第7讲 函数的奇偶性学生

第7讲 函数的奇偶性

[玩前必备]

1.函数奇偶性的定义

(1)奇函数：设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，则这个函数叫做奇函数.

(2)设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且g (－x )＝g (x )，则这个函数叫做偶函数.

2.奇、偶函数图象的对称性

(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

(2)偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.

3.判断奇偶性的步骤

.

4.奇偶性的有关结论 (1)若奇函数在0x =处有意义，则有(0)0f =.

(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同;

偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。

[玩转典例]

题型一 判断函数的奇偶性

例1 判断下列函数的奇偶性．

(1)f (x )＝x 2(x 2＋2)；

(2)f (x )＝x x －1

； (3)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.

[玩转跟踪]

1.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ；

(2)f (x )＝1－x 2

x

；

2.判断函数的奇偶性：24()|3|3

x f x x ；

例2 判断函数22,0(),0x x x f x x x x 的奇偶性.

[玩转跟踪]

1.判断函数122+-=x x y 的奇偶性，并指出它的单调区间.

题型二 已知函数奇偶性求参数值

例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________， b ＝________.

(2)设函数(1)()()

x x a f x x 为奇函数，则a ＝________. [玩转跟踪]

1.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.

2.定义在)1,1(-上的奇函数1

)(2+++=nx x m x x f ，则常数=m ____,=n _____

题型三 奇偶性求解析式或函数值

例4 已知()f x 是R 上的偶函数，且当x>0时，2()

1f x x x ，则当0x 时，()f x ＝________.

思考：如果改为()f x 是R 上的奇函数，则当0x 时，()f x ＝ ________.

例5 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1

，求函数f (x )，g (x )的解析式

[玩转跟踪]

1.已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －1，求函数f (x )的解析式.

2.设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式．

题型四 函数奇偶性与单调性的综合应用

例6 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )

A ．f (π)>f (－3)>f (－2)

B ．f (π)>f (－2)>f (－3)

C ．f (π)

D ．f (π)

例7 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)

( )

A.⎝⎛⎭⎫13，23

B.⎣⎡⎭⎫13，23

C.⎝⎛⎭⎫12，23

D.⎣⎡⎭⎫12，23

[玩转跟踪]

1.定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)上的图象与f (x )的图象重合，设a >b >0，下列不等式中成立的有________．(填序号)

①f (a )>f (－b )；

②f (－a )>f (b )； ③g (a )>g (－b )；

④g (－a )f (－a )．

2.设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )

[玩转练习]

1.已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是( )

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

2.若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.12 B.23 C.34

D.1 3.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )

A.f (π)＞f (－3)＞f (－2)

B.f (π)＞f (－2)＞f (－3)

C.f (π)＜f (－3)＜f (－2)

D.f (π)＜f (－2)＜f (－3)

4.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )

A.－13

B.13

C.12

D.－12

5.偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f (x )的增区间为

________.

6.已知f (x )是R 上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋x －1，

求x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式.

7.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)

A.⎝⎛⎭⎫13，23

B.⎣⎡⎭⎫13，23