七年级数学整式的除法1
北师大版数学七年级下册1.7《整式的除法》说课稿1
北师大版数学七年级下册1.7《整式的除法》说课稿1一. 教材分析北师大版数学七年级下册1.7《整式的除法》是学生在学习了有理数的混合运算、整式的乘法等知识的基础上，进一步学习整式的除法运算。
这一节内容主要介绍整式除法的基本概念、运算方法和步骤，对于学生来说，是整式运算的一个新的知识点，也是后续学习更复杂代数式运算的基础。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了一定的数学基础，如代数式的知识，有理数的混合运算等。
但是，整式的除法运算对于他们来说是一个新的概念，需要通过实例来理解和掌握。
同时，学生在学习过程中，可能对整式除法的运算步骤和规则有一定的困惑，需要教师进行详细的讲解和指导。
三. 说教学目标1.理解整式除法的基本概念，掌握整式除法的运算方法和步骤。
2.能够运用整式除法解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 说教学重难点1.教学重点：整式除法的基本概念，整式除法的运算方法和步骤。
2.教学难点：整式除法的运算步骤和规则的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过实例来引导学生理解和掌握整式除法的基本概念和运算方法。
2.使用多媒体教学手段，通过动画和图形的展示，使学生更直观地理解整式除法的运算过程。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入整式除法的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：讲解整式除法的基本概念，通过示例来引导学生理解和掌握整式除法的运算方法。
3.课堂练习：让学生通过练习，巩固所学的知识，并及时给予反馈和指导。
4.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调整式除法的运算步骤和规则。
5.课后作业：布置相关的作业，让学生进一步巩固和应用所学的知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出整式除法的运算步骤和规则。
可以设计如下板书：1.确定除数和商的最高次项2.进行除法运算3.合并同类项八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和课后反馈来进行。
七年级数学下册 1.7.2 整式的除法教案1 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中七年级下册数学教
课题：整式的除法教学目标：1．理解整式除法运算的算理，会进行简单的整式除法运算；2．掌握多项式除以单项式的运算法则，体会数学在生活中的广泛应用；3．经历探索整式除法运算法则的过程，发展有条理的思考及表达能力.教学重、难点：重点：多项式除以单项式的运算法则的探索及其应用．难点：探索多项式除以单项式的运算法则的过程．教法及学法指导：在教学过程中,注重体现教师的导向作用和学生的主体地位,本节是新课内容的学习,教学过程中尽力引导学生成为知识的发现者,把教师的点拨和学生解决问题结合起来,为学生创设情境,从而不断激发学生的求知欲望和学习兴趣,使学生轻松愉快地学习不断克服学生学习中的被动情况,使其在教学过程中、在掌握知识同时、发展智力、受到教育.课前准备：制作课件教学过程：一、情境引入，复习回顾活动内容1：（多媒体出示图片）同学们，我这儿有一道题，看看你能不能利用现有的知识解决呢？X大爷家有一块长方形的田地，它的面积是6a2+2a,宽为2a，聪明的你能帮X大爷求出田地的长吗？处理方式：学生看图读题后回答并说明理由：长方形的面积=长×宽，从而得出已知面积和宽，则田地的长=(6a2+2a)÷（2a）.教师板书：(6a2+2a)÷（2a）然后教师手指算式追问：这是何种类型的运算？我们以前学过吗？学生通过观察、思考，容易得出“多项式除以单项式”，教师顺势板书课题：（板书：整式的除法---多项式除以单项式）【设计意图】从学生熟悉的生活情景出发，找准新知识的起点，提出疑问，激发学生的学习兴趣和求知欲，不仅使学生快速的进入学习状态，同时又让学生觉得数学源于生活又应用于生活，使学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣．活动内容2：多项式如何除以单项式是我们这节课要探索的内容，在探究它之前，让我们先来解决下面的问题.计算下列题目.(1)x 11÷x 6= ； (2) 12a 3b 2÷（3ab 2）= ；处理方式：让学生独立思考，教师巡视，帮助鼓励困难学生完成任务.学生完成后，找学生口头回答，（1）x 5(2) 4a 2 c ;并采取追问方式，学生口答理由，教师根据学生的回答利用多媒体出示理由依据.