高二数学必修五《基本不等式》单元测试(精选.)
数学必修五基本不等式测试卷含答案
数学必修五基本不等式测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）1. 若a<0,−1<b<0，则有（）A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a2. 已知奇函数f(x)在(0, +∞)上的图象如图所示，则不等式f(x)x−1<0的解集为( )A.(−3, −1)∪(0, 1)∪(1, 3)B.(−3, −1)∪(0, 1)∪(3, +∞)C.(−∞, −3)∪(−1, 0)∪(3, +∞)D.(−∞, −3)∪(−1, 0)∪(0, 1)3. 不等式1x <12的解集是( )A.(2, +∞)B.(−∞，2)C.(0,2)D.(−∞, 0)∪(2, +∞)4. 不等式x−2x−1≥0的解集是（）A.[2, +∞)B.(−∞, 1]∪(2, +∞)C.(−∞, 1)D.(−∞, 1)∪[2, +∞)5. 若两个正实数x，y满足13x +3y=1，且不等式x+y4−n2−13n12<0有解，则实数n的取值范围是（）A.(−2512,1) B.(−∞,−2512)∪(1,+∞)6. 已知a >−3，b >−4，(a +3)(b +4)=25，则a +b 的最小值是( ) A.2 B.3 C.5 D.107. 下列命题中的真命题是（ ） A.若a >b >0，a >c ，则a 2>bc B.若a >b >c ，则a c >bc C.若a >b ，n ∈N ∗，则a n >b n D.若a >b >0，则1na <1nb8. 设a ，b ，c 大于0，则3个数a +1b ，b +1c ，c +1a 的值( ) A.都大于2 B.至少有一个不大于2 C.都小于2 D.至少有一个不小于29. 不等式10x+5(x−1)2≥100的解集是（ ）A.[−3,12] B.[−12，3] C.[12，1)∪(1,3]D.[−12，1)∪(1,3]10. 已知 x >0,y >0,x +2y =1，x 2+y xy内最小值是（ ） A.3−2√2 B.2√2+1C.√2−1D.√2+111. 设正实数x ，y ，z 满足x 2−7xy +16y 2−z =0，则当zxy 取得最小值时，x +2y −z的最大值为（ ） A.0 B.98C.94D.212. 若关于x 的不等式ax −2>0的解集是(2,+∞)，则关于x 的不等式ax−1x+2≥0的解集是（ ）C. (−∞,−2)∪[1,+∞)D. (−∞,−2]∪[1,+∞)二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13. 不等式x2x−1<0的解为________<12．14. 已知正数x，y满足x2+2xy+4y2=1，则x+y的取值范围是________．15. 已知不等式x+2ax+1<0的解集为(−2,−1)，则a=________.16. 函数y=log2x+4log2x(x∈[2,4])的最大值是________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分，）17. （10分）已知两个正数a，b满足a+2b=1，求1a +2b的最小值．18.(12分) 已知过原点O作函数f(x)=e x(x2−x+a)的切线恰好有三条，切点分别为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，且x1<x2<x3．（1）求实数a的取值范围．（2）求证：x1<−3．19.(12分) 求满足下列条件的实数x的范围：（1）2x>8；（2）3x<127；(3)(12)x>√2．20. （12分）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为36m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为6000元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总>0．21. （12分）设a>−1，解关于x的不等式x2−x−2ax−122. （12分）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族持续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源．在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”．某农户准备用一万元建造一个深为3米，容积为48立方米的长方体沼气池，如果池底每平万米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为1000元．问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价超出该农户的预算吗？参考答案与试题解析 数学必修五基本不等式测试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】∵ a <0，−1<b <0， ∴ ab >0，ab 2<0． ∴ ab >a ，ab >ab 2．∵ a −ab 2=a (1−b 2)=a (1+b )(1−b )<0， ∴ a <ab 2．∴ a <ab 2<ab ． 2.【答案】 A【考点】 不等式的综合 【解析】由f(x)是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y 轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f(x)的正负，由图象可求出x 的范围得结果． 【解答】解：不等式f(x)x−1<0转化为(x −1)f(x)<0， 则{x −1>0f(x)<0，或{x −1<0f(x)>0，∴ 1<x <3，0<x <1，或−3<x <−1，∴ 不等式f(x)x−1<0的解集为(−3, −1)∪(0, 1)∪(1, 3)， 故选A ． 3.【答案】 D【考点】其他不等式的解法 【解析】将不等式1x ≤12转化为x−22x ≥0⇔{x −2≥0x >0或{x −2≤0x <0，从而可得答案．【解答】∴ 1x−12=2−x 2x<0，∴ x−22x >0，∴ {x −2>0，x >0，或{x −2<0，x <0，解得：x >2或x <0，∴ 不等式1x <12的解集是：(−∞, 0)∪(2, +∞). 故选D ．4.【答案】 D【考点】其他不等式的解法 【解析】直接转化分式不等式为二次不等式组，然后求解即可． 【解答】 解：因为不等式x−2x−1≥0的解集，等价于{(x −1)(x −2)≥0x −1≠0， 解得x <1或x ≥2．所以不等式的解集为：(−∞, 1)∪[2, +∞)． 故选D ． 5.【答案】 B【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为不等式x +y4−n 2−13n 12<0有解，所以(x +y4)min<n 2+13n 12．因为x >0，y >0，且13x +3y =1，所以x +y4=(x +y4)(13x +3y )=1312+3x y+y12x ≥1312+2√3xy ⋅y12x =2512，当且仅当3x y=y 12x 时取等号，所以(x +y4)min=2512．故n 2+13n 12−2512>0，解得n <−2512或n >1，所以实数n 的取值范围是(−∞,−2512)∪(1,+∞)． 故选B ．6. 【答案】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：由a>−3，b>−4，可得a+3>0，b+4>0，则a+b=(a+3)+(b+4)−7≥2√(a+3)(b+4)−7=3，当且仅当a+3=b+4=5，即a=2，b=1时取等号.故选B.7.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用不等式的综合【解析】A不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，所以A是正确的；B当不等式两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变，这里c题目中没指出是正数、负数带是0，所以B是错误的；C没有考虑到，不等式性质成立的条件，a>b>0，所以C是错误的；D因为f(x)=ln x在定义域内是增函数，所以D是错误的．【解答】解：A、∵a>c且b>0，∴ab>bc，又∵a>b且a>0，∴a2>ab，∴a2>bc，A正确；B、∵a>b，当c>0时，有ac >bc，当c<0时，有ac<bc，B错误；C、取a=2，b=−2，n=2时有，22=(−2)2，∴a n>b n不对；当a>b>0，n∈N∗，有a n>b n，C错误；D、∵f(x)=ln x是增函数，∴当a>b>0，有1na>1nb，D错误．故选：A．8.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】假设3个数a+1b <2，b+1c<2，c+1a<2，则a+1b+b+1c+c+1a<6，又利用基本不等式可得a+1b +b+1c+c+1a≥6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．从而得出正确选项．解：假设3个数a+1b <2，b+1c<2，c+1a<2，则a+1b +b+1c+c+1a<6，利用基本不等式可得a+1b +b+1c+c+1a=b+1b +c+1c+a+1a≥2+2+2=6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以3个数a+1b ，b+1c，c+1a中至少有一个不小于2．故选D．9.【答案】D【考点】指、对数不等式的解法【解析】根据指数函数的单调性和特殊点，原不等式即x+5(x−1)2≥2，即2x2−5x−3≤0且x≠1，由此求得不等式的解集．【解答】解：由不等式10x+5(x−1)2≥100可得x+5(x−1)2≥2，即2x2−5x−3≤0且x≠1，解得−12≤x<1，或1<x≤3，故选D．10.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】本题考查利用基本不等式求最值，依题意x 2+yxy可化成xy+2yx+1，由基本不等式求解即可．【解答】解：∵ x>0，x+2y=1，∴x2+yxy=xy+1x=xy+x+2yx=xy +2yx+1≥2√xy⋅2yx+1=2√2+1，当xy =2yx时取等号．∴x2+yxy的最小值为2√2+1．C【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】将z =x 2−7xy +16y 2代入zxy ，利用基本不等式化简，即可得到当zxy 取得最小值时的条件，用x ，z 表示y 后利用配方法求得x +2y −z 的最大值． 【解答】解：∵ x 2−7xy +16y 2−z =0，∴ z =x 2−7xy +16y 2，又x ，y ，z 为正实数， ∴z xy=x y+16y x−7≥2√x y⋅16y x−7=1（当且仅当x =4y 时取“=”），即x =4y(y >0)，∴ x +2y −z =4y +2y −(x 2−7xy +16y 2) =6y −4y 2=−4(y −34)2+94≤94．∴ x +2y −z 的最大值为94． 故选C ． 12.【答案】 C【考点】其他不等式的解法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】 0<x 【考点】其他不等式的解法 【解析】根据两数相除商为负，得到x 与2x −1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集． 【解答】原不等式化为{x >02x −1<0 或{x <02x −1>0 ，解得：0<x <12， 14.不等式性质的应用不等式的综合【解析】由题意可得x2+2xy+y2=1−3y2<1，即(x+y)2<1，解关于x+y的不等式可得．【解答】解：∵正数x，y满足x2+2xy+4y2=1，∴x2+2xy+y2=1−3y2<1，即(x+y)2<1，解得−1<x+y<1，结合x，y为正数可得x+y>0，故x+y的取值范围为(0, 1).故答案为：(0, 1).15.【答案】1【考点】其他不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：原不等式等价于(x+2)(ax+1)<0，∵不等式的解集为(−2,−1)，∴−2，−1是方程(x+2)(ax+1)=0的根.将x=−1代入得a=1.故答案为：1.16.【答案】5【考点】基本不等式【解析】x，依题意，1≤t≤2，利用双钩函数的单调性质即可求得答案．令t=log2【解答】解：∵2≤x≤4，∴1≤logx≤2，2x，(1≤t≤2)，令t=log2(1≤t≤2)，则y=t+4t在[1, 2]上单调递减，由双钩函数的性质得：y=t+4t∴当t=1时，y max=5．故答案为：5．三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）17.【答案】解：因为a，b为正数，且a+2b=1，=1+2b a+2a b+4≥5+2√2b a⋅2a b=9，当且仅当2ba=2a b，即a =b =13时，等号成立，故1a+2b的最小值为9．【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】根据题意，得到1a +2b =(1a +2b )(a +2b)=5+2b a+2a b，由基本不等式，即可求出结果．【解答】解：因为a ，b 为正数，且a +2b =1， 所以1a +2b =(1a +2b )(a +2b) =1+2b a +2a b+4≥5+2√2b a ⋅2a b=9，当且仅当2ba =2ab，即a =b =13时，等号成立， 故1a +2b 的最小值为9． 18.【答案】解：（1）f′(x)=e x (x 2+x +a −1)，设切点为(x 0, y 0)，则切线方程为：y −e x 0(x 02−x 0+a)=e x 0(x 02+x 0+a −1)(x −x 0)，代入(0, 0)得x 03+ax 0−a =0，由题意知满足条件的切线恰有三条， 则方程x 3+ax −a =0有三个不同的解． 令g(x)=x 3+ax −a ，g′(x)=3x 2+a ．当a ≥0时，g′(x)≥0，g(x)是(−∞, +∞)上增函数，则方程x 3+ax −a =0有唯一解． 当a <0时，由g′(x)=0得x =±√−a3，g(x)在(−∞,−√−a3)和(√−a3，+∞)上是增函数，在(−√−a3，√−a3)上是减函数要使方程x 3+ax −a =0有三个不同的根， 只需{ g(−√−a3)>0g(√−a 3)<0.{ (−√−a3)3−a(√−a3)−a >0(√−a 3)3+a √−a 3−a <0.解得a <−274．（2）∵ g(x)=x 3+ax −a ，x →∞g(x)→∞g(−√−a3)>0， 由函数连续性知−∞<x 1<−√−a3，∵ a <−274，∴ g(−3)=−27−4a >0，且−3<−√−a3，∴ x 1<−3． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 不等式的综合【解析】（1）设切点为(x 0, y 0)，根据导数的几何意义求出函数f(x)在x =x 0处的导数，从而求出切线的斜率，即可表示出切线方程，然后减(0, 0)代入得x 03+ax 0−a =0，根据切线恰有三条，转化成方程x 3+ax −a =0有三个不同的解，最后利用导数研究即可； （2）根据g(x)=x 3+ax −a ，x →−∞,g(x)→−∞,g(−√−a3)>0，根据函数连续性知−∞<x 1<−√−a3，根据a 的范围可知g(−3)=−27−4a >0，即可求出x 1的范围． 【解答】 解：（1）f′(x)=e x (x 2+x +a −1)，设切点为(x 0, y 0)，则切线方程为：y −e x 0(x 02−x 0+a)=e x 0(x 02+x 0+a −1)(x −x 0)，代入(0, 0)得x 03+ax 0−a =0，由题意知满足条件的切线恰有三条， 则方程x 3+ax −a =0有三个不同的解． 令g(x)=x 3+ax −a ，g′(x)=3x 2+a ．当a ≥0时，g′(x)≥0，g(x)是(−∞, +∞)上增函数，则方程x 3+ax −a =0有唯一解． 当a <0时，由g′(x)=0得x =±√−a3，g(x)在(−∞,−√−a3)和(√−a3，+∞)上是增函数，在(−√−a3，√−a3)上是减函数要使方程x 3+ax −a =0有三个不同的根， 只需{ g(−√−a3)>0g(√−a 3)<0.{ (−√−a3)3−a(√−a3)−a >0(√−a 3)3+a √−a 3−a <0.解得a <−274．（2）∵ g(x)=x 3+ax −a ，x →∞g(x)→∞g(−√−a3)>0，由函数连续性知−∞<x 1<−√−a3， ∵ a <−274，∴ g(−3)=−27−4a >0， 且−3<−√−a 3，∴ x 1<−3． 19.解：（1）∵ 2x >8=23，且函数y =2x 在R 上是单调增函数， ∴ x >3．故x 的取值范围为{x|x >3}． （2）∵ 3x <127=3−3，且函数y =3x 在R 上是单调增函数，∴ x <−3．