(完整版)《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
九章算术的方程(3篇)
第1篇一、方程概述方程是数学中的一种基本概念，指的是含有未知数的等式。
在《九章算术》中，方程问题主要涉及线性方程组、非线性方程以及方程的解法等。
本文所构造的方程将基于《九章算术》中的线性方程组问题。
二、方程构造设有一道实际问题，某商店在销售A、B两种商品。
已知A商品每件售价100元，B 商品每件售价200元。
商店希望销售A、B两种商品各100件，以实现总销售额的最大化。
同时，由于库存限制，A商品最多只能销售50件，B商品最多只能销售30件。
设A商品销售量为x件，B商品销售量为y件，则有以下方程：（1）总销售额：100x + 200y = 总销售额（2）A商品销售量限制：x ≤ 50（3）B商品销售量限制：y ≤ 30由于题目中未给出总销售额的具体要求，因此我们假设总销售额为5000元。
代入方程（1）中，得到：100x + 200y = 5000整理后得到：x + 2y = 50三、方程解析（1）首先，我们需要确定方程的解集。
由于A商品和B商品的销售量都必须是非负整数，因此我们可以将方程的解集表示为：{(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 50, y ≤ 30}（2）接下来，我们需要在解集中找到满足条件的解。
由于方程中只包含一个未知数，我们可以通过枚举的方法来找到满足条件的解。
首先，我们可以将方程（4）中的x用y表示：x = 50 - 2y将x的表达式代入解集的条件中，得到：0 ≤ 50 - 2y ≤ 500 ≤ y ≤ 25因此，y的取值范围为0到25。
接下来，我们可以依次计算每个y值对应的x值，然后判断是否满足A商品和B商品的销售量限制。
当y = 0时，x = 50，满足条件。
当y = 1时，x = 48，满足条件。
...当y = 25时，x = 0，满足条件。
因此，方程的解集为{(50, 0), (48, 1), ..., (0, 25)}。
（3）最后，我们需要确定总销售额最大化的解。
九章算术--新九章数学教育
原作有插图，今传本已只剩下正文了。《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章、它们的主要内容分别是：第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。
《九章算术》中的方程-
《九章算术》﹝约公元50-100年﹞《九章算术》的成书年代各说不一，约在公元50至100年间，书中系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国古代数学著作中影响最大的一部。
下面介绍书中各章的内容。
第一章，「方田」：平面图形面积的量法及算法，如矩形、三角形、圆、弧形、环形等田地的求积公式，及分数算法，包括分数的加、减、乘、除运算，约分﹝将分母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。
第二章，「粟米」：各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。
第三章，「衰分」：比例分配问题。
第四章，「少广」：多位数开平方，开立方的法则。
第五章，「商功」：立体形体积的计算。
第六章，「均输」：处理行程和合理解决征税的问题。
还有一些与按人口征税有关的问题。
其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。
第七章，「盈不足」：算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等。
第八章，「方程」：有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。
将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」，这是《九章算术》中解多次方程组的方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。
在本章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。
第九章，「勾股」：专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。
《九章算术》的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立，它有以下的一些特点：1.是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式；2.以算法为主要内容，全书以问、答、术构成，"术"是主要需阐述的内容；3.以算筹为工具。
《九章算术》取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。
《九章算术》的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。
九章算术
九章算术《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。
这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示。
原作有插图，今传本已只剩下正文了。
《九章算术》的作者不详。
很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。
由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和几何三部分。
一、算术部分1．分数《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等。
