求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法
小学六年级奥数讲座(二)
第7讲 牛吃草问题【内容概述】牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度。
牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率。
下面给出几例牛吃草及其相关问题。
【典型问题】【1】草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？（这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”。
）【分析与解】27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草，所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草，即相当于给出15头牛专门吃新长出的草，于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；所以需要12×6÷6=12（周），于是2l 头牛需吃12周。
【评注】我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了。
【一般方法】先求出变化的草相当于多少头牛来吃：（甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙）÷（时间甲-时间乙）； 再进行如下运算：（甲牛头数-变化草相当头数）×时问甲÷（丙牛头数-变化草相当头数）=时间丙。
或者：（甲牛头数-变化草相当头数）×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数。
【2】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚而且长得一样快。
第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。
问：第三块草地可供50头牛吃几周？【分析与解】我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个（2公顷+2公顷周长的草），36×12=432头牛吃一周吃4个（2公顷+2公顷12周长的草），于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草，432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草，所以108-72=36头牛一周吃2公顷12-6=6周长的草，即36÷6=6头牛1周吃2公顷1周长的草。
代数方程解法多元一次方程组的求解方法
代数方程解法多元一次方程组的求解方法代数方程解法——多元一次方程组的求解方法在代数学中，方程组是由多个方程组成的集合。
而一次方程组指的是方程中各个未知数的最高次数均为1的方程。
解一次方程组可以帮助我们求出未知数的值，进而解决实际问题。
本文将介绍多元一次方程组的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用代数学知识。
一、消元法消元法是解一次方程组常用的方法之一。
其基本思想是通过逐步简化方程组，使其中的未知数的系数逐渐减少，从而逐步求解出未知数的值。
下面通过一个实例来说明消元法的具体步骤。
以二元一次方程组为例：```a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂```首先，我们可以通过消元法将其中一方程化简为含有单一未知数的方程。
假设将第一个方程乘以a₂，第二个方程乘以a₁，得到：```a₁a₂x + b₁a₂y = c₁a₂a₁a₂x + a₁b₂y = a₁c₂```接下来我们两式相减，此时未知数y将会消失，我们可以解得未知数x的值。
然后，再将x的解代入到原始方程中，求得未知数y的值。
这样，我们成功地求解出了方程组的解。
二、代入法代入法是另一种常用的求解一次方程组的方法。
它的核心思想是通过代入已知的解到方程组中，逐步求解出其他未知数的值。
下面我们通过一个实例来理解代入法的具体步骤。
仍以二元一次方程组为例：```a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂```假设我们已经求解得到了x的值，那么我们可以将x的值代入其中一个方程，求解出y的值。
例如，我们将x的值代入第一个方程，可以得到：```a₁x + b₁y = c₁a₁(已知的x的值) + b₁y = c₁```通过简化方程，解出y的值。
同样地，我们可以将y的值代入另一个方程，求解出x的值。
这样一来，我们就成功地求解出了方程组的解。
三、矩阵法除了上述的消元法和代入法，矩阵法也是求解一次方程组常用的方法之一。
矩阵法的核心思想是将方程组转化为矩阵形式，并利用矩阵的运算性质求解出未知数的值。
二元一次方程组,掌握下面四种方法,类似题目解答无困难.doc
二元一次方程组，掌握下面四种方法，类似题目解答无困难二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况，下面就为大家说说：1、有一组解。
如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。
如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3、无解。
如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
下面为大家介绍二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 或y 值；④将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7，y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程和解不定方程应用题经典———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。
然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。
一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。
如：方程某﹢y﹢z=100共有几组正整数解？解：当某=1时y﹢z=99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98)(2，97)(98，1)。
当某=2时y﹢z=98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97)(2，96)(97，1)。
当某=98时，y﹢z=2，这时有一个解。