故x 的取值范围为{x|x <−3}． （3）∵(12)x>√2=212=(12)−12，且函数y =(12)x 在R 上是单调减函数，∴ x <−12．故x 的取值范围为{x|x <−12}．【考点】指、对数不等式的解法 【解析】（1）由题意，考查函数y =2x 在R 上的单调性，可得x 的取值范围； （2）考查函数y =3x 在R 上的单调性，结合不等式，可得x 的取值范围； （3）由题意，考查函数y =(12)x 在R 上的单调性，可得x 的取值范围． 【解答】 解：（1）∵ 2x >8=23，且函数y =2x 在R 上是单调增函数， ∴ x >3．故x 的取值范围为{x|x >3}． （2）∵ 3x <127=3−3，且函数y =3x 在R 上是单调增函数，∴ x <−3．故x 的取值范围为{x|x <−3}． （3）∵(12)x >√2=212=(12)−12，且函数y=(12)x 在R 上是单调减函数，∴ x <−12．故x 的取值范围为{x|x <−12}． 20.【答案】解：设房屋正面和侧面的长分别为xm ，ym ，则xy =36，房屋总造价为z 元. 则z =1200×3x +800×3y ×2+6000 =1200(3x +4y)+6000≥1200×2√3x ⋅4y +6000 =28800√3+6000≈55881.6.当且仅当3x =4y =12√3时，等号成立.故房屋正面长4√3m ，侧面长3√3m 时造价最低，最低约为55881.6元. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式此题暂无解析【解答】解：设房屋正面和侧面的长分别为xm，ym，则xy=36，房屋总造价为z元.则z=1200×3x+800×3y×2+6000=1200(3x+4y)+6000≥1200×2√3x⋅4y+6000=28800√3+6000≈55881.6.当且仅当3x=4y=12√3时，等号成立.故房屋正面长4√3m，侧面长3√3m时造价最低，最低约为55881.6元.21.【答案】解：不等式即：(x+1)(x−2)ax−1>0，可转化为高次不等式：(ax−1)(x+1)(x−2)>0，由a>−1可得1a∈(0,+∞)∪(−∞,−1)，分类讨论有：当1a<−1，−1<a<0时，不等式即：(−ax+1)(x+1)(x−2)<0，其解集为：(−∞,1a)∪(−1,2)；当a=0时，不等式的解集为：−1<x<2；当0<1a <2，a>12时，不等式的解集为：(−1,1a)∪(2,+∞)；当1a =2，a=12时，不等式的解集为：(−1, 2)∪(2, +∞)；当1a >2，0<a<12时，不等式的解集为：(−1,2)∪(1a，+∞)．【考点】其他不等式的解法【解析】将分式不等式转化为高次不等式，然后分类讨论即可求得最终结果．【解答】解：不等式即：(x+1)(x−2)ax−1>0，可转化为高次不等式：(ax−1)(x+1)(x−2)>0，由a>−1可得1a∈(0,+∞)∪(−∞,−1)，分类讨论有：当1a<−1，−1<a<0时，不等式即：(−ax+1)(x+1)(x−2)<0，其解集为：(−∞,1a)∪(−1,2)；当a=0时，不等式的解集为：−1<x<2；当0<1a <2，a>12时，不等式的解集为：(−1,1a)∪(2,+∞)；当1a =2，a=12时，不等式的解集为：(−1, 2)∪(2, +∞)；当1a >2，0<a<12时，不等式的解集为：(−1,2)∪(1a，+∞)．22.【答案】解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，因为沼气池的深为3米，容积为48立方米，所以底面积为16平方米，因为底面长为x米，所以底面的宽为16x米．依题意有y=1000+150×16+120×2(3x+3×16x)=3400+720(x+16x)，因为x>0，由基本不等式可得：y=3400+720×(x+16 x )≥3400+720×2√x×16x，即y≥3400+720×2√16，所以y≥9160．当且仅当x=16x，即x=4时，等号成立，所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9160元，最低的总造价没有超出该农户的预算．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，因为沼气池的深为3米，容积为48立方米，所以底面积为16平方米，因为底面长为x米，所以底面的宽为16x米．依题意有y=1000+150×16+120×2(3x+3×16x)=3400+720(x+16x)，因为x>0，由基本不等式可得：y=3400+720×(x+16 x )≥3400+720×2√x×16x，即y≥3400+720×2√16，所以y≥9160．当且仅当x=16x，即x=4时，等号成立，所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9160元，最低的总造价没有超出该农户的预算．。
高中数学必修5单元配套练习试题3.4 基本不等式及参考答案解析
3.4 基本不等式姓名:___________班级:______________________1.若实数,a b 满足1,a b +=则33a b +的最小值是( )A.18B.6C.2.已知0,0x y >>,且22x y +=,则xy 的最大值是( ) A.14 B.12C.4D.83.若正实数,a b 满足12a b +=,则ab 的最小值为( )2 C.44.已知0x <,函数4y x x=+的最大值是( )A. - D.−45.若对任意20,1x x a x x >≤++恒成立,则实数a 的最小值是( ) A.13 B.14 C.15 D.16 6.下列函数中,最小值为2的是( ) A.1y x x =+ B.33x x y -=+ C.()1lg 01lg y x x x=+<< D.1πsin 0sin 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ 7.已知不等式2201x m x ++>-对一切(1,)x ∈+∞恒成立,则实数m 的取值范围是( )A.6m >-B.6m <-C.8m >-D.8m <-8.设,x y 均为正实数,且33122x y+=++,则xy 的最小值为 ( )A.4B.9.已知,a b 均为正数,且2是2a 与b 的等差中项,则ab 的最大值为 .10.若1a >,则11a a +-的最小值是______.11.已知0a >,0b >,1c >,且1a b +=,则2121a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为 .12.求解下列问题:(1)若0>x ,求4()f x x x =+的最小值; (2)已知310<<x ,求函数)31(x x y -=的最大值. 13.设1x >-,求=y 1(5)(2)x x x +++的最大值. 14.为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm)满足关系:()35k C x x =+(010x ≤≤,k 为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及()f x 的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用()f x 达到最小？并求最小值.参考答案1.C【解析】当1a b +=时,33a b +≥=当且仅当12a b ==时取等号.故选C. 考点:基本不等式.2.B 【解析】221121212222222x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1,12x y ==时,等号成立,故选B.考点:基本不等式的应用.3.C【解析】对于正实数,a b ,由基本不等式可知abb a 2221≥+,当且仅当将b a 21=时取等号,则2222≥⇒≥ab abab ,故选C. 考点:基本不等式的运用.4.D 【解析】()44y x x x x ⎡⎤⎛⎫=+=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 因为0x <,所以40,0,x x ->->所以()44x x ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭, 所以()44y x x ⎡⎤⎛⎫=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 当且仅当2x =-时,等号成立,所以函数的最大值为4-.考点:基本不等式的应用.5.A【解析】因为0>x ,所以2111112131x x x x x=≤=+++++(当且仅当x x 1=,即1=x 时,等号成立),则实数a 的最小值为13.故选A. 考点:基本不等式,不等式恒成立.6.B【解析】A 项中,因为自变量x 可以为负数,所以函数值可以小于零,故错误;B 项中, ,03,03>>-x x 由基本不等式可知233233=⋅≥+--x x x x ,当且仅当0=x 时取等号,故正确;C 项中,0lg 10<⇒<<x x ,即函数值恒为负数,故错误;D 项中,由基本不等式可知当且仅当1sin =x 时取到最小值2,但是当π02x <<时,1sin 0<<x ,故错误.故选B. 考点:基本不等式与函数的最值.7.A 【解析】原不等式可化为221m x x -<+-,令2()21f x x x =+-,则2()2(1)21f x x x =-++-26≥=,当且仅当22(1)1x x -=-,即2x =时,()f x 取最小值6,因此要使不等式恒成立,应满足6m -<,解得6m >-.考点:基本不等式的应用,不等式恒成立问题.8.D【解析】因为,x y 均为正实数,33122x y +=++,所以3301,0122x y <<<<++,即1,1x y >>,所以81y x y +=-, 所以()()()22110198891101111y y y y y xy y y y y y y -+-+++=⋅===-++----1016≥=,当且仅当911y y -=-,即4y = 时,取等号,故选D. 考点:基本不等式的应用.9.2【解析】由题意,得42a b =+≥当且仅当2a b =,即1,2a b ==时等号成立,所以02ab <≤,所以ab 的最大值为2.考点:等差数列的性质,基本不等式.10.3【解析】1a >,则10a ->,则()111111a a a a +=-++≥--13+=,当且仅当1121a a a -=⇒=-时,等号成立,所以11a a +-的最小值是3. 考点:由基本不等式求最值.11.4+【解析】由题意得,222221()2222a a a b a ab b a b ab ab ab b a +++++===++≥22+=,当且仅当21,,21a b a b a b a b ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎩时,等号成立,∴)21212111a c c ab c c c ⎛⎫+-⋅+≥+=-++≥⋅ ⎪---⎝⎭4=+,当且仅当1)112c c c -=⇒=+-时,等号成立.综上,所求最小值为4+考点:基本不等式求最值. 12.(1)4 (2)112【解析】(1)∵0x >,40x >, ∴()44f x x x =+≥=, 当且仅当4x x=,即2=x 时取等号.故()min 4f x =. (2)310<<x ,031>-∴x , 121231331)31(331)31(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-=∴x x x x x x y , 当且仅当x x 313-=,即61=x 时取等号.121max =∴y . 考点:利用基本不等式求函数最值. 13.19【解析】1x >-,10x ∴+>,设10x t +=>,则1x t =-,于是有211.4(4)(1)5495t t y t t t t t t ===≤=++++++ 当且仅当4t t =,即2t =时取等号,此时1x =.∴当1x =时,函数取得最大值19. 考点:基本不等式. 14.(1)40k =,()()800601035f x x x x +≤≤+= (2)隔热层修建5 cm 厚时,总费用()f x 达到最小,最小值为70万元【解析】(1)当0=x 时,8C =,40=∴k ,5340)(+=∴x x C ,)100(5380065340206)(≤≤++=+⨯+=∴x x x x x x f . (2)1053800)53(2)(-+++=x x x f , 设]35,5[,53∈=+t t x ,701080022108002=-⋅≥-+=∴t t t t y . 当且仅当8002t t=,即20t =时,等号成立.这时5=x ,因此)(x f 的最小值为70. 即隔热层修建5 cm 厚时,总费用()f x 达到最小,最小值为70万元.考点:函数模型的选择与应用,函数最值的应用,利用基本不等式求最值.。
完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题
完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题基本不等式练题一、单项选择1.已知$x>0$，函数$y=\frac{4}{x}+x$的最小值是（）A．4.B．5.C．6.D．82.在下列函数中，最小值为2的是（）A $y=x+1$B $y=3x+3-x^2$C $y=\log_{10}x+\frac{11}{\pi}$D $y=\sin x+\log_{10}(x\sin^2x)$3.已知$\frac{5}{3}x+\frac{3}{5}y=1(x>0,y>0)$，则$xy$的最小值是（）A．15.B．6.C．60.D．14.已知$x>1,y>1$且$xy=16$，则$\log_2x\cdot\log_2y$（）A．有最大值2.B．等于4.C．有最小值3.D．有最大值465.若$a,b\in\mathbb{R}$，且$ab>0$，则下列不等式中恒成立的是（）A．$a^2+b^2>2ab$。
B．$a+b\geq2ab$。
C．$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{2}{a+b}$。
D．$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$6.若正数$a$、$b$满足$ab=a+b+3$，则$a+b$的取值范围是（）A．$[9,+\infty)$。
B．$[6,+\infty)$。
C．$(0,9]$。
D．$(0,6)$7.已知正项等比数列$\{a_n\}$满足$a_7=a_6+2a_5$。
若存在两项$a_m$,$a_n$使得$a_ma_n=4a_1$，则$(19+\sqrt{17})$的最小值为（）A．3456.B．811.C．1417.D．198.设$0<b<a<1$，则下列不等式成立的是()A．$a+b>1$。
B．$a+b1$9.已知$a+2b=2(a,b>0)$，则$ab$的最大值为( )A。
高中数学必修五基本不等式练习题
（1）求y关于x的表达式；（2）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？
基本不等式练习题
一、单项选择
1.已知 ，函数 的最小值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
3.在下列函数中，最小值为2的是（）
A B
C D
4.已知 ，则 的最小值是（）
A．15B．6C．60D．1
5.已知 且 ，则 （）
A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4
6.若 ，且 ，则下列不等式中恒成立的是（）
A．a+bB．2 C．a2+b2D．2ab
12.知 ，且 成等比数列，则 有( )
A、最小值 B、最小值 C、最大值 D、最大值
13. 的最大值为（）
A．9 B． C． D．
14. ，则 取最小值时 的值为（）
A． B． C． D．
15.知 ，且 ，则下列不等式中不正确的是（）
A． B． C． D．
22. 是在直线 上移动，则 的最小值为
24.知 ，则 的最小值是__________．
25. 的最大值是_________.
26.＞ ，则 的最大值是___________.
27.实数 满足 ,则 的取值范围是________
28.知 都是正实数，函数 的图像过点（0,1），则 的最小值是.
29.实数 满足 且 ，恒成立，则 的取值范围是____________．
30.若 、 为正整数，且满足 ，则 的最小值为_________；
高中数学必修五基本不等式练习题
