==X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P {}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X 的概率分布. 解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P{}2202713122319===C C C X P{}22010823121329===C C C X P{}22084331239===C C X P7. 已知P {X ＝n }＝p n，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.8解 根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑∞=-==111n n pp P 解上面关于p 的方程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=⋯+++p p p p p解方程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值. 解 ∑=+⋯++==10015050)10021(1n c c cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1,且p n ＞0. 所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X 的概率分布.解 设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需大于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满足条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c . 解{}∑∑∞=-∞====11e!1m m m m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm mm m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ 解得 λ--=e 11c13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求： (1)二人投篮总次数Z 的概率分布； (2)甲投篮次数X 的概率分布； (3)乙投篮次数Y 的概率分布.解 设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中，j 表示在第j 次投篮中乙投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独立.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B AB A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1⨯+⨯=-n,2,13.07.01=⨯=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1⨯+⨯⨯⨯=-n，2,13.042.01=⨯=-n n 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，9求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144 P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X ＝4 } ＝0.64＝0.129615. ⎩⎨⎧∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f问f (x )是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1).π23,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解 在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠⎰x x,1d sin 2π0=⎰x x 而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一个概率密度函数.16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e)(,22x x cx x f cx ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解 易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又1d e 202=⎰-∞+x cx cxf (x )是一个密度函数 .17.⎩⎨⎧+=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由. 解 如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==⎰⨯++a x x a a a a 由于x x f d )(⎰+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数. 18. 设随机变量X ～f ( x )⎪⎩⎪⎨⎧∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解)arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a-π==+⎰⎰+∞+∞ 解方程 π2⎪⎭⎫ ⎝⎛a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b barctan π2|arctan π2d )(000==⎰=＜＜ 解关于b 的方程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解 串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A 表示“线路正常工作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=⎰∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e－|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }. 解 A x A x A x x 2d e 2d e10||=⎰=⎰=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}⎰⎰---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的二次方程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率.解 4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0 设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧-=.,01||,1)(2其他，＜x xcx f确定常数c ，计算.21||⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X P 解 π|arcsin d 1111211c x c x x c ==-⎰=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰-xx x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜ 确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ). 解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝F (1－0)，有A ＝1.⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,10,21)(其他＜＜x xx f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) . 