二分法最新
简单二分法
简单二分法1. 什么是二分法二分法（Binary Search）是一种常用的查找算法，也称为折半查找。
它的原理很简单，通过将查找范围不断缩小，最终找到目标元素或确定目标元素不存在。
二分法的应用广泛，包括在查找有序数列、旋转有序数列中的元素、判断一个数的开方等方面。
2. 二分法的基本思想二分法的基本思想是将查找范围不断地二等分，然后确定目标元素可能存在的一侧。
在每次二等分之后，通过比较目标元素和中间元素的大小关系，可确定下一次二分的方向，并缩小查找范围。
3. 二分法的递归实现3.1 算法步骤1.确定查找范围的起始位置start和结束位置end，初始时start为0，end为数列长度减1。
2.计算查找范围的中间位置mid，可以使用公式mid = (start + end) // 2进行计算。
3.当start大于end时，表示查找范围为空，即目标元素不存在。
此时返回-1或其他特定值作为查找失败的标志。
4.比较中间位置mid的元素与目标元素的大小关系：–如果中间位置的元素等于目标元素，则直接返回mid，表示找到目标元素。
–如果中间位置的元素大于目标元素，则说明目标元素可能存在于左半边，将查找范围缩小到[start, mid-1]，并递归调用二分法。
–如果中间位置的元素小于目标元素，则说明目标元素可能存在于右半边，将查找范围缩小到[mid+1, end]，并递归调用二分法。
5.重复步骤2到步骤4，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
3.2 递归实现代码示例（Python）def binary_search_recursive(arr, target, start, end):if start > end:return -1mid = (start + end) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] > target:return binary_search_recursive(arr, target, start, mid-1) else:return binary_search_recursive(arr, target, mid+1, end)4. 二分法的迭代实现4.1 算法步骤1.确定查找范围的起始位置start和结束位置end，初始时start为0，end为数列长度减1。
美国版权法上的思想表达二分法【最新法学论文】
摘 要 在著作权纠纷案件中，著作权保护的界限究竟在哪里呢？两部作品相似到什么程度，或被告对原告作品“抄袭”到何种程度，才可以断定发生了著作权侵权？对于这样一个著作权法上的基本问题，中国的法律法规、司法解释却并没有给出任何有价值的指引。
思想／表达二分法是美国版权法上一项奠基性的法律原则，本文对该原则进行了系统介绍，并在此基础上展开分析和论述，试图通过深入研究为解决上述问题找到一个适合中国借鉴的指导理论。
本文从美国版权法上的思想／表达二分法的法理基础谈起，重点介绍了该法律原则的合理性、必要性、存在的问题以及如何在司法实践中应用。
在介绍美国法的同时，提出了笔者自己的观点及理由。
最后，结合我国立法、司法、学理上的实际情况，讨论了该原则对我国的借鉴意义。
关键词：版权法，著作权，思想／表达二分法 AbstractIn cases regarding copyright disputes, where is the boundary of copyright’s protection? how much similarity, or how much copying, is necessary to justify a finding of copyright infringement? In respect of such a primary issue, Chinese laws, regulations and judicial interpretations surprisingly provide no practicable guidance. The Idea/Expression Dichotomy has been a fundamental legal principle in American copyright law. This article introduces such principle systemically and develops analysis and discourse thereon. Beginning with the jurisprudential essence of the Idea/Expression Dichotomy in American copyright law, this article, in its main body, discusses the justification, necessity, existing problems and application in judicial practice of such legal principle. At the same time of introducing American law, this article put forward its own thought and conclusions. Finally, integrating the legislative, judicial and academic reality of China, this article presents an argument regarding the referential significance of the Idea/Expression Dichotomy to Chinese copyright law.Keywords：copyright law, copyright, idea/expression dichotomy学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