其步骤与方法大体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。
加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。
“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分子小于分母时便以分数形式保留。
其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则，但算法也很清楚。
2．最大公约数与最小公倍数《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。
求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
九章算术
九章算术九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。
魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。
苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。
根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。
最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。
《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。
《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。
再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。
九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。
1984年，在湖北出土了《算数书》书简。
据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。
有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。
后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。
其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。
刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。
唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。
到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。
在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。
清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。
此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。
九章算术方程组
九章算术方程组今天咱们来唠唠九章算术里超有趣的方程组。
九章算术可是咱中国古代数学的一部超级厉害的著作呢。
这里面的方程组啊，就像是一个个神秘的宝藏。
在古代，人们的生活里到处都有和方程组相关的事儿。
比如说啊，有个小商贩去市场卖东西。
他卖鸡和兔子，鸡有两条腿，兔子有四条腿。
他知道鸡和兔子的总数，也知道它们腿的总数，那怎么算出鸡和兔子各有多少只呢？这就可以用九章算术里的方程组思想啦。
这就好比是一场小侦探破案的游戏，通过给出的这些线索，也就是条件，去找出答案。
方程组在九章算术里有好多类型哦。
有的是两个方程组成的简单方程组，就像两个小伙伴手拉手。
还有的是好几个方程组成的大方程组，那就像是一群小伙伴凑在一起开大会。
这些方程组的解法也很奇妙。
古代的数学家们可聪明啦，他们有一种叫“直除法”的方法。
这名字听起来是不是有点酷？其实啊，就像是给方程做减法运算。
比如说有两个方程，一个方程里x的系数比较大，另一个方程里x的系数比较小，那就通过乘上一定的数，让两个方程里x的系数变得一样，然后一减，就可以把x给消掉，先求出y的值啦。
这就像是在一个迷宫里，找到了一条巧妙的出路。
而且哦，九章算术里的方程组还能解决很多实际的工程问题呢。
比如说盖房子，要计算各种材料的用量。
知道了房子的面积，知道了不同材料之间的比例关系，就可以列出方程组来算出每种材料到底需要多少。
这就像是一个魔法，能把那些看似复杂的实际问题变得有条有理。
九章算术的方程组对后来的数学发展影响可大啦。
就像一颗种子，慢慢发芽长大，影响了一代又一代的数学家。
咱们现在学的代数知识，很多都是从古代这些智慧里慢慢演变来的。
咱们再说说方程组里的未知数吧。
在九章算术里，虽然没有像咱们现在用x、y、z这样的字母来表示未知数，但是人家有自己的一套表示方法哦。
通过文字的描述，把那些需要求解的量清楚地表达出来，然后再去寻找它们之间的关系。
想象一下古代的数学家们，在没有咱们现在这么好的计算工具的情况下，靠着他们的聪明才智，在草纸上写写画画，研究这些方程组。
《九章算术》方程术与初等变换之实例详解
《九章算术》方程术与初等变换之实例详解
《九章算术》方程术与初等变换之实例详解
◎姚秀凤
【摘要】【摘要】本文主要是以《九章算术》中一题目作为实例，详尽解析《九章算术》中方程术的解法，并与现今矩阵的初等变换做对比.《九章算术》中所谓“方程”专指多元一次方程组，解法是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”，运用直除法进行消元，这个过程与现今《线性代数》中矩阵的初等变换一致.从中感受我国古代科技之进步.