高中数学必修五基本不等式练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN基本不等式练习题一、单项选择1. 已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ． 4 B ．5 C ． 6 D ．83. 在下列函数中，最小值为2的是（ ）A xx y 1+= B x x y -+=33 C )101(lg 1lg <<+=x x x y D )20(sin 1sin π<<+=x x x y 4. 已知)0,0(135>>=+y x yx ，则xy 的最小值是 （ ） A ．15 B ．6 C ．60 D ．15. 已知 1,1x y >> 且16xy =，则22log log x y ⋅（ ）A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值46. 若R b a ∈,，且0>ab ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．ab b a 222>+B ．ab b a 2≥+C ．abb a 211>+ D ．2≥+b a a b 7. 若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是（ ）A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(8. 已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+.若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =，则19m n +的最小值为( )A 83B 114C 145D 176 9.设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )22.b a 、是正实数，以下不等式 ① ba ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+ab ab 恒成立的序号为 23.(,)x y 在直线23x y +=上移动，则24x y +的最小值为24.知0,0,8x y x y xy >>++=，则x y +的最小值是__________．25.)21(,210x x x -<<则的最大值是_________. 26.＞0，则=y 24x x +的最大值是___________. 27.实数,x y 满足2244xy x y ,则88x y 的取值范围是________ 28.知b a ,都是正实数，函数b ae y x +=2的图像过点（0,1），则ba 11+的最小值是 . 29.实数,ab 满足221a b +=且c a b <+，恒成立，则c 的取值范围是____________．30.若x 、y 为正整数，且满足4161x y+=，则x y +的最小值为_________； 31.)0,0(1>>=+b a b a ，则b a 11+的最小值为32.y x ,均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为 ． 三、解答题33.知,a b 是不相等的正常数，实数,(0,)x y ∈+∞.（Ⅰ）求证：222()a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件； （Ⅱ）求函数211(),(0,)122f x x x x =+∈-的最小值，并指出此时x 的值． 34.制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．（1）求y关于x的表达式；（2）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？。
高二数学必修5 不等式单元测试
不等式单元测试一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）1.已知a ，b ，c ∈R ＋，若c a ＋b <a b ＋c <b a ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a2.下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 3.设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1b －1的最小值为( )A ．3＋22B ．6C ．42D ．2 2 4.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．x ＋2y －8≥0D ．2x －y ＋1≥0来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间三角形，则实数p 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2] C.⎝⎛⎭⎫12，72D.⎝⎛⎭⎫12，39.设a ∈R ，关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0的解集有下列四个命题：①原不等式的解集不可能为∅；②若a ＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；③若a <－12，则原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，2；④若a >0，则原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－1a ∪(2，＋∞)．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410.若函数f (x )＝2x 2－ax －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a 的值为( )A ．0 B.32C ．1 D.1211.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x >0，则关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞)12.设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(7，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)二、填空题（本大题共有4个小题，每题5分，共20分）13.已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤） 17.当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k的值．18.已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．19.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． ①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20.已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．21.某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？22.已知常数a R ∈，解关于x 的不等式220.ax x a -+<不等式单元测试AAACB CCACB DA8.解析 对任意的正实数x ，y ，由于a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy ＋2xy >p xy ，且p xy ＋xy >2xy ，且p xy ＋2xy >xy ，解得1<p <3，故实数p 的取值范围是(1,3)，故选A.9.解析 原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)>0.当a ＝0时，不等式化为x －2>0，得x >2.当a ≠0时，方程(ax ＋1)(x －2)＝0的两根分别是2和－1a ，若a <－12，解不等式得－1a <x <2；若a ＝－12，不等式的解集为∅；若－12<a <0，解不等式得2<x <－1a ；若a >0，解不等式得x <－1a 或x >2.故①为假命题，②③④为真命题．10.解析 由题意得f (x )＝2x 2－a x －1＝2 x －1 2＋4 x －1 ＋2－ax －1＝2(x －1)＋2－ax －1＋4≥22 x －1 ·2－a x －1＋4＝24－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－ax －1，即x ＝1＋2－a 2时，等号成立，所以24－2a ＋4＝6，即a ＝32，故选B. 11.解析 画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． ∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x .解得－3<x <1，∴－3<x ≤－ 3.(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立．(3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴直线x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1.(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3. 综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)．12.解析 由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知f (0)＝a ＋3，f (1)＝4，又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0，知Δ＝a 2－4(a ＋3)>0，即a <－2或a >6.又g (x )＝ax －2a 的图象恒过(2,0)，故当a >6时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图1所示，当a <－2时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示．由函数的图象知，当a >6时，g (x 0)<0⇔x 0<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >6，f 2 <0，∴a >7.当a <－2时，g (x 0)<0⇔x 0>2，此时函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a2<0，故函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a2，＋∞上为增函数，又f (1)＝4，∴f (x 0)<0不成立．综上，实数a 的取值范围为a >7，故选A.13. (－∞，－1)；14. -3；15. 32当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k3.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－k 3，－k 3，则z 的最大值为－k 3＋3⎝⎛⎭⎫－k 3＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.18.解 (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.(4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66. 19.解 ①当0＜x ＜80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250＝1 200－(x ＋10 000x)．∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80).②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大 20.解 由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0，∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，∴≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.21.解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t ＝30n － 81＋n 2 n ＝30－81n －n ＝30－⎝⎛⎭⎫81n ＋n ≤30－281n·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)， ∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①. 22.解（1）若0a =，则原不等式为20x -<，故解集为{}|0x x >. （2）若20,44a a >∆=-……………………2分①当0∆>，即01a <<时，方程220ax x a -+=的两根为12x x ==，∴原不等式的解集为|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩. ②当0∆=时，即1a =时，原不等式的争集为∅.③当0∆<，即1a >时，原不等式的争集为∅.…………6分 （3）若20,44a a <∆=-.①当0∆>，即10a -<<，原不等式的解集为|x x ⎧⎪<⎨⎪⎩或x >. ②当0∆=时，即1a =-时，原不等式化为2(1)0x +>， ∴原不等式的解集为{}|1x x R x ∈≠-且.③当0∆>，即1a <-时，原不等式的解集为R ……………………10分 综上所述，当1a ≥时，原不等式的解集为∅；当原不等式的解集为|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩； 当0a =，原不等式为{}|0x x >；当10a -<<时，原不等式的解集为|x x ⎧⎪<⎨⎪⎩或x >.； 当0∆=时，1a =-时，原不等式的解集为{}|1x x R x ∈≠-且. 当1a <-时，原不等式的解集为R ……………………………..12分。
必修5基本不等式单元测试
必修5 第三章 不等式单元练习一、选择题１.若0<<b a ，则下列不等关系中，不能成立的是 （ ）A ．b a 11>B ．ab a 11>- C ．3131b a < D ．3232b a > ２.已知集合S =R ，2{|230},{||2|2}A x x x B t t =--≤=-<，那么集合()S C A B ⋃等于A ．}30|{≤<x xB ．RC ．}3,0|{<≤x x x 或D ．{|1,4}x x x <-≥或3.下列各一元二次不等式中，解集为空集的是 （ ）A ．(x +3)(x －1)>0B ．(x +4)(x －1)<0C ．x 2－2x +3<0D ．2x 2－3x －2>04.下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．y=x ＋x 1B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2π)C ．y=2322++x x D ．y=x ＋12-x 5．若0＜a ＜1，则不等式（x －a ）(x －1a)>0的解集是 （ ） A ．(a ，1a ) B ．(1a ，a ) C ．(－∞，a )∪(1a ，+∞) D ．(－∞，1a )∪(a ，+∞) 7．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.15二、填空题10.比较大小：233255______b a b a b a ++11．不等式1-x ax ＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2},那么a 的值为__________. 12．不等式0)1()10)(3(2≥---x x x x 的解集是___________. 13．已知x ＜45,则函数y =4x -2+541-x 的最大值为 . 三、解答题16. 解下列关于x 的不等式（1）06732<+--x x （2）2421≤+-x x （3）0122<--x x17.设2()(8),f x ax b x a ab =+---不等式()0f x >的解集是（－3，2）.（1）求()f x ；（2）当函数f （x ）的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.18．（1）已知0,0>>y x ，且22=+y x ，求xy 的最大值； （2）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值；19．(1)已知关于x 的不等式02)1(2≥+-+x m x 的解集为R ，求m 的取值范围.(2)已知关于x 的不等式02)1()1(2<+-+-x m x m 的解集为Φ，求m 的取值范围.。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（ ） A ．52 B ．9 C ．1 D ．942．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．