最新古德诺的政治—行政二分法
2、第一次指明了这样一个道理：政治与行政是两种 不同的功能，但这种区分只是是纯理论上的，而不可能是 实践性的。“实际政治的需要却要求国家意志的表达与执 行之间协调一致，不能被截然分开并分别委以给不同机关； 而且这两种功能之间必须取得某种协调”。
在古德诺看来，这种分权虽然有其可取的一面，但也 存在许多不可忽视的弊端。他认为，中央与地方的这种分 权，造成了行政力量统一性的破坏，地方不受控制，它就 会脱离国家（或州）从而使整体走向分裂。
为避免分裂，古德诺认为便只有通过行政权的集中这 个唯一的途径。他认为，传统上人们对集权的担忧和恐惧 其实是受到了误导，是没有根据的。
古德诺的政治—行政二分 法
二、主要思想内容
古德诺的行政学思想主要体现在其著作《政治与 行政》中。在该书中，古德诺通过对国家行政与政治、 法律、政党的相互关系；行政与立法、司法的相互关 系；中央与地方的关系以及行政功能与体制的关系等 一系列重大理论问题的考察与分析，比较系统地阐述 了他的行政学思想。该书奠定了他在行政学研究上的 不朽地位，对后世的行政学研究产生了深远的影响。
古德诺还认为取得行政的效率以及保证民主，行政集 权都是必要的。
3、在美国政治与行政协调的独特道路：法外调节
古德诺指出了走向协调的两条必由之路：即政治对行政 的适度控制和行政权的必要集中。然而，美国宪法规定，国 家意志的主要体现者即立法机构不可能直接控制行政机构的 领袖，使得联邦行政权力和地方行政割裂开来而失去统一性。
古德诺并没有把自己的主要注意力集中在行政部 门的具体事务上，而是分析了行政有效展开所涉及到 的外部环境问题，在总体上关注如何才能即实现民主 治理（政府的民治性），又提高政府行政管理的效率。 民主与效率要兼顾，而其认为方法是政治与行政的协 调，并指出了政治与行政协调的几条具体途径。
二分法计算
二分法计算
二分法，又称折半查找，是一种在有序数组中查找特定元素的常用算法。
它的基本思想是将数组从中间分成两部分，判断目标元素位于左半边还是右半边，然后继续在相应的子数组中进行查找，直到找到目标元素或子数组为空为止。
这种算法的时间复杂度为O(log(n))，效率较高。
实现二分法查找的步骤如下：
1. 首先，确定有序数组的起始索引left和结束索引right，分别为0和数组长度减1。
2. 计算中间元素的索引mid，可以使用公式mid = (left + right) / 2。
3. 比较中间元素与目标元素的大小关系：
- 如果中间元素等于目标元素，那么目标元素已经找到，返回该索引。
- 如果中间元素大于目标元素，说明目标元素位于左半边，将结束索引right更新为mid-1。
- 如果中间元素小于目标元素，说明目标元素位于右半边，将起始索引left更新为mid+1。
4. 重复步骤2和步骤3，直到找到目标元素或子数组为空。
需要注意的是，二分法只适用于有序数组。
如果数组无序，需要先对数组进行排序操作，再进行二分查找。
总之，二分法是一种高效的查找算法，可以在有序数组中快速定位目标元素，降低查找的时间复杂度。
最新湘教版高中数学《计算函数零点的二分法》教学课件
似值(误差不超过0.01)．
二 习题4.4
温故而知新
5.若a<b<c，则函数f(x)=(x－a)(x－b)+(x－b)(x－c)+(x－c)(x－a)的两个零
点分别位于区间（
）
(A) (a，b)和(b，c)内
(B) (－∞，a)和(a，b)内
(C) (b，c)和(c，+∞)内 (D) (－∞，a)和(c，+∞)内
7
1.546875 1.5625 1.5546875 －0.004 0.015625
一 计算函数零点的二分法
得出零点的近似值为1.555，误差不超过0.008.因此曲线y=ln x和直线 x+y=2的交点的横坐标约为1.555.
一 计算函数零点的二分法
练习
1.用二分法求方程x2+x－1=0的根的近似值（误差不超过0.001）. 2.借助计算器或计算机，用二分法求方程x3－x－1=0在区间［1，2］上的根的近
设AB的中点为M，∠AOM＝k°，则弦AB到圆心的距离OM＝Rcos k°.这时，
扇形OAB的面积是 k R2 ，而△OAB的面积是 R2 sin k cos k ，于是，问题化为求
180
满足下列等式的数k：
k R2 R2 sin k cos k R2 .
180
a
化简后得到关于未知数k的方程：
如图4.4-4，工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的 中点D测试；如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所 用的这种方法称作二分法.
图4.4-4
二分法还可以用来寻找函数的零点，迅速地缩小搜索范围，接近零点的 准确位置.