∵98﹢97﹢96﹢﹢1=9899=48512∴方程某﹢y﹢z=100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：方程式4某﹢7y=55共有哪些正整数解。
解：某y123455121517477437397某某某某√√∴方程4某﹢7y=55的正整数解有某=5某=12y=5y=13、分离系数法如：求7某﹢2y=38的整数解解：y=387某1=19-3某-某2212令t=1某23872t=19-7t2某=2t则y=2t＞019-7t＞0（t为整）→25＞t＞07t=2，1当t=2时，某=2某2=4某=4y=19-7某2=5y=5当t=1时，某=2某1=2某=2y=19-7某1=12y=12第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5某－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5某－3y＝9的解有：某＝2.4某＝2.7某＝3.06某＝3.6………y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3如果限定某、y的解是小于5的整数，那么解就只有某＝3，Y＝2这一组了。
解二元一次方程的方法
解二元一次方程的方法一元方程是一种只包含一个未知数的方程，而二元一次方程则是包含两个未知数的方程。
解决二元一次方程的方法有多种，以下将介绍其中几种常用的方法。
一、图解法图解法是一种直观的解二元一次方程的方法。
它利用平面坐标系上的图像，通过观察方程的图形交点来求解方程。
要使用图解法解二元一次方程，首先将方程转化为“y=mx+b”的形式，其中m和b分别表示斜率和截距。
然后在坐标系上画出两条直线，分别表示方程的图像。
最后，观察两条直线的交点，这个交点即为方程的解。
二、代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程的方法。
它通过将其中一个未知数用另一个未知数的表达式来代入方程，从而将方程转化为只含一个未知数的一元方程。
要使用代入法解二元一次方程，首先选择其中一个未知数，将其表示为另一个未知数的表达式。
然后将这个表达式代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程。
最后，求解这个一元方程，得到该未知数的值，再代入到原方程中求解另一个未知数的值。
三、消元法消元法是解二元一次方程的另一种常用方法。
它通过逐步消去其中一个未知数，从而将方程转化为只含一个未知数的一元方程。
要使用消元法解二元一次方程，首先选择其中一个未知数，通过乘以一个适当的常数，使得两个方程的系数相等。
然后将两个方程相减，从而消去这个未知数。
接着，将得到的方程代入到另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
最后，求解这个一元方程，得到该未知数的值，再代入到原方程中求解另一个未知数的值。
四、用矩阵方法解方程组矩阵方法是一种更高级的解二元一次方程的方法。
它利用线性代数的知识，将方程组表示为矩阵的形式，然后利用矩阵的运算来求解方程。
要使用矩阵方法解二元一次方程，首先将方程组写成矩阵方程的形式，矩阵方程的形式为AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
然后通过逆矩阵的运算，求解X的值。
以上介绍的是解二元一次方程的几种常用方法，但并不限于这些方法，实际上还可以使用其他方法来解方程。
二元一次方程求解方法
二元一次方程求解方法
二元一次方程是数学中一种基本的方程形式,它包含两个未知数,通常用字母A和B表示,例如Ax+By=C。
在这个方程中,我们要求解的是x和y这两个未知数的值。
以下是求解二元一次方程的基本步骤:
1. 写出方程的一般形式,即ax+by=C,其中a、b、c是已知常数,x和y是未知数。
2. 将x和y的系数a和b从方程中减去,得到ax+by=C-(a+b)。
3. 将系数C-(a+b)从方程中减去,得到ax+by=C-(a+b)-c。
4. 将c从方程中减去,得到(a-b)x+by=c。
5. 解方程组,即将x和y的值代入方程(a-b)x+by=c中,求得x和y的值。
以下是一个简单的例子,展示如何使用上述步骤求解二元一次方程:
假设我们有一个方程4x+3y=7,我们可以按照上述步骤求解:
1. 写出方程的一般形式,即4x+3y=7。
2. 将系数4和3从方程中减去,得到4x+3y=7-(4+3)。
3. 将系数7-(4+3)从方程中减去,得到4x+3y=7-(4+3)-7。
4. 将系数7-(4+3)-7从方程中减去,得到4x+3y=-1。
5. 解方程组,即将x和y的值代入方程-1x+3y=-1中,求得x和y的值。
解出x和y的值后,我们可以根据具体的情况应用二元一次方程的各种性质来进一步处理和应用这个方程。
例如,我们可以求出这个方程的一个特解,或者求出它的对称轴、零点、极值等等。
二元一次方程是数学中一种基本的方程形式,它的求解方法有很多种,可以
帮助我们解决许多实际问题。
解二元一次方程的方法
解二元一次方程的方法二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常形式为ax+by=c。
解二元一次方程是数学中的基础知识，也是解决实际问题的重要方法。
在解二元一次方程的过程中，我们可以运用一些基本的方法和技巧，使得解题更加简单和高效。
下面，我们将介绍几种解二元一次方程的方法。
一、代入法。
代入法是解二元一次方程的常用方法之一。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的一个未知数的函数，然后代入另一个方程中，从而将两个未知数的方程转化为一个未知数的方程。
举个例子来说，对于方程组。
2x+3y=7。
x-y=1。
我们可以将第二个方程中的x表示为x=y+1，然后代入第一个方程中，得到2(y+1)+3y=7，然后解出y的值，再代入第二个方程中求得x的值。
二、消元法。
消元法是解二元一次方程的另一种常用方法。
其基本思想是通过加减消去一个未知数，从而将两个方程中的一个未知数消去，然后解出另一个未知数。
举个例子来说，对于方程组。
2x+3y=7。
x-y=1。
我们可以将第二个方程乘以2，得到2x-2y=2，然后将这个式子代入第一个方程中，得到y=3，再代入第二个方程中求得x的值。
三、图解法。
图解法是解二元一次方程的直观方法。
其基本思想是将两个方程表示成两条直线，然后通过观察两条直线的交点来求解方程组的解。
举个例子来说，对于方程组。
2x+3y=7。
x-y=1。
我们可以将这两个方程表示成两条直线，然后通过观察两条直线的交点来求得方程组的解。
四、克莱姆法则。
克莱姆法则是解二元一次方程组的另一种方法。
其基本思想是通过行列式的方法来求解方程组的解。
具体的求解过程可以通过构造行列式来实现，这里不再赘述。
总结起来，解二元一次方程的方法有很多种，代入法、消元法、图解法和克莱姆法则只是其中的几种。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来解题。