33．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ） A ．53- B ．15- C ．13 D ．954．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（ ）A ．15人B ．16人C ．17人D ．18人 5．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）． A ．12a a +≥ B ．222(1)a b a b +≥+-C≥D ．3322a b ab +≥ 6．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ）A ．254B ．499 C ．14425 D ．22549 7．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>8．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．329．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．210．设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ） A ．5- B ．3 C ．5-或3 D ．5或3- 11．已知4213332,3,25a b c ===，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 12．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．8D ．12二、填空题13．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11a b a b+--的最小值为____________. 14．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．15x =______. 16．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.17．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______． 18．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.19．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件：213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，若z 的最大值为11，则k 的值为______.20．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则y x 的取值范围为__________． 三、解答题21．某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <≤时，年利润为21()2R x x =-20250x ++，当35x >时，年利润为()18005202R x x x=--+. （1）若公司生产量在035x <≤且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围； （2）求公司年利润()R x 的最大值.22．已知关于x 的一元二次不等式2(1)0ax a x b -++<的解集为112x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若不等式2(2)30bx m a x m +++-≥对任意实数[0,4]m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．23．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<．（1）求a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()20ax ac b x bc +--<的解集． 24．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩， （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.25．解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++>．26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价；（2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 利用22222211111(4)4x y x y xy ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】 由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立． 故选：D ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．2．B解析：B【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值.【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥， 所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立.因此，+a b 的最小值为7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D【分析】 首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2y x -的几何意义求z 的最大值. 【详解】 24222x y y z x x +-==+-- 设2y m x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.【点睛】 关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题. 4．D解析：D【分析】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果.【详解】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，则737y x y x <<⎧⎨≥+⎩，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，根据不等式的解为整数，则阴影部分只有()6,5A 满足，6,5x y ∴==，该志愿者服务队总人数为76518++=人.故选：D.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.5．D解析：D【解析】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误.详解：332222()()a b ab a b a ab b +-=-+-，当12b a b <<有3322a b ab <+， 故D项错误，其余恒成立：1122,a a a a+≥=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-当a b ≥时0a b a b a b a b ---+≥---+=⇒当a b <0>>D ．点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力. 6．C解析：C【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值.【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=125=， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7．C解析：C【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩ 则()32611f x x x x c =+++所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜，故选C .【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．8．B解析：B【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，本题选择B 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.9．C解析：C【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案.【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示， 目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值， 又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．B解析：B【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值.【详解】根据题中约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示， 两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当0a =时，z x ay =+无最小值； 当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.11．A解析：A【详解】因为4222 33332=4,3,5a b c===，且幂函数23y x=在(0,)+∞上单调递增，所以b<a<c.故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.12．C解析：C【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y=+转化为斜截式，即22x zy=-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件4040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y=+转化为斜截式，即22x zy=-+，平移直线2xy=-，由图可知当直22x z y =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩， 所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.二、填空题13．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其12【分析】 将所求代数式变形为1121121a b a b b b+=+----，将所求代数式与()1b b +-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得11a b a b +--的最小值. 【详解】已知正实数a 、b 满足21a b +=，则1211112112121a b b b a b b b b b--++=+=+-----()111111122112222b b b b b b b b -⎛⎫=+-+-=+-≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭.当且仅当1b -=时，即当1b =时，等号成立，因此，11a b a b +--12.12. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值 解析：23【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c ，则由图可知12c ≥，即2c ≥， 将2z y x =-化为122z y x =+， 观察图形可知，当直线122z y x =+经过点A 时，z 取得最大值， 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y b z x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率；（2）z ax by =+，可看作直线a z y x b b =-+的截距问题； （3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.15．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解解析：4【分析】11=+-，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】11≥，111615=-≥=-=，1=4x =时，等号成立. 故答案为：4.【点睛】11，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解. 16．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点 解析：10【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】 解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+， 平移直线322z y x =-+， 由图象可知当直线322z y x =-+， 经过点A 时，直线322z y x =-+，在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ， 此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 17．【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等 解析：()2,1--【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出20a b =<，写出满足条件的一组有序实数对即可．【详解】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩， 即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--．故答案为()2,1--．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．18．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.19．23【分析】先画出约束条件所表示的可行域结合图象确定目标函数的最优解代入最优解的坐标即可求解【详解】画出不等式组所表示的可行域如图所示可得交点又由解得目标函数可化为当直线过点C 时直线在轴上的截距最大 解析：23【分析】先画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入最优解的坐标，即可求解.【详解】画出不等式组213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，可得交点(0,1),(7,1)A B ，又由21211x y y x -=-⎧⎨-=⎩，解得(3,7)C ，目标函数2z y x =-可化为122z y x =+， 当直线122z y x =+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 将C 代入直线320x y k +-=，解得23k =.故答案为：23【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象得出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合法，以及计算能力. 20．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出可行域，y x表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.【详解】如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩表示的平面区域ABC （包括边界），所以y x 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题. 三、解答题21．（1）1030x ；（2）480．【分析】（1）令21()202504002R x x x =-++，解之即可； （2）利用二次函数的最值和基本不等式分别求出()R x 两段函数的最大值,再比较大小即可．