向量法求二面角
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向量法求二面角的大小
wk.baidu.com
四、教学过程的设计与实施
1
温故知新
如何度量二面角α—l—β的大小
B O A
l
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题1： 二面角的平面角AOB 能否转化成向量的夹角？
B
O l A
AOB OA, OB 二面角 OA, OB
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
二面角 n1 , n2
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题2：
求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与
平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半
平面的法向量有没有关系？
n
n1
n2
a
l
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
n1 , n2
转化为坐标运算，得
1 x z 0, 2 x y z 0.
取 z=1，则 n (2,1,1) ，
1 2 0 (1) 0 1 n AD 6 2 cos n, AD 1 3 ． n AD 6 2
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：
1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；
2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的
夹角；
3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或
钝角，得出问题的结果．
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
巩固练习： 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC 的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值．
n, AD 与二面角大小相等
n1 , n2
cos n1 n2 n1 n2
n1 , n2
cos n1 n2 n1 n2
, 设平面 SCD 的法向量为 n (x y, z)，
平面 SAB 与平面 SCD
二面角的余弦值
的所成
6 3
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 2
求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 2
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四、教学过程的设计与实施
1
温故知新
异面直线所成的角
v1
v2
v1
|
v2
v1 , v2
v1 , v2
四、教学过程的设计与实施
1
温故知新
直线与平面所成的角
n
直线的方向向量为 a ，平面的法向量为 n
a
a
B
求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
解：由 SA⊥平面 ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD 两两互相垂直． 以 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 x 轴，AB 所在的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系 A-xyz，则
1 1 S (0, 0,1) ， S ( , 0, 0) ， C (1,1, 0) ， SD ( , 0, 1) ， SC (1,1, 1) ， 2 2 设平面 SCD 的法向量为 n (x, y, z)，则 nSD 0， nSC 0，
1 x z 0, 2 x y z 0.
取 z=1，得 n (2,1,1) ，
1 ,0,0) ， 2
C(1,1,0， SC (1,1,1) ， SD ( 1 ,0,1) ， 2
cos n, AD
n AD n AD
6 3
1 AD ( ,0,0) 为平面 SAB 的法向量， 2
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题3：
法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么
时候互补？
再次演示课件
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
当法向量 n1 ， n 2 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时， 二面角的大小 n1 , n2 ； 当法向量 n1 ， n 2 同时指向二面角内或二面角外时， 二面角的大小 n1 , n2 ．
n1 n cos cos n1 , n2 2 n1 n2
根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
n1 , n2
n1 n cos cos n1 , n2 2 n1 n2
四、教学过程的设计与实施
4
归纳总结
半平面内分别垂直于棱的向量的夹角
两种方法
两个平面的法向量的夹角求解
一个步骤
用法向量求二面角大小的步骤
数形结合
两个思想
类比转化
四、教学过程的设计与实施
4
归纳总结
课后作业：
1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ，
试用多种方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
板书设计
用向量法求二面角的大小 1、
3、例题 解： SA、 、 两两垂直， A 为坐标原点， AB AD 以 由 n SC 0 ， n SD 0 ，得
n1 , n2 , cos
2、
n1 n2 n1 n2
AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz， 则 A(0,0,0)，S(0,0,1)，D (
2
a, n
n
a, n
2
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四、教学过程的设计与实施
1
温故知新
如何度量二面角α—l—β的大小
B O A
l
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题1： 二面角的平面角AOB 能否转化成向量的夹角？
B
O l A
AOB OA, OB 二面角 OA, OB
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
二面角 n1 , n2
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题2：
求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与
平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半
平面的法向量有没有关系？
n
n1
n2
a
l
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
n1 , n2
转化为坐标运算，得
1 x z 0, 2 x y z 0.
取 z=1，则 n (2,1,1) ，
1 2 0 (1) 0 1 n AD 6 2 cos n, AD 1 3 ． n AD 6 2
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：
1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；
2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的
夹角；
3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或
钝角，得出问题的结果．
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
巩固练习： 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC 的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值．
n, AD 与二面角大小相等
n1 , n2
cos n1 n2 n1 n2
n1 , n2
cos n1 n2 n1 n2
, 设平面 SCD 的法向量为 n (x y, z)，
平面 SAB 与平面 SCD
二面角的余弦值
的所成
6 3
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 2
求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 2
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四、教学过程的设计与实施
1
温故知新
异面直线所成的角
v1
v2
v1
|
v2
v1 , v2
v1 , v2
四、教学过程的设计与实施
1
温故知新
直线与平面所成的角
n
直线的方向向量为 a ，平面的法向量为 n
a
a
B
求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3
实践操作
解：由 SA⊥平面 ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD 两两互相垂直． 以 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 x 轴，AB 所在的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系 A-xyz，则
1 1 S (0, 0,1) ， S ( , 0, 0) ， C (1,1, 0) ， SD ( , 0, 1) ， SC (1,1, 1) ， 2 2 设平面 SCD 的法向量为 n (x, y, z)，则 nSD 0， nSC 0，
1 x z 0, 2 x y z 0.
取 z=1，得 n (2,1,1) ，
1 ,0,0) ， 2
C(1,1,0， SC (1,1,1) ， SD ( 1 ,0,1) ， 2
cos n, AD
n AD n AD
6 3
1 AD ( ,0,0) 为平面 SAB 的法向量， 2
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
问题3：
法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么
时候互补？
再次演示课件
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
当法向量 n1 ， n 2 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时， 二面角的大小 n1 , n2 ； 当法向量 n1 ， n 2 同时指向二面角内或二面角外时， 二面角的大小 n1 , n2 ．
n1 n cos cos n1 , n2 2 n1 n2
根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
n1 , n2
n1 n cos cos n1 , n2 2 n1 n2
四、教学过程的设计与实施
4
归纳总结
半平面内分别垂直于棱的向量的夹角
两种方法
两个平面的法向量的夹角求解
一个步骤
用法向量求二面角大小的步骤
数形结合
两个思想
类比转化
四、教学过程的设计与实施
4
归纳总结
课后作业：
1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ，
试用多种方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
板书设计
用向量法求二面角的大小 1、
3、例题 解： SA、 、 两两垂直， A 为坐标原点， AB AD 以 由 n SC 0 ， n SD 0 ，得
n1 , n2 , cos
2、
n1 n2 n1 n2
AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz， 则 A(0,0,0)，S(0,0,1)，D (
2
a, n
n
a, n
2