振动和波动习题课(改))

波沿x轴负向传播：
x t x y A cos[ (t ) 0 ] A cos[2 ( ) 0 ] u T l
三、描述波动的方法
1、数学表示法：（波动方程）★ 2、几何表示法：波线、波面、波前 3、图线表示法：y～t 、 y～x
四、波的干涉
1、相干条件：频率相同、振动方向相同、
由图可得，初、末两状态 b 位相差为 △= 5π /6， 故 tmin＝△/ω = 5/3（s).
例题4 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡
位置为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的
A）1/4
B）3/4
C）1/16
D）15/16
1 x A 解： 4 1 2 1 1 1 2 E p kx kA E总 2 2 16 16 15 E k E总 E p E总 16
1 x1 5 10 cos(4t ) 3
2
1 1 1 2 x 2 3 10 sin(4t ) 3 10 cos(4t ) 6 6 2 2 2 3 10 cos(4t ) 3 1 x x x
2
1
2
1 2 10 cos(4t ) 3
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
( 必在1、 2 之间)
A
A1
（1） 2 1 2k
A A1 A2
k 0,1,2,
A2
振动加强; 此时有= 1= 2
X
（2） 2 1 (2k 1)
A | A1 A2 | 振动减弱
2 x
X
B
2 (30 x)
A
y AP A cos( t
l
) yBP A cos[ t
l
]
两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干静止的点满足：
(t (2k 1)
化简后
2 x
l
) [t
2 (30 x)
l k 0,1,2,...
a x
2
2、动力学特征
d2x 2 x 0 dt 2
m k f X o x
k （弹簧振子： ） m
2
二、简谐振动的能量
1 E k mv 2 动能: 2
势能:
1 2 E p kx 2
总能量:
1 E E k E p kA2 2
动能和势能的变化频率是振动频率的两倍 已知简谐振动的初始条件(x0 、v0)，求A和
6. 一质点作简谐振动，速度的最大值 Vm=5cm/s,振幅A=2cm。若令速度具有正最大
值的那一时刻为t=0,求振动表达式。
解：
x 2cos(t 0 )
5 Vm A 5 rad / s 2
5 x 2 cos( t )cm 2 2
O


2
t=0
9.一简谐振动的振动曲线如图，求此振动的 周期。 解： =/3+ /2=5/6 t=5= 5/6 = /6 =2/T x T=12s t=0
r2
l
)
y y 1 y 2 2 A cos 2
l
cos 2 t
A
例题1. 图示为一平面简谐波在t=0时刻的波
形图,波的振幅为0.2m,周期为4s,波长为1m,求
1）波动方程
2）图中P点处质点的振动方程 y A o 传播方向
P
x
解1） 已知A=0.2m, T=4s, l=1m O点振动方程为：
解： 由图可得:l=2m, A=0.5m =2= 2u/ l= /2
设O点的振动方程：
y 0.5cos( t 0 ) 2
3 2
y(m)
u 1
0
0.5
o 2

2

x(m)

3 2 0 2 2
y
波动方程为:
得：
y 0.5cos( t ) 2 2


(cm)
A
O 1
2 x
B
例题2：一质点作周期为T的简谐振动，质 点由平衡位置正方向运动到最大位移一半 处所需的最短时间为 A）T/2 （B）T/4 C)T/8 （D）T/12 解:用矢量图法求解 =t=/6 =2 /T t=T/12 O
A/2 A
x
M
N
例3.一物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期 为4s，当t=0时，位移为－12cm 且向x轴负方 向运动，求 1)简谐振动方程 2)物体由起始位置运动到x=0处所需的最短时 间.
k 0,1,2,
A2
A1
A
X
与振幅大的分振动的初相相同
例1：一质点作简谐振动， =4 rad/s ,振幅 A=2cm. 当t=0时,质点位于x=1cm处,并且向x轴 正方向运动,求振动表达式.
解:用旋转矢量图法求解 t=0时，旋转矢量端点位于 图中B处,故初相为:
0 3 x 2cos(4 t ) 3

x
t 0 0
O
A0
X

A2
’
旋转矢量的端点在X轴上的投影点作简谐振动 1、2象限 v<0 ; 3、4象限 v>0
A1
X O
A1
X O
A1
A2
O

振动2比振动1超前

X
A2
反相 同相
四、同方向、同频率的谐振动合成仍是谐振动 x A cos( t )
0 a
0
x
V＜0的振动状态为图中a，-0.24
相应的初相为
0＝2/3
-0.12
2 x 0.24 cos( t ) 2 3
(m)
v>0
物体由起始位置运动到x=0处所需的最短时间. 2) 如图所示，对应于x=0，在图中有b、c 两个可能的状态. c a 由于求的是从a状 态运动到x=0处所需 的最小时间，所以末 -0.24 0 x 状态应选b;
]
30 2x kl
30 2x kl
因为： l
1 表达振动时，初相位为零。在 0 t T 范围 2
T/8或3T/8 内，系统在t = _________ 时动能和势能相等。 解： A cost x
1 2 1 Ep kx kA2 cos2 t 2 2 1 Ek kA2 sin2 t 2 Ep Ek tg 2t 1 tgt 1
yA A cos(t )
yB A cos( t 0)
2 x
A
30 x 30m
B
在X轴上A、B点发出的行波传到P(x), 引起P点振动，振动方程分别为：
y AP A cos( t
l
)
yBP A cos[ t
2 (30 x)
l
]
O
x
30 x 30m
振动 一、谐振子
1、运动学特征：
A：振幅
2 x(t ) A cos( t 0 ) A cos( t 0 ) (1) T 2
T: 周期

