《等比数列》第1课时教学设计

《等比数列》第1课时教学设计

●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点

等比数列的定义及通项公式

●教学难点

灵活应用定义式及通项公式解决相关问题

●教学过程

Ⅰ.课题导入

复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）

等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。

课本P41页的4个例子：

①1，2，4，8，16，…

②1，12，14，18，116

，… ③1，20，220，320，420，…

④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……

观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1

-n n a a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

｛n a ｝成等比数列⇔n

n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）

2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且

“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件．

3︒ q= 1时，{a n }为常数。

2.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n

由等比数列的定义，有：

q a a 12=；

21123)(q a q q a q a a ===；

312134)(q a q q a q a a ===；

… … … … … … … )0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n

3.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列

探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系

等比数列与指数函数的关系：

等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x a y q q

=（q>0）上的一些孤立的点。 当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列；

当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列；

当10a >，01q <<时，等比数列｛n a ｝是递减数列；

当10a <，q >1时，等比数列｛n a ｝是递减数列；

当0q <时，等比数列｛n a ｝是摆动数列；当1q =时，等比数列｛n a ｝是常数列。

[范例讲解]

课本P57例1、例2、P58例3 解略。

Ⅲ.课堂练习

课本P59练习1、2

[补充练习]

2.（1） 一个等比数列的第9项是94，公比是－3

1，求它的第1项（答案：1a =2916）

（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：1a =q

a 2=5, 4a =3a q =40） Ⅳ.课时小结

本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．

Ⅴ.课后作业

课本P60习题A 组1、2题

●板书设计

●授后记

课题: §2.4等比数列

授课类型：新授课

（第２课时）

●教学目标

知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点

等比中项的理解与应用

●教学难点

灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

●教学过程

Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1

-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n

3．｛n a ｝成等比数列⇔n

n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列

Ⅱ.讲授新课

1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G

b a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则

G

b a G =，即a ,G ,b 成等比数列。∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0） [范例讲解]

课本P58例4 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：

n n n

n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(211

2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n

n n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列

拓展探究：

对于例4中的等比数列{n a }与{n b }，数列{n n

a b }也一定是等比数列吗？ 探究：设数列{n a }与{n b }的公比分别为12q q 和，令n n n a c b =，则111n n n a c b +++= 1

111112()()n n n n n n n n n n

a c

b a b q a

c a b q b +++++∴===，所以，数列{n n a b }也一定是等比数列。 课本P59的练习4

已知数列{n a }是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什

么？

（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？

2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？

结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a =