希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地理解和掌握解二元一次方程的技巧，从而提高解题的效率和准确性。
解二元一次方程组的几种方法
解二元一次方程组的几种方法二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的方程组。
解这类方程组是数学中的基础问题之一，有着广泛的应用。
本文将介绍解二元一次方程组的几种常用方法，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。
一、图解法图解法是一种直观且易于理解的方法。
通过将方程组转化为直线的几何表示，可以通过图像求解方程组的解。
1. 绘制直线根据方程组中的每个方程，我们可以得到对应的直线。
以方程组为例，假设方程为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂为已知系数。
通过选择合适的x取值，我们可以计算得到相应的y值，然后按照坐标轴上的点进行画图。
2. 求解交点我们将两个直线在坐标系中画出来后，通过观察它们的交点来确定方程组的解。
交点即为方程组的解。
代入法是一种常用的解二元一次方程组的方法。
通过将其中一个方程的未知数表示成另一个方程的未知数的表达式，再代入到另一个方程中，从而得到一个只有一个未知数的方程，进而求解。
以方程组为例，假设方程为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂1. 解得其中一个未知数选取其中一个方程，例如方程a₁x + b₁y = c₁，以y为例，将其表示成y的表达式：y = (c₁ - a₁x) / b₁2. 代入另一个方程将表达式代入另一个方程a₂x + b₂y = c₂中，即：a₂x + b₂((c₁ - a₁x) / b₁) = c₂通过整理上述方程，消去未知数y，得到只含有一个未知数x的方程。
3. 求解未知数解得方程中的未知数x后，再通过将求得的x值代入方程a₁x +b₁y = c₁中，即可求得对应的y值。
消元法是一种通过对方程组中的方程进行线性组合，消去其中一个未知数，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解的方法。
以方程组为例，假设方程为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂1. 通过乘上适当的系数，使得两个方程中的一个未知数的系数相等或者互为相反数。
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
各类方程组的解法
各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。
注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。
二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。
由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。
当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。
当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。
1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。
2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。
3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。
克拉默法则解二元一次方程组
克拉默法则解二元一次方程组引言：在数学中，方程组是一个或多个方程的集合，而方程是一个等式，它包含未知数和常数。
解方程组就是找出同时满足所有方程的未知数的值。
而克拉默法则是一种解二元一次方程组的方法，它基于行列式的概念，通过求解行列式来得到方程组的解。
本文将详细介绍克拉默法则的原理和应用。
一、克拉默法则的原理克拉默法则是由法国数学家克拉默提出的，它利用行列式的性质来解方程组。
对于一个二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知的常数，而x和y是未知数。
根据克拉默法则，方程组的解可以通过以下公式来表示：x = D1 / Dy = D2 / D其中，D是方程组的系数行列式，D1是将方程组的常数列替换掉x 的系数列所得到的行列式，D2是将方程组的常数列替换掉y的系数列所得到的行列式。
二、克拉默法则的应用克拉默法则在实际问题中有广泛的应用，特别是在工程、物理和经济等领域。
下面通过一个具体的例子来说明克拉默法则的应用。
例：解方程组2x + 3y = 74x - 5y = -3我们可以计算出D、D1和D2：D = |2 3| = 2*(-5) - 3*4 = -23|4 -5|D1 = |-3 3| = -3*(-5) - 3*4 = -3|-3 -5|D2 = |2 -3| = 2*(-3) - (-5)*4 = 23|4 -5|然后，我们可以根据公式求解方程组：x = D1 / D = -3 / -23 ≈ 0.13y = D2 / D = 23 / -23 ≈ -1所以，方程组的解为x ≈ 0.13，y ≈ -1。
三、克拉默法则的优点和局限性克拉默法则的优点是简单直观，易于理解和应用。
它不需要进行复杂的运算和推导，只需要计算行列式的值即可得到方程组的解。
此外，克拉默法则适用于任意多元一次方程组。
然而，克拉默法则也有一些局限性。
首先，克拉默法则要求方程组的系数行列式D不等于0，否则方程组无解或有无穷多解。
10不定方程与整数分拆
不定方程与整数分拆求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲余数问题].解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③⇒包括1、2、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：11、12、13、14、15．1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?2．设A和B都是自然数，并且满足1711333A B+=,那么A+B等于多少?3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?4．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?6．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?7.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?8.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?9．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．10．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?11．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?12．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?。
