抛物线最值问题
抛物线中的最值问题
解：设 = P (x, y ) ∴ y
2 2
Q P 点在抛物线上， 点在抛物线上， PA = = = (x − 3)2 + y x 2 − 6x + 9 + x x 2 − 5x + 9 5 2 11 (x − ) + 2 4
例三、 例三、 已知定点M ），F是抛物线y =2x的焦点 的焦点， 已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点， 在此抛物线上求一点P |PM|+|PF|取得最小值 取得最小值， 在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值， 求点P 求点P的坐标
分析： ，由抛物线的定义： 如图， 分析： 如图 由抛物线的定义：
抛物线上的点到焦点的距离 与到准线的距离相等。 与到准线的距离相等。 即|PF| = |PN| ∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN| ∴当 M、P、N三点共 线时距离之和最小。 线时距离之和最小。
N F F
M
P M
解： 如图所示 在抛物线 y2 = 2x上任取一点 上任取一点 P’(x’,y’),作P’N’⊥准线 ，作MN 准线L， 作 交抛物线于P（ ， ） ⊥L ，MN交抛物线于 （x，y） 交抛物线于 由抛物线的定义得： 由抛物线的定义得： |P’F|= |P’N’|
练习： 练习：
1.已知M(a,0) 为抛物线y = 2px(p> 0)的对称轴
2
上的一个定点在抛物线上求一点N, 使得 MN 最小
2、求抛物线y2=64x上的点到直线 、求抛物线 上的点到直线 4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最小值 距离最小值， 时抛物线上的点的坐标
关于抛物线的十个最值问题-模板
关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理 1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理 2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有│AB│=ρ1+ρ2 = +=≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理 3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则│MA│m in =证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M 是抛物线上的动点,则y (│MA│+│MF│)min=a+p/2.Q MA(a,b) 证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知O Fx (│MA│+│MF│)m in =│AQ│= a-(-p/2)=a+p/2.证毕.图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1)于是利用(1)式由两切线方程yAM:y1y=p(x+x1),A BM:y2y=p(x+x2),M Fx 易得M的坐标(x,y)适合:B∵ kMF·kAF=-1, ∴MF⊥AB,即│MF│是△MAB的AB边上的高. 图2 ∵ │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), ∴ S△MAB=1/2·│AB│·│MF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当AB⊥x 轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2.y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OA⊥OB 得A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) Ox 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2 (2)于是B (S△OAB) 2=1/4·│OA│2·│OB│2 图3 =1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4·[(x1x2)2+2px 1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3)将(2)式代入(3)则得(S△OAB)2≥16p4,从而S△OAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。
抛物线的最大最小值怎么求
抛物线的最大最小值怎么求
概述
在数学中，我们经常要求解抛物线函数的最大值和最小值，这对于确定函数的
凹凸性和函数图像的特点都具有重要意义。
本文将介绍如何求解抛物线函数的最大值和最小值的方法。
抛物线函数的一般形式
抛物线函数通常表示为y=ax2+bx+c的形式，其中a eq0。
其中，a控制
了抛物线开口的方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b控制了抛物线的
位置；c是y轴的截距。
最大最小值的求解
对于抛物线函数y=ax2+bx+c，它的最大值或最小值发生在顶点处。
因此，我们只需找到抛物线的顶点坐标即可求解最大最小值。