解 {}t x X P x F t xd e 21)(||-∞-⎰=≤= 当t ≤ 0时，x t xt x F e 21d e 21)(=⎰=∞- 当t ＞0时，t t t x F t x t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||⎰+⎰=⎰=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解 不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0. 26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P . 解 a x a x x a ==⎰+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12因此a =1x xt t t x F ∞-∞-=⎰+=arctan π1d )1(π1)(2x arctan π121+= {}⎰+=⎰+=-12112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜21arctan π210==x27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=.2,02,1)(2x x xA x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P . 解 由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜=0.7528. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee xx A-+确定A 的值；求分布函数F ( x ) .解 ⎰+=⎰+=∞∞-∞∞--x A x A xx x x d e 1e d e e 12A A x 2πe arctan ==∞∞-因此 A ＝π2，x txt t t x F ∞-∞--=+=⎰e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2=29. 随机变量X ～f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧=.,00,π2)(2其他＜＜a x xx f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==⎰= 因此，a = π 当0＜x ＜π时，⎰=x x t t x F 0222πd π2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜ 30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax⎪⎩⎪⎨⎧++-≤=-求X 的概率密度并计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧a X P 10＜＜. 解 当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,e 2,0,0)(23＞ x x a x x f ax)0()1(1010F a F a x P a x P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧＜＜＜08.0e 2511≈-=- 31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}其他＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n} ＝P { X ＝10-n}＝,,2,1,31=n n Y =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31 n ＝1 ,2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证 设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞ 0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,ax y h b y a y h x y1)(,)(1)(='='-== ],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，无论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 , 2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ).解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos yh′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π. 因此⎪⎩⎪⎨⎧-=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x, Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1, f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有⎪⎩⎪⎨⎧.,0,e 1,1)(其他 ＜＜y yy f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有⎩⎨⎧∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z36. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤=-0,00,e )(x x xf x ＞ Y =X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解 当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z21⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e 21)(z ，z zz f zz ＞37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X ,Z =X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解 由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y y y f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布.z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-.因此当z ＞0时，)1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞ 即Z =X1与X 同分布. 38. 一个质点在半径为R ，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) .