（1）x 11÷x6 =x11-6(同底数幂相除，底数不变，指数相减.) =x 5(2) 12a 3b 2c ÷（3ab 2）=(12÷3)( a 3÷a)(b 2÷ b 2)c (单项式除法法则)=4a 2 c【设计意图】：同底数幂的除法与单项式除法是学习多项式除以单项式的基础，只有熟练掌握同底数幂的除法与单项式除法，才能正确的进行多项式除以单项式的运算，为学习新知识打基础.二、探究新知，合作交流活动内容：多项式除以单项式的法则的探究问题1：你能计算下列各题吗？如果能，说说你的理由.(1)(ad +bd )÷d=(2)(a 2b +3ab )÷a=(3)(xy 3-2xy )÷（xy ）=处理方式：让学生自己先试着做一做，教师巡视，寻找正确的答案准备展示交流.对于第（1）题学生容易得出结果.教师及时追问：“你是如何得到的？”:即由（a +b ）·d = ad +bd 得到(ad +bd )÷d= a +b ; 方法 2. 类比有理数的除法法则进行计算: （ad +bd ）÷d =(ad +bd ) ·d1=a +b.然后学生根据第（1）题的经验容易解决第（2）(3)题： 方法1. (2) ∵ （ab +3b ）·a =a 2b +3ab ∴ (a 2b +3ab )÷a =ab +3b ; (3) ∵ （y 2-2）·xy =xy 3-2xy ∴ (xy 3-2xy )÷（xy ）=y 2-2方法 2.(2)(a 2b +3ab )÷a =(a 2b +3ab )a1=ab +3b ; (3)(xy 3-2xy ) ÷（xy ）=(xy 3-2xy ) ·xy1=y 2-2.学生回答时教师只把最后结果及时板书在黑板上.【设计意图】通过从学生已有的认知角度出发，让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，有成功的体验，要充分发散学生的思维，敢于质疑，培养良好的学习习惯.问题2：观察等式：（1）(ad +bd )÷d= a +b（2）(a 2b +3ab )÷a =ab +3b（3）(xy 3-2xy )÷（xy ）=y 2-2你发现了什么？处理方式：1.学生观察思考并举手回答. 学生间互相补充能够解决.如果有困难，教师可适当点拨：被除式中的每一项与商中的每一项有什么对应关系？学生再观察思考，就得出规律.学生回答时，教师注意学生语言表达的规X 性.2.教师总结并出示多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.然后追问“用字母如何表示这个法则”学生思考回答并互相补充得出：(a +b+c )÷m = a ÷m + b ÷m + c ÷m【设计意图】通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；并在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力. 发展学生的逻辑推理能力.三、典例分析，应用新知活动内容1：运用多项式除以单项式法则解决问题（例题分析）例2：计算：(1)(6ab +8b )÷2b (2)(27a 3-15a 2+6a )÷3a(3)(9x 2y -6xy 2)÷（3xy ）(4)(3x 2y-xy 2+21xy )÷(-21xy ) 处理方式：先给学生1分钟时间观察思考，要求学生说出解决的方法及依据，师生先合作完成第（1）题：学生口述，教师板书，并及时强调过程的规X 性，其余3题学生在练习本上独立完成，然后共同评价.最后教师追问:“ 结合本例题，你认为在计算时，把多项式除以单项式转化成哪个已学知识点？”学生通过观察计算过程，互相补充，共同解决教师的追问.学生回答时，教师及时利用多媒体出示：2.教师总结强调：（多媒体出示）在计算中为保证计算的正确性应该注意：（1）不要漏项，（2）注意符号，（3）注意运算顺序，（4）用互逆运算进行检查. 下附答案解：（1）(6ab +8b )÷(2b )=（6ab ）÷(2b )+ (8b )÷(2b ) =3a +4(2)(27a 3-15a 2+6a )÷(3a )=(27a 3)÷(3a )+(-15a 2)÷(3a )+(6a )÷(3a )=9a 2-5a +2(3)(9x 2y -6xy 2)÷（3xy ）=(9x 2y )÷（3xy ）-(6xy 2)÷（3xy ）=3x -2y(4)(3x 2y-xy 2+21xy )÷(-21xy ) =(3x 2y)÷(-21xy )-(xy 2)÷(-21xy )+(21xy )÷(-21xy )= -6x +2y -1 巩固训练：大家法则掌握的很好，我希望我们小组内的每一个成员都能做的更好，现在我们有几道小题检验大家的掌握情况，我希望大家能独立完成：1．想一想，下列计算正确吗？(1)（3x 2y -6xy ）÷(-6xyx ( )(2)(5a 3b -10a 2b 2-15ab 3) ÷(-5ab )=a 2+2ab +3b 2 ( )(3)(2x 2y -4xy 2+6y 3) ÷( -21y )= -x 2+2xy -3y 2 ( ) 2. 