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2019(000)019
【总页数】1
【关键词】【关键词】《九章算术》；方程术；初等变换
矩阵初等变换是求解线性方程组的重要方法，今天广泛应用的线性方程组的解法是十七世纪由莱布尼茨提出的.而实际上，在我国公元前的汉代，张苍等整理校订的《九章算术》一书，即提出了线性方程组的概念，并系统的总结了线性方程组的求解算法.这一科学论述远远早于欧洲.在这本《九章算术》中，第八卷方程术主要讲述了由线性方程组的系数排列而成的长方阵的问题，使用的直除法与现在矩阵的初等变换一致.下面以其中一道题目为例，对比两种解法.一、《九章算术》题目原文
问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何？
答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，。
多元一次方程组求解算法
x1 ，得
2 x1 + 8 x2 + 2 x3 = 14 2 x2 − 2 x3 = 6 − 9 x2 = −9
再用第二个方程消去第三个方程中的
x 2 ，得
2 x1 + 8 x2 + 2 x3 = 14 2 x2 − 2 x3 = 6 − 9 x3 = 18
最后，经过回代求得方程组的解为
从消元过程可以看出，对于 n 阶线性方程组，只要各步主元素不为零，即 a kk ≠ 0 ，经过 n − 1 步消 元，就可以得到一个等价的系数矩阵为上三角形阵的方程组，然后再利用回代过程可求得原方程组的解.因此,
三 高斯消元法的条 高斯消元法的条件与运算量
18 = −2 −9 6 + 2 x3 x2 = =1 2 14 − 8 x2 − 2 x3 x1 = =5 2 x3 =
( k −1 )
/yxsz/jsjx11/zxjx/ljf/three.htm
2010-11-10
第三章 线性方程组的数值方法
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有下面结论. 定理1 定理1 如果在消元过程中 A 的主元素不为零，即 a( ) ≠ 0 (k=1,2,…,n),则可通过高斯消元法求出 Ax = b 的解. 矩阵 A 在什么条件下才能保证 a( ) ≠ 0 ,下面的定理给出了这一条件. 引理 在高斯消元过程中系数矩阵 A 的主元素不为零，即 a( ) ≠ 0 (k=1,2,…，n)的充要条件是矩阵 A 的各阶顺序主子式不为零，即
k −1 kk
且
(0) a11 A→
(0) a12 L (1) a22 L
a1(n0−)1 (1) a2 n −1 M
九章算术方程题目解析
九章算术方程题目解析
在九章算术中，方程题目是数学中的重要部分。
方程题目要求我们找到一个或
多个未知数的值，使得方程两边相等。
下面将对九章算术中一些常见的方程题目进行解析。
1. 一元一次方程
一元一次方程是形如ax + b = c的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解
这类方程可以采用平衡法，移项得到x = (c - b) / a。
注意，当a等于0时，方程没
有解或有无数解。
2. 一元二次方程
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解这类方程可以利用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
注意，当判别式(b^2 - 4ac)小于0时，方程无解。
3. 分式方程
分式方程是含有分式的方程。
解这类方程的关键是化简分式，将分母消去或通分，使得方程化为整式方程。
然后按照一元一次方程或一元二次方程的方法解。
4. 线性方程组
线性方程组是包含多个方程的方程组，每个方程中包含相同的未知数。
解线性
方程组可以通过消元法、代入法或矩阵法等方法。
目标是找到使得所有方程都成立的未知数的值。
总结来说，九章算术中的方程题目可分为一元一次方程、一元二次方程、分式
方程和线性方程组。
解这些方程题目的关键是灵活应用解方程的方法，将问题转化为求解未知数的表达式。
掌握这些解题方法有助于我们更好地理解和应用数学知识。
九章算术——精选推荐
九章算术九章算术《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元⼀世纪前后，《九章算术》的内容⼗分丰富，全书采⽤问题集的形式，收有246个与⽣产、⽣活实践有联系的应⽤问题，其中每道题有问(题⽬)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是⼀题⼀术，有的是多题⼀术或⼀题多术。
这些问题依照性质和解法分别⾪属于⽅⽥、粟⽶、衰分、少⼴、商功、均输、盈不⾜、⽅程及勾股九章如下表所⽰。
原作有插图，今传本已只剩下正⽂了。
《九章算术》的作者不详。
很可能是在成书前⼀段历史时期内通过多⼈之⼿逐次整理、修改、补充⽽成的集体创作结晶。
由于⼆千年来经过辗转⼿抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》⽂字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和⼏何三部分。
⼀、算术部分1．分数《九章算术》中有⽐较完整的分数计算⽅法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内⼦，“内”读为纳)等等。
其步骤与⽅法⼤体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进⾏加减。
加法的步骤是“母互乘⼦，并以为实，母相乘为法，实如法⽽⼀”这⾥“实”是分⼦。