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法一、图形法解二元一次方程组可以使用图形法来进行求解。
图形法的基本思想是将方程组表示在坐标系中，通过观察图像的交点确定方程组的解。
具体步骤如下：1. 将两个方程分别表示在坐标系中，作出对应的直线。
2. 观察两条直线的交点，如果两条直线相交于一个点，则该点为方程组的解。
3. 如果两条直线平行，即不相交，则方程组无解。
4. 如果两条直线重合，即完全重合在一起，则方程组有无限多解。
二、代入法代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。
代入法的基本思想是将其中一个方程的变量表示为另一个方程的变量，然后代入到另一个方程中进行求解。
具体步骤如下：1. 选取其中一个方程，将其中一个变量表示为另一个方程的变量。
2. 将表示后的变量代入到另一个方程中，得到一个一元一次方程。
3. 求解一元一次方程得到一个变量的值。
4. 将求得的变量值代入到原方程中，得到另一个变量的值。
三、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法之一。
消元法的基本思想是通过消去一个变量，将方程组化简为只包含一个变量的方程，然后进行求解。
具体步骤如下：1. 确定一个目标，选择其中一个方程，通过变换使得其中一个方程的一个变量的系数和另一个方程的对应变量的系数相等或相反数。
2. 将选择的方程两边同乘以适当的数使得系数相等或相反数。
3. 将上述变换后的方程两方程对应的相应项相减，得到一个只包含一个变量的方程。
4. 求解一元一次方程得到一个变量的值。
5. 将求得的变量值代入到原方程中，得到另一个变量的值。
四、等价变形法等价变形法是解二元一次方程组常用的方法之一。
等价变形法的基本思想是通过对方程进行等价变形，将方程组化简成更容易求解的形式。
具体步骤如下：1. 对方程组的两个方程进行等式变形，使得方程组的形式更加简化。
2. 对方程组进行加减运算，使得一个未知数的系数相等或相反数。
3. 利用一次方程的等价性，解得一个未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入到方程组中，求得另一个未知数的值。
解二元一次方程组及二元一次方程组应用题的方法
解二元一次方程组及二元一次方程组应用题的方法一、代入消元法解二元一次方程组：1、基本思路：未知数由多变少。
2、消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
3、代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
4、代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”。
②将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
③解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
④把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”。
⑤把x、y的值用，联立起来即“联”。
代入消元法例：解方程组x+y=5①6x+13y=79②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=79y=7把y=7带入③，x=5-7即x=-2∴x=-2y=7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
二、加减消元法解二元一次方程组1、两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
2、用加减消元法解二元一次方程组的步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，即“加减”。
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。
④将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
高中数学解线性方程组解题技巧
高中数学解线性方程组解题技巧高中数学中，线性方程组是一个非常重要的内容，它是数学中的基础，也是后续学习的基石。
解线性方程组需要掌握一些解题技巧，本文将从几个常见的线性方程组类型出发，分析解题思路和方法，帮助高中学生更好地应对这一难点。
一、二元一次方程组二元一次方程组是高中数学中最简单的线性方程组类型，形式如下：{a1x + b1y = c1{a2x + b2y = c2其中，a1、a2、b1、b2、c1、c2为已知系数。
解这类方程组的常用方法是消元法。
我们可以通过消去其中一个变量，将方程组化为只含一个未知数的方程，然后求解。
举例说明：解方程组：{2x + 3y = 7{4x - y = 1首先，我们可以通过消元法来解这个方程组。
将第二个方程的系数乘以2，得到：{2x + 3y = 7{8x - 2y = 2然后，将第二个方程的两倍加到第一个方程上，消去y的系数：{2x + 3y = 7{16x = 9解得x = 9/16。
将x的值代入第一个方程，解得y = 7/16。
所以，方程组的解为{x = 9/16，y = 7/16}。
二、三元一次方程组三元一次方程组是高中数学中稍微复杂一些的线性方程组类型，形式如下：{a1x + b1y + c1z = d1{a2x + b2y + c2z = d2{a3x + b3y + c3z = d3其中，a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3、d1、d2、d3为已知系数。
解这类方程组的方法有很多，常用的有消元法和代入法。
举例说明：解方程组：{2x + y + z = 5{x - y + 2z = 3{3x + 2y - 3z = 8我们可以通过消元法来解这个方程组。
首先，将第二个方程的两倍加到第一个方程上，消去x的系数：{2x + y + z = 5{y + 3z = 11然后，将第三个方程的三倍加到第一个方程上，消去x的系数：{y + 3z = 11{7y + 6z = 29解得y = 5，z = 2。
第8讲不定方程与整数分拆
