高一数学教案[苏教版]集合的概念与表示

1.1集合的概念与表示
[三维目标]
一、知识与技能
1，理解集合的含义，知道常用数集及其记法
2，了解元素与集合的关系及符号表示；了解有限集、无限集、空集的意义
3，掌握集合表示法的基本框架
二、过程与方法
1，通过学生看书及事例汇总出集合的含义，引出集合的特性及元素与集合的关系
2，通过例子辨别表示法及有限、无限集合，用自己熟悉的表示法表示集合三、情感态度和价值观
1，通过组织学生预习→教师汇总→学生应用的方式，体现以学生为主体的思想特征
2，通过汇总，培养学生找不足、差距及联系的观点，并比较与初中学习方法的不同
[重点]课件
集合的含义及表示方法
[难点]
集合的表示方法
[教具]
[过程]
一，看书P5---P7,教师版书：集合的含义及表示方法
例1：看下面事例
⑴15的正约数
⑵兴化中学高一年级的全体学生
⑶所有的自然数
⑷老人
⑸方程x+1=0的解
⑹漂亮的女孩
⑺抛物线y=x2上所有的点
二、教师汇总
1、集合的含义
象⑴⑵⑶⑸⑺这样具有确定的共同属性的对象的全体就构成一个集合，其中的每个对象称这个集合的一个元素，元素的个数为有限个称有限集如⑴⑵⑸，无限的称无限集⑶⑺，将不含有任何元素的集合称空集，如：x2+1=0的实数解根据集合的含义可以知道，一个集合具有：
确定性：任何一个事物要么在这个集合中，要么不在，不能摸棱两可。

在时称属于这个集合，符号∈；不在时称不属于这个集合，符号∉或∈；象⑷⑹
由于不确定，就不是集合
互异性：集合中的元素不能出现重复
无序性：集合中的元素顺序可以任意互换
问题：集合如何表示呢？
2、集合的表示
还是从例1来说
⑴可以表示为：{1，3，5，15}，这种一个个列举出的方法称列举法
⑵可以表示为：{兴化中学高一年级的学生}或{x|为兴化中学高一年级的学生}；这两种表示方法称描述法：其中前者称文字描述，由于集合含义中已经含有了全部的意义，所以要去掉诸如全体、所有等全称量词；后者称属性描述法，一般形式为{元素的一般形式|元素的属性}，其中的“|”也可以用“：”、“；”来代替。

（现在很少用文字描述法表示集合，建议尽量不用）
⑶{自然数}也可以表示成{0，1，2，3，4，……}，后者也是一种列举法
⑸简称解集{x|x+1=0}化成列举法集合为{-1}
⑺{(x,y)|y=x2}，也可以用初中阶段的图象表示
这样集合的表示方法有：
列举法在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：
①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。

如“所有从1到10000的自然数全体”可以表示为{1，2，3，……，10000}；
③三是当元素个数无限但有规律时，也可以用类似的省略号列举，如：自然数构成的集合，可以表示为{0，1，2，3，4，……}，称端省略列举。

描述法（含文字描述（在大括号内用文字写上集合的属性,注意去掉全体、所有之类的量词）和属性描述法{x|x的属性}）如：{x>1}≠{x|x>1};{y|y=x2}≠{(x,y)|y=x2}。

图示法：初中阶段学过的数轴表示及直角坐标平面表示属于此类，如关于x的不等式x-3>2的解集为{x|x-3>2}，化简为{x|x>5},如图
符号简记法：对于数集习惯为N ={自然数}，N*（或N+）={正整数}，Z ={整数}，Q ={有理数}，R ={实数}，不含任何元素的集合称空集，记为∅
三、课上练习
教材P7练习题
四、应用例题
例2，已知集合A={a -2,2a 2+5a,10},且-3∈A,求实数a
解：∵-3∈A ∴a-2=-3或2a 2+5a=-3
当a-2=-3时，a=-1,此时2a 2+5a=-3，与集合的互异性矛盾，舍去
当2a 2+5a=-3时，a=-1（舍去）或a=-3/2,a=-3/2时a-2=-7/2，满足条件
总之a=-2
3 说明：求出值后要注意检验
例3，m,n 满足什么条件时，集合A={x|m2x 2+n=0,x ∈R }是有限集，无限集，空集？
解：原方程可以变为m 2x 2=-n
⑴m=0时，若n=0,方程恒成立，A=R ,为无限集；n ≠0时，方程左边为0，右边非0，不可能成立，A=∅
⑵m ≠0时，方程等价于x 2=-2m
n -2m
n <0即n>0时,方程无解，A 为∅ n=0时，方程有两个相等的解0，A 为单元素集，有限集；n<0时，方程有两个实数解，也为有限集
总之，m=n=0时，A 为无限集；m=0,n ≠0或m ≠0，n>0时A 为空集；m ≠0，n ≤0时，A 为有限集
说明：不同情况下有不同结果时要分类加以讨论，最后要总结
五、总结
总之，本节主要讲了以下几个问题
1，具有共同属性的对象的全体集在一起就形成一个集合，具有确定性、互异性、无序性的特征
2，集合按元素的个数分为有限集和无限集两类
3，集合的表示方法有
图三
⎪⎧⎪⎧—全列举—元素少而有限
六、补充作业
一、集合A={x|y=3
12+x ,x ∈Z ,y ∈Z }的元素个数为_________________ 二、集合M={a|a=||x x +||y y +||xy xy
,x 、y ∈R }用列举法表示为__________________
三、被4除余数为2的整数集合表示为_________________
四、用描述法表示阴影部分的集合_____________________
五、集合{a,a
b ,1}也可以表示成{a 2,a+b,0},求a 2006+b 2006的值 六、用列举法表示由x,-x,2x ,-33x , 33x ,|x|组成的集合
七、已知集合A={x|ax 2-3x+3=0,x ∈R }至多有一个元素，求a 的取值范围
*八、设S 是实数组成的集合，且满足若a ∈S 则a
-11∈S ⑴若3∈S,则S 中还有什么元素，写出集合S;⑵S 能否为单元素集合？说明理由；⑶若a ∈S,则S 中至少还有几个元素，写出S
[参考答案]
一、12
二、{3，-1}
三、{x|x=4n+2,n ∈Z }
四、{(x,y)|⎩
⎨⎧≤≤≤≤1020y x 或⎩⎨⎧≤≤-≤≤-02/104/3y x
}
五、１
六、x=0时为{0}；x ≠0时为{x,-x}
七、解：a=0时，A={2/3}满足条件；a ≠0时，A=∅时⎩
⎨⎧<-=∆≠0890a a a>9/8,A 中仅有一个元素时a ≠0且△=0a=9/8;总之，a=0或a ≥8
9 *八，解⑴３∈S ⇒311-=-1／２∈S ⇒)2/1(11--=2／３∈S ⇒3211-=３∈
S,S 中必有另外两个数-1／２， 2／３，S={3,-1/2,2/3}
⑵假设S 中元素只有一个，则a
-11=a,a 2-a+1=0有实数解，与a 2-a+1=0没有实数解矛盾，故S 中的元不能只有一个
⑶由已知S 中，至少有a, a -11,1-a
1三个不同的元，只要证明三者两两不等。

假设1-a 1=a
-11，有a 2-a+1=0但它没有实数解，矛盾。

同理，三者两两不等，从而S 中至少有三个不同的元素.S={a, a -11,1-a
1}。