求解顶点坐标
抛物线的顶点坐标可以通过公式 $x = -\\frac{b}{2a}$ 求解得到。
将x的值代入
抛物线函数中即可得到对应的y值，从而确定顶点坐标。
确定最大最小值
通过观察a的正负性可以确定抛物线的开口方向，若a>0，则抛物线开口向上，顶点为最小值点；若a<0，则抛物线开口向下，顶点为最大值点。
示例
假设有抛物线函数y=2x2−4x+3，我们按照上述方法求解其最大最小值。
1. 求解顶点坐标： $x = -\\frac{-4}{2*2} = 1$，将x=1代入函数得到y=2∗12−
4∗1+3=1，所以顶点坐标为(1,1)。
2. 确定最大最小值：由于a=2>0，故
顶点为最小值点，最小值为1。
结论
通过以上方法，我们可以求解任意抛物线函数的最大最小值，进而帮助我们理
解函数的特性和性质。
抛物线函数的最大最小值计算在数学建模和实际问题求解中具有广泛的应用。
抛物线最大值最小值怎么求
抛物线顶点求解方法详解在数学中，抛物线是一种常见的二次函数，其图像通常呈现出一种开口朝上或朝下的弧线形状。
抛物线的顶点是其最高点或最低点，对于给定的二次函数，求解抛物线的最大值或最小值有很多实际应用场景。
本文将详细介绍如何通过求解抛物线的顶点来确定其最大值或最小值。
抛物线方程形式一般来说，抛物线的标准方程一般表示为：y=ax2+bx+c其中a、b和c为常数，且a eq0。
抛物线开口朝上或朝下取决于a的正负性。
现在我们将重点讨论如何求解抛物线的顶点。
求解抛物线的顶点顶点的横坐标求解抛物线的顶点横坐标即为抛物线的对称轴的横坐标，可以通过以下公式求解：$$ x = -\\frac{b}{2a} $$顶点的纵坐标求解将求得的顶点横坐标代入抛物线的方程，可以求解出对应的纵坐标。
即，$$ y = a\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)^2 + b\\left(-\\frac{b}{2a}\\right) + c $$ 最大值和最小值的判断通过计算抛物线的二阶导数，可以判断抛物线在顶点处的最大值或最小值情况：•若a>0，则顶点为最小值；•若a<0，则顶点为最大值。
示例以抛物线方程y=2x2−4x+2为例，首先求解顶点横坐标：$$ x = -\\frac{-4}{2 \\cdot 2} = 1 $$然后求解顶点纵坐标：y=2(1)2−4(1)+2=0因此，抛物线y=2x2−4x+2的顶点为(1,0)，为最小值点。
结论通过以上的介绍，我们学习了如何通过求解抛物线的顶点来确定其最大值或最小值。
这对于解决各种数学问题和实际应用中的最优化、极值求解等问题具有重要意义。
在学习数学和应用数学原理时，能够熟练掌握求解抛物线顶点的方法将为我们的工作和学习带来诸多便利。
例谈抛物线的最值问题
建立QQ 群，开通多人语音对话功能．在QQ 群内，任何人传送的信息都能被群内的人即时所得到，为教师集中辅导教学和学生之协作交流提供了良好的平台，特别适合在数学问题的讨论学习．5.2.3利用UC 软件进行教学UC 软件是继QQ 软件之后一种新型通讯软件，该软件除具有QQ 软件的特点外，它还有一些比较特殊功能．一个是当进行点对点通讯时，利用“场景”功能可实现所谓的合作涂鸦功能，这就像把电脑建立一个虚拟的黑板，双方在其上面书写．为师生之间提供了便捷的书面交流形式，使学生数学思维更有可见性，对数学问题教学提供很大的方便．另一个是它可建立在线聊天室．可利用虚拟视频实现虚拟黑板，进行现实中的模拟教学，其管理上实行主持人形式讨论，功效逼近课堂上的数学教学．实际上在UC 聊天室中，有一个在线数学教育聊天室，每天都有不少使用者通过它进行数学的教与学．6远程辅导助学的优点首先，不受时空限制，方式灵活．拓展了师生之间的教与学的空间．其次，便于师生之间交流探讨和相互沟通，培养学生之间合作探究的能力，增强学生的团队精神．再次，有助于改变学生的学习方式，发挥学生学习主体性．7结束语目前，中学数学远程助学实现的困难：一是数学符号和图形的输入不够便捷；二是对师生的信息技术应用水平要求较高，三是没有一个合理的软件平台．不过随信息技术的发展，这此困难都会逐一得到解决．相信不久，数学远程辅导助学将会不断发挥其特殊作用，在教与学中会得到广泛的使用．参考文献[1]徐福荫,袁锐锷.现代教育技术基础[M].北京:人民教育出版社,2005[2]卢云辉.基于ＷＥＢ的网络教育刍议[J].贵州民族学院学报,2004,5例谈抛物线的最值问题苏福增福建省龙岩华侨中学(364000)解决抛物线中的最值问题，首先应该考虑抛物线定义，其次应依题意列出所求的目标函数的关系式，最后再根据函数关系式的特征选用相应的数学方法求出它的最值．下面就其中常用方法进行探讨．1定义法定义中的准线与抛物线是密不可分的，应把问题适当地通过定义转化到准线上来．例1定长为3的线段A B 的两端点在抛物线2y x =上移动，M 是线段AB 的中点，求M 点到y轴的最短距离．解：作',','AA l BB l MM l ⊥⊥⊥于'A 、'B 、'M ，l 为抛物线2y x =的准线，F 为焦点，由抛物线的定义得|'|(|'|||')/2MM AA BB =+113()222A FB F A B =+≥=，上式当且仅当A B 过焦点F 时等号成立，其中'MM 表示M 到y 轴距离与准线l 到y 轴距离之和，则M 到y 轴距离不小于(2/31/4)，即M 点到y 轴的最短距离是5/4．2配方法将几何关系转化为代数中的函数关系，应用配方法求最值．例2已知点(0,2),(4,0),A B 抛物线C 的方程为21y x mx =++，当m 为何值时，曲线C 在线段A B上截得弦最长?