“法”是分母，“实如法⽽⼀”也就是⽤法去除实，进⾏除法运算，《九章算术》还注意到两点：其⼀是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分⼦⼩于分母时便以分数形式保留。
其⼆是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进⾏加减，运算时不必通分，使分⼦直接加减即可。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，⼦相乘为实，实如法⽽⼀”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出⼀般法则，但算法也很清楚。
2．最⼤公约数与最⼩公倍数《九章算术》中还有求最⼤公约数和约分的⽅法。
求最⼤公约数的⽅法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母⼦之数，以少减多，更相减损，求其等也。
《九章算术》中的三元一次方程组问题
—
答：甲禾每把重量是旦 石
，
，
２３
１ ２ ２
随 从 每 人
乙 禾 每 把 重 量 是 石 ，丙 禾 每 把
２ ３
吃 鸡
只．
ｌＺＺ
重量 是 石 ．
２ ３
三元
竺
本 刊声 明
茎
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ｙ
＝
ｌ ｌ
一 儿一
石
、Ｊ
石
、）
甲禾２ 把 的重量等 于乙禾 １ 把 的重 量 ，乙禾３ 把 的重量 等于丙 禾１ 把
的 重量 ，丙 禾 ４ 把 的 重量 等 于 甲禾
县令 １ ０ 人 ，官员１ 人 ，随从 ５ 人共 吃了８ 只鸡 ；县令５ 人 ，官 员１ ０ 人， 随从１ 人共吃了６ 只鸡 ． 问县令 、官 员和随从每人各吃了多少鸡．
１ ２ ２
பைடு நூலகம்
照各 畜吃 苗 的比例 来 计 算赔 偿 ， 试问三畜 户主各赔偿粮食多少． 答 案 ：牛 主 出粮 二斗八 升七
分 升 之 四 ．马 主 出 粮 一 斗 四 升 七 分 升 之 二 ，羊 主 出 粮 七 升 七 分 升 之 一
《九章算术》中的三元一次方程组问题
江
苏
实 皆不满 斗 ． 上取中， 中取 下 ， 下 取上 各 一 秉而 实
满 斗． 问上、 中、 下禾 实一 秉各几 何 ． ［ 译 文］ 今有 上 、 中、 下三 种 稻禾 各 捆 成把 ． 上 等 稻 禾２ 把， 中 等稻 禾 ３ 把， 下 等 稻禾 ４ 把， 收得 的
于
：
， ｌ ：
｛ ３ ｘ 一 ９ ｙ ＋ ３ ｚ ＝ Ｏ ，
答： 一头 牛价 ｌ
② 解之得｛ ３ ￣ ＝ ５ ０ ０ ，
Ｉ ｊ ， ＝ ３ ０ ０ ．
， 一 只 羊价５ ０ ｏ 钱， 一 头猪价 ３ ０ ｏ 钱．
Ｉ 一 ５ ｘ ＋ ６ ｙ ＋ ＆ ＝ 一 ６ ０ ０ ． ③
题３ 今有 武 马 一匹 ， 中马 二 匹 ， 下马三匹， 皆载 四十石 至 阪， 皆不 能
上． 武马借 中 马一匹 ， 中马 皆下 马 一匹 ， 下 马借武 马一 匹 ， 乃 皆上 ． 问武 、 中、 下 马一 匹各 力 引几何 ．
［ 译 文］ 今有 １ 匹强 马 ， ２ 匹中马， ３ 匹弱马， 各 负 载４ ０ 石 的重 量 上 坡 ， 都
拉不上 去 ． 但若ｌ 匹 强马 添上 １ 匹中马， 或 者２ 匹 中马添 上 １ 匹弱 马 ， 或 者３ 匹
一
，
乙三 重如丙 一 ， 丙 四重 如 甲一． 问甲、 乙、 丙禾 一秉各 重几 何．
［ 译文］ 今有 甲、 乙、 丙种禾各捆成把， 甲禾２ 把、 乙禾３ 把、 丙禾４ 把， 共
重量 都超 过 １ 石． 已知 甲禾２ 把 的重量 比乙禾 １ 把 的重量 重 １ 石 ，乙禾 ３ 把 的
重量 比丙 禾 １ 把 的重量 重 ｌ 石 ，丙 禾４ 把 的重量 比甲禾 ｌ 把 的重量 重 １ 石． 问
(完整版)《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
《九章算术》方程章中所谓“方程"是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”（所以称之谓“方程"）．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题:“今有上禾（指上等稻子)三秉(指捆）中禾二秉,下禾一秉，实(指谷子）三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组:
《九章算术》用算筹演算：
“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左行列如右方（图1－28）以右行上禾徧乘(即遍乘）中行而以直除（这里“除”是减，“直除”即连续相减．）……（引文下略）”．
现将遍乘直除法解方程组的过程，按算筹演算如图1－29所示：
这题的答案《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉,九斗四
《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法．
多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)．至于线性方程组的一般理论直到18世纪（1779年）才由法国数学家别朱(E．Be－zout)建立．可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产．。
《九章算术》方程解析
亦以直除。
然以中行中禾不尽者遍乘 左行而以直除。左方下禾 不尽者，上为法，下为实。
以中行中禾数5遍乘左行各 数
实即下禾之实 99为下禾36秉之实
求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。
法 为36，中行下实为24，中秉之数为5，中 禾之实为（36x24-99）÷5=153
余如中禾秉数而一，即中禾之 实。
7x -1+2y=10 8y+1+2x=10
