无理数的整数部分与小数部分
无理数的整数部分与小数部分专项训练
1、已知无理数x=+2的小数部分是y，则xy的值是（）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
2、若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b-4）的值______ ．
3、若a，b分别是6-的整数部分和小数部分，则b-a的值是______ ．
4、的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值为______ ．
5、阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此，的小数部分不可能全部地写出来，但可以用-1来表示的小数部分．理由：因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：
已知：2+的小数部分为a，5-的小数部分为b，计算a+b的值．
6、阅读理解：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小张用-1来表示的小数部分，你同意小张的表示方法吗？事实上，小张的表示方法是正确的，因为1＜＜2，所以的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：
（1）填空：的整数部分是______ ，小数部分是______ ．
（2）已知10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．
7、阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用-1来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为＜＜，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请据此解答：
（1）的整数部分是______ ，小数部分是______
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b-的值；
（3）若设2+的整数部分为x，小数部分为y，求y-x的值．
无理数的整数部分与小数部分
无理数的整数部分与小数部分 我们知道1,4,9,16,25,36,49，64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441，484,529, 576, 625,676,729,784,841,900,961,1024,1089,1156,1225,1369等这样的数叫完全平方数……，而2,3,5,6,7，8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24……等这样的数叫非完全平方数，那么怎样求被开平方数是非完全平方数的整数部分与小数部分呢？比如求a （a 是非完全平方数）的整数部分与小数部分，我们先确定a 最接近的两个完全平方数，即比a 稍小一点的完全平方数M ，比a 稍大一点的完全平方数N ，然后M ＜a ＜N ，即x （M =x ）＜a ＜y （N =y ），那么（令x 就是a 的整数部分，a 的小数部分就等于a -x 例1 已知15的整数部分是a ，小数部分是b ，求（15+a ）b 的值 解：∵9＜15＜16，∴9＜15＜16，即3＜15＜4，∴15的整数部分是a=3，小数部分是b=15-3， ,∴（15+a ）b=（15+3）（15-3）=（15）2-32 =15-9=6 例2 5+7的小数部分是a ，5-7的小数部分是b ，求ab+5b 的值 解：∵4＜7＜9，∴4＜7＜9，即2＜7＜3，∵2+5＜7+5＜3+5，即7＜5+7＜8，5+7的整数部分是7，小数部分是a=5+7-7=7-2，∵2＜7＜3，-2＞-7＞-3，∴-2+5＞-7+5＞-3+5,3＞-7+5＞2，即2＜5-7＜3，∴5-7的整数部分是2，小数部分是b=（5-7）-2=3-7，∴ab+5b=b （a+5）=（3-7）（7-2+5）=（3-7）（3+7）=32-（7）2=9-7=2 例3 若5+11的小数部分为a ，5﹣11的小数部分为b ，求a+b 解：∵3＜11＜4，∴3+5＜11+5＜4+4，即8＜5+11＜8，∴5+11的整数部分为8，小数部分a=5+11-8=11-3； ∵3＜11＜4，∴-3＞﹣11＞-4，∴-3+5＞﹣11+5＞-4+5，2＞﹣11+5＞1，即1＜5-11＜2，∴5-11的整数部分为1，小数部分b=5-11-1=4-11，所以a+b=11﹣3+4﹣11=1 例4 如果 731-的整数部分是a ，小数部分是b ，求b a 的值 解：731 -=()()()7373731+-+?=() 22737 3-+=7973-+=273+，∵4＜7＜9，∴4＜7＜9，即2＜7＜3，∵2+3＜7+3＜3+3，即5＜3+7＜6，∴25＜273+＜26，即212＜273+＜3，∴273+的整数部分是 a=2，小数部分是b=273+-2=217-，b a =21 72-=174-=()()()1717174+-+?=()2217474-+=6474+=732+3 2 例5 求-189+6的整数部分与小数部分 解：因为-189+6＜0,所以要求-189+6的整数部分与小数部分，需要求（-189+6）的相反数（189-6）的整数部分与小数部分，然后取（189-6）的整数部分与小数部分的相反数即可得到-189+6的整数部分与小数部分.∵169＜189＜196，∴169＜189＜196，即13＜189＜14，∴13-6＜189-6＜14-6，即7＜189-6＜8，所以（189-6）的整数部分是7，小数部分是（189-6）-7=189-13，所以-189+6的整数部分是-7，小数部分是13-189 练习题： 1.已知35-2的整数部分是a ，小数部分是b ，求a 2-b 的值 2.已知6的整数部分是a ，小数部分是b ，求a+ b 1的值
无理数的整数部分