解：线段AB ：/22(04)y x x =+≤≤，代入21y x mx =++，得22(21)20x m x ++=(*)，由(*)式在区间[0，4]上有两个不等实根，结合区间根原理，得315(,]24m ∈．再由弦长公式得22121511()4()16242d x x m =+=+，38福建中学数学2008年第6期315(,]24m ∈，故当154m =时，ma x 1558d =．3几何法利用几何法的关键是恰当地转化出所需的图形．例3已知点P 在抛物线216y x =上移动，点M 在圆22(1)1x y +=上移动，求PM 的最小值．解析：将圆C ：22(1)1x y +=放大使之与216y x =相切，那么切点处距离最小，于是问题转化为如何在216y x =上找一点，使之与C 点距离最小．设200(,)16y P y ，圆心C(2，0)，则42200234164y P Cy =++，故当00y =时，PC 有最小值2，即MP 的最小值为：PC11=．4函数法建立函数关系式把几何问题转化为代数问题求解．例4已知抛物线22y x =上的点P (,),x y 点A (,0),a a R ∈．记P 到A 的距离的最小值为()f a ．(1)求()f a 的表达式；(2)当1/35a ≤≤时，求()f a 的最大值与最小值．解：(1)∵22222()2(1)PA x a y x a x a =+=+2[(1)]21x aa=+，又∵2/20x y =≥，故当1a ≥时，2min21PAa =；当1a <时，22minPAa=．综上(1)()21(1)a a f a aa <=≥．(2)当1[,5]3a ∈时,1(1)3()21(51)a a f a a a ≤<=≥≥．易知当1/35a ≤≤时,1/3()3f a ≤≤,从而min max ()1/3,()3f a f a ==．5参数法抛物线上的点，可根据具体情况来假设，使解题过程比较简单．例5求抛物线的方程，使其顶点在原点，以y 轴为对称轴，且抛物线上各点到直线:3412l x y +=的最短距离为1．解：由题意设所求方程为2()x y =<，设抛物线上的点为2(2,2)mt m t (t 为参数)，它到直线l 的距离为d,则28612/5d mt mt =+2(8612)/5m t m t =+2139[8()12]588m t m =+++，0,m<∵∴当38t =时,d 有最小值19(12)58m +,由min 1d =解得56/9,m =故所求抛物线方程为2112/9x y =．6不等式法在应用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件．例6抛物线22(0)y px p =>上有两个动点A 、B 及一个定点M 、F 为焦点，A F 、MF 、BF 成等差数列，4MF =，6OQ =，Q 为线段AB 的中垂线经过的定点．(1)求抛物线方程；(2)求△AQB 面积的最大值．解：(1)设112200(,),(,),(,),A x y B x y M x y 则MF 120,,,222p p pA F x BF x MF x =+=+=+由已知1202x x x +=，设A B 的中点为120(,),2y y x t t +=，1212122A B y y p p k x x y y t ===+，故A B 的中垂线为：0(),ty t x x p=即0()0t x x p yp +=，易知其过定点0(,0),Q x p +由4MF =，6OQ =得，04,2,p x ==∴28y x =．(2)直线AB ；4(2),y t x t=代入28y x =得2222160yty t+=,∴2212()644,y y t =又22212()(16),4t x x t =∴221(16)(16)2A B t t =+．又点(6,0)Q 到A B的距离216d t =+，∴22211(16)(16)(322)242A QBSAB d t t t ==++3164()342≤6469=，当且仅当2216322,t t +=即433t =±时，ma x()A QB S6469=．2008年第6期福建中学数学3920m m。
抛物线求最大值公式
抛物线最大值求解公式
抛物线是解析几何学中的一种基本曲线，其数学方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在数学中，我们常常需要求解抛物线的最大值，因为这可以帮助我们优化问题和最大化某些目标。
求解最大值的一般步骤
对于抛物线y = ax^2 + bx + c，我们可以按照以下步骤来求其最大值：
1.找到顶点坐标：首先，我们需要找到抛物线的顶点坐标。
顶点坐标
可以通过公式x = -b / 2a来求解，将这个x值带入抛物线方程即可得到顶点的y值。
2.判断最大值：最大值出现在抛物线开口向下的情况下，即当a小于0
时有最大值。
因此，我们需要先判断a的符号。
3.表示最大值公式：根据找到的顶点坐标和a的符号，我们可以表示
抛物线的最大值公式。
最大值为顶点的y坐标，即-f(-b / 2a)。
举例说明
假设我们有一个抛物线y = 2x^2 + 4x + 1，我们可以按照上述步骤来求解其最大值：
1.找到顶点坐标：根据公式x = -b / 2a，我们有x = -4 / 4 = -1。
将x = -
1代入抛物线方程，得到顶点坐标为(-1, 3)。
2.判断最大值：由于a = 2大于0，说明抛物线开口向上，此时无最大
值。
3.表示最大值公式：在这种情况下，抛物线没有最大值。
结论
通过上述步骤，我们可以求解抛物线的最大值。
这个过程可以帮助我们在数学和实际问题中找到最优解，优化方案或最大化目标。
