求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．

补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题].

解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．

本讲讲解顺序：③⇒包括1、2、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题． 复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．

整数分拆问题：11、12、13、14、15．

1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】 设这个两位数为ab ，则数字和为a b +，这个数可以表达为

10a b +，有()()104a b a b +÷+=

即1044a b a b +=+，亦即2b a =．

注意到a 和b 都是0到9的整数，且a 不能为0，因此a 只能为1、2、3或4，相应地b 的取值为2、4、6、8．

综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．

2．设A 和B 都是自然数，并且满足1711333

A B +=,那么A+B 等于多少?

【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l ，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．

3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少

支?

【分析与解】设购买甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支．

有7x +3y =50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：

将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：

得x =2(mod 3)，所以x 可以取2，此时y 取12；x 还可以取2+3=5，此时y 取5；

即212x y =⎧⎨=⎩、55x y =⎧⎨=⎩

,对应x y +为14、10 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．

4．有纸币60张，其中1分、l 角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?

【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a 张、b 张、c 张和d 张，

列方程如下：

由()()601101001000100002a b c d a b c d +++=⎧⎪

⎨+++=⎪⎩ (2)(1)得9999999940b c d ++=③

注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．

5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不

计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．

另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．

因此剩余部分的管子最少是2厘米．

6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?

【分析与解】设男职工x 人，孩子y 人，则女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女

职工为y 人)，

那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72．

有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩

. 但是，女职工人数为3y x -必须是自然数，所以只有125x y =⎧⎨

=⎩

时，33y x -=满足． 那么男职工数只能为12名

7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、

3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别x ，y 根，则0.7x +0.8y =3.4

3.6，…

即7x +8y =34，36，37，38，39

将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小分别取6,1,

2，3，4．

但是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．

所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．

8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．

所以，2分，10n +2分应该为平信的邮费，n 最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．

于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．

9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?

【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18

……4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7k 克重．