“无理数的整数部分、小数部分”例题解析 无理数是无限不循环小数，因此任何一个无理数都由整数部分和小数部分两部分组成。 解决有关无理数的整数部分、小数部分的问题，首先要从无理数的近似值入手确定整数部分，进而求出其小数部分。 例1 若a 为17的整数部分，b 为176-的小数部分，求b a -的值。 解析：根据算术平方根的性质可知251716<<，即5174<<，则21761<-<，从而有：1751176b ,4a -=--==。 故117)175(4b a -=--=-。 练习1、（1）若27的整数部分是a ，365的整数部分是b ，则b a -= 。 （2）若115+的小数部分为a ，115-的小数部分为b ，则a+b 的值是多少？ 例2 求65+的整数部分。 分析：易知362,352<<<<，从而有6654<+<。但由此我们还不能确定它的整数部分，因为既可能是4，也可能是5。但可知65+的值在5左右，因此只需比较65+与5的大小即可。 解法1：∵362,352<<<<，∴6654<+<。 又∵22523621130211)65(<=?+<+=+， ∴5654<+<，故65+的整数部分为4。 解法2：∵ 224202625265+=+=+， 又∵5244,5204<<<<， ∴ 5224204,1024208<+<<+<则。 ∴65,5654+<+<故的整数部分为4。 解法3：∵5.262,5.252<<<<，
∴65,5654+<+<的整数部分为4。 练习2、求1211+的整数部分。 例3 若21-的整数部分为a ，小数部分是b ，求b －a 的值。 分析：易知221<<，从而得0211<-<-，所以有22)1(21b ,1a -=---=-=。 解：由题意得421<<，即221<<，故0211<-<-。 ∴23)1(22a b .22b ,1a -=---=--=-=。 注意：任何实数的小数部分必为0或正的纯小数，如－1.6的整数部分为－2，小数部分为0.4。切不可以为－1.6的小数部分为－0.6！ 练习3、设a 为33-的小数部分，b 为31--的整数部分，则b a -的值为 。 阅读至此，我们已知道要求一个无理数的整数或小数部分，必须先把这个无理数放缩在两个相邻的整数之间。在这里，适当的放缩是至关重要的。若a 是一个无理数，m 、n 是相邻的整数，且n a m <<，则a 的整数部分为m ，小数部分为m a -。 参考答案： 1、（1）1 （2）1. 2、6. 3、32+
培优专题4 无理数的整、小数部分的应用(含解答)-
培优专题4 无理数的整、小数部分的应用 实数和数轴上的点是一一对应的，任何一个无理数都可用近似于它的有理数来表示，因而任何一个无理数的整数部分必为有理数． 解决有关无理数的整、小数部分的问题，首先从无理数的近似值范围入手确定整数，进而求出小数，解决相关问题． 例1 a的整数部分，b a-b的值． 分析．即从而有：a=4， -4． ． 即：<5 ∴a=4，． 故a-b=4--4） ' 练习1 1，b是a的小数部分，试用b的代数式表示a，并求a-b的值． 2的小数部分为b，求（4+b）b的值． @
3a b，则a-b=_______． 例2 若a，的小数部分为b，则a+b的值是多少 分析无理数和是无限不循环小数，利用9<11<16，即<4这一点，是解这类题的突破口． 解：∵<4． ∴8， 的整数部分为1． 则-3， 的小数部分为． ∴=1． 。 练习2 1．若a与b，则（a+3）（b-4）=________． 2．已知的小数部分分别为x、y，试求3x+2y的值． 3．已知m、n，试求（m+n）3的值． &
例3 a ，小数部分是 b ，则a 2+（）ab=________． 分析 先作分母有理化，将原式转化为a 的形式，再分别确定其整数、?小数部分的取值，最后代入求值． 12 （ ∵． ∴<6． ∴< 12（）<3． — 即a=2． b= 12 （）-2 =12-1） 则：a 2+（）ab =22+（）× 12-1）×2=10． 练习3 1．设x x 2004-2x 2003+x 2002=________． 2 a ，小数部分为 b ，则b a =________．
无理数的整数部分与小数部分
无理数的整数部分与小数部分专项训练 1、已知无理数x=+2的小数部分是y，则xy的值是（） A.1 B.-1 C.2 D.-2 2、若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b-4）的值______ ． 3、若a，b分别是6-的整数部分和小数部分，则b-a的值是______ ． 4、的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值为______ ． 5、阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此，的小数部分不可能全部地写出来，但可以用-1来表示的小数部分．理由：因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： 已知：2+的小数部分为a，5-的小数部分为b，计算a+b的值． 6、阅读理解：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小张用-1来表示的小数部分，你同意小张的表示方法吗？事实上，小张的表示方法是正确的，因为1＜＜2，所以的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题： （1）填空：的整数部分是______ ，小数部分是______ ． （2）已知10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数． 7、阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用-1来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为＜＜，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请据此解答： （1）的整数部分是______ ，小数部分是______ （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b-的值；