【详解】（1）当035x <时，令21()202504002R x x x =-++， 即2403000x x -+≤，解得1030x ，所以生产量x 的范围是1030x ；（2）当035x <时，222111()20250(40)250(20)450222R x x x x x x =-++=--+=--+， 故此时()R x 在(0,20)上单调递增，在(20,35)上单调递减，则此时()R x 最大值为(20)450R =；当35x >时，1160011600()()52052048022R x x x x x=-++≤-⨯⨯=，当且仅当160040x x==时，等号成立， 则此时()R x 最大值为(40)480R =，综上公司年利润()R x 的最大值为480万元．【点睛】本题考查了函数的应用，利用二次函数的性质和基本不等式求最值是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（Ⅰ）2,1a b =-=；（Ⅱ）{}(,1]1[3,)-∞-⋃⋃+∞．【详解】试题分析：（1）一元二次不等式的解集的端点即相应的二次方程的根；（2）二次不等式恒成立问题结合相应的函数图象特征，抓端点值即可.试题（Ⅰ）由根与系数的关系得11122,1112a a ab b a +⎧-+=⎪⎪⇒=-=⎨⎪-⨯=⎪⎩ （Ⅱ）由题意()2430x m x m +-+-≥对任意[]0,4m ∈恒成立，即()21430m x x x -+-+≥令()()2143g m x m x x =-+-+，即()()220430410g x x g x ⎧=-+≥⎪⎨=-≥⎪⎩， 故(]{}[),113,x ∈-∞-⋃⋃+∞. 23．（1）13a b =⎧⎨=⎩；（2）分类讨论，答案见解析． 【分析】（1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出a 、b 的值；（2）不等式化为2(3)30x c x c +--<，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等式的解集．【详解】（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2430ax x -+=的两根， 由根与系数的关系有4131b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩． （2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(3)30x c x c +--<，即(3)()0x x c -+<．其对应方程的两根为13x =，2x c =-①当3c ->即3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；②当3c -<即3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；③当3c -=即3c =-时，原不等式的解集为∅；综上所述：当3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；当3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；当3c =-时，原不等式的解集为∅；【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论．24．（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩； （2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x =--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.25．见解析【分析】由题意，将不等式()2230x a a x a -++>变形为2(0)()x a x a -->，分三种情况讨论，分别求解不等式的解集，即可得到答案．【详解】将不等式()2230x a a x a -++>变形为()()20x a x a -->.当a <0或1a >时，有a < a 2，所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >；当a =0或1a =时，a = a 2=0，所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >；【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.26．（1）16()36005800(0)f x x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭（2）当底面的长宽分别为4m ，3m 时，可使房屋总造价最低，34600元.【分析】（1）设底面的长为x m ，表示出正面，侧面面积，可得总造价；（2）由基本不等式可得最小值．【详解】解：（1）设底面的长为x m ，宽y m ，则12y x=m. 设房屋总造价为()f x ，由题意可得 1216()3120038002580036005800(0)f x x x x x x ⎛⎫=⋅+⨯⨯⨯+=++> ⎪⎝⎭（2）16()360058003600580034600f x x x ⎛⎫=++≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x x=即4x =时取等号. 答：当底面的长宽分别为4m ，3m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元.【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是根据已知条件引入变量（长度x ），列出总造价的函数式，从而再由基本不等式求得最小值．。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
必修五第三章《不等式》单元水平检测题及答案
必修五第三章《不等式》单元水平检测题一、选择题。
(60分)1．设a<b<0，则下列不等式中不能成立的是（ ）A ．1a >1bB ．１a-b ＞1aC ．a bD ．22b a >2．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（ ）。
A. 10 B. 10- C. 14 D. 14-3、一元二次不等式02>++n mx mx 的解集是{}12|<<-x x ，则m ，n 的值分别是（ ）A 、3,23=-=n mB 、3,23==n mC 、3,23-==n mD 、3,23-=-=n m 4、不等式0322>-+x x 的解集是（ ）A.{x|-1＜x ＜3}B.{x|x ＞3或x ＜-1}C.{x|-3＜x ＜1}D.{x|x>1或x ＜-3}-5、若对于任何实数，二次函数y=a x 2-x+c 的值恒为负，那么a 、c 应满足（ ）A 、a ＞0且a c ≤41 B 、a ＜0且a c ＜41 C 、a ＜0且a c ＞41 D 、a ＜0且a c ＜0 6、在坐标平面上，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤020,3y x y x x 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．28B ．16C ．439 D ．121 7、不等式6)23)(5(-≥-+x x 的解集是（ ）A 、}29,1|{≥-≤x x x 或B 、}291|{≤≤-x xC 、}1,29|{≥-≤x x x 或D 、}129|{≤≤-x x 8．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值 1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值2而无最小值9、不等式1213≥--xx 的解集是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或 D ．{}2|<x x 【10、关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－111、、对于任意实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 取值范围是( )A 、()2,∞-B 、(]2,∞-C 、（－2,2）D 、(]2,2-12、的取植范围是的两侧，则）在直线，）和（，点（a a y x 0236413=+--（ ） A ．24,7>-<a a 或 B. 24,7=-=a a 或 C. 247<<-a D. 724<<-a 二填空题。
高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题含答案
高中数学必修五第三章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<03．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．PMC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0)C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0)D ．(－4,0]10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C．4 D.1 211．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－312．设a>0，b>0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为( )A．8 B．4C．1 D.1 4二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．14．函数y＝13－2x－x2的定义域是________．15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm，左右空白各1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝144v(v>0)．v2－58v＋1 225(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)和g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f(0)＝10，g(0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？高中数学必修五第三章单元测试题《不等式》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③答案 B2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0 答案 C解析 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，故选C.3．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．P MC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅答案 C4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)答案 B解析 ∵x －1x －4<0⇔(x －1)(x －4)<0，∴1<x <4，即B ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝(3,4)，故选B.5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0) C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x 答案 D解析 y ＝x 2＋2x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；y ＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1>2(x >0)；y ＝sin x ＋csc x ＝sin x ＋1sin x>2(0<sin x <1)；y ＝7x ＋7－x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)．6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)答案 B7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]答案 C解析 画可行域如图：当直线y ＝x －z 过A 点时，z min ＝－1. 当直线y ＝x －z 过B 点时，z max ＝2. ∴z ∈[－1,2]．8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )答案 C9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0) D ．(－4,0]答案 D10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C ．4D.12答案 D 11．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3答案 D 12．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1D.14 答案 B解析 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．答案 (23，＋∞) 14．函数y ＝13－2x －x2的定义域是________． 答案 {x |－3<x <1}15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm ，左右空白各1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.答案 56解析 设阴影部分的高为x dm ，宽为72xdm ，则四周空白部分面积是y dm 2，由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x )≥8＋2×2x ×144x ＝56.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析 由题意得当x >0时，恒有m <x ＋4x 成立．设f (x )＝x ＋4x，x >0，则有f (x )＝x ＋4x ≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x ，x >0的最小值是4.所以实数m 的取值范围是(－∞，4)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．答案 (1)(2，＋∞) (2)[1,2]18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 答案 16解析 由于x >0，y >0，1x ＋9y＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9x y＋10 ≥2y x ·9x y ＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y 时，等号成立，又由于1x ＋9y＝1. 所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1－a ＝b ＋c ≥2bc >0，1－b ＝a ＋c ≥2ac >0，1－c ＝a ＋b ≥2ab >0.∴(1－a )(1－b )(1－c )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .∴原不等式成立．20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？解析 设A 厂工作x 小时，B 厂工作y 小时，总工作时数为t 小时，则目标函数t ＝x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥20，x ≥0，y ≥0.可行域如图所示，而符合题意的解为此内的整点，于是问题变为要在此可行域内，找出整点(x ，y )，使t ＝x ＋y 的值最小．由图知当直线l ：y ＝－x ＋t 过Q 点时，纵截距t 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝20，得Q (4,12)．答：A 厂工作4小时，B 厂工作12小时，可使所费的总工时最少．21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝144v v 2－58v ＋1 225(v >0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？思路分析 (1)利用基本不等式求最大车流量，(2)转化为解不等式．解析 (1)依题意，有y ＝144v ＋1 225v－58≤1442 1 225－58＝12， 当且仅当v ＝1 225v，即v ＝35时等号成立， ∴y max ＝12，即当汽车的平均速度v 为35千米/时，车流量最大为12.(2)由题意，得y ＝144v v 2－58v ＋1225>9. ∵v 2－58v ＋1225＝(v －29)2＋384>0，∴144v >9(v 2－58v ＋1225)．∴v 2－74v ＋1225<0.解得25<v <49.即汽车的平均速度应在(25,49)内．22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x )和g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f (0)＝10，g (0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？解析 (1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥f x ＝14x ＋10， ①x ≥g y ＝y ＋20， ②成立，双方均无失败的风险．由①②得y ≥14(y ＋20)＋10⇒4y －y －60≥0， ∴(y －4)(4y ＋15)≥0.∵4y ＋15>0，∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y ＋20≥4＋20＝24.∴x min ＝24，y min ＝16.即要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．。
