柱体模型在流体中的应用

柱体模型在流体中的应用

吴中区木渎第三中学陈丽金

一、柱体模型的提出

在中学物理中，有一些实际问题与流体有关。由于流体具有流动性、连续性等特点，在求解以流体为物理情景的问题时，只要抓住流体的特点，建立柱体模型，则往往可以使问题简单化，甚至格式化。

二、柱体模型

设S为与流体流动方向垂直的某一截面

的面积，则在△t时间内，流过这一截面的

流体的体积可看成一个小个圆柱体，如图1

所示柱体的棱长为v o△t，体积为V=Sv o△t，v o△t

质量为△m=ρSv o△t。图1

三、柱体模型的应用

例1、水力采煤就是利用从高压水枪喷出来的强力水柱冲击煤层而使煤层破裂。设所用水枪的直径为d，水速为v o，水的密度为ρ，水柱垂直地冲击到竖直煤壁上后沿竖直煤壁流下，求水柱施于煤层上的冲力大小。

解析：设在△t时间内射到煤层上的水的质量为△m，以S表示水柱的截面积，则△m=ρSv o△t=ρ·πd2/4·v o△t

这部分水经△t时间，其水平方向的动量有△m v o变为零，设煤层对水的作用力为F，以水速方向为正方向，根据动量定理，有

F△t = 0－△m v o

则F=－πd2ρv o2/4

根据牛顿第三定律，水柱对煤层的作用力为F’=－F=πd2ρv2/4

例2、风能是一种清洁能源，高原地区可利用风能发电。某地的平均风速是5.0m/s，已知空气的密度是1.2kg/m3，此地有一风车，它的车叶转动时形成半径为20m的圆面，假如这个风车能将此圆圈内10%的气流动能转变成电能，这个风车平均每秒内发出的电能是

多少？

解析：风车是一种能截获流动的空气所具有的动能并将叶片迎风扫掠面积内的一部分动能转化为有用机械能（再转化为电能）的装置。

设S为与空气流动方向垂直的车叶转动时形成的圆面，在单位时间内穿过风车的动能P s= mv o2/2 =ρSv o3/2 =πr2ρv o3/ 2

则这个风车平均每秒发出的电能为

P电= η·P s =ηπr2ρv o3/ 2= 9.42KW

例3、某地拟建一水电站代替原有年发电12.5万千瓦的火电厂。设平均流量为Qm3/s，水流落差为H，发电效率为η。则坝高至少要多少？

解析：取△t时间内下落的水为研究对象，这部分水的质量为

△m=ρQ△t

当这部分水下落H高度时，单位时间内减少的重力势能为

P s=ρQ g H

则单位时间内的发电量为

P = η·P s =ηρQ g H

故坝高即水流落差

H= P/ηρQ g =1.25×104/（ηQ）

例4、为了诊断病人的心脏功能和动脉中血液粘滞情况，需要测量血管中血液的流速与流量。如图为电磁流量计示意图。将血管置于磁感应强度为B的匀强磁场中，测得血管两侧ab电压为U和血管直径为D，求血液在血管中的流量Q为多少？

解析：血液是带电体，当血液以速率v在血管中定向流动时，在△t时间内流过血管某一截面S的血液量为V，则

V = Sv△t =πD2v△t /4

又血管两侧电压U满足

U = BDv

故血液在血管中的流量

Q = V/△t =πDU/（4B）

可见，只要测出血管两侧的电压及血管的直径，就可知道血液在血管中的流量。

四、练习

1、高血压是危害健康的一种常见病。现已查明，血管内径变细是其诱因之一，我们可在简化假设下研究这一问题：设液体通过一根一定长度的管子时受到的阻力f与流速v 成正比，即f = kv（为简便，设k与管子粗细无关）；为维持液体匀速流过，在这段管子两端需要一定的压强差。设血管截面积为S时两端所需压强为p，若血管截面积减小10%时，为了维持在相同时间内流过同样多的液体，压强差必须变为多大？

2、分子流以平均速率v和截面为S的器壁碰撞，分子流单位体积内的分子数是n o，每个分子的质量为m o，如果分子的运动方向与器壁垂直，且碰撞后按原速率反向弹回，求分子流对器壁的作用力和压强。