计算（课本31页随堂练习）(1)（3xy +y ）÷y (2)(ma +mb +mc ) ÷m(3)(6c 2d -c 3d 3) ÷(-2c 2d ) (4)(4x 2y +3xy 2) ÷(7xy )处理方式：学生独立思考，再开展小组交流，在练习本上计算,第1题由学生口答，并能说出题目错误的原因，其中常见的错误教师应在点评中给学生指出，避免以后出现类似的错误. 如易错点：1．(1)中丢项，被除式有二项，商式只有一项，丢了最后一项1；正确答案为：x +1；因此，计算不可丢项，分清“约掉”与“消掉”的区别：“约掉”对乘除而言，不减项；“消掉”对加减法而言，减项．1．(2)中是符号上错误，两数相除的符号是“同号得正，异号得负”，商式第一项的符号为“-” 正确答案为：-a 2+2ab +3b 2；1．(3)中是系数上的错误，当除数是分数时，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此，正确答案为： -4x 2+8xy -12y 2第2题由做的好的小组找4名学生演板，其他学生在练习本上完成．做完后小组之间开展互评，正误怎样？教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助投影仪展示学生出现的问题进行矫正．第1题教师和学生共同矫正，第2题找同学纠正，并板演正确过程．对于第3、4题教师请男女两个同学比赛进行演板，师给与评价.解：(1)（3xy +y ）÷y = 3xy ÷y + y ÷y =3x +1(2)(ma +mb +mc ) ÷m = ma ÷m +mb ÷m +mc ÷m = a +b +c(3)(6c 2d -c 3d 3)÷(-2c 2d ) = 6c 2d ÷(-2c 2d ) -c 3d 3÷(-2c 2d ) = -3+21cd 2 (4)(4x 2y +3xy 2) ÷(7xy ) = 4x 2y ÷(7xy )+3xy 2÷(7xy ) =74x +73y 【设计意图】：(1)通过学习例2和巩固训练第2题，主要巩固多项式除以单项式法则，提高学生的计算能力，进一步熟悉法则.(2)通过做巩固训练第1题判断并能说出题目错误的原因，让学生知道易错点，避免以后出现类似的错误， 强化本节课的重点，突破难点．四﹒学以致用，巩固提高活动内容：多项式除以单项式的法则的应用师：大家刚才的表现很好，我们刚才计算是很基础的，现在我们再看上课前那道题目，你会了吗？看哪个小组完成的最快、正确.1. X 大爷家有一块长方形的田地，它的面积是6a 2+2a ,宽为2a ，聪明的你能帮X 大爷求出田地的长吗？处理方式：小组交流后在练习本上写出过程，表现最好的小组展示过程，并说出理由.解： (6a 2+2a )÷(2a)=6a 2÷(2a)+2a ÷(2a)=3a+1所以长方形的长为（3a+1）.巩固训练：1.小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v ，所用时间为t 1；第二阶段的平均速度为21v ，所用时间为t 2.下山时，小明的平均速度保持为4 v ．已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，问小明下山用了多长时间？处理方式：学生读题，此题是行程问题，速度路程时间 ，根据公式，上山路程=下山路程= vt 1+21v t 2，然后求下山的时间=（vt 1+21v t 2）÷(4v )= vt 1 ÷( 4v )+ 21v t 2÷( 4v )=41t 1+81t 2= 8212t t +，最后由小组交流后在练习本上写出过程，表现最好的小组展示过程. 【设计意图】：通过完成两题，进一步巩固落实多项式除以单项式运算法则，只有熟练掌握同底数幂的除法与单项式除法，才能正确的进行多项式除以单项式的运算.同时，情景问题的处理，一方面解决学生上课初始的疑问，另一方面，利用多项式除以单项式解决生活中的应用问题，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.五﹒回顾反思，提炼升华这节课我们都学习了哪些内容?学生畅谈自己的收获！多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.2.多项式除以单项式的运算思路是什么?先将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；然后又转化为同底数幂相除.3.计算时需注意：（1）不要漏项，（2）注意符号，（3）注意运算顺序，（4）用互逆运算进行检查.【设计意图】：师生交流、归纳小结的目的是让学生表述自己的收获，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，明确学习的方向.