必修五不等式单元测试题精编版
最新资料推荐人教版必修五《不等式》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 不等式x 2> 2x 的解集是（ ）A . {x|x 》2}B . {x|x w 2}C . {x|O W x < 2}D . {xX < 0 或 x > 2} 2. 下列说法正确的是（ ）A . a>b? ac 2>bc 2B . a>b? a 2>b 2C . a>b? a 3>b 3D . a 2>b 2? a>b3.直线3x +2y + 5 = 0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是（）5小题，每小题5分，共25分） 1——恒有意义，则常数 k 的取值范围是kx + kx + 11 2 112.不等式 log^x — 2x — 15)>log?(x + 13)的解集是 _________13.函数f(x)= "x ；2+ l^4 — x 的定义域是 ______________ .x 3 14. x > 0, y > 0, x + y <4所围成的平面区域的周长是 ___________A . (— 3,4) I x 一 1 4. 不等式 >1的解集是( )x + 2 A . {x|x< — 2}5. 设 M = 2a(a — 2) + 3, N = (a — 1)(a — 3), a € R ，则有(B . (— 3,— 4)C . (0, — 3)B . {x|-2<x<1}C . {xx<1}B . M > NC . M<N 2x — y + 2 > 0, 6.不等式组S x + y — 2w 0, 表示的平面区域的形状为 M>N A . 三角形7.设 z = x — A .1&若 关于x A . m>2 B .平行四边形C .梯形x + y — 3> 0, D . (- 3,2)D .正方形9.已知定义域在实数集时，f(x)>1，那么当A . f(x)< — 1 x + 2 10.若 3^<0， A . y =— 4xy ,式中变量x 和y 满足条件"i x — 2y > 0,B . — 1C . 32的函数y = x + m ~在(0, +m )的值恒大于4,xB . m< — 2 或 m>2C . — 2<m<2 R 上的函数y = f(x)不恒为零，同时满足x<0时，一定有( )B . — 1<f(x)<0C . f(x)>1 则z 的最小值为（）D . m<— 2f(x + y) = f(x) •y)，且当 x>0化简 y =寸25 — 30x + 9x 2 — p (x + 2 丫 — 3 的结果为()B . y = 2— xC . y = 3x — 4D . y = 5 — x二、填空题（本大题共 11 .对于x € R ，式子15.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元.预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、最新资料推荐 ............................................ 最新资料推荐 ..................................... 八月份销售总额相等•若一月份至十月份销售总额至少达 7000万元，则x 的最小值是三、解答题（本大题共6小题，共75分）16. （12 分）已知 a>b>0, c<d<0, e<0，比较一^与士，的大小. a — c b -d17. （12分）解下列不等式:218. (12分)已知m € R 且m< — 2,试解关于x 的不等式：(m + 3)x — (2m + 3)x + m>0.|2x + y — 4W 0,19. （12分）已知非负实数x , y 满足x + y — 3w 0.（1） 在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域; （2） 求z = x + 3y 的最大值.20. （13分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近 20天内的销售量（件）与价格（元）均为 时间t （天）的函数，且销售量近似满足 g （t ）= 80 — 2t （件），价格近似满足f （t ） = 20 —寺—10|（元）. （1） 试写出该种商品的日销售额 y 与时间t （0w t w 20）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.21. （14分）某工厂有一段旧墙长 14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面 积为126 m 2的厂房，工程条件是：（1）建1 m 新墙的费用为a 元；⑵修1 m 旧墙的费用为£元;4（3）拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为|元. 经讨论有两种方案：①利用旧墙x m （0<x<14）为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面长 x > 14.试比较①②两种方案哪个更好.2 | c 2 (1) — X + 2X —(2) 9x 2— 6x + 1 > 0.必修5第三章《不等式》单元测试题最新资料推荐命题：水果湖高中胡显义1 •解析： 原不等式化为x 2— 2x > 0,则x < 0或x > 2. 答案：D2 •解析： A 中，当c = 0时，ac 2= bc 2，所以A 不正确；B 中，当a = 0>b =— 1时，a 2= 0<b 2 = 1，所以B 不正确；D 中，当（一2）2>（ — 1）2时，一2< — 1，所以D 不正确•很明显 C 正 确.答案：C3 •解析：当x = y = 0时，3x + 2y + 5 = 5>0 ,所以原点一侧的平面区域对应的不等式是 3x+ 2y + 5>0，可以验证，仅有点（—3,4）的坐标满足 3x + 2y + 5>0. 答案：A4 •解析：x — 1 x — 1 — 3>1? — 1>0? >0? x + 2<0? x<— 2. x + 2 x + 2 x + 2 答案：A 5 •解析： 2M — N = 2a(a — 2) + 3— (a — 1)(a — 3) = a > 0,所以M > N. 答案：B在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分.则平面区域是 △ ABC.答案：A答案：A2& 解析：•/ x + > 2|m|, ••• 2|m|>4.x• m>2 或 m<— 2. 答案：B9 •解析：令 x = y = 0 得 f(0) = f (0), 若f(0) = 0，贝U f(x)= O f (x) = 0与题设矛盾.6 •解析:7.解析: 画出可行域如下图中的阴影部分所示•解方程组 x + y — 3= 0,得 A(2,1) •由图知，当直线 x — 2y = 0.2— 1 = 1.y = x — z 过 A时,••• f(0) = 1.又令y= —x,.・. f(0) = f(x) f( —x),1故f(x)= ——.f(—x)■/ x>0 时，f(x)>1 , • x<0 时，0<f(x)<1，故选D.答案：Dx + 2 510•解析：一k <°，一2<x<3.而y =p25 —30x + 9x2-Q(x+ 2 f —3 = |3x—5|—|x+ 2| —3= 5—3x—x— 2 —3= —4x. ••选 A.答案：A二、填空题(填空题的答案与试题不符)11 •对于x€ R ,式子厂^^=恒有意义，则常数k的取值范围是______________________ .寸kx + kx+ 1解析：式子——2 ' 恒有意义，即kx2+ kx+1>0恒成立•当心0时，k>0且△= k2—V kx + kx+14k<0, • 0<k<4 ;而k= 0 时，kx2+ kx+ 1 = 1>0 恒成立，故O w k<4，选C.答案：C ?12.函数f(x)=^x_z2+ lg寸4—x的定义域是 ____________ •x 3解析：求原函数定义域等价于解不等式组x— 2 > 0,t x—3 丰 0, 解得2w x<3 或3<x<4.占一x>0,•••定义域为［2,3) U (3,4).答案：［2,3) U (3,4)13. x>0, y> 0, x+ y< 4所围成的平面区域的周长是_____________ .解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △ OAB.X Xx+y=4可求得A(4,0), B(0,4)，则OA = OB= 4,AB= 4 .2，所以Rt△ OAB 的周长是4+ 4+ 4 2= 8 + 4 2.答案：8 + 4 ,22f(x + f(y W 0,14•已知函数f(x)= x2—2x,则满足条件补' —'的点(x, y)所形成区域的面积为f(x - f(y 戸0解析：化简原不等式组X — 1 2+ y —1 2< 2,x — y x + y —2 >0,所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积. 答案：n15. (2010浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达 3860万元.预测六月份销售额 为500万元，七月份销售额比六月份递增 X%，八月份销售额比七月份递增 X%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 最小值是 _________ .解析：由已知条件可得，七月份销售额为500 X (1 + x%)，八月份销售额为500 X (1 + x%)2,一月份至十月份的销售总额为 3860+ 500 + 2[500(1 + x%) + 500(1 + x%)2]，可列出不等式为••• t> 6， ••• 1 + x% > 6，55• x%> 0.2, • x >20.故x 的最小值是 20. 答案：20 三、解答题(本大题共6小题，共75分)16(12分)已知a >b>0, c<d<0, e<0，比较土与芒的大小.解：—_^ = e(b ― d —e(a — c [ — c b — d (a — c j[b — d ) (a — c ]b — d )'■/ a>b>0, c<d<0,•• a — c>0 , b — d>0, b — a<0, c — d<0. e e> — a — c b — d17. (12分)解下列不等式：2 2(1) — x + 2x — 3>0 ; (2) 9x 2 — 6x + 1 > 0.解：(1) — x 2+ 2x — 2>0? x 2— 2x + 2<0? 3x 2— 6x + 2<0.3 3△= 12>0，且方程3x 2 — 6x + 2= 0的两根为XL 1 —于，X 2=丨+中， •••原不等式解集为｛x|1—打3<x<1+呼｝.3 32 2(2)9x — 6x + 1 > 0? (3x — 1) > 0.* x € R••••不等式解集为 R.218. (12分)已知m € R 且m<— 2，试解关于x 的不等式：(m + 3)x — (2m + 3)x + m>0. 解：当m =— 3时，不等式变成 3x — 3>0,得x>1; 当一3<m< — 2时，不等式变成(x —1)[( m + 3)x7000万元，则x 的 66 4360 + 1000[(1 + x%) + (1 + x%)2] > 7000.令 1 + x% = t , 则t 2+1 -曇》0,即’+¥)£ -舟戸0.又 25又 e<0,解：(1)由x , y 取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如下图所示阴影部分.(2)作出直线I : x + 3y = 0,将直线I 向上平移至11与y 轴的交点M 位置时，此时可行域内 M 点与直线I 的距离最大，而直线 x + y — 3 = 0与y 轴交于点M(0,3).二 z max = 0 + 3X 3 = 9.20. (13分)(2009江苏苏州调研)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足 g(t) = 80 — 2t(件)，价格近似满 足 f(t)= 20 — ^It — 10|(元).(1) 试写出该种商品的日销售额 y 与时间t(0w t w 20)的函数表达式； (2) 求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 解：(1)y = g(t) •(t)=(80 — 21)(20 — 2|t — 10|)=(40 — t)(40 — |t — 10|) *〈30 +1 K 4°—t , 0w t<10, (40 — t ]50— t )10w t w 20.—m]>0 , 得x>1或x<m + 3’当m< — 3时，得1<x<mm + 3.综上，当m =— 3时，原不等式的解集为(1 ,+^ );当 —3<m< — 2时，原不等式的解集为 一R,U (1,+^); 解集为1 mh -2x + y — 4W 0,19. (12分)已知非负实数x , y 满足l x + y — 3w 0.当m<— 3时，原不等式的(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域; ⑵求z = x + 3y 的最大值.x+y-3=02x+jr-4=0(2)当0W t<10时，y的取值范围是[1200,1225],在t = 5时，y 取得最大值为1225;当10W t < 20时，y 的取值范围是［600,1200］, 在t = 20时，y 取得最小值为 600. 21. (14分)某工厂有一段旧墙长 14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1) 建1 m 新墙的费用为a 元；a _(2) 修1 m 旧墙的费用为4元；a __(3) 拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为-元. 经讨论有两种方案：① 利用旧墙x m(0<x<14)为矩形一边； ② 矩形厂房利用旧墙的一面长 x > 14. 试比较①②两种方案哪个更好. 解：方案①：修旧墙费用为 乎(元), 拆旧墙造新墙费用为(14—x )a (元), 其余新墙费用为(2x + 2X 126 — 14)a(元),x则总费用为 y =乎+ (14— x)| + (2x + 2X J 26 — 14)a = 7a(；+ 乎一1)(0<x<14), 汗6， x 364= 36即 x = 12 时，皿=35a ， 方案②:14x4=7?(元)，252 建新墙费用为(2x + — 14)a(兀),x则总费用为 y =竽+ (2x + 252— 14)a = 2a(x + ^26)— 21a(x > 14),2 x x 2 可以证明函数x+g 在［14,+s )上为增函数, x•••当 x = 14 时，y min = 35.5a. •••采用方案①更好些.•/ x + 36> 2 4 x •••当且仅当 利用旧墙费用为。
人教A数学必修5第十单元单元测试卷：基本不等式(有答案)