一 计算函数零点的二分法
二分法查找数值
二分法查找数值
二分法查找数值
二分法，也叫二分查找，是一种在有序数组中查找特定元素的算法。
其基本思想是每次取数组中间的值与目标值进行比较，然后根据比较结果舍弃一半的数据，直到找到目标值或者发现目标值不存在为止。
二分法查找数值的具体步骤如下：
1. 初始化左右指针，left=0，right=n-1。
（n为数组长度）
2. 当left小于等于right时，进行以下操作：
3. 取中间值middle=(left+right)/2。
4. 如果中间值等于目标值，返回目标值的位置。
5. 如果中间值大于目标值，说明目标值在middle的左侧，将right更新为middle-1。
6. 如果中间值小于目标值，说明目标值在middle的右侧，将left更
新为middle+1。
7. 如果循环结束还没有找到目标值，说明目标值不存在，返回-1。
二分法的时间复杂度为O(logN)，是一种十分高效的查找算法，因此
在很多情况下都被广泛应用。
其中包括在数据量较大的有序数组中查
找特定元素，以及在游戏中对答案进行猜测等。
总之，二分法通过逐步缩小查找范围，可以快速高效地查找指定元素，是一种很实用的算法。
在实际使用时，需要注意的是数组必须是有序的，否则无法保证算法正确性。
同时，由于函数栈空间有限，在数据
量较大时需要注意是否会爆栈。
算法 二分法
算法二分法二分法，又称折半法，是一种常用的解决问题的策略。
它被广泛用于计算机编程中，用来解决搜索算法中涉及到的某些问题，如最大值/最小值问题。
二分法在算法设计上有着重要作用，本文将对它的基本原理、应用场景及实现方法进行分析。
一、基本原理二分法是一种暴力搜索算法，它的核心思想是，在一个有序的数据集中，把数据集分成两部分，分别进行搜索，得到满足要求的数据，这样就可以节省时间，提高算法的效率。
二分法的基本步骤如下：1.选择一个基准值，将元素划分为两部分；2.两部分各自比较，如果满足要求，则停止；否则继续下一步；3.划分后的两部分分别以这个基准值为界，继续划分，直到满足要求为止。
二、二分法的应用场景1.数据搜索中是最常用的算法之一，可以在集合、数组、链表等容器的数据中快速查找某个元素；2.排序算法中，也用到了二分法，如快速排序，归并排序；3.数学计算中，它可以用来求解方程的根、求极值等；4. 二分法在物理学中也有应用，如电磁场的模拟计算、空气动力学的模拟计算等。
三、实现方法1.断边界条件：在实现二分搜索算法时，首先要判断边界条件，避免访问越界。
2.算中点：根据二分法的思想，需要计算出中点的坐标，以便把数据集划分为两部分。
3.较中点和目标：计算出中点后，接下来就是要比较中点和目标，如果中点坐标等于目标坐标，那么就可以确定查找到了，否则就要继续搜索；4.新搜索边界：如果目标不在中点，就需要更新搜索边界，如果目标在中点的左边，就可以把右边的边界放弃，只继续搜索左边的部分，否则就是把左边的边界放弃，只继续搜索右边的部分；5.定结果：最后，当找到符合要求的目标，就可以确定结果，结束搜索。
四、总结本文介绍了二分法的基本原理、应用场景及实现方法，总的来说，二分法是一种非常有效的搜索算法，在计算机领域被广泛地应用，可以提高算法的效率，节约时间。
但是，要使用二分法，首先要满足数据有序的前提，而且要反复两分，直到边界条件是满足要求的，所以，要想用好二分法，就要熟练掌握其基本原理和实践方法。
二分法的动画演示课件
40 high
A(40)
要查找的数据是 key
mid=int((low+high)/2)
Key=a(mid) 找到了
Key>a(mid) low=mid+1 Key<a(mid)
思考 1
low
A(1)
A(1)
A(1)
20
·mid
A(20)
40 high
A(40)
21 low
A(21)
·30
Key=a(mid) 找到了
Key>a(mid) low=mid+1 Key<a(mid) high=mid-1
·21 22 24
low mid high
A(21) A(22) A(24)
A(40)
思考 1
low
A(1)
A(1)
A(1)
A(1) A(1)
20
·mid
A(20)
40 high
A(40)
二分查找（对分查找）
查找条件： 被查找的数据必须是有序的。
基本思想： 在有序的数据列中，首先将要查找的数据与有序数组