第8讲 不定方程与整数分拆求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲余数问题]. 解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③⇒包括1、2、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：11、12、13、14、15．1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解】 设这个两位数为ab ，则数字和为a b +，这个数可以表达为10a b +，有()()104a b a b +÷+=即1044a b a b +=+，亦即2b a =．注意到a 和b 都是0到9的整数，且a 不能为0，因此a 只能为1、2、3或4，相应地b 的取值为2、4、6、8．综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．2．设A 和B 都是自然数，并且满足1711333A B +=,那么A+B 等于多少? 【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l ，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?【分析与解】设购买甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支．有7x +3y =50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：得x =2(mod 3)，所以x 可以取2，此时y 取12；x 还可以取2+3=5，此时y 取5； 即212x y =⎧⎨=⎩、55x y =⎧⎨=⎩,对应x y +为14、10所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．4．有纸币60张，其中1分、l 角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a 张、b 张、c 张和d 张，列方程如下：由()()601101001000100002a b c d a b c d +++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ (2)(1)得9999999940b c d ++=③注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米． 因此剩余部分的管子最少是2厘米．6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【分析与解】设男职工x 人，孩子y 人，则女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女职工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72．有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩. 但是，女职工人数为3y x -必须是自然数，所以只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=满足． 那么男职工数只能为12名7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别x ，y 根，则0.7x +0.8y =3.43.6，…即7x +8y =34，36，37，38，39将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小分别取6,1,2，3，4．但是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封? 【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分． 所以，2分，10n +2分应该为平信的邮费，n 最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18……4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7k 克重．设3克的砝码x 个，5克的砝码y 个，则3547x y k +=+．当k =0时，有354x y +=，无自然数解；当k =1时，有3511x y +=，有x =2，y =1，此时7克的砝码取17个，所以共需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．当k >1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形．所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．10．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】 设B 、C 、D 、E 、A 商品依次买了b 、c 、d 、e 、(10-b-c-d-e)件，则有()2.910 4.77.210.614.9b c d e b c d e ----++++=60．184377120b c d e +++=310，显然e 只能取0，1，2． Ⅰ有184377b c d ++=310，其中d 可取0，1，2，3，4．(1)当d=0时，有1843b c +=310，将系数，常数对6取模得：c ≡4(mod 6)，于是c 最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b 不为自然数．所以d=0时。
如何求二元一次方程
如何求二元一次方程如何求解二元一次方程一、引言二元一次方程是数学中常见的一类方程，由两个未知数和一次项组成，形如ax+by=c。
在实际生活中，二元一次方程可以用来描述两个变量之间的关系，解二元一次方程可以帮助我们求得未知数的具体取值，从而解决实际问题。
本文将介绍如何求解二元一次方程的方法。
二、方法一：代入法代入法是解二元一次方程的常用方法之一。
其基本思路是用一个方程的解代入另一个方程，从而将两个未知数减少为一个未知数，进而求解。
具体步骤如下：1. 确定两个方程，将它们写成标准形式，即ax+by=c。
2. 选取其中一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，例如将x表示成y的函数或将y表示成x的函数。
3. 将该函数代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
4. 解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值。
5. 将该未知数的值代入代入法中选取的方程中，求得另一个未知数的值。
例如，我们有以下方程组：2x+y=73x-2y=4选取第一个方程，将x表示成y的函数：x = 7-2y将x代入第二个方程：3(7-2y)-2y=4化简得到一个只含有y的方程：21-6y-2y=4解这个方程得到y的值：y=3将y的值代入第一个方程中，求得x的值：2x+3=7，解得x=2因此，该二元一次方程组的解为x=2，y=3。