解 如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是一个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l Rl f LM 点的横坐标X 也是一个随机变量，它是弧长L 的函数，且X ＝ R cos θ ＝ R cosRL函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函数为l ＝ R arccosRx 22xR R l x--='当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(x R R x R R x f X -=⋅--=当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解 根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=⨯+⨯+⨯=EX 亦可从X 服从超几何分布，直接计算2120521=⨯==N N nEX 在第3题中21161216611690=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从二项分布(2，41)，直接用期望公式计算：21412=⨯==np EX在第5题中(1) 3.122014220934492431=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EY在第6题中，25.2220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX在第11题中，⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d 313312d 311EX图2-131｜＜d ＜｜0 d 22+=40. P { X = n } =nc, n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX .解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑⋅==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX .解 设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 } ＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=⨯+⨯+⨯-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n，n 为正整数. 解 当n 为奇数时，)(x f x n是奇函数，且积分x x xn d e 0-∞⎰收敛，因此0d e5.0||=⎰=-∞+∞-x x EX x n n当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-⎰=⎰=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=⎰=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=.,0,21,2,10,)(其他＜＜x x x x x f 计算EX n(n 为正整数) . 解 x x x x x x x f x EXn n n nd )2(d d )(21101⎰-+⎰=⎰=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n45. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(x cx x f bb ,c 均大于0，问EX 可否等于1，为什么?解 11d d )(10=+=⎰=⎰∞+∞-b cx cx x x f b 而2d 101+=⎰=+b cx cx EX b 由于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1211b c b c无解，因此EX 不能等于1. 46. 计算第6，40各题中X 的方差DX . 解 在第6题中，从第39题计算知EX ＝49， 22012152208492201084220272=⨯+⨯+=EX DX ＝EX 2－( EX )2≈0.46在第40题中，已计算出EX ＝137300, c cn n c n EX n n 15515122=∑=⨯∑=== =137900DX =EX 2-(EX )2≈1.7747. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.其他其他解 在第23题中，由于f ( x ) ＝x21（0＜x ＜1）,因此31d 21=⎰=x xxEX51d 22102=⎰=x xx EXDX = EX 2－ ( EX )2 =454 在第29题中，由于f ( x ) ＝2π2x( 0＜x ＜π ) , 因此π32d π2π022=⎰=x xEX2πd π22π0232=⎰=x x EX DX ＝EX 2－ ( EX )2=18π248. 计算第34题中随机变量Y 的期望和方差. 解 EY =π2d 1π2d )(12=⎰-=⎰∞+∞-y y y y y yf Y EY 2=21d 1π21022=⎰-y y y DY =222π28ππ421-=-49. 已知随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：F ( x ) =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤-++-.1,11022101,2211,022x x ，x x x x x x ，＜－，＜，＜计算EX 与DX .解 依题意，X 的密度函数f ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=.010,101,1)(其他，＜，＜，x x x x x f解 EX ＝0d )1(d )1(0101=-⎰++⎰--x x x x x xEX 2=61d )1(d )1(102012=-⎰++⎰-x x x x x x DX =61 50. 已知随机变量X 的期望E X ＝μ，方差DX ＝σ2，随机变量Y = σμ-X , 求EY 和DY .解 EY =σ1( EX －μ ) ＝0 DY =2σDX=151. 随机变量Y n ～B ( n , 41) ,分别就n =1, 2, 4, 8, 列出Y n 的概率分布表，并画出概率函数图 .其中a = 1/65536 . 图略 .52. 设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为X ，求X的概率分布 . 解 X 可以取值0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为P ( X ＝m ) ＝m m mC 2.08.0444⨯⨯-- ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表53. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率 ；至少命中3次的概率 .解 记X 为10次投篮中命中的次数，则 X ～B ( 10 , 0.7 ) .{}009.03.07.0373310≈==C X P{}{}{}{}21013=-=-=-=≥X P X P X P X P=1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38≈0.998454．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解 掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X ，则X ～B （4，61）.EX = np =32由于np + p = 65，其X 的最可能值为［ np + p ］=0{}1296625)65(04===X P 若计算{}12965001==X P ，显然{}{},3,2==x P x P{}4=x P 概率更小.55．已知随机变量X ～B （n , p ），并且EX =3，DX =2，写出X 的全部可能取值，并计算{}8≤X P .解 根据二项分布的期望与方差公式，有⎩⎨⎧==23npq np 解方程，得q =32，p =31，n =9 .X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .{}{}918=-=≤X P X P= 1－9)31(≈ 0.999956．随机变量X ～B （n ，p ），EX =0.8，EX 2=1.28，问X 取什么值的概率最大，其概率值为何? 解 由于DX = EX 2－(EX)2=0.64, EX =0.8, 即⎩⎨⎧==8.064.0np npq 解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于np +p =1，因此X 取0与取1的概率最大，其概率值为{}{}4096.08.0104=====X P X P57．随机变量X ～B （n , p ），Y =e aX，计算随机变量Y 的期望EY 和方差DY .