7x+2y=10+1（移损得益） 8y+2x=10 -1（移益得损）
正负术：
术曰：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除， 同名相益，正无入正之，负无入负之”
同名：同为正数或同为负数 异名：一正一负 相除：相减 相益：相加
同名相除（±a）-（±b）=±（a-b） 异名相益（±a）+ (干b) = ±（ a-b ） 正无入负之0 -（+a）= -a 负无入正之0 – (-a) = b） 同名相益 ±a+（±b）=±（a+ b） 正无入正之0+（+a）=+a 负无入负之0+（-a）= -a
左 中右 行 行行
左
中右
行
行行
左中右 行行 行
置上禾三秉，中禾二秉，下 禾一秉，实三十九斗，于右 方。中、左禾列如右方。
以右行上禾遍乘 中行：即以右行 上方的3，遍乘 中行各项
而以直除：即由中行 连续减去右行各对应 项的若干倍数，直到 中行头位数为0
又乘其次，亦以直 除：中行头位消除 后，以右行上禾3 遍乘左行各项，连 续减去右行各对应 项，消去右行头位
《九章算术》方程
《九章算术》方程章18道题，都要用方程术解决。 其第一问是：
数学公式知识：多元一次方程组的解法
数学公式知识：多元一次方程组的解法多元一次方程组是数学中一个非常基本的概念，它是求解一些实际问题时常用的数学工具。
在本文中，我们将会介绍多元一次方程组的定义、解法以及一些常见的应用场景。
一、多元一次方程组的定义多元一次方程组是由若干个含有多个未知数的一次方程组成的方程组。
一次方程指的是方程中未知数的最高次数是1，例如：2x+3y=5。
而多元指的是方程组中包含多个未知数，例如：2x+3y=5，3x-5y=1。
二、多元一次方程组的解法对于一个二元一次方程组，我们可以通过以下两种方法求解：1.代入法假设我们有如下方程组：2x+3y=53x-5y=1我们可以使用代入法来求解这个方程组。
具体的步骤如下：首先，我们可以将第一个方程写成y=(5-2x)/3的形式，然后将这个式子代入到第二个方程中，得到3x-5(5-2x)/3=1。
然后，将这个式子进行化简和移项，得到17x=16。
最后，我们将x=16/17代入到第一个方程中，得到y=(5-2(16/17))/3=17/34。
因此，该方程的解为x=16/17，y=17/34。
2.消元法除了代入法，我们还可以使用消元法来求解多元一次方程组。
对于一个二元一次方程组，我们可以使用以下方法来消元：首先，将第一个方程乘以5，得到10x+15y=25。
然后，将第二个方程乘以3，得到9x-15y=3。
最后，将两个方程相加，消除y的系数，得到19x=28。
因此，该方程的解为x=28/19，y=(5-2(28/19))/3=17/34。
对于三元一次方程组或者更高维的一次方程组，我们同样可以使用代入法或消元法来求解。
但是，随着方程组的维数增加，求解的难度也相应地增加。
三、多元一次方程组的应用多元一次方程组常常被应用于一些实际问题中。
例如，假设我们要计算一家餐馆的进货成本和售出利润，我们可以将进货成本、售价和售出量等因素表示为多元一次方程组，并使用上述方法求解方程组，得到进货成本和售出利润的值。
九章算术 方程
九章算术方程
这里面的方程呢，和咱们现在学的有点像，又有点不一样。
古人是用算筹来表示方程的。
啥是算筹呢？就像是一根根小棍子一样的东西，他们就靠着摆弄这些小棍子来解那些方程。
这就好比咱们现在用铅笔在纸上写算式一样，算筹就是他们的数学工具。
你看啊，他们解方程的思路可有趣了。
就像是在玩一个数字游戏。
他们要把那些条件啊，像什么东西的数量啊，分配的比例啊，都放到这个方程的框架里。
然后通过移动那些算筹，就像变魔术一样，慢慢找到答案。
这里面还有不同类型的方程问题呢。
有那种一元一次方程的雏形，虽然和咱们现在的表达形式不太一样，但是核心的思想是一样的。
就是要找到那个未知的量，让这个等式成立。
还有一些多元的方程问题，这就更复杂啦，就像是好几个小伙伴一起在玩一个很复杂的数字捉迷藏。
咱再说说这方程在当时的意义吧。
它可不仅仅是为了解几道数学题哦。
在古代，这可是关系到民生的大事情呢。
比如说计算赋税啊，分配劳动力啊，这些都需要方程这个厉害的工具。
要是没有这个方程的智慧，那古人在管理这些事务的时候可就头大了。
这方程啊，就像是古人在数学世界里开的一扇智慧之门。
他们通过这扇门，探索了很多未知的数学领域。
而且，它也给咱们这些后人留下了超级宝贵的数学遗产。
咱们现在学方程的时候，有时候觉得头疼，但是想想古人用算筹解那些方程的不容易，是不是就觉得自己应该更努力地去理解和掌握呢？。
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《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．
方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：
《九章算术》用算筹演算：
“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左行列如右方(图1－28)以右行上禾徧乘(即遍乘)中行而以直除(这里“除”是减，“直除”即连续相减．)……(引文下略)”．
现将遍乘直除法解方程组的过程，按算筹演算如图1－29所示：
这题的答案《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉，九斗四
《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法．
多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)．至于线性方程组的一般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E．Be－zout)建立．可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产．。