三、方法二：消元法消元法是另一种常用的解二元一次方程的方法。
其基本思路是通过适当的运算，将方程组中的未知数的系数相消，从而得到一个只含有一个未知数的方程，进而求解。
具体步骤如下：1. 确定两个方程，将它们写成标准形式，即ax+by=c。
2. 通过适当的运算，将两个方程相加或相减，使得其中一个未知数的系数相消。
3. 得到一个只含有另一个未知数的方程。
4. 解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值。
5. 将该未知数的值代入消元法中选取的方程中，求得另一个未知数的值。
以前述的方程组为例，我们可以通过消元法求解：2x+y=73x-2y=4将第一个方程乘以2，得到2(2x+y)=2(7)，化简得到4x+2y=14将第二个方程乘以3，得到3(3x-2y)=3(4)，化简得到9x-6y=12将这两个方程相加，得到13x=26，解得x=2将x的值代入原方程中，求得y的值：2(2)+y=7，解得y=3因此，该二元一次方程组的解为x=2，y=3。
二元一次方程自然数解的求法
二元一次方程自然数解的求法
对于一个二元一次方程，形式为ax + by = c（其中a、b、c 为已知的自然数），求解其自然数解可以通过以下步骤进行：1. 分析方程：观察方程中a和b的系数，确定它们之间的关系。
如果a和b没有公因数，则方程可能没有自然数解。
如果a和b有公因数，并且c也是它们的倍数，则方程有自然数解。
2. 辗转相除法：使用辗转相除法来求解a和b的最大公因数g。
将a和b分别除以g，得到两个新的整数a'和b'，其不再有公因数。
3. 判断c是否能够被g整除：如果c能够被g整除，则方程有自然数解；否则，方程没有自然数解。
4. 求特解：选取一个满足条件的特解，可以通过试错的方法或者其他数学方法来得到。
例如，可以令x和y都等于0，代入方程，求解出c的值。
5. 求通解：已知一个特解，可以通过特解加上a/g和b/g的倍数来得到方程的所有自然数解。
即x = x0 + a/g * t，y = y0 +
b/g * t；其中x0和y0为特解中的x和y的值，t为任意整数。
通过以上步骤，可以求解二元一次方程的自然数解。
需要注意的是，如果方程无解或者有无限多个解，则需要根据具体问题进行分析和判断。
怎么求解二元一次方程
怎么求解二元一次方程
求解二元一次方程可以通过多种方法，其中包括代入法、消元法和图解法等。
首先，我们来看代入法。
对于形如ax + by = c和dx + ey = f的两个二元一次方程，我们可以通过将其中一个方程解出其中一个变量，然后代入另一个方程中求解另一个变量的值。
例如，如果我们解出第一个方程中的x，得到x = (c by)/a，然后将x的值代入第二个方程中，就可以得到y的值，进而求得x和y 的解。
其次，消元法也是一种常用的方法。
通过将两个方程相减或相加，可以消去其中一个变量，从而得到另一个变量的值。
例如，对于方程组ax + by = c和dx + ey = f，我们可以将它们相减得到(gx + hy = i)，然后解出其中一个变量，再代回原方程组求解另一个变量的值。
另外，图解法也是一种直观的方法。
我们可以将两个方程表示为直线方程，然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点就是方程组的解。
总之，求解二元一次方程有多种方法，选择合适的方法取决于
具体的方程组和个人的偏好。
希望以上回答能够帮助到你，如果还有其他问题，欢迎继续提问。
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求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题].解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③⇒包括1、2、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题． 复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：11、12、13、14、15．1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解】 设这个两位数为ab ，则数字和为a b +，这个数可以表达为10a b +，有()()104a b a b +÷+=即1044a b a b +=+，亦即2b a =．注意到a 和b 都是0到9的整数，且a 不能为0，因此a 只能为1、2、3或4，相应地b 的取值为2、4、6、8．综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．2．设A 和B 都是自然数，并且满足1711333A B +=,那么A+B 等于多少?【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l ，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?【分析与解】设购买甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支．有7x +3y =50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：得x =2(mod 3)，所以x 可以取2，此时y 取12；x 还可以取2+3=5，此时y 取5；即212x y =⎧⎨=⎩、55x y =⎧⎨=⎩,对应x y +为14、10 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．4．有纸币60张，其中1分、l 角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a 张、b 张、c 张和d 张，列方程如下：由()()601101001000100002a b c d a b c d +++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ (2)(1)得9999999940b c d ++=③注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．因此剩余部分的管子最少是2厘米．6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【分析与解】设男职工x 人，孩子y 人，则女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女职工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72．有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩. 