解 随机变量Y 是X 的函数，由于X 是离散型随机变量，因此Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有 ｝｛ ｝｛∑+==∑==∑+==∑∑====-==-==-ni n a i n i a in ni ai ni na i n i a i n ni ni in i i n ai ai q p q p C i X P EY q p q p C qp C i X P EY 022022000)e ()e ()e ()e ()e (e en ap n ap q q DY 22)e ()e (+-+=58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X ，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X ，Y 的概率分布以及期望和方差. 解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布B （4，21）.)4,3,2,1,0(45242626===-m C C C m X P m m ｝｛)4,3,2,1,0()21()21(44===-m C m Y P mm m ｝｛具体计算结果列于下面两个表中.X 0 1 2 3 4 P46/833 208/833 325/833208/833 46/833Y 0 1 2 3 4 P1/164/166/164/161/161 2214171651485226522641252264211===⨯===⨯⨯⨯=--⋅⋅==⨯==npq DY np EY N n N N N N N n DX N N n EX 59. 随机变量X 服从参数为2的泊松分布，查表写出概率4,3,2,1,0,==m m X P ｝｛并与上题中的概率分布进行比较.X0 1 2 3 4 P0.13530.27070.27070.18040.090260．从废品率是0.001的件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率. 解 设500件中废品件数为X ，它是一个随机变量且X 服从N=，1N =100，n =500的超几何分布.由于n 相对于N 较小，因此它可以用二项分布B （500，0.001）近似.又因在二项分布B （500，0.001）中，n =500比较大，而p =0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np =0.5.}∑=≈≤=≤⎩⎨⎧=-505.0999986.0e !5.05X 001.0500m m m P XP ｝｛ 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求： （1）产品的废品率； （2）产品价值的平均值解 设X 为一件产品表面上的疵点数目，（1）｝｛｝＞｛314≤-=X P X P ∑==-==30014.01m m X P ｝｛（2）设一件产品的产值为Y 元，它可以取值为0，8，10.)(61.98088.0101898.08 110418 10108800元｝｛｝＜｛｝｛｝｛｝｛≈⨯+⨯=≤+≤==⨯+=⨯+=⨯=X P X P Y P Y P Y P EY62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解 设一页书上印刷错误为X ，4页中没有印刷错误的页数为Y ，依题意，｝｛｝｛21===X P X P 即 λλλλ--=e !2e2解得λ=2，即X 服从λ=2的泊松分布.2e 0-===｝｛X P p显然Y ～B )e ,4(2-84e 4-===p Y P ｝｛63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率. 解 设X 为粮仓内老鼠数目，依题意λλλλ--⨯====e !22e2212｝｛｝｛X P X P解得λ=1.1e 0-==｝｛X P。
经济数学基础综合练习及参考答案
经济数学基础综合练习及参考答案第三部 线性代数一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . T T T )(A B AB = C . 1T 11T )()(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB 3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .T T T )(B A AB =C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(BD .111)(---=A B AB4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）．A ．B AB = B ．BA AB =C ．I AA =D ．I A =-15．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.A .B B . 1+BC . I B +D . ()I AB --16．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.A ．AB = AC ， A 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 08．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）． A .kA -1B .11k A n - C . --kA 1 D . 11kA -9．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 11．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（）时线性方程组无解．A ．12B ．0C ．1D ．2 13． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解14．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .2．计算矩阵乘积[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡10211000321= ． 3．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B= ．4．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 ．5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 6．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆.7．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X．8．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ．9．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．10．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b．11．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ．12．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．13．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .14．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.15．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0 .三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T -． 2．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．3．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1-A ．4．