在实际应用中，对抛物线的最大值求解有着重要的意义，是数学中一个常见且有用的问题。
高中数学抛物线最值问题讲课稿
抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1,P 到直线l 的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小， ∵F （1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
与抛物线有关的动点最值问题
学生姓名 年级 初三 授课时间 教师姓名 课时课 题 与抛物线有关的动点最值问题教学目标 理解并应用相关知识解答与抛物线有关的动点最值问题 重 点 难 点【经典例题】：已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 。
① 求点A 、B 、C 、D 的坐标② 若点P 是x 轴上的一个动点，且PC+PD 的和最小，求点P 的坐标【变式训练】 【变式1】：若点P 是抛物线对称轴上的一个动点，且△PBC 的周长最小，求点P 的坐标。
【方法点析】：解决“和最小”或“三角形的周长最小”这一类问题，一般的方法是一、 找（找对称轴）二、画（画对称点）三、连（连接对称点与另一个定点）四、定（确定连线与对称轴的交点）解题的秘诀是-------和最小，对称找，连线段，交点好x y C DAB O x yCD AB O【变式2】：若点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE Array【变式3】：若点P①当点P运动到何处时，△②当点P坐标。
③当点P运动到何处时，△PAC的最大面积及此时点P的坐标。
巩固训练：1、如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由.2、已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．B A O y x A Cx y B O （第24题图）3、如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
初中数学《用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题》课件PPT
1.抛物线型建筑物问题：几种常见抛物线型建筑 物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类 问题关键是根据已知条件选择合理位置建立 直角坐标系,结合问题中数据求出函数解析式, 然后利用函数解析式解决问题．
60 故y与x函数解析式为 y= -
(1x-6)2+2.6.
(2)当x=9时,
y=-
1 60
60 (x-6)2+2.6=2.45>2.43,
所以球能过球网;
当y=0时, - 1 (x-6)2+2.6=0, 60
解得: x1=6+2 39 >18, x2=6-2 39 (舍去),
故会出界.
知2－讲
(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点
(0, 2), 以及当球刚能过网, 此时函数图象过(9, 2.43),抛物
线y=a(x-6)2+h 还过点(0, 2)时分别得出h取值范围, 即
可得出答案.
知2－讲
解：(1)∵h=2.6,球从O点正上方2mA处发出,
∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0, 2),
∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a= - 1 ,
知1－讲
设这条抛物线表示二次函数为y＝ax2.
由抛物线经过点(2,－2),可得－2＝a×22,a＝－
1 .
这条抛物线表示二次函数为y＝－ x12.
2
2
当水面下降1 m时,水面纵坐标为－3.请你根据上面
函数解析式求出这时水面宽度．
当y=-3时,-
1 2
x2=-3,解得x1=
6
,x2=-
6
(舍去).
所以当水面下降1 m时,水面宽度为 2 6m.
抛物线的最大值公式
抛物线的最大值公式
抛物线是一种非常常见的数学曲线，它在日常生活中大量运用，比如桥梁设计、发射导弹、设计游乐设施等。
抛物线是由一条水平线和一条垂直线所固定的焦点所产生的一种曲线，可以用一个简单的公式来计算抛物线的最大值。
抛物线最大值公式为：y = ax² + bx + c，其中，a是抛物线的形状，b是抛物线的位置，c是抛物线的高度。
由此可以看出，a决定了抛物线的形态，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线的高度。
具体地说，如果a大于0，则抛物线开口朝上，如果a小于0，则抛物线开口朝下。
而b则决定了抛物线在x轴上的位置，比如当b=0时，抛物线在原点上方。
最后，c则调整了抛物线的高度，如果c为正数，则抛物线在y轴上方，如果c为负数，则抛物线在y轴下方。
在求解抛物线最大值时，需要使用求导数的方法，即将函数y = ax² + bx + c求导，然后再令导数为0，求出x的值，再将x带入函数中求出y的值。
这个过程可以用求解极值的方法来实现，即通过一些技巧化简函数，使其变得易于求导，然后利用导数的特性找到最值点。
总之，掌握抛物线最大值公式及其求解方法对于数学爱好者、物理学家、工程师和各种从事科学技术工作的人都是非常重要的。
只要掌握了这个公式，就可以轻松地解决各种涉及到抛物线的问题，为日常生活、科学研究和技术创新等方面提供有益的指导和帮助。
抛物线的最值问题
O
.