内处于中间位置的数据进行比较，如果两者相等，则查 找成功；否则根据数组元素的有序性，就可确定该数据 应该在数组的前半部分还是后半部分继续进行查找；在 新确定的范围内，继续按上述方法进行查找，直到找到 要查找的数据，即查找成功，或直到子表不存在，即查 找不成功。
21 low
A(21)
·30
mid
A(30)
40 high
A(40)
21 Low
·25 29 mid high
A(21) A(25) A(29)
二分法 数学
二分法数学
二分法是一种用于数值计算和查找的方法。
其基本思想是将目标
值在一个有序的列表或区间中逐步逼近，从而最终得到目标值的近似解。
具体的步骤如下：
1. 首先，将列表或区间按照大小顺序排列好。
2. 在列表或区间的中间位置取一个数作为中间值，将目标值与中间值
进行比较。
3. 如果目标值等于中间值，那么找到了目标值，算法结束。
4. 如果目标值小于中间值，那么将目标值限制在中间值的左半部分，
并重复步骤2和步骤3。
5. 如果目标值大于中间值，那么将目标值限制在中间值的右半部分，
并重复步骤2和步骤3。
6. 重复以上步骤，直到找到目标值或者确定目标值不存在。
二分法的优点是其高效性，尤其适用于对有序列表或区间进行查找。
其时间复杂度为O(log n)，相较于线性查找等其他算法具有更好
的性能。
经过多年的发展和应用，二分法已经成为数学和计算机科学领域
中一种重要的算法。
它广泛应用于各个领域，包括数值计算、数据结构、排序算法等。
同时，二分法也有许多派生和变体，如插值法、二
分图等，这些方法进一步扩展了二分法的应用范围。
总的来说，二分法是一种简单而高效的数学方法，通过逐步逼近
目标值，可以在有序列表或区间中快速找到所需的解或者确定不存在。
二分法查找算法
二分法查找算法二分法查找算法，又称折半查找，是一种基于有序数组的查找算法。
它采用了逐步缩小查找范围的方法，能高效地找出目标数字在数组中的位置。
下面我们就来具体了解一下二分法查找算法的步骤。
第一步，确定查找范围。
由于二分法查找算法只适用于有序数组，所以我们需要先对数组进行排序。
然后，我们需要确定查找的范围，也就是最大值和最小值。
一般来说，最大值为数组末尾的值，最小值为数组开头的值。
第二步，找到中间值。
我们需要计算出最大值和最小值的平均值，来确定中间值。
由于数组是有序的，所以我们可以使用简单的方法计算中间值：中间值 = （最大值 + 最小值）/ 2。
如果中间值与目标数字相等，那么我们就找到了目标数字的位置；如果中间值比目标数字大，那么目标数字应该在左边，我们将右边的范围缩小到中间值左边的数字；如果中间值比目标数字小，目标数字应该在右边，我们将左边的范围缩小到中间值右边的数字。
第三步，重复查找过程。
我们继续按照上面的方法缩小查找范围，并不断计算中间值，直到找到目标数字的位置或者确定目标数字不存在于数组中为止。
如果查找范围被缩小到了最小值等于最大值的时候，且这个值不等于目标数字，说明目标数字不存在于数组中。
二分法查找算法的时间复杂度为O(log n)，是一种快速的查找算法。
但是它也有一些局限性，只适用于有序数组，不适用于链表等其他数据结构。
在有序数组中，如果需要频繁进行插入和删除操作，排序的时间复杂度会很高，影响算法效率。
以上就是二分法查找算法的基本步骤及其局限性。
在实际开发中，我们需要根据具体情况来选择使用哪种查找算法，在考虑算法效率的同时，也要考虑其他因素，比如数据结构的特点、操作的频率等等，才能选出最适合的算法。
二分法解决实际问题的过程
二分法解决实际问题的过程二分法解决实际问题的过程一、引言在计算机科学中，二分法是一种通用的搜索算法，常用于解决实际问题。
它通过将问题分成两个部分，然后确定目标在哪个部分，并继续对该部分进行二分，最终找到目标或确定目标不存在。
本文将探讨二分法解决实际问题的过程，从简单到复杂、由浅入深，帮助读者全面理解这一算法。
二、基本原理1. 概念解释：二分法，也称为二分查找，是一种通过不断将范围缩小一半的方式来查找目标的方法。
它要求待查找的数组或列表是有序的。
2. 基本步骤：- 确定搜索范围：将数组或列表的起始位置和结束位置确定为搜索范围。
- 计算中点：将搜索范围分成两部分，计算中点的索引位置。
- 比较目标值与中点：将目标值与中点进行比较，确定目标可能在哪个部分。
- 缩小搜索范围：根据比较结果，将搜索范围缩小为可能存在目标的部分，并重复上述步骤，直到找到目标或确定目标不存在。
三、简单示例为了更好地理解二分法的过程，在这里我们举一个简单的示例。