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ．5．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1．6．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 7．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ． 8．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X . 9．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+bax x x x x x x x 321321312022讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.10．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.11．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ 问取何值时方程组有非零解，并求一般解.14．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.15．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013611λ A问λ取何值时，方程组b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.参考答案一、 单项选择题1. A2. B3. D4. D5. C6. D7. B8. C9.D 10. A11. A 12. A 13. B 14. B 15. C 二、填空题1．A 与B 是同阶矩阵 2．[4] 3．⎥⎦⎤⎢⎣⎡---264132 4．m t n s ==, 5．0 6．3-≠ 7．A B I 1)(-- 8．n 9．2 10．无解 11．-1 12．n – r13．⎩⎨⎧=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量) 14．1- 15．只有0解三、计算题1．解 因为 T 2A I -= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000100012T113421201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--142120311=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311所以 B A I )2(T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1103051 2．解：C BA +T=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210 3．解 因为 (A I )= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1001120101240013613⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100112210100701411 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→1302710210100701411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→172010210100141011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210100172010031001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210100172010031001 所以 A -1 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---210172031 4．解 因为(A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211231241125．解 因为AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1412 (AB I ) =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1210011210140112 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→121021************ 所以 (AB )-1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡1221216．解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435(BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以 (BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--2522317．解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12 8．解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153210211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13250211= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41038 9．解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4210222021011201212101b a b a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→310011102101b a所以当1-=a 且3≠b 时，方程组无解； 当1-≠a 时，方程组有唯一解；当1-=a 且3=b 时，方程组有无穷多解. 10．解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.又因为r (A ) r (A )，所以方程组无解.11．解 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）12．解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000141019101所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量）13．解 因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ所以当 = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x x x （其中3x 是自由未知量） 14．解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： ⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x(x 3是自由未知量〕15．解：当λ=3时，2)()(==A r A r ，方程组有解.当λ=3时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000000331010301000000331013611A 一般解为⎩⎨⎧-=-=432313331x x x x x ， 其中3x ,4x 为自由未知量.。
经济数学基础复习题重点