但是，女职工人数为3y x -必须是自然数，所以只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=满足． 那么男职工数只能为12名7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别x ，y 根，则0.7x +0.8y =3.43.6，…即7x +8y =34，36，37，38，39将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小分别取6,1,2，3，4．但是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．所以，2分，10n +2分应该为平信的邮费，n 最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18……4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7k 克重．设3克的砝码x 个，5克的砝码y 个，则3547x y k +=+．当k =0时，有354x y +=，无自然数解；当k =1时，有3511x y +=，有x =2，y =1，此时7克的砝码取17个，所以共需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．当k >1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形．所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．10．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】 设B 、C 、D 、E 、A 商品依次买了b 、c 、d 、e 、(10-b-c-d-e)件，则有()2.910 4.77.210.614.9b c d e b c d e ----++++=60．184377120b c d e +++=310，显然e 只能取0，1，2． Ⅰ有184377b c d ++=310，其中d 可取0，1，2，3，4．(1)当d=0时，有1843b c +=310，将系数，常数对6取模得：c ≡4(mod 6)，于是c 最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b 不为自然数．所以d=0时。
不满足； (2)有1843b c +=233，将系数，常数对6取模得：c ≡5(mod 6),于是最小,那么有18b=233-43×5=18, ； (3)有1843b c +=156，将系数，常数对6取模得：c ≡O(mod 6)，于是c 最小取0，那么有18b=156，b 不为自然数，所以d=2时，不满足； (4)有1843b c +=79，将系数、常数对6取模得：c ≡1(mod 6)，于是最小那么有18b=79—43=36． (5)当d=4时，有1843b c +=2，显然不满足．Ⅱ有184377b c d ++=190，其中d 可以取0、1、2． (1)有1843b c +=190，将系数、常数对6取模有：c ≡4(mod 6)，于是最小那么有18b=190-43×4=18, (2)当d=1时，有1843b c +=113，将系数、常数对6取模有：c ≡5(mod 6)，于是c 最小取5，即18b +215=113，显然d=1时，不满足； (3)有1843b c +=36,显然有时 Ⅲ有184377b c d ++=70，d 只能取0，有1843b c +=70，将系数、常数对6取模有：c ≡4(rood 6)，于是c 最小取4，那么有18b +172=70，显然不满足最后可得到如下表的满足情况：共有4种不同的选购方法．11．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张?【分析与解】 钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片．因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共买10×9=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张．12．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71．其中168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解．13．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50．所以，其中一定可以有某几个质数相等．欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31．又有82502222331=++++++个，所以满足条件的最大质数为31．(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50．所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．60÷7=8……4，8760=7+7+7++7+4个，而4=2+2，恰好有8760=7+7+7++7+2+2个．即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即(1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；…；(49，51)；每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，…，48分和49分这49种情况． 1分和3分的币值显然不能构成．2分，4分，6分，…，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．5分，7分，9分，…，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，…46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分．综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分，97分，99分．15．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?【分析与解】如下表先枚举出所有可能的单价如表1．再依次考虑：首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．1．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚．2．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声?3．《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?。