假设有一个升序排列的数组，我们需要查找数组中是否存在某个特定的元素。
1. 确定搜索范围：将数组的起始位置设为0，结束位置设为数组长度减1。
2. 计算中点：将起始位置和结束位置相加除以2，得到中点的索引位置。
3. 比较目标值与中点：将目标值与中点位置的元素进行比较。
4. 缩小搜索范围：根据比较结果，如果目标值小于中点位置的元素，则将结束位置更新为中点位置减1；如果目标值大于中点位置的元素，则将起始位置更新为中点位置加1。
重复上述步骤，直到找到目标或确定不存在。
通过这个简单的示例，我们可以看到二分法的基本思路和步骤。
它的时间复杂度为O(log n)，相较于线性搜索的时间复杂度O(n)，二分法在大规模数据中有着显著的优势。
四、应用案例1.查找算法：二分法广泛应用于查找算法中，例如在有序数组中查找指定元素的位置。
2.分析数据：二分法还可以用于分析数据中的特定属性，例如找到最接近某个给定值的元素。
最新2.5.2二分法_ppt
复习回顾
1.函数y=f(x)的零点：
方程f(x)=0的实数根。 函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标。
2. 函数y=f(x)在(a,b)上有零点的条件： （1）若函数y=f(x)在[a,b]上不间断； （2） f(a)·f(b)<0
形成概念 方法归纳
给 定 精 确 度 ， 用 二 分 法 求 函 数 零 点 近 似 值 的 步 骤 如 下 ：
结束语
谢谢大家聆听！！！
17
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72 7.39 20.09
x2 1
2
3
4
5
A .(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
4.方程lnx+2x=6的根必定属于区间（ C ）
A.(-2,-1) B.(1,2) C.(1,e)
D.(e,3)
反思小结 体会收获
口诀
定区间，找中点， 同号去，异号算， 周而复始怎么办?
4.判(3 ) 断若 1是f .的二(c 否数分)f 达学法(b 到思) 的 精想理0 度,？论则 依，据x 是0 零 什_ (么c,？b_ )体点 现且 _ 了什_ 么 中 样_ _ c 2 b _ _点
若 |a2 .b 能| 否用,则 二分法零 x0 求 任_ a或 点 何_ 函b 数_ 否 零_点_ 则 的近;似， 解3 ， 4 ？步 重 骤
概念拓展 挖掘内涵
练习： 如 图 ， 哪 些 零 点 近 似 值 能 用 二 分 法 求 解 ？
y
x1
a
0 x2
x3
x4 b x
注 意 ： 二 分 法 仅 对 函 数 的 变 号 零 点 适 用 ， 对 函 数 的 不 变 号 零 点 不 适 用 .
最新252二分法
五、请你思考
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点
发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般
至少需要检查接点的个数为
个。
练习： １求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
２下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其 零点的是（ C ）
f (ab) 0，由
2
f (a) 0，则
x1
(a,
ab) 2
（2）若
f (ab) 0 ，由
2
f
(b)
0，则
x1
(ab,b) 2
（3）若 f (ab) 0，则
2
x1
a
2
b
对(1)、(2)两种情形再继续二分解所在的区间.
四、归纳总结
3、根据精确度得出近似解
当 x1(m,n)，且m, n根据精确度得到的近似值均为同
y
y
y
y
x
x
x
x
0
0
0
0
ＡＢ
Ｃ
Ｄ
１.解：画y= x 3+3x-1的图象比较困难，
变形x为3 =1-3x，画两个函数的图象
y
有惟一解x0∈(0,1) 1
y=x3
x
0
1
y=1-3x 3.如何求lg方 xx程 30的近似解（ 0.1） 精确
课堂小结
1.明确二分法是一种求一元方程近似解的常用 方法。
2.二分法求方程的近似解的步骤， 关键在第一步，区间的确定
252二分法
一、提出问题
能否求解下列方程 （1）lgx=3-x， （2）x2-2x-1=0， （3）x3+3x-1=0 .