经济数学基础复习题一、 单项选择题：1．函数 yx 2 4） .x的定义域是（A . [ 2, )2B. [ 2,2) (2, )C. (, 2)( 2,)D. (,2)(2, )答案： B2．设 f (x)1 1，则 f ( f ( 2)) =（）．x1325 A ．B ．22C ．D ．33答案： D3．以下函数中为奇函数的是（ ）．A ． yx2xB ． yexexC ． ylnx1 D ． yx sin xx1答案： C4．以下各对函数中， （ ）中的两个函数相等 .A.y x ln(1 x) 与 g ln(1 x)B.y ln x 2 与g 2 ln xx 2xC. y1 sin2 x 与 g cos xD .yx(x 1) 与 yx (x1)答案： A5，若 f ( x) x cosx ，则 f ( x) （ ）．A ． cos x x sin xB ． cos x x sin xC ． 2sin x x cos xD ．2 sin x x cos x答案： D6，以下等式不成立的是（）．A ． A ． ln xdxd 111xB ． dxd 212 x d1xC ． cos xdx d sin xD ． dx答案： Cxx7．以下函数中， （）是 x cosx 2 的原函数．A ． 1sin x2B ． 2 sin x2C ． - 2 sin x2D ．-1sin x 2答案： A 22118，若 f x xd xe xc，则 f ( x) =（）．( )eA ．1B ．-1C ．1D ．-1xxx 2x 2答案： C9．以下定积分中积分值为 0 的是（）．1e x e x 1e x e xA ．dxB ．dx1212C ．( x 3cos x)dxD ．(x 2 sin x)dx答案： A10．设 A 为 32 矩阵， B 为 2 4 矩阵， C 为 4 2 矩阵，则以下运算中（）可以进行．A ． AC T BB ． AC T B TC ． ACB TD ． ACB答案： B11．设 A 是可逆矩阵，且A AB I ，则 A 1（ ）.A.BB.1 B C.I B D.(IAB)1答案： C1 20 312．设A0 0 1 3 2 413，则 r (A) =（ ）．A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1答案： C1 32 0 5 0 1 0 2 4 13．设线性方程组 AX b 的增广矩阵为0 3 2 ，则此线性方程0 1 0248组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．A ． 1B ． 2C ． 3D ．4答案： A二、 填空题11．函数 y4 xln( x 1) 的定义域是．答案： (1, 2) (2, 4]2．设函数 f (u)u 2 1 ， u( x)1 ，则 f (u(2)) ．x答案：343. 某产品的成本函数为( ) 4 2 8 200 ，那么该产品的均匀成本函数C q qqC (10) .答案： 684．已知f (x) 1sin x，当时， f ( x) 为无量小量．x答案： x 01 1 2x , x 05. 函数f (x) xk, x 0在 x = 0 处连续，则k =．答案： - 1.16．曲线y x 2在点(1, 1) 处的切线方程是．答案： y 1 x 32 2p7．需求量 q 对价格p的函数为q( p) 100 e 2 ，则需求弹性为 E p．答案：p2，若 f ( x)dx (x 1) 2 c ，则f ( x) .8填写： 2(x 1)9．若 f( x x F(x)c ，则exf (ex)dx = . )d填写： F (e x ) c10． 1 ( x 2sinx 2)dx ．1填写：-411. 设 A 1 3，则 I 2A= ．1 2填写：1 65212．若n阶矩阵 A 满足，则 A 为对称矩阵 .填写： A T = A （或a ij a ji）13．设A,B为两个已知矩阵，且I B可逆，则方程 A BX X 的解X .填写： (I B) 1A21 214．矩阵 42 的秩为 ．3 3填写： 215． 线性方程组 AXO 的系数矩阵 A 化成阶梯形矩阵后为1 2 1 A0 410 0 d 1则当 d时，方程组 AXO 有非 0解.（三）计算题1． lim x 2 x 2 3x 2x 24解 lim x23x 2 = lim ( x 2)( x 1) = lim x 1= 1x 2x 2 4 x 2( x 2)( x 2) x 2 ( x 2)4.2． lim1 x2 1x sin xx 0解lim1 x 21=( 1 x 21)( 1 x 21)x s i nxlim2x 0x 0( 1x 1)x sin x=limx11 = 11x 2 1) sin x=x( 223． lim(12x)5(3x 2 x 6 2) )x( x 1)( 2x 3)151 2解lim(12 x)5 (3x 2x 6 2)) = lim (x2) (3 x x 2))x(x 1)(2x 3)x(1 1 )(2 3 ) 6xx( 2) 5 33=262．已知 y 2 xcos x ，求 y (0)．41 xcos x )解 由于 y ( x)= (2x1 x= 2x ln 2 (1 x) sin x ( 1) cos x(1 x)2= 2 x ln 2 cos x (1 x) sin x(1 x)2所以， y (0) = 20 ln 2 cos0 (1 0) sin 0 ln 2 1(1 0) 25．设y ln x 1 , 求 dy .2x 1解：y ( ln x 1 ) 1 22x ln x (2x 1) 22x 1dy y dx1 2dx 2 x ln x ( 2x 1)26．设函数y y(x) 由方程e xy x ln y e 确立，求y (0)解：方程两边对x 求导，得e x y (1 y ) ln y x y 0y( ye x y x) y ye x y y ln yy ye x y y ln y. ye x y x当 x 0 时， y 1 。
经济数学基础复习题及答案Word版
中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案《经济数学基础》一、填空题：1.设集合{1,2,3,4},{1,3,5},________,_______.A B AB A B ====则2________________. 3．设2{430},{20},________.A x x x B x x AB =-+≥=-≤=则4.若2()21,(1)________________.f x x f x =--=则 5. 已知221)1(xx xx f +=+，则=)(x f _____________. 6.函数2sin 3______________.y x =的反函数是 7.函数21______________.32x y x -=-的定义域是8. )lim____________.n n →∞=1/29．lim 1____________.xx k k x →∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭则1/210. 11()___________.x f x ex -=→∞函数在时极限为11. ⎰⎰⎰=dx x f d d d )(__________________. 12．已知=='',)(y ey x f 则___________________________.13. 20(2)4lim________________.x x x∆→+∆-=∆ 14. 00()()f x x f x x 函数在处可导，则在处的左、右导数_______________. 15. ()0f x x x ==函数+8在处的导数______________.16.[]2(),,___________.f x px qx r a b ξ=++=对函数在区间上应用拉格朗日中值定理时，所求的拉格朗日中值定理结论中的17. ln(1)lim_______________.x x e x→+∞+=18. 3211,____________________93__________y x x x =--函数在处取得极大值，在处取得极小值，点是拐点.19. 设随机变量X 的分布密度函数为()f x ，则3Y X =的分布密度为___________________.1______,____(12ln ).d dx d x x ==-21．22cos sin sin ______________.x xdx xd ==⎰⎰22．2cos ________________.d x dx dx =⎰ 23．11______(23)_________.2323dx d x x x=-=--⎰⎰24. 22___________.x x xe dx xde --==⎰⎰25. 30()(1)(2),'(0)______.xf x t t dt f =--=⎰设则26．21,0(),()______.0,0x x f x f x dx x -≥⎧==⎨<⎩⎰设则27.()[,][,]()_______.baf x a b a b f x dx ζ=⎰如果在上连续，则在上至少存在一点，使28. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,12B A ，则=2)(T BA 。