(完整版)无理数习题习题四
无理数习题习题四 一．选择题 1．若a、b均为正整数，且，则a+b的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在数轴上表示实数的点可能是（） A．点M B．点N C．点P D．点Q 3．8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．4 4．在﹣1、3、0、四个实数中，最大的实数是（） A．﹣1 B．3 C．0 D． 5．如图，数轴上A．B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．ab＞0 6．估计的值（） A．在2到3之间B．在3到4之间C．在4到5之间D．在5到6之间8．若x，y为实数，且|x+1|+=0，则（）2011的值是（） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2011 9．下列说法正确的是（） A．（）0是无理数B．是有理数C．是无理数D．是有理数10．下列各数中，是无理数的是（）A．0 B．﹣2 C．D． 11．下列实数中，是无理数的为（）A．0 B．C．3.14 D． 12．如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为a，b，则有（） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．＞0 13．在实数0，﹣，，﹣2中，最小的是（） A．﹣2 B．﹣C．0 D．
14．估计的值在（） A．1到2之间 B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间 15．如图数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在下列哪一线段上（） A．OA B．AB C．BC D．CD 16．下列哪一选项的值介于0.2与0.3之间？（） A．B．C．D． 17．下列各数中，比0小的数是（）A．﹣1 B．1 C．D．π18．下列实数中是无理数的是（）A．B．C．D．3.14 19．下列各选项中，既不是正数也不是负数的是（） A．﹣1 B．0 C．D．π 20．（﹣2）2的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D． 21．在3.14，，π和这四个实数中，无理数是（） A．3.14和B．π和C．和D．π和 22．的平方根是（）A．3 B．±3 C．D．± 123．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（） A．2 B．8 C．D． 24．估计20的算术平方根的大小在（） A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间25．下列各数中是正整数的是（） A．﹣1 B．2 C．0.5 D． 226．计算的结果是（）A．±3B．3C．±3 D．3 27．的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D． 28．下列计算不正确的是（） A．﹣+=﹣2 B．（﹣）2=C．︳﹣3︳=3 D．=2
实数,无理数常见形式
精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：xxxxx 年级：xx 课时数：xx 学员姓名：xxxx 辅导科目：数学学科教师：xx 授课类型C(数的开方) C （实数及其运算）T （实数应用）授课日期及时段Xxxx年x月x日xxxx---xxxx 教学内容 一、专题讲解 平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或叫a的二次方根。 特点：一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。 表示方法：一个整数a的正的平方根表示为“a”或“2a”，其中a叫做被开方数;“2”中的2叫做根的指数（一般可省略不写）；“a”或“2a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a的负的平方根表示为“－a”或“－2a”；正数a的平方根为±a，读作“正负根号a”我们把a的正的平方根a称为a的算术平方根。 开平方运算 定义：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系 平方根（或算术平方根）的几个公式：式子±a有意义的条件为a≥0； a表示a的算术平方根，a是非负数，即a≥0； ()2a =a（a≥0），()2a-=a（a≥0）；2a=a=a，a≥0或；－a，a﹤0
例题：1、使式子2 52 x x --有意义的x 的取值范围是 。 2. 使等式2()x x --=成立的x 的值（ ） A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定 3.81的平方根是（ ） A ．9 B ．9± C ．3 D ．3± 非负性： A ．非负数：若a ≥0，则称a 为非负数，初中阶段有三种非负数：a ，a ，2 a B ．若几个非负数的和为0 ，在这几个非负数均为0. 例题：1. 已知231(1)0,a b a b ++-=+=则 。 2. 已知实数211,,a-b 20,24c a b c b c c c ab +++-+=满足 则的算术平方根是 。 3.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足21440a b b -+-+=，求c 的取值范围。 立方根 定义：如果一个数x 的立方等于a ，即3 x =a ，那么就称这个数x 为a 的立方根或三次方根。 表示法：a 的立方根表示为3a ，其中a 为被开方数，“3”中的3为根指数（根指数3不能省略）；3a 读作“三次根号a ”或“a 的立方根”。 性质：任意数都有立方根，任意一个数都有唯一的立方根。正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍为0. 有关立方根的补充说明和公式 1）在3a 中，被开方数a 可为正数，负数，0；且3a 的正负与a 一致 2）3a -=－3a ； 3）() 3 3 a =3 3a =a 4）开立方运算：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方运算。（开立方运算与立方运算是互为逆运算