二分法计算点集最近的两个点及距离
二分法计算点集最近的两个点及距离在计算机科学领域，二分法被广泛应用于解决各种问题，其中之一就是计算点集中最近的两个点及它们之间的距离。
这个问题在实际生活中也有很多应用场景，比如地理信息系统中寻找最近的两个地点，或者机器人导航中规划最短路径等。
本文将介绍二分法在计算点集最近的两个点及距离中的应用，希望能帮助读者更深入地理解这一算法。
1. 问题描述假设有一个二维平面上的点集S，其中包含n个点。
我们的目标是找到S中距离最近的两个点及它们之间的距离。
这个问题看似简单，但是对于一个大规模的点集来说，暴力搜索会变得非常低效。
我们需要一种更有效的算法来解决这个问题。
2. 暴力搜索算法我们可以考虑一种暴力搜索的算法。
对于点集S中的每一对点，我们都计算它们之间的距离，并找出其中最小的距离。
这种算法的时间复杂度为O(n^2)，在点集规模很大时，性能会非常低下。
3. 分治算法我们可以利用二分法来设计一个更高效的算法。
我们将点集S按照横坐标进行排序，然后将其等分成两部分：左边的点和右边的点。
接下来，我们分别在左右子集中找到最近的两个点及它们之间的距离。
假设左右子集中最近的两个点分别为p1和p2，我们分别计算它们之间的距离为d。
那么，我们需要计算跨越左右两个子集的最近距离。
4. 跨越子集的最近距离我们将以中线为界限的一个带状区域定义为可能存在最近点对的区域。
在这个带状区域内，任意两点之间的距离都不会超过d。
我们只需要考虑在带状区域内的点对。
并且我们可以利用这个性质来优化查找过程。
5. 算法实现# 伪代码def closestPair(S):if len(S) < 2:return NoneS.sort(key=lambda x: x[0]) # 按照横坐标排序return closestPairRec(S, 0, len(S)-1)def closestPairRec(S, low, high):if high - low <= 3:return bruteForce(S[low:high+1]) # 暴力搜索mid = (low + high) // 2leftPair = closestPairRec(S, low, mid) # 左子集最近点对rightPair = closestPairRec(S, mid+1, high) # 右子集最近点对d = min(leftPair[1], rightPair[1])midStrip = [point for point in S[low:high] if abs(point[0] - S[mid][0]) < d] # 带状区域内的点return min(leftPair, rightPair, closestSplitPair(midStrip, d)) # 返回最近点对def closestSplitPair(S, d):S.sort(key=lambda x: x[1]) # 按照纵坐标排序bestPair = (None, float('inf'))for i in range(len(S)):for j in range(i+1, len(S)):if S[j][1] - S[i][1] > d:breakdistance = euclideanDistance(S[i], S[j])if distance < bestPair[1]:bestPair = (S[i], S[j], distance)return bestPair6. 总结与回顾通过上述算法，我们可以在O(nlogn)的时间复杂度内找到点集中最近的两个点及它们之间的距禞。
最新二分法与统计问题(线段树)
二分法与统计问题(线段树)二分法与统计问题 (线段树)OICF－信息学奥林匹克综合论坛[关键字]线段树二叉树二分法[摘要]我们经常遇到统计的问题。
这些问题的特点是，问题表现得比较简单，一般是对一定范围内的数据进行处理，用基本的方法就可以实现，但是实际处理的规模却比较大，粗劣的算法只能导致低效。
为了解决这种困难，在统计中需要借助一些特殊的工具，如比较有效的数据结构来帮助解决。
本文主要介绍的是分治的思想结合一定的数据结构，使得统计的过程存在一定的模式，以到达提高效率的目的。
首先简要介绍线段树的基础，它是一种很适合计算几何的数据结构，同时也可以扩充到其他方面。
然后将介绍 IOI2001 中涉及的一种特殊的统计方法。
接着将会介绍一种与线段树有所不同的构造模式，它的形式是二叉排序树，将会发现这种方法是十分灵活的，进一步，我们将略去对它的构造，在有序表中进行虚实现。
目录一线段树1.1 线段树的构造思想1.2 线段树处理数据的基本方法1.3 应用的优势1.4 转化为对点的操作二一种解决动态统计的静态方法2.1 问题的提出2.2 数据结构的构造和设想2.3 此种数据结构的维护2.4 应用的分析三在二叉排序树上实现统计3.1 构造可用于统计的静态二叉排序树3.2 进行统计的方法分析3.3 一个较复杂的例子四虚二叉树4.1 虚二叉树实现的形态4.2 一个具体的例子4.3 最长单调序列的动态规划优化问题[正文]一线段树在一类问题中，我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段，例如说映射在 OX 轴上的线段。