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sin x f (t )dt ， F (0)
。
x2
。
2
, 2 ] 上的弧段与 x 轴及直线 x
。
2
所围成图形的面积 A
14．微分方程 y 6 y 9 y 0 的通解是 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 15．求不定积分 x e 16．求定积分
2
3 x
a 2 sin 2 t a cos tdt 原式 a cos t 1 cos 2t dt 。 2 x sin t sin x dt 可得 f ( x) 19．解：由 f ( x) ，于是 0 t x a 2 sin 2 tdt a 2
0
f ( x)dx xf ( x) | 0 f ' ( x ) dx f ( ) x
15．解：原式 = [ x arctan x |0
2 1
1 2
x2 0 1 x 2 dx]
1
1 1 1 (1 dx] 0 2 4 1 x2 1 1 1 = [ (t arctan x) |0 ] 。 2 4 4 2
= [
17．解：令 t 2 x 1 ，所以 dt 2dx 。当 t 3 时， x 1 。当 t 5 时， x 2 。
sin xdx
B． 2 ； D． 2
）
A．1 ；
C．0 ；
4 0
x 8 sin xdx 。
）
5．设 f ( x) 在区间 [0, l ] 上连续，则函数 F ( x)
2
x
0
t f (t 2 )dt 在区间 (l , l ) 上是 （
D．非奇非偶函数。 （ D．0。 （ ）
2
A．奇函数； 6．设 F ( x) A． a ； 7．若 f ( x) =
1 C ，故选 C。 x
2．B。令 t 选 B。 3. D．由 选 D。 4．C．令 f ( x) x sin x ，而 f ( x) x sin x f ( x) ，所以 f ( x) 为奇函数，又奇函数在对称区间上积
10 10
e x 1 ，则 x ln(t 2 1) ，所以
5
3
f (t )dt f (2 x 1) 2dx
1
2
2 xe x dx 2( xe x
1 2 2 (2e 2 e e x 1 ) 2e 2 。
2
2 1
e x dx )
1
2
18．解：解：令 x a sin t （
2
t
2
） ，所以 dx d ( a sin t ) a cos tdt 。
经济数学基础练习题（三）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．设 f ( x) e ，则 A．
x
f (ln x) dx x
B． ln x C ； C．
（
）
1 C ； x
ln 2
1 C ； x
D． ln x C 。 ( )
2．定积分 0 A．
e x 1dx 作适当的变换后应等于
2
B．偶函数；
C．既奇既偶函数；
x x f (t )dt ，其中 f ( x) 为连续函数，则 lim F ( x) xa xa a
）
B． af ( a ) ；
C． f ( a ) ；
d x2 cos tdt ，则 f ( x) dx 0
B． 2 x cos x ；
2
A． 2 x sin x ；
b
a
f ( x)dx
1 b f ( x)( x a )( x b)dx 。 2 a
试题答案
一、单项选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．C． 由 f ( x) (e ) e
x x
知 f (ln x) e
ln x
1 f (ln x) 1 ，则 dx 2 dx x x x
分为 0，则
x
4 4
10
sin xdx 0 ，故选 C。 t f (t 2 )dt 1 x 1 x2 2 2 f ( t ) d ( t ) f (t )d (t ) ，所以 F ( x) F ( x) ，则 F ( x) 为偶函数， 2 0 2 0
5．B． F ( x) 选 B。
f (cos x) sin xdx f (cos x)d (cos x) F (cos x) C 。
3 4 4
10. x sin x cos x 为奇函数，由奇函数在对称区间上积分为 0 知 11．
1
1
x3 sin x 4 cos x 4 dx 0 。
b
a
f ( x)dx e x f (e x )dx f (e x )d (e x ) f (t )d (t ) ，所以 a 1 ， b e 。
8． C． 对应的齐次微分方程为 xy y 0 ， 分离变量得 令y
C ( x) xC C 。代入 xy y 1 得 C ( x) 1 ，所以 xy y 1 的通解为 y ，即 y 1 ，选 C。 x x x
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9．
2
2
14． 微分方程对应的特征方程为 6 9 0 ， 特征根为 3 （二重根） ， 所以微分方程 y 6 y 9 y 0
2
的通解是 y C1e
3 x
C2 xe 3 x （ C1 ， C2 是常数） 。
三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）
ln 2 0
e x 1dx td (ln(t 2 1))
0
1
2t 2 dt ， 0 t2 1
1
x
0
f (t )dt
4 1 4 2 24 x4 f ( x )dx 2 f ( x )d ( x ) 2 f (t )dt 2 16 。 知 0 0 0 2 2 x
π
0 π
a 2 1 cos a 2 sin 2 d
2
2a
由极坐标面积公式 S
0
2 1 cos d 4a sin
0
π
2
d 8a ，
1 2 ( )d 知 2 π 1 π 1 cos 2 3 2 S 2 a 2 1 cos d a 2 (1 2 cos )d a 2 。 0 2 0 2 2
0 0
sin x dx x
sin x sin x dx x dx 0 x 0 x sin x ( x) dx sin xdx 2 。 0 0 x
四、应用题（9 分）
20．解： s 2
π
0
2 2 d 2
C． 2 x sin x ；
2
D． 2 x cos x 。 （ ）
8．微分方程 xy y 3 的通解是 A． y
1 C ； x
B． y
1 C ； x
C． 1。 x
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9．若 F ( x) f ( x) ，则 10．
五、证明题（9 分） 21. 证明：右边=
1 b 1 b f ( x )( x a )( x b ) dx ( x a )( x b)df ( x) 2 a 2 a b 1 b ( x a )( x b) f ( x) a f ( x)d ( x a )( x b) a 2 1 b 1 b f ( x)(2 x a b)dx (2 x a b)df ( x) 2 a 2 a b 1 b (2 x a b) f ( x) a f ( x)d (2 x a b) a 2 b 1 b f ( x)d (2 x a b) f ( x)dx 。 a 2 a
B．
1
2t 1
0 t2
dt ；
1
2t 2 1
0 t2
dt ；
C．
1
2t 1
0 t2
dt ；
D．
1
2t 2 1
0 t2
dt 。
3．设
x
0
f (t )dt
4 1 x4 ，则 f ( x )dx 0 2 x
（
）
A．2； 4．
B．4 ；
10
C．8 ；
D．16。 （
x
4 4
x
0
6．B。 lim F ( x) lim
xa xa
x x x 0 f (t )dt lim[ f (t )dt f ( x) x] af (a ) ，选 B。 xa a 0 xa a
7．D．由于
d x2 sin tdt ( x 2 ) sin x 2 2 x cos x 2 ，故选 D 。 dx 0 dy dx C 积分有 ln | y | ln | x | c ， 所以 y ， ， y x x
dx 。
1 0
x arctan xdx 。
x
17．设 f (2 x 1) xe ，求 18．求不定积分
5
3
f (t )dt 。
x