六﹒达标检测，反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成达标检测题．（同时多媒体出示）A 组：1、填空:(1) (35a 3+28a 2+7a )÷(7a )= ；(2) 若kab a +23除以a 等于b a 43+，则k =.2、选择：〔(a 2)4+a 3a -(ab )2〕÷a = （ ) A .a 9+a 5-a 3b 2B .a 7+a 3-ab 2C .a 9+a 4-a 2b 2D .a 9+a 2-a 2b 23、计算:(1)(3x 3y -18x 2y 2+x 2y )÷(-6x 2y )； (2)〔(xy +2)(xy -2)-2x 2y 2+4〕÷(xy ). B 组：1.已知一个三角形的面积是（4a 3b -6a 2b 2+12ab 3）,一边长为4ab ,求该边上的高.处理方式：在练习本上自主完成，教师认真巡查.对于必做题学生完成后教师出示答案，学生互换批改，指导学生校对，并统计学生答题情况，学生根据答案进行纠错．附答案：A 组：1.（1）5a 2+4a +1 （2）4 2.B B 组：1.2a 2-3ab+6b 2 【设计意图】：要求学生在5分钟内完成，规定时间和内容，可以了解学生对本节课所学习内容的掌握情况，及时发现个别学生存在的不足，以便督促学生及时纠正错误，端正学习态度，提高数学公式的应用能力.促进对学习及时进行反思，为教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教提供重要依据.七﹒布置作业，巩固提高A 组：课本31页 习题4知识技能1和本节助学内容.B 组：（选做题）已知一个多项式除以-2a ，小雪误当成了乘法计算，结果得到4a 3-12a 2，则正确的结果应该是多少？【设计意图】：落实本节课所学习的知识内容，提高学生的计算能力和利用数学知识解决问题的能力.结束语：数学与我们的生活有着密切的联系，希望同学们能留心身边的数学问题，做生活的有心人.这节课上，很多同学都展示了自己在数学方面的才华，我相信，明日的陈景润、华罗庚就会在我们班诞生，同学们努力吧！八﹒板书设计()()xy y x --+-2613211:3。
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
THANK YOU
感谢聆听
练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
整式的除法说课稿
《整式除法1》说课稿永康中学吴平我的说课内容是北师大版七年级数学下册第一章第7节整式除法部分的内容，下面我就教材、教法与学法指导、教学设计和教学反思等几个方面来向大家介绍一下我对本节课的理解与设计。
一、说教材1、教材的地位与作用整式的除法包括单项式除以单项式和多项式除以单项式，是在学生学习了整式的加减、同底数幂的除法、整式的乘法基础上，对整式的除法运算进行探索和研究的一个重要课题，是学生完整、全面掌握整式运算的必备环节。
不论是在知识的衔接上，还是在学习方法与能力的迁移上，本节课的教学都起重要的奠基作用。
2、教学目标【知识目标】①理解和掌握单项式的除法法则；②会运用法则正确、熟练地进行整式除法的运算；【能力目标】①经历探索整式除法运算法则的过程，增强学生的学习体验；②通过法则的总结，培养和发展学生有条理的思考及表达能力；【情感目标】①激发学生的求知欲，培养学生积极思考的学习习惯；②关注学生的学习体验和认知程度，让学生感知并享受自己的成功，增强学习兴趣和自信心。
3、教学重、难点①重点：单项式的除法法则。
②难点：单项式的除法法则的熟练运用。
（在计算过程中，既要对系数进行计算，又要对相同字母进行指数计算，同时对只在一个单项式中出现的幂加以注意。
这对于刚接触整式除法的初一学生来讲，难免会出现计算错误或漏算等照看不全的情况。
）二、说教法设计数学教学是数学活动的教学，是师生交流、互动、共同发展的过程。
学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者和合作者。
本节课的教学，我选择师生互动式的教学方式，从学生的学习经验和已有的知识背景、思维方式出发，向他们提供充实的数学活动，通过自主探索、观察类比、合作交流、总结概括等教学活动，使学生获得深刻的体验和经验，深化学生的认知程度，真正理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，逐步提高熟练程度，夯实基础知识，提高运算能力。