由于线段是可以互相覆盖的，有时需要动态地取线段的并，例如取得并区间的总长度，或者并区间的个数等等。
一个线段是对应于一个区间的，因此线段树也可以叫做区间树。
1.1线段树的构造思想线段树处理的是一定的固定线段，或者说这些线段是可以对应于有限个固定端点的。
处理问题的时候，首先抽象出区间的端点，例如说 N 个端点 ti (1 ≤ i ≤ N) 。
二分法求函数零点教案(最新整理)
２、用二分法求函数 f (x) 的零点的近似值的步骤：
（１）确定区间[a, b], 验证： f (a) · f (b) < 0，确定精确度
（２）求区间(a , b)的中点 x1
（３）计算 f (x1 ) 若 f (x1 ) =0, 则就 x1 是函数的零点 若 f (a) · f (x1 ) <０，则令 b = x1 （此时零点 x0∈(a, x1 )） 若 f (x1 ) · f (b) <０，则令 a = x1 （此时零点 x0∈( x1 , b)）
( )1
个零点．方法二：作出 y＝ x 与 y＝ln x 的图象观察可知只有一个交点．故选 B. 2
5、方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3)
D．(3,4)
【解析】 令 f(x)＝2x－1＋x－5，则 f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从
解：应选 B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
例 2、
1
利用二分法求方程
3
x 的一个近似解（精确到 0.1）。
x
解：设 f x 1 x 3 ，则求方程 1 3 x 的一个近似解，即求函数 f x 的一个近似零
x
x
点。∵ f 2 1 0 ， f 3 1 0 ，∴取区间 2,3作为计算的初始区间。
f 2
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
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作业：
导学 119页 A、B组1-6
思考
尝试归纳用二分法求方程f(x)=0近似解的步骤
1、确定方程的根x0的初始区间(a,b)，使 f(a)f(b)<0
2、求区间（a,b）的中点c= a b ，计算f(c)的值
2
（1）若f(c)=0， 则x0=c就是方程的根 （2）若f(a)·f(c)<0 ， 则x0∈(a,c) （3）若f(c)·f(b)<0 ， 则x0∈(c,b)
近似解。
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得
到零点近似值的方法叫做二分法.
精确度
真实值与近似值间的误差，即若区间 [a,b]的长度|b-a|<ε,则称ε为方程近似 解的精确度。
a
b
二分法用来解决哪类数学问题？
求函数零点的近似值， 即方程的近似解
二分法使用的条件？ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、函数f(x)有零点；
2、函数f(x)在零点所在的某个区间
[a,b]连续不断且 f(a) •f(b)<0
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法
求图中函数零点的是（
y
A
B
）y
o x
o
x
A
B
y
y
o
x
C
o
x
D
（精精确确度度为为00..0011）？
完成下表
a
b
f(a) f(b) a b
2
f (a b) b-a
2
因为|2.5390625 - 2.53125|=0.0078125<0.01
所以x= 2.53125是函数f (x) lnx 2x 6
零点的近似值，也即方程 lnx 2x 6 0
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83元 竞猜价格的过程中体现了哪些具体方法？
问题
求方程 lnx 2x 6 0 的近似解
（精确度为0.01）？ 你能给出方程解得大致范围吗？
说说你的方法？
为什么呢？
思考？
函数 f (x) lnx 2x 6在区间（2，3）
内有零点，那么如何将零点所在的范围
缩小呢？
求方程 lnx 2x 6 0 的近似解
3. 判断是否达到精确度ε ：若|a-b|< ε,则得到根近 似值a（或b）；否则重复步骤 2～3．
练一练
用二分法求方程2x 3x 7的近似解（精确度
0.1）.
收获
1.二分法定义 2.用二分法求方程近似解的步骤 3.形成用函数的观点处理问题的意识
4、二分法中渗透的逼近思想和循环操作 为今后理解极限和算法奠定了基础。