F
x
y0 2 3 y0 46 y0 48y0 16 46 , ( y0 R ) d 16 80 5 此时P(9,24) 当y0 24时, d min 2
探究五：距离和的最小值。
例 在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和 最小，并求最小值。 解：
解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点P( x0 . y0 )
例:在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距 离。 y
则y0 2 64x0 4 x0 3 y0 46 4 x0 3 y0 46 d | | 5 16 9
y0 2 将x0 代入得： 64 2
p4 2p 8， 由 y2 8x 知：
y
此抛物线的焦点坐标是:F (2 ， 0)
准线l方程是:x 2 .
由定义知： PF dPl 即 | PF || PK | .
| PF | | PQ | | PK | | PQ |
K
P Q O 2 F 4
x
显然，当Q， P， K 三点共线时，
• 例：在抛物线y2 =64x上求一点，使它到 直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求 此距离。
例在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ： 4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。
y 解：设抛物线平行于L的切线方程为
4x 3 y m 0 x 联立 4 x 3 y m 0 2 P y 64x 2 消 x 得 y 48y 16m 0 L 48 48 4 16 m 0 m 36 y 24, x 9 46 36 2 P9,24 d min 有最小值.
关于抛物线的十个最值问题
竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式叙述如下:定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为Ab,且设A(ρ1,θ),b(ρ2,θ+π),则有│Ab│=ρ1+ρ2= + = ≥2p=通径长,其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2(k∈Z)即弦Ab为通径时.证毕.定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,m(x,y)是抛物线上的动点,则│mA│min=证明:由│mA│2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2 =[x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p＞0)内一定点,F是焦点,m是抛物线上的动点,则(│mA│+│mF│)min=a+p/2.Q m A(a,b)证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知o F x(│mA│+│mF│)min=│AQ│=a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1定理5.设线段Ab是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、b 为切点的抛物线的两条切线相交于点m,则三角形Abm的面积的最小值为p2.证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由A、F、b三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2.(y2-y1) (1)于是利用(1)式由两切线方程yAm:y1y=p(x+x1),Abm:y2y=p(x+x2),m F x易得m的坐标(x,y)适合: b∵kmF·kAF=-1,∴mF⊥Ab,即│mF│是△mAb的Ab边上的高. 图2∵│mF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p,又由定理2知│Ab│≥2p(通径长),∴s△mAb=1/2·│Ab│·│mF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当Ab⊥x轴时成立,故三角形mAb的最小值为p2.证毕.定理6.过抛物线y2=2px的顶点o引两条互相垂直的动弦oA和ob,则三角形oAb的面积的最小值为4p2. y证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由oA⊥ob得Ax1x2+y1y2=0 (1)o x将y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2 (2)于是b(s△oAb)2=1/4·│oA│2·│ob│2图3=1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥1/4.[(x1x2)2+2px1x2(2√x1x2)+4p2x1x2] (3)将(2)式代入(3)则得(s△oAb)2≥16p4,从而s△oAb≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形oAb的面积的最小值为4p2。
高考数学解题方法微专题(28)抛物线中的最值问题(含解析)
微专题(二十八) 抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法[例1] 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，B (－1,1)，点P 到直线l ：x ＝－12的距离为d ，求d ＋|PB |的最小值．解析：由题意得抛物线y 2＝2x 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l 是抛物线的准线，如图，连接BF ，PF ，所以d ＝|PF |，则d ＋|PB |＝|PF |＋|PB |≥|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋(1－0)2＝132，当且仅当B ，P ，F 三点共线时取等号，所以d ＋|PB |的最小值为132. 名师点评 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算.[例2] 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：解法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝|8－43|5＝43.解法二 由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：43名师点评 若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面的例2，我们给出第三种解决方法：解法三 设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.[例3] 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1. 答案：112－1 名师点评 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．。