针对本节课的内容特点和初一学生的思维特征，本节课的总体教法设计思路为：1、注重引导，激发思维，加深体验；2、师生共同概括总结，形成认知；3、加强针对性练习，巩固和强化认知；三、说教学设计：本节课设计了八个教学环节：：复习回顾、情境引入、探究新知、对比学习、例题讲解、课堂练习、知识小结、布置作业.1、复习回顾同底数幂的除法是学习整式除法的理论基础，只有熟练掌握同底数幂的除法，才能更好的进行整式除法的学习.此外，复习单项式乘以单项式法则，是为了对比学习单项式除以单项式法则，比较其相似与不同，并能将前后知识融为一体，使之形成一定的知识体系.2、情境引入本题在介绍生活常识的同时，提出一个极具趣味性的问题，学生可能通过以前学习的知识得到答案，但并不能利用新知识解决问题，从而激发学生强烈的求知欲和好奇心，引入新课的学习.从中也使学生进一步体会，数学来源于生活并作用于生活.3、探究新知通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；并在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力.4、对比学习：通过对比学习的方式比较单项式乘以单项式法则与单项式除以单项法则，观察其相似与不同，便于学生更好地掌握整式除法运算，并将本章的前后知识有机的联系起来，使之形成一个完整的知识框架。
整式的除法(一)教案
1.9 整式的除法
教学目标：
一、知识与技能：
１、历经探索整式的过程，掌握简单的整式除法运算。
２、理解并掌握整式除法的运算法则。
二、过程与方法
发展学生观察、归纳、猜测、验证的能力。
三、情感与态度
运算法则可由分数“约分”类比可得到。
也可这样进行：∵（－２）（＋３）＝（－６），∴（－６）÷（＋３）＝－２，∵x2(x3y)=x5y, ∴x5y÷x2=x3y。
除法运算仅是一个
载体，通过对它的掌握，培养学生解决问题的能力，从而也体现“数学是人人都可以学会的”，“数学好玩”，培养学生学习数学的兴趣。
重点与难点：
重点：
理解并正确应用整式除法运算法则。
难点：
正确并熟练地应用法则。
课前准备：
投影仪、幻灯片
教学设计：。
初中数学整式的除法(含答案)
1.3 整式的除法◆赛点归纳整式的除法包括单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式．多项式恒等定理：（1）多项式f（x）=g（x），•需且只需这两个多项式的同类项的系数相等；（2）若f（x）=g（x），则对于任意一个值a，都有f（a）=g（a）．余数定理：多项式f（x）除以x－a所得的余数等于f（a）．特别地，当f（x）•能被x－a整除时，有f（a）=0．◆解题指导例1设a、b为整数，观察下列命题：①若3a+5b为偶数，则7a－9b也为偶数；②若a2+b2能被3整除，则a和b也能被3整除；③若a+b是质数，则a－b不是质数；④若a3－b3是4的倍数，则a－b也是4的倍数．其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个以上【思路探究】对于①看7a－9b与3a+5b的和或差是不是偶数．对于②根据整数n的平方数的特征去判断．对于③、④若不能直接推导是否成立，也可举出反例证明不成立．例2 若2x3－kx2+3被2x+1除后余2，则k的值为（）．A．k=5 B．k=－5 C．k=3 D．k=－3【思路探究】要求k的值，须找到关于k的方程．由2x3－kx2+3被2x+1除后余2，可知2x3－kx2+1能被2x+1整除，由此就可得关于k的一次方程．例3计算：（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）．【思路探究】被除式是一个6次六项式，除式是一个4次四项式，直接计算比较复杂，应列竖式计算．例4若多项式x4－x3+ax2+bx+c能被（x－1）3整除，求a、b、c的值．【思路探究】由条件知x4－x3+ax2+bx+c能被x3－3x2+3x－1整除，列竖式可知x4－x3+ax2+bx+c的商式和余式．根据一个多项式被另一个多项式整除，余式恒为零可求a、•b、c的值．【拓展题】设x1，x2，…，x7都是整数，并且x1+4x2+9x3+16x4+25x5+36x6+49x7=1，①4x1+9x2+16x3+25x4+35x5+49x6+64x7=12，②9x1+16x2+25x3+36x4+49x5+64x6+81x7=123，③求16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7的值．◆探索研讨整式除法的综合运用大多与多项式除以多项式相关．多项式除法运算实际上是它们的系数运算．在进行多项式乘除法恒等变形时，它们对应项系数是相等的，由此列方程可求解待定系数．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．下列四个数中，对于任一个正整数k，哪个数一定不是完全平方数（）．A．16k B．16k+8 C．4k+1 D．32k+42．要使3x3+mx2+nx+42能被x2－5x+6整除，则m、n应取的值是（）．A．m=8，n=17 B．m=－8，n=17C．m=8，n=－17 D．m=－8，n=－173．（2001，武汉市竞赛）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）．A．7 B．