：圆频率
T
( t 0 ) : 相位，它是反映质点在t时刻振动
状态的物理量。
0
: 初相, t＝0 时刻的位相。
dx 由（1）： v A sin( t ) ( 2 ) dt dv 2 a A cos( t ) (3) dt
恒定位相差。
2、干涉加强、减弱条件：
y 1 A1 cos[ 2 ( t y 2 A2 cos[ 2 ( t r1
l
) 1 ] )2 ]
A
l 2 2 A1 A2 2 A1 A2 cos
2
r2
( 2 1 )
l
( r1 r2 )
y 0.2 cos( t ) 2
t=0时，y=0，v>0
y 0.2 cos( 2 t 2
)
y
2
y A o
传播方向
X
y 0.2 cos( t 2 x)(m) 2 2


2)P点 的振动方程 x=0.5m代入 y 0.2 cos( t 2x )
-0.12 O
0.24
11. 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位 移的单位为厘米，时间的单位为秒，求此简谐 振动的方程。
解:用矢量图法
设振动方程为 x=Acos(t+)
2 1) 的确定 3 x(cm)
-2
t=0
2 3
-1 O x
0 -1 -2
1
t(s)
2) 的确定
x=Acos(t+2/3)
y 0.5 cos( t x )(m) 2 2
例题3. 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，
频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米， 波速为400米/秒，求:A、B连线之间因干涉而静止 的各点的位置。 解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，设 A、B点的振动方程 : P( x) X O
2 2


得：
y 0.2 cos( t ) 0.2 cos( t )(m) 2 2 2 2
y A o
传播方向
P
X
例题2. 一平面简谐波以波速u=0.5m/s沿x轴负 方向传播, t=2s时刻的波形如图所示, 求波动 方程.
y(m) 0.5 o 1
u 2 x(m)
-vm
x A cos( t ) v A sin( t )
v m cos( t ) 2
1 t 0 , v vm 2

2 2 3
2 3
vm
1 vm 2
v
O


6
v(m/s)
-0.5vm
0
t(s)
-vm
13. 一系统作简谐振动，周期为T，以余弦函数
1 2 1 2 1 2 E mv0 kx0 kA 2 2 2
A
2 mv 0 2 x0 k
2 x0
2
2 v0
求出A后，再作旋转矢量图，由x0 、v0画出旋转矢 量的位置而求出初位相
三、简谐振动的旋转矢量法（重点）

O
# 逆时针旋 转为正角。 # 顺时针旋 转为负角。
2 3 T 3T t or t or T 4 4 8 8
14. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动， 其振动方程分别为：
1 x 5 10 cos(4t ) 3
2 1
（SI）
1 x 3 10 sin(4t ) 6
2 2
（SI）
画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动 方程.
-A/2 -A
5
t
O
t=5
10. 一质点作简谐振动，其振动方程为 出质点由初始状态运动到 x=-0.12m, v<0的状
态所经过的最短时间 t. 解： t=0
1 1 x 0.24cos( t （SI）试用旋转矢量法求 ) 2 3


1 3
3 t 2 t ( s) 3
当 2 1时 , 2
r2 r1
l
2 l
加强 kl l ( 2k 1 ) 减弱 2
A A1 A2 A A1 A2
3、驻波
y 1 A cos 2 ( t r1
l
)
y 2 A cos 2 ( t x
2
2
O
波动 一、描述波动的物理量
1、周期和频率（由振源决定，与介质无关）
2、波长 3、波速 l u 4、波速u与l、T的关系： T
二、平面简谐波波动方程
振源(或参考点) ： y A cos(t 0 )
以振源(或参考点)为原点，
波沿x轴正向传播：
x t x y A cos[ (t ) 0 ] A cos[2 ( ) 0 ] u T l
解:1)A=0.24m, T=4s, =2/T= /2
x A cos(t 0 ) 0.24 cos( t 0 ) 2
( m)
振幅为24cm，周期为4s，当t=0时，位移为－ 12cm 且向x轴负方向运动， v<0 用旋转矢量法求0
作半径为A=0.24m的参考圆
对应于 x＝－0.12m、
4 4 t 3 3 x(cm)
4 2 x 2 cos( t )cm 3 3
t=0
0 -1 -2
1
t(s) -2
-1
O
4 3
t=1
12. 用余弦函数描述一谐振子的振动，若其速
度---时间关系曲线如图所示，求振动的初相
源自文库位。
v(m/s)
-0.5vm
0
t(s)