抛物线中的面积最值问题
抛物线中图形面积的最大（小）值问题解题思路：1. 坐标系内动点的坐标常常用解析式的代数式表示纵坐标；2. 表示坐标系中线段的长度一般用上减下（纵坐标），右减左（横坐标）；3. 利用点的坐标代数式表示出相关线段的长度或图形的面积的函数关系式；4.用公式 21水平底×铅锤高求三角形面积5.求所列函数关系式的最大（小）值.6.用抛物线的切线性质求最大面积。
训练题：1.如图，抛物线y=-x 2+2x+3与X 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D.（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式．并求S 最大时的点P 的坐标.2.已知：抛物线y=ax2+bx+c （a ≠0）的对称轴为x=-1，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （-3，0），C （0，-2） （1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标； （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（1）由题意得129302baa b c c -=--+==-解得 23432a b c ===-∴此抛物线的解析式为y ＝32x 2+34x －2 （2）连结AC 、BC ．因为BC 的长度一定，所以△PBC 周长最小，就是使PC+PB 最小．B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴x ＝－１的交点即为所求的点Ｐ． 设直线ＡＣ的表达式为y=kx+b则⎩⎨⎧-==+-2b 0b k 3 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2b 32k ∴此直线的表达式为y ＝－32x －2 把x ＝－1代入得y ＝－34 ∴P 点的坐标为（－1，－34） 解法（二）连结AC 、BC ．因为BC 的长度一定，所以△PBC 周长最小，就是使PC+PB 最小． B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴x ＝－１的交点即为所求的点Ｐ． 设对称轴x ＝－１与x 轴的交点为F,由题意知OC=2,OA=3,OF=1, PF ∥OD∴∠APF=∠ACO,∠APF=∠AOC ∴∆APF ∽∆ACO ∴ PF AFOC OA=即3123PF -= ∴PF=43∴P 点的坐标为（－1，－34） （3）S 存在最大值 解法（一）： ∵DE ∥PC 即DE ∥AC ∴∆OED ∽∆OAC ∴OD OE OC OA =即32m 2OE =- ∴OE ＝3-23m ，AE ＝3-OE ＝23m 方法一： 连结OPS ＝S 四边形PDOE -S △OED ＝S △POE +S △POD -S △OED＝21⨯（3-23m ）⨯34+21⨯(2-m)⨯1-21⨯（3-23m ）⨯(2-m) ＝-43m 2+23m∵-43＜0∴当m ＝1时，S 最大＝-43+23＝43方法二：S ＝S △OAC -S △OED -S △AEP -S △PCD＝21⨯3⨯2-21⨯（3-23m ）⨯（2-m ）-21⨯23m ⨯34-21⨯m ⨯1 ＝-43m 2+23m ＝233(1)44m --+∵-43＜0∴当m ＝1时，S 最大＝43EDPxAyCOB 第24题图3.如图1，一条抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且当x=－1和x=3时，的值相等．直线与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．(1)求这条抛物线的表达式．(2)动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q 从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为秒．①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的值；②求为何值时，四边形ACQ P的面积有最小值，最小值是多少？(3)如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿轴向左平移个单位长度（），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为，求与的函数关系式．解：(1) ∵当和时，的值相等，∴抛物线的对称轴为直线，把和分别代入中，得顶点，另一个交点坐标为(6，6)，则可设抛物线的表达式为，将(6，6)代入其中，解得，∴抛物线的表达式为，即．(2)如图1，当时，解得．由题意知，A(2，0)，B(4，0)，所以OA=2，OB=4；当时，，所以点C(0，－3)，OC=3，由勾股定理知BC=5，OP=1×t=t，BQ=．①∵∠PBQ是锐角，∴有∠PQB=90º或∠BPQ=90º两种情况：当∠PQB=90º时，可得△PQB∽△COB，∴，∴，∴；·当∠BPQ=90º时，可得△BPQ∽△BOC，∴，∴，∴．由题意知，∴当或时，以B，P，Q为顶点的三角形是直角三角形．②如图1，过点Q作QG⊥AB于G，∴△BGQ∽△BOC，∴，∴，∴，·∴S四边形ACQP=S△ABC- S△BPQ====．∵＞0，∴四边形ACQP的面积有最小值，又∵满足，∴当时，四边形ACQP的面积最小，最小值是．(3)如图2，由OB=4得OP=2，把代入中，得，所以D（2，－3），直线CD∥x轴，设直线OD的解析式为，则，所以，因为△P1O1D1是由△POD 沿x轴向左平移m个单位得到的，所以P1（2－m，0），D1(2－m，－3)，E（2－m，）．设直线OM的解析式为，则，所以．①当时，作FH⊥轴于点H，由题意O1(－m，0)，又O1D1∥OD，所以直线O1D1的解析式为．联立方程组，解得，所以，所以FH=，S四边形OFD1E=S□OO1D1D-S△OO1F-S△DD1E===．②如图3，当时，设D1P1交OM于点F，直线OM的解析式为，所以，所以，∴S△OEF===综上所述，．4.如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．解：(1)由题意可得A(0,2)，B(2,2)，C(3,0)，设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.(2)设抛物线的顶点为G，则G(1，)．如图，过点G作GH⊥AB，垂足为H，则AH＝BH＝1，GH＝－2＝.∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH.∴GH是△BEA的中位线，∴EA＝2GH＝.过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM＝OA＝AB.∵∠EBF＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴FM＝EA＝.∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝.(3)设CF＝a，则FM＝a－1或1－a，同时0<a<3∴BF 2＝FM 2＋BM 2＝(a －1)2＋22＝a 2－2a ＋5. ∵△EBA ≌△FBM ，∴BE ＝BF .则S △BEF ＝BE ×BF ＝BF 2＝(a 2－2a ＋5)，又∵S △BFC ＝FC ×BM ＝×a ×2＝a ，∴S ＝(a 2－2a ＋5)－a ＝a 2－2a ＋，即S ＝(a －2)2＋，∴当a ＝2(在0<a <3范围内)时，S 最小值＝.5．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y ＝a (x －1)2＋33(a ≠0)经过点A (－2，0)，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问：当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC ＝OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t （s ），连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．（4）在（3）中当t 为何值时，以O ，P ，Q 为顶点的三角形与△OAD 相似？（直接写出答案）DC M y P解：解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．∴a＝－·································1分∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋即y＝－x2＋x＋．·······················3分（2）设点D的坐标为(x D，y D)，由于D为抛物线的顶点∴x D＝－＝1，y D＝－×12＋×1＋＝．∴点D的坐标为(1，)．如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．∴∠DAO＝60°·······························4分∵OM∥AD①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．∴OP＝6∴t＝6（s）························5分②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．过点O作OE⊥AD轴于E．在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．∴t＝5（s）································6分③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．∴t＝4（s）综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．······································7分（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t．·······························8分∴S四边形BCPQ ＝S△COB －S△POQ＝×6×－×(6－2t)×t＝(t－)2＋···························9分∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为．················10分此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．∴PQ＝＝＝·················12分6．（2014年四川巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC 于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，得到方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；（2）由于点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以t≤3，又当点M到达原点时需要2秒，且此时点H立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，由△AMP ∽△AOC，得出比例式，求出PM，AH，根据三角形的面积公式求出即可；②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APH的面积，利用配方法求出最值即可．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，∴，解得：，∴抛物线的解析式是：y=x 2﹣x﹣4，（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC，∴=，即=，∴PM=2t．解方程x2﹣x﹣4=0，得x1=﹣2，x2=4，∵A（﹣2，0），∴B（4，0），∴AB=4﹣（﹣2）=6．∵AH=AB﹣BH=6﹣t，∴S=PM•AH=×2t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，当t=2时S的最大值为8；②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则△COB∽△CFP，又∵CO=OB，∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AH=4+（t﹣2）=t+1，∴S=PM•AH=（6﹣t）（t+1）=﹣t2+4t+3=﹣（t﹣）2+，当t=时，S最大值为．综上所述，点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=，S的最大值为．7．如图1，已知直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A B，两点．（1）求A B，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A B，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．P8．如图，已知抛物线y=ax 2-2x+c 与x 轴交于A ．B （3，0）两点，与y 轴的交点坐标为 （0，-3），直线l 与抛物线交于A ．C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求此抛物线的解析式以及抛物线的顶点坐标；（2）若点P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，有人说当点E 处于抛物线的顶点时线段PE 的长度最大，你认为这种说法是否合理，若合理，请说明理由，若不合理，请求出线段PE 长度的最大值以及此时点E 的坐标；9.抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）,y 轴相交于点C ，顶点为D .（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥ 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求S 最大时的点P 的坐标.xy D C A O BAB C A xy FO D E 10.已知：抛物线的对称轴为x=-1,与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）这条抛物线的函数表达式： ．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．11.如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．（1）经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式： ； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．A C x yB O。