8 C．15 D．214．对任意有理数x，若x3+ax2+bx+c都能被x2－bx+x整除，则a－b+c的值是（）．A．1 B．0 C．－1 D．－25．满足方程x3+6x2+5x=27y3+9y2+9y+1的正整数对（x，y）有（）．A．0对B．1对C．3对D．无穷多对6．（2003，四川省竞赛）若（3x+1）4=ax4+bx3+cx2+dx+e，则a－b+c－d+e=________．7．（2004，北京市竞赛）用正整数a去除63，91，129所得的3个余数的和是25，则a 的值为________．8．已知多项式3x3+ax2+bx+1能被x2+1整除，且商式是3x+1，那么（－a）b的值是_____．9．若多项式x4+mx3+nx－16含有因式（x－1）和（x－2），则mn=________．10．多项式x135+x125－x115+x5+1除以多项式x3－x所得的余式是_______．11．计算：（1）（6x5－7x4y+x3y2+20x2y3－22xy4+8y5）÷（2x2－3xy+y2）；（2）（41m－m3+15m4－70－m2）÷（3m2－2m+7）．12．已知a、b、c为有理数，且多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x－4整除．（1）求4a+c的值；（2）求2a－2b－c的值；（3）若a、b、c为整数，且c≥a>1，试确定a、b、c的大小．13．（2000，“五羊杯”，初二）已知x6+4x5+2x4－6x3－3x2+2x+1=[f（x）] 2，其中f（x）是x的多项式，求这个多项式．14．已知一个矩形的长、宽分别为正整数a、b，其面积的数值等于它的周长数值的2倍，求a+b的值．15．（2004，北京市竞赛）能将任意8个连续的正整数分为两组，使得每组4•个数的平方和相等吗？如果能，请给出一种分组法，并加以验证；如果不能，请说明理由．答案:解题指导例1 C [提示：命题①成立．因为（7a－9b）－（3a+5b）=2（2a－7b）是偶数；命题②也成立．因为整数n的平方被3除余数只能为0或1，3整除a2+b2，表明a2、b2被3除的余数都是0，所以a和b都能被3整除；命题③不成立．如5+2=7和5－2=3都是质数；命题④也不成立．例如a=2，b=0．]例2 C [提示：∵2x3－kx2+3被2x+1除后余2，∴2x3－kx2+1能被2x+1整除．令2x+1=0，得x=－12．代入2x3－kx2+1=0，得2×（－12）3－k（－12）2+1=0，即－14－14k+1=0，解得k=3．]例3（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）=3x2－2x+1……x+5．例4 x4－x3+ax2+bx+c=（x3－3x2+3x－1）（x+2）+（a+3）x2+（b－5）x+（c+2）．由余式恒等于0，得a+3=0，b－5=0，c+2=0．∴a=－3，b=5，c=－2．【拓展题】设四个连续自然数的平方为：n2、（n+1）2、（n+2）2、（n+3）2，则（n+3）2=a（n+2）2+b（n+1）2+cn2．整理得n2+6n+9=（a+b+c）n2+（4a+2b）n+4a+b．∴a+b+c=1，4a+2b=6，4a+b=9．解得a=3，b=－3，c=1，∴16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7=③×3－②×3+①=123×3－12×3+1=334．能力训练1．B [提示：16k+8=8（2k+1）．因2k+1是奇数，8•乘以一个奇数一定不是完全平方数．] 2．D [提示：∵3x3+mx2+nx+42=（x2－5x+6）（3x+7）+（m+8）x2+（n+17）x．∴80,8,170,17.m mn n+==-⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得．]3．D [提示：∵（x+1）（x+2）=x2+3x+2，∴x3+ax2+bx+8=（x2+3x+2）（x+4）+（a－7）x2+（b－14）x．∴70,7,140,14.a ab b-==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩∴a+b=21．]4．A [提示：∵x3+ax2+bx+c=（x2－bx+c）（x+1）+（a+b－1）x2+（2b－c）x，∴10,(1)20.(2)a bb c+-=⎧⎨-=⎩（1）－（2），得a－b+c=1．]5．A [提示：原方程可变形为x（x+1）（x+5）=3（9y3+3y2+3y）+1．①如果有正整数x、y使①成立，那么由于x，x+1，x+5=（x+2）+3这3个数除以3所得余数互不相同，所以其中必有一个被3整除，即①的左边被3整除，而①的右边不被3整除，这就产生矛盾．所以原方程没有正整数解．]6．16 [提示：令x=－1，得a－b+c－d+e=16．]7．