人教A数学必修5第十单元单元测试卷：基本不等式一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1. 若x，y是正数，且1x +4y=1，则xy有（）A.最小值16B.最小值116C.最大值16 D.最大值1162. 当x∈R且x≠0时，下列不等式恒成立的是()A.x+1x ≥2 B.x+1x≤−2 C.|x|x2+1≥12D.|x+1x|≥23. 已知a>−3，b>−4，(a+3)(b+4)=25，则a+b的最小值是()A.2B.3C.5D.104. 若0<a<1，0<b<1且a≠b，则a+b，2√ab，a2+b2，2ab中最大的是()A.a+bB.2√abC.a2+b2D.2ab5. 已知正数x，y满足x2+2xy−3=0，则2x+y的最小值是()A.1B.3C.6D.126. 已知点P(x, y)在经过A(3, 0)，B(1, 1)两点的直线上，则2x+4y的最小值为()A.2√2B.4√2C.16D.47. 当0<x<π2，函数f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x的最小值为()A.2B.2√3C.4D.4√38. 在腰长为10cm的等腰直角三角形中作一个内接矩形，使它的一边在斜边上，另外两个顶点在两个腰上，则矩形面积的最大值为()A. 25cm2B. 5cm2C. 10cm2D. 8cm29. 已知向量a →=(3, −2)，b →=(x, y −1)且a → // b →，若x ，y 均为正数，则3x +2y 的最小值是（ ） A.53 B.83C.8D.2410. 无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是( )A.a 2+b 2≥a +bB.4ab ≥a 2+b 2C.a +b >2√abD.a 2+b 2≥2ab11. 在实数集R 中定义一种运算“∗”，对任意a ，b ∈R ，a ∗b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a ∗0=a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a ∗b =ab +(a ∗0)+(b ∗0)． 则函数f(x)=(e x )∗1e x 的最小值为( ) A.2 B.3 C.6 D.812. 已知与两坐标轴正半轴都相交的直线xa+yb =1恒过定点(2,5)，则使不等式lg a +lg b ≥m 恒成立的m 的最大值为( ) A.1 B.2 C.1+2lg 2 D.2+2lg 2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)已知x >2，则函数y =x 2−4x+8x−2的最小值为________．若函数f(x)=x +m 2x在(0, +∞)上的最小值为4，则m 的值为________.已知正实数x，a1，a2，y成等差数列，正实数x，b1，b2，y成等比数列，则√b1b2a1+a2的取值范围是________．若a，b∈R，ab>0，则a 4+4b4+1ab的最小值为________．三、解答题(本大题共4小题,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 回答下列问题：(1)求证：4a−3+a≥7(其中a>3)；(2)已知a，b，c∈(0,+∞)，且a+b+c=1，求证：1a +1b+1c≥9.已知函数f(x)=log4(4x+1)−(k−1)x（x∈R，k为常数）为偶函数．(1)求常数k的值；(2)当x取何值时，函数f(x)的值最小？并求出f(x)的最小值.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求1x +2y的最小值．设x，y满足约束条件{2x−y+2≥0,8x−y−4≤0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0, b>0)的最大值为8.(1)求1a +1b的最小值；(2)求a2+16b2−4ab的最小值.四、附加题(本大题共2小题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（也是该厂的年产量）x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3−km+1(k如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.预计2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．(1)设2018年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？已知函数f(x)=xx+1(x≠−1)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>b>0，且c=1(a−b)b ，求证：f(a2)+f(c)>45.参考答案与试题解析人教A数学必修5第十单元单元测试卷：基本不等式一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】由题意可得1x +4y=1≥2√4xy=4√1xy，可得1xy≤116，即xy≥16，从而得到结论．【解答】解：由于x，y是正数，且1x +4y=1，∴1x+4y=1≥2√4xy=4√1xy，∴1xy≤116，∴xy≥16，当且仅当1x =4y=12时，等号成立，∴xy有最小值为16，故选A．2.【答案】D【考点】不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号)，当x<0时，−x>0，所以x+1x =−(−x+1−x)≤−2(当且仅当x=−1时取等号)，所以排除A，B；又x2+1≥2|x|，所以|x|x2+1≤12(当且仅当|x|=1时取等号)，所以排除C；因为|x+1x|≥|2|=2，所以D正确. 故选D.3.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：由a>−3，b>−4，可得a+3>0，b+4>0，则a+b=(a+3)+(b+4)−7≥2√(a+3)(b+4)−7=3，当且仅当a+3=b+4=5，即a=2，b=1时取等号.故选B.4.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：由基本不等式，可知a+b≥2√ab，a2+b2≥2ab，又0<a<1，0<b<1，所以a+b>a2+b2，所以最大的一个是a+b.故选A.5.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由x2+2xy−3=0，得y=3−x 22x =32x−12x，所以2x+y=32x+32x≥2×32=3（当且仅当x=1时，等号成立）.故选B.6.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用 直线的点斜式方程 斜率的计算公式【解析】由点P(x, y)在经过A(3, 0)，B(1, 1)两点的直线上可求得直线AB 的方程，即点P(x, y)的坐标间的关系式，再利用基本不等式可求得2x +4y 的最小值． 【解答】解：由A(3, 0)，B(1, 1)可求直线AB 的斜率k AB =−12， ∴ 由点斜式可得直线AB 的方程为：x +2y =3．∴ 2x +4y =2x +22y ≥2√2x ⋅22y =2√2x+2y =2√23=4√2， 当且仅当x =2y =32时取等号． 故选B ． 7.【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 基本不等式同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为0<x <π2，所以tan x >0. 所以f(x)=1+cos 2x+8sin 2xsin 2x=2cos 2x+8sin 2x 2sin x cos x=1+4tan 2x tan x =1tan x +4tan x≥2√1tan x⋅4tan x =4，当且仅当tan x =12时取等号， 所以函数f(x)=1+cos 2x+8sin 2xsin 2x的最小值为4.故选C . 8. 【答案】 A【考点】等腰三角形的性质基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】本题考察基本不等式的运用。
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。
$a^2+1>a$B。
$\frac{1}{2}<a<1$C。
$a^2+9>6a$D。
$\log_{a+1}。
\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。
$1$B。
$2$C。
$a^2+b^2$D。
$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。
$3$B。
$\frac{3}{2}$C。
$\frac{3}{4}$D。
$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。
$10$B。
$6\sqrt{3}$C。
$4\sqrt{10}$D。
$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。
最小值 $\frac{1}{36}$B。
最大值 $\frac{1}{36}$C。
最小值 $\frac{16}{9}$D。
最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。
$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。
$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。
$xy\ge 2$D。
$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。
(完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题
4基本不等式练习题、单项选择A. 4 B . 5若a,b R ，且ab 0，则下列不等式中恒成立的是（2 2A . a b 2abB . a9.设0<b v a <1，则下列不等式成立的是（A- SI 淤10.知a 2b 2（a,b0）,则ab 的最大值为（）1.已知x 0，函数x 的最小值是（3.在下列函数中，最小值为的是A 1A y x - x3x 34.A. 5. A. y igx15 B. (1 lg x3 1(x y 6 C. 已知x 1,y 1 有最大值2 B .x 10)0,y 0)，60 D. 1且 xy 16,sin x1sinx (0 x 2)则xy 的最小值是（ ）贝V log 2x log 2y () 等于4C.有最小值3 D •有最大值6. 7. 若正数a 、b 满足ab a b a b 的取值范围是（A. [9,)B. [6,C . (0,9] (0,6)8. 已知正项等比数列｛a n ｝满足a 7a62a 5.若存在两项 a m ,a n 使得,-;a m a n 4a 1,9的最小值为nA 8311 414 517 61 1lg 2，贝V - — 的最小值是 ___________x 3yA. 1B. 2C. 32D.11.若 O v a v 1, 0 v b v 1, a b ，贝V a +b , 2 . ab , a 2+b 2, 2ab 中最大一个是( )A. a +b B . 2 ab C . a 2+b 2 D . 2ab 1 112. 知x 1, y 1，且_ln x, —,ln y 成等比数列，贝V xy 有() 4 4 A 、最小值e B 、最小值 e C 、最大值 e D 、最大值 e 13. . 3 a a 6 6 a 3的最大值为( ) A . 9 B 9 • 2 C .3 D . 3 22 2 214x 0,y 0,xy 9，则s x ——取最小值时x 的值为( )y x A . 1 B .2 C .3 D . 615.知a,b R ，且ab 0，则下列不等式中不正确的是( ) A. b a 2 a b B .2 . ab a bC .|a b a D.a b a b二、填空题16.知 x 0, y 0, 且21x y1，若x2ym 2 2m 恒成立， 则实数 m 的取值范围则当J 取得最大值时,xy17.正实数 x,y,z 满足 x 2 3xy 4y 2 z 0x 2y z 的最大值为18.知 a 0,b 0，函数 f (x)x 2 (ab a 4b)x ab 是偶函数，则f (x)的图象与y 轴交点纵坐标的最小值19. f(x) xx 2(x2)在 x n 处取得最小值，贝V n ____________20.知x 0,y 0,lg 2x lg8y21.知正实数x, y满足x2y2xy 1，贝V x+y 的最大值是__________22. a、b是正实数，以下不等式①^ab 览，②a la N b，③a2b24ab 3b2，④ab —2恒成立的序号为a b ab23. (x,y)在直线x 2y 3上移动，则2" 4y的最小值为___________24. 知x 0, y 0, x y xy 8，则x y的最小值是______________________ .125. 0 x丄,则x(1 2x)的最大值是 _____________ .226. > 0，则y 的最大值是___________ .x 427. 实数x, y满足2x+ 2y = 4x+ 4y,则8x + 8y的取值范围是_____________1 128. 知a,b都是正实数，函数y 2ae x b的图像过点(0,1 )，则- -的最小值是a b2 1(H)求函数f(x) —------- ,xx 1 2x29.实数a,b 满足a 2 b 21且c a b ，恒成立，则c 的取值范围是30.若x 、y 为正整数，且满足 161，则x y 的最小值为y332. x,y 均为正实数，且」一2 x三、解答题1(0,-)的最小值，并指出此时 x 的值.2，要求所围成的总面积为19.5 (米2),其中ABCD 是一个矩形,h —AB, tan Z FED 二，设 AB=x 米，BC=y 米.2 431.a b 1(a0,b0)，则1b的最小值为33.知a, b 是不相等的正常数，实数 x, y (0,).⑴求证：孑&(ab)2 ,x y x y并指出等号成立的条件;3 1，则xy 的最小值为y34.制作一个如图的框架(单位：米) 是一个等腰梯形，梯形高EFCD(1)求y关于x的表达式；(2)如何设计x, y的长度，才能使所用材料最少?。
人教A数学必修5高中同步测试题(十)单元检测基本不等式
高中同步测试卷(十)单元检测 基本不等式 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥22．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．0 B ．2 C.2aa －1D ．3 3．若x ＞0，f (x )＝12x＋3x 的最小值为( )A ．12B ．－12C ．6D ．－64．函数y ＝x ⎝⎛⎭⎫1－x2(0＜x ＜2)的最大值是( )A.14B.12C ．1D ．2 5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件6．点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，z ＝3x＋27y＋3的最小值为( ) A.113B ．3＋2 3C ．6D ．9 7．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b28．已知正数a ，b 满足4a ＋b ＝30，使得1a ＋1b取最小值的实数对(a ，b )是( )A ．(5，10)B ．(6，6)C ．(10，5)D ．(7，2) 9．不等式（x ＋y ）（x ＋ay ）xy≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．810．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．3611．若x ，y 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( )A ．2 B.72 C ．4 D.9212．给出下列语句：①若a ，b 为正实数，a ≠b ，则a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2； ②若a ，b ，m 为正实数，a ＜b ，则a ＋m b ＋m ＜ab； ③若a c 2＞b c2，则a ＞b ； ④当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ＋2sin x的最小值为22，其中结论正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．14．函数f (x )＝lg x ＋4lg x(0＜x ＜1)的最大值是________，当且仅当x ＝________时取等号．15．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．16．已知a ＞b ＞0，则a 2＋64b （a －b ）取最小值时b 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)已知x ＞0，求y ＝2－x －4x的最大值；(2)已知x ＞2，求y ＝x ＋1x －2的最小值； (3)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．