七年级数学下册实数--无理数的整数部分和小数部分问题
七年级数学下册实数--无理数的整数部分和小数部分问题一．选择题 1.估计的值在( ) A. 2 到3 之间 B. 3 到4 之间 C. 4 到5 之间 D. 5 到6 之间 2.估计68 的立方根的大小在( ) A. 2 到3 之间 B. 3 到4 之间 C. 4 到5 之间 D. 5 到6 之间 3.估计介于( ) A. 0.4 到0.5 之间 B. 0.5 到0.6 之间 C. 0.6 到0.7 之间 D. 0.7 到0.8 之间 4.在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在( ) A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 5.如图，数轴上点P 表示的数可能是( ) A. B. C. D. 6.在如图所示的数轴上，AB=AC，A，B 两点对应的实数分别是和-1，则点C 所对应的实数是( ) A. B. C. D. 7.如图数轴上有A 、B 、C 、D 四点，根据图中各点的位置，判断那一点所表示的数与最接近( ) A. A B. B C. C D. D 二．填空题
8.大于且小于的整数是____． 9.已知a 、b 为两个连续整数，且，则a+b= ____． 10.若两个连续整数x，y，满足，则x+y 的值是____． 11.设，b 是的小数部分，则的值为____． 12.规定用符号表示一个实数的整数部分，例如．，按此规定，____． 13.已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示的整数部分和小数部分，且 ，则2a + b ____． 14.任何实数a，可用表示不超过a 的最大整数，如，．现对72 进行如下操作： ， 这样对72 只需进行3 次操作后变为1，类似的，①对81 只需进行____ 次操作后变为1；②只需进行3 次操作后变为1 的所有正整数中，最大的是____．三．解答题 15.已知M 是大于但小于的所有整数的和，N 是小于的最大整数，求M+N 的平方根． 16.因为，，所以的整数部分为2，小数部分为 ． (1)如果的整数部分为a，那a= ____．如果，其中b 是整
无理数以及二次根式的计算
龙文教育一对一个性化辅导教案 教导处(签字)：日期：年月日
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学生： 学科： 教师： 日期： 一、作业检查。 二、课前热身： 三、内容讲解： 【知识要点】 1．实数分类： 2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a 4．倒数：b a ,互为倒数 0;1= 没有倒数. 5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2 ±a . 若a x ，a x a x 33,= =记作的立方根叫做数则数 6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ； 2、8的立方根是 ；327-＝ ； 3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 4、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。 5、2-的绝对值是 ，11-的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7+的相反数是 ，-的相反数的绝对值是 。 8--的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】 例1、把下列各数分别填入相应的集合里： 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,122 3π---?- 有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝； 例2、比较数的大小 （1）2332与 （2）6756--与 实数 有理数 无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数 )0(>a 3．绝对值： =a a 0 a - )0(=a )0( 例3．化简： （1）233221-+-+- （2+- 例4．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值. 例5 若|2x+1|与x y 48 1 +互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？ 总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 例6．已知b a ,为有理数，且3)323(2 b a +=-，求b a +的平方根 无理数的整、小数部分的应用 实数和数轴上的点是一一对应的，任何一个无理数都可用近似于它的有理数来表示，因而任何一个无理数的整数部分必为有理数． 例1 a b 的小数部分，求a-b的值． 分析 根据算术平方根的概念可知： ．即 <5从而有： a=4， b=． ． 即： ∴a=4， b=． 故a-b=4- ） 练习1 1 ，b是a的小数部分，试 用b的代数式表示a，并求a-b的值． 2 b，求（4+b） b的值． 3 ．的整数部分是a 数部分是b，则a-b=_______． 例 2 若 5+的小数部分为a， 的小数部分为b，则a+b的值是多少？ 