43 [提示：由题意，有63=a×k1+r1，91=a×k2+r2，129=a×k3+r3．（0≤r1、r2、r3<a）相加得63+91+129=a（k1+k2+k3）+（r1+r2+r3）=a（k1+k2+k3）+25．故258被a整除．由于258=2×3×43，a大于余数，且3个余数的得25，所以a>8．•又a不超过63、91、129中的最小者63，故258的因数中符合要求的只有a=43．]8．－1 [提示：∵（x2+1）（3x+1）=3x3+x2+3x+1，∴3x3+ax2+bx+1=3x3+x2+3x+1．∴a=1，b=3，即（－a）b=（－1）3=－1．]9．－100 [提示：∵（x－1）（x－2）=x2－3x+2，x4+mx3+nx－16=（x2－3x+2）[x2+（m+3）x－8]+（3m+15）x2+（n－2m－30）x，∴3150,5,2300,20.m mn m n+==-⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩解得∴mn=－100．]10．2x+1 [提示：设x135+x125－x115+x5+1=（x3－x）f（x）+ax2+bx+c，其中f（x）为商式．取x=0，得c=1；取x=1，得a+b+c=3．取x=－1，得a－b+c=－1．解得a=0，b=2，c=1．故所求余式为2x+1．]11．（1）商式为3x3+x2y+12xy2+34133,44y余式为xy4－94y5．（2）商式为5m2+3m－10，余式为0．12．（1）∵（x－1）（x+4）=x2+3x－4，令x－1=0，得x=1；令x+4=0，得x=－4．当x=1时，得1+a+b+c=0；①当x=－4时，得－64+16a－4b+c=0．②②－①，得15a－5b=65，即3a－b=13．③①+③，得4a+c=12．（2）③－①，得2a－2b－c=14．（3）∵c≥a>1，4a+c=12，a、b、c为整数，∴a≥2，c≥2，则a=2，c=4，又a+b+c=－1，∴b=－7．13．设f（x）=±（x3+Ax2+Bx+1）或±（x3+Ax2+Bx－1）．先设f（x）=x3+Ax2+Bx+1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB+2）x3+（2A+B2）x2+2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB+2=－6，2A+B2=－3，2B=2，无解．再设f（x）=x3+Ax2+Bx－1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB－2）x3+（B2－2A）x2－2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB－2=－6，B2－2A=－3，－2B=2．解得A=2，B=－1．故所求的多项式为±（x3+2x2－x－1）．14．由题意得ab=2（2a+2b）．∴ab－4a=4b，∴a=416444bb b=+--．∵a、b均为正整数，且a>b．∴（b－4）一定是16的正约数．当（b－4）分别取1、2、4、8、16时，代入上式，得b－4=1时，b=5，a=20；b－4=2时，b=6，a=12；b－4=4时，b=8，a=8（舍去）；b－4=8时，b=12，a=6（舍去）；b－4=16时，b=20，a=5（舍去）．∴只有a=20，b=5或a=12，b=6符合题意，把a+b=25或18．15．能设任意8个连续的正整数为a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7．将其分为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}即满足要求．验证如下：先将任意8个连续的正整数按如下分为等和的两组，满足a+（a+1）+（a+6）+（a+7）=（a+2）+（a+3）+（a+4）+（a+5）则[（a）+（a+1）]·[（a+6）+（a+7）]·1=[（a+2）+（a+3）]·1+[（a+4）+（a+5）]·1 即[（a）+（a+1）][（a+1）－（a）]+[（a+6）+（a+7）][（a+7）－（a+6）]=[（a+2）+（a+3）][（a+3）－（a+2）]+[（a+4）+（a+5）]·[（a+5）－（a+4）]．故（a+1）2－a2+（a+7）2－（a+6）2=（a+3）2－（a+2）2+（a+5）2－（a+4）2．也就是（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．于是，分任意8个连续的正整数为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}．则满足（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．。
1.7整式的除法(第1课时)教学课件北师大版中学数学七年级(下)
