三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)

三角函数专题辅导

课程安排

制作者：程国辉

专题辅导一

三角函数的基本性质及解题思路

课时：4-5学时 学习目标：

1. 掌握常用公式的变换。

2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)

tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β

2、倍角公式：

sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)

cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)

cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)

3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±−−−→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝

＝

αβαβαβαβααα

αααβα

αβααβα

αα

αα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=

-

4、同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：2

2

2

2

2

2

sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：

一角二名三结构

首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβ

αβ++=⋅

，

(

)()

2

2

2αβ

β

ααβ+=-

--

等）。

如：

1、已知2tan()5αβ+=

，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____///3

22

2、02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2

23sin()αβ-=，求

cos()αβ+///490

729

3、已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的函数关系

为______///43

(1)55

y x x =<<

(2)三角函数名互化(切割化弦)，如 1、求值sin 50(13tan10)+///1 2、已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值///1

8

(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。如

1、A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____///-

2、ABC ∆，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A = ____三角形///等边

(4)三角函数次数的降升(降幂公式：2

1cos 2cos

2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=与升幂公式：2

1cos 22cos αα+=，2

)。如

1、若3

2

(,)αππ∈为_____///sin 2α

2、2

5f (x )sin x cos x x =-x R )∈递增区间＿＿＿＿＿＿51212

[k ,k ](k Z )ππππ-+∈

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 1、tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα

αα

++

+ ///sin α

2、求证：

2

1tan 1sin 212sin 1tan 2

2ααα

α

++=--；

3、化简：

4221

2cos 2cos 22tan()sin ()44

x x x x ππ-+

-+ ///1cos 22x

(6)常值变换主要指“1”的变换（2

2

1sin cos x x =+2

2

sec tan tan cot x x x x =-=⋅

tan sin 42

ππ===

等）。

如已知tan 2α=，求2

2sin sin cos 3cos αααα+- （答：3

5

）

(7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”。如 1、若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __

（答：21

2

t -±)，特别提醒

：这里[t ∈；

2、若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。

///

3、已知

2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42

ππ

α<<，试用k 表示sin cos αα-的值

（8）、辅助角公式中辅助角的确定

：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所

在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b

a

θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。如

（1）

若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________. ///[－2,2] （2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______///32

- （3）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ///－2