18．(本小题满分12分)过点P (2，1)的直线l 分别交x 轴，y 轴的正半轴于A ，B 两点，求△AOB 的面积S 的最小值．19.(本小题满分12分)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥08x －y －4≤0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8.(1)求1a ＋1b的最小值；(2)求a 2＋16b 2－4ab 的最小值．20．(本小题满分12分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．21.(本小题满分12分)是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y2x ＋y对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论．22．(本小题满分12分)若函数f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范围．参考答案与解析1．【解析】选D.特值法：取a＝b＝－1可排除A、B、C选项．2．【解析】选 D.因为a＞1，所以a－1＞0，a＋1a－1＝(a－1)＋1a－1＋1≥2（a－1）·1a－1＋1＝3，当且仅当a－1＝1a－1，即a＝2时，等号成立，故选D.3．【解析】选A.因为x＞0，所以f(x)＝12x＋3x≥212x×3x＝12，当且仅当12x＝3x，即x＝2时取等号．4．【解析】选B.因为0＜x ＜2，所以0＜1－x2＜1，所以y ＝x ⎝⎛⎭⎫1－x 2＝2·x 2⎝⎛⎭⎫1－x2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1－x 222＝12，当且仅当x 2＝1－x2，即x ＝1时，等号成立，故选B. 5． 【解析】选B.因为生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800＋x8·x ，所以平均每件费用y ＝800＋18x2x＝x 8＋800x≥20， 当且仅当x 8＝800x，即当x ＝80件时，y min ＝20.6．【解析】选D.因为x ＋3y ＝2， 所以z ＝3x ＋33y ＋3≥2×3x ＋3y＋3＝232＋3＝9.当且仅当x ＝3y 即x ＝1，y ＝13时取等号．7．【解析】选B.A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，从而(1＋x )2＝(1＋a )·(1＋b )≤⎝⎛⎭⎫1＋a ＋1＋b 22＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b 22，所以x ≤a ＋b2.8．【解析】选A.1a ＋1b ＝130⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝130⎝⎛⎭⎫4＋1＋b a ＋4a b ≥130⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝310， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，4a ＋b ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10时等号成立．故选A.9． 【解析】选B.（x ＋y ）（x ＋ay ）xy ＝x 2＋（a ＋1）xy ＋ay 2xy ＝a ＋1＋x 2＋ay2xy≥a ＋1＋2a＝(a ＋1)2，当且仅当x ＝ay 时等号成立，所以（x ＋y ）（x ＋ay ）xy的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立，所以a ≥4，故选B.10．【解析】选B.(1＋x )(1＋y )≤⎣⎡⎦⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎡⎦⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝⎛⎭⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.11．【解析】选C.⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22时，式子取得最小值4. 12．【解析】选C.本题①中作差变形后可得：a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )2(a ＋b )，由于a ，b 为正实数，a ≠b ，所以(a －b )2(a ＋b )＞0，即①正确；对于②用赋值法很容易判断其错误，如a ＝1，b ＝2，m ＝1，符合条件但结论不正确；对于③，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c 2，不等号的方向不改变，故正确；对于④，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个，从而选C.13． 【解析】由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝⎛⎭⎫2x ＋5y 最小值＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 【答案】214．【解析】因为0＜x ＜1，所以lg x ＜0， 所以－lg x ＞0，f (x )＝lg x ＋4lg x ＝－⎣⎡⎦⎤（－lg x ）＋4－lg x≤－2（－lg x ）·4－lg x＝－4.当且仅当－lg x ＝4－lg x，即lg x ＝±2时，取“＝”．又因为lg x ＜0，所以lg x ＝－2，此时x ＝1100. 【答案】－4110015．【解析】因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时，等号成立)，所以xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.【答案】⎣⎡⎭⎫15，＋∞16．【解析】因为a ＞b ＞0，所以0＜b (a －b )≤⎣⎡⎦⎤b ＋（a －b ）22＝a24，当且仅当b ＝a －b ，即b ＝a 2时等号成立，所以64b （a －b ）≥64×4a 2＝256a 2，所以a 2＋64b （a －b ）≥a 2＋256a2≥2a 2·256a 2＝32，当且仅当a 2＝256a 2，即a ＝4时等号成立，此时b ＝a2＝2. 【答案】217．【解】(1)因为x ＞0，所以x ＋4x≥4，所以y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－4＝－2，所以当且仅当x ＝4x(x ＞0)，即x ＝2时，y max ＝－2.(2)因为x ＞2，所以x －2＞0，所以y ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2（x －2）⎝⎛⎭⎫1x －2＋2＝4.所以当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时，y min ＝4. (3)因为0＜x ＜12，所以1－2x ＞0，所以y ＝14×2x ·(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝116，所以当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，即x ＝14时，y max ＝116.18．【解】设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(显然k 存在，且k ≠0)． 令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k，0；令x ＝0，可得B (0，1－2k )． 因为A ，B 都在正半轴上，所以2－1k＞0且1－2k ＞0，可得k ＜0.所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12⎝⎛⎭⎫2－1k (1－2k ) ＝－4k 2＋4k －12k ＝－2k ＋1－2k ＋2≥2（－2k ）·1（－2k ）＋2＝4，当且仅当k 2＝14，即k ＝－12时，S △AOB 取得最小值4.19．【解】作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l 0：ax ＋by ＝0，平移l 0，由图可知，当直线经过点A (1，4)时，z max ＝ax ＋by ＝a ＋4b ＝8. (1)因为a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＝18(a ＋4b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝18⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24b a ·a b ＝18(5＋4)＝98，当且仅当4b a ＝a b ＝2，即a ＝83，b ＝43时取等号， 所以1a ＋1b 的最小值为98.(2)因为a ＋4b ＝8，a ＞0，b ＞0， 所以a ＋4b ≥2a ·4b ＝4ab ， 所以ab ≤4.又因为a 2＋16b 2≥（a ＋4b ）22＝32，所以a 2＋16b 2－4ab ≥32－16＝16，当且仅当a ＝4b ＝4，即a ＝4，b ＝1时取等号， 所以a 2＋16b 2－4ab 的最小值为16. 20．【解】(1)由题图可知，3a ＋6＝x ， 所以a ＝x －63. 则总面积S ＝⎝⎛⎭⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1 800x －6＝a ⎝⎛⎭⎫5 400x－16＝x －63⎝⎛⎭⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x＋16x 3， 即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x＋16x 3(x >0)． (2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ×16x3＝1 832－2×240＝1 352. 当且仅当10 800x ＝16x 3，即x ＝45时等号成立． 即当x 为45米时，S 最大，且S 的最大值为1 352平方米．21．【解】当x ＝y 时，由已知不等式得c ＝23.下面分两部分给出证明：(1)先证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，此不等式⇔3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y ) ⇔2xy ≤x 2＋y 2，此式显然成立．(2)再证xx ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23，此不等式⇔3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )⇔x 2＋y 2≥2xy ，此式显然成立．综上可知，存在常数c ＝23，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y 2x ＋y对任意正实数x ，y 恒成立．22．【解】(1)因为x 2－22x ＋144＞0，所以要使不等式f (x )≥0恒成立，即tx 2－(22t ＋60)x ＋144t ≥0(x ＞0)恒成立，等价于t ≥60xx 2－22x ＋144(x ＞0)恒成立，由60xx 2－22x ＋144＝60－22＋x ＋144x≤60－22＋2144＝30(x ＞0)，当且仅当x ＝144x，即x ＝12时，等号成立，所以当t ≥30时，不等式tx 2－(22t ＋60)x ＋144t ≥0恒成立，t 的最小值为30. (2)由t ＞20，得60x x 2－22x ＋144＞20，整理得x 2－25x ＋144＜0，即(x －16)(x －9)＜0，解得9＜x ＜16，所以使t ＞20成立的x 的取值范围为(9，16)．。
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《基本不等式》单元测试
一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若
a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）
A ．21a a +>
B ．2111
a <+ C ．296a a +> D ．2
lg(1)lg |2|a a +>
2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ．
1
2
Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a
3. 设x >0,则1
33y x x
=--
的最大值为 （ ）
Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1
4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )
A. 10
B.
C.
D. 5. 若x , y 是正数，且
14
1x y
+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值
116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116
6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A ．2222a b c ++≥
B ．2
()3a b c ++≥
C ．
111a
b
c
+
+
≥ D ．a b c ++≤
7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A ．
114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2 D ．1
1xy ≥
8. a ,b 是正数，则
2,2
a b
ab
a b
++三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab
a b
+≤≤
+
Ｃ．
22ab a b a b ++ Ｄ．22
ab a b
a b +≤
+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）
Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2
p q
x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）
Ａ．4y x x =+
Ｂ．4sin sin y x x
=+ (0)x π<<
Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．
3log 4log 3x y x =+
二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.
11. 函数y =的最大值为 .
12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200
元和150元，那么池的最低造价为 元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x y
y x y x
+-++的值恒为正，对吗？答 .
三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明
过程和演算步骤.
15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.
16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111
(1)(1)(1)8.a b c ---≥
17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1
ab ab
+
的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式
2222x y x y
c x y x y x y x y
+≤≤+++++对任意正数x , y 恒
成立？试证明你的结论.
专题五《基本不等式》综合检测
一、选择题
二．填空题
11.
1
2 12.3600 13. 14.对 三、解答题
15 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
(2)174 18．存在，23c =
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