抛物线中的若干最值问题
抛物线中的若干最值问题
1.抛物线的最高点在哪里？
抛物线的最高点，即顶点，是x坐标为-b/2a的点，y坐标为f(-
b/2a)。
2.抛物线与x轴交点有几个？
抛物线与x轴交点有0个、1个或2个，具体取决于抛物线的开口方向和方程的根。
3.抛物线的对称轴方程是多少？
抛物线的对称轴方程是x=-b/2a，具有以下特点：
-对称轴垂直于x轴；
-顶点位于对称轴上。
4.抛物线的最小值在哪里？
当抛物线开口向上时，抛物线没有最小值，最小值为负无穷；当抛物线开口向下时，最小值为f(-b/2a)。
5.抛物线有没有最大值？
当抛物线开口向上时，最大值为f(-b/2a)；当抛物线开口向下时，抛物线没有最大值，最大值为正无穷。
6.抛物线经过定点的条件是什么？
设定点为(x0,y0)，则抛物线经过该点的条件是方程f(x0)=y0成立。
7.抛物线对于x轴的对称点是哪个？
抛物线上任意一点与x轴对称的点的纵坐标为该点纵坐标的相反数，横坐标不变。
8.抛物线的拐点在哪里？
当抛物线开口向上并且a>0时，抛物线不存在拐点；当抛物线开口向下并且a<0时，拐点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)-|a|/4。
9.抛物线的单调区间是什么？。
抛物线最值问题
抛物线最值问题抛物线是二次函数的一种，其一般形式为f(x)=ax²+bx+c (a ≠0)。
在解决实际问题时，我们经常会遇到与抛物线最值相关的问题。
这类问题通常涉及到求函数的最大值或最小值，以及确定使函数取得最值的自变量的值。
下面我们来探讨一下抛物线最值问题的解决方法。
我们需要了解抛物线的开口方向和对称轴。
开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
对称轴是抛物线上的一条水平直线，使得抛物线上的点关于这条直线对称。
对称轴的方程为x=-b/2a。
我们可以根据抛物线的开口方向和对称轴来确定函数的最值。
1. 当a>0时，抛物线向上开口，函数在对称轴处取得最小值。
最小值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。
此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最小值。
2. 当a<0时，抛物线向下开口，函数在对称轴处取得最大值。
最大值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。
此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值。
3. 当a=0时，抛物线变为一次函数y=ax²+bx+c。
此时，函数在顶点处取得最大值或最小值。
顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。
此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值或最小值。
通过以上分析，我们可以总结出求解抛物线最值问题的一般步骤：1. 确定抛物线的开口方向和对称轴。
2. 根据开口方向和对称轴确定函数的最值及其对应的自变量的值。
3. 将最值代入实际问题中进行求解。
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2
= x2 - 2x + 9
= ( x - 1) 2 + 8
min
x³ 0
= 2 2, 此时M (1, 2)
变3
\ 当x = 1时，
２
变式训练：
已知点M 在抛物线y = 4 x上运动， 点Q在圆(x - 3) + y = 1上运动,则 MQ 的最小值是
.
2 2 2
小组讨论、交流：
只需求出动点M到圆心 A(3,0)距离最小值再 减去圆半径即可。
y
M
F
练习
A
Q .
x
所以 MQ min = 2 2 - 1
2
的最小值是多少？
小组讨论、交流：
y
M
F
x
l
已知点F为抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,A(3,2) 为定点，点M 是抛物线上任意一点，则 MA + MF 的最小值是 ，此时点M的 坐标是
小组活动：
。
探究2
y
M A
讨论解决方案
F
x
探究3
已知抛物线y ＝４x和定点Ａ(7,8), 抛物线上有一动点Ｍ，点Ｍ到点Ａ 的距离为d1，点Ｍ到抛物线准线距离 为d 2，则d1＋d 2的最小值是 .
2 2 最小值为ＡF ＝（7-1） +（8-0) =10
y M F
A
M
x
思考：已知点Ａ３０，点 ( , ) M在抛物线y２＝４x 上运动，求 MA 的最小值，及此时点M的坐标.
解：设点Ｍ( x, y)是抛物线y 2＝４x 上任一点,则y = 4 x
AM =
=
2
y M F Ax
( x - 3)2 + y 2
作业
y
B
1、定长是3的线段AB的端点A、B 在抛物线 y 2 x上移动，求线段 AB的中点M到y轴距离d的最小值。
y
F
A
x
2.在抛物线y2=8x上求一点P， 使P到焦点F的距离与到Q(4,1) 的距离的和最小，并求最小值。
K
P Q O 2 F 4
x
探究2 4 x 得抛物线的准线 方程 x = - 1. 过点M作MH垂直于抛物线的准线，
2
小组讨论、交流
H
y
A
M F
x
探究4
已知直线l1:4x-3y +6=0和直线l2:x=-1, 抛物线y ＝４x上一动点M到直线l1和直线l2 的距离之和的最小值是 .
2
先审题，再小组 讨论、交流。
思考：已知点Ａ３ ( , ０，点 ) M在抛物线 y ＝４x上运动，求 MA 的最小值， 及此时点M的坐标.
与抛物线相关的最值问题（一）
平坝第一高级中学 高二数学组
一、复习抛物线的定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l （l不经过点F）距离相等的点的轨迹 叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点； 直线l叫做抛物线的准线．
K F
H
M
注意：|MF|=|MH|
l
探究1
已知F是抛物线 y 2 px( p 0)的焦点， 点M ( x0 , yo )是抛物线上一动点，则 MF
垂足为H,如图，由抛物线的定义
得 MA + MF = MA + MH
2 解析：由y =
当且仅当Ａ、Ｍ、H三点共线时， MA + MH 的最小值为1+3=４， H 此时Ｍ(1,2)
y
M
A x
F
解析:连接MF,由抛物线的定义
得 ｄ ＋ｄ ＝ＭＡ＋ＭＦ １ ２
当且仅当Ａ、Ｍ、Ｆ三点共线， 且M在A，F之间时， ＭＡ＋ＭＦ