分析无理数 和 是无限不循环小数，利用9<11<16，即 <4这一点，是解这类题的突破口． 解：∵ <4． ∴ 的整数部分为8， 的整数部分为1． 则 -3， 的小数部分为 ． ∴ =1． 练习2 1．若 别为a与b，则（a+3）（b-4）=________．2．已知 别为x、y，试求3x+2y的值． 例3 a，小数部分是b，则a2+（ ）ab=________．分析先作分母有理化，将原式转化为a ±的形式，再分别确定其整数、?小数部分的取值，最后代入求值． 1 2 （ ∵ 2<．∴ ． ∴2.5<1 2 （ <3． 即a=2． b=1 2 （ ）-2 =1 2 （-1） 则：a2+（ ab =22+（ × 1 2 （）×2=10． 例4 a， 小数部分为b，试计算：a+b+2 b =________． 分析将被开方数 构造 成完全平方式（ 2，再化简根式，? 然后分析整数部分和小数部分． 解： ∵ ∴a=1， b=3- ∴a+b+2 b =1+2- ． 练习4 若的整数部分是a，小数部分是b，则b a=_______． 例5 设 ，那么m+ 1 m 的整数部分是________． 分析将 +1代入式子m+ 1 m 进行化简，进而确定其整数部分，但此题要注意无理数的取值范围． 解：∵ ， ∴ 1 m = 1 4 ）． ∴m+ 1 m =+1+ 1 4 ( -1)= 4 ． ∵2.22<5<2.32 故 2.2< ∴ 5 2.23 4 ?+ 4 < 5 2.33 4 ?+即 14 4 学习目标 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 要点梳理 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 要点诠释： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能 类型一、实数概念 出下列各数中的有理数和无理数： 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数. 【答案与解析】 有理数有 无理数有…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，. 【变式】下列说法错误的是（） ①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数； ③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数. A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 七年级下册关于无理数 一．选择题（共20小题） 1．下列四个数中，无理数是（） A．3.14 B．0.33030030003… C．0.3333… D． 2．下列各式化简结果为无理数的是（） A．B．（﹣1）0C．D． 3．下列说法正确的个数是（） ①无理数是实数； ②无理数是带根号的数； ③无理数是无限不循环的小数； ④无理数有有限个小数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．以下七个数中：①﹣；②0.305；③；④﹣0.102030405…；⑤；⑥； ⑦．其中是无理数的是（） A．①③⑦B．①④⑥C．②⑤⑥D．④⑤⑥ 5．在下列各数中是无理数的有（） ﹣0.333…，，，，﹣π，2.010010001，4.0123456…（小数部分由相继的正整数组成）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．在实数，0，，﹣3.14，π+3，2.313113111…中无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列实数中无理数是（） A．0 B．πC．D．﹣ 8．实数，0，﹣，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列各数：中无理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列实数是无理数的是（） A．﹣1 B．0 C．πD． 11．在实数﹣，0.，，π，中，无理数的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 12．在下列各数中是无理数的有（） ﹣0.333…，，，3π，3.141 5，2.010 101…（相邻两个1之间有1个0）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．下列实数：，π，，3.14159，0，，，2.020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中是无理数的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．在，，，，，0.202 002 000 2…中，无理数的个数有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 15．在实数4.，π，，|﹣3|，，﹣中，无理数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．下列数中，0.4583，3.，3.14，，，，0.373373337…是无理数的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．对与实数，﹣π，，3.1415，0.333…，2.010101…（相邻两个1之间0的个数逐个加1），其中无理数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 18．在﹣，，0，，﹣0.3，，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 七年级数学下册实数--无理数的整数部分和小数部分问题 一．选择题 1.估计的值在 ( )6+1A. 2 到 3 之间B. 3 到4 之