(3)
3a 2 b 1 a 2 bc a 4b2 c, 3
a 4 b2 c 3a 2 b 1 a 2 bc 3
知识讲授
方法二：利用类似分数约分的方法
(1)x5y÷x2=
x5 y x2
x3 y;
(2)8m2n2÷2m2n=
8m2n2 2m2n
4n;
(3)a4b2c÷3a2b=
a 4b 2c 3a 2b
知识讲授
例2 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值． 解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2， ∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2， ∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2， 解得a＝36，m＝2，n＝5.
随堂训练
1.填空: ⑴ (60x3y5) ÷(−12xy3) =−5x2y2 ;
(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.
随堂训练
能力挑战:
解：32x-y=32x÷3y =(3x)2÷3y
课堂小结
1. 单项式与单项式相除的法则 单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的 因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数 一起作为商的因式。
(2) (8x6y4z) ÷( −2x4y2z ) =−4x2y2 ;
(3) (
)÷(2x3y3 ) =
(4);若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 ,
则 a =12 , m = 3,n = 2 ;
随堂训练
2.计算12a5b4c4÷(－3a2b2c)÷2a3b2c3，其结果正确的
是( A )
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除后， 作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数一起作为商的一个因式.
七年级数学下册《整式的除法》常见题型(含答案)
整式的除法整式的除法是每年中考的必考内容，整式的除法主要包括单项式除以单项式、多项式除以单项式，本文就其常见题型归纳如下，供同学们学习时参考。
一、单项式除以单项式运算法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例1 计算：35)()(x y y x -÷-分析 对于本题我们可以将底数多项式看作整体，先将底数调整为相同的，进行同底数幂的除法（同底数幂的除法可看作单项式相除中最简单的形式），并将结果化到最后.解：35)()(x y y x -÷-35)()(x y x y -÷--=2)(x y --=)2(22x xy y +--=222x xy y -+-=评注 在计算幂的乘除法中，遇到底数不相同时，可先转化成同底数幂然后进行计算.例2 计算：)41()52(243ab c b a -÷- 分析 单项式除以单项式将系数、同底数的幂分别结合成一组相除，单独在被除式中出现的字母作为商的一个因式.c b a 2413)41(52:--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷-=原式解 .5822c b a = 评注 单项式除以单项式，解题的依据是单项式除法法则，计算时，要弄清两个单项式的系数，哪些是同底数幂，哪些是只在被除式里出现的字母，此外还要特别注意系数的符号。
二、多项式除以单项式运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式中的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.例3 计算： 236274319132）（）（ab b a b a -÷-。
分析 这是多项式除以单项式的运算，在运算中要把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，再根据单项式除以单项式的法则进行计算.解：原式。
）（1691919132919132262626274626274-=÷-÷=÷-=b a b a b a b a b a b a b a b a 评注 在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式中的项数相同，另外要明确除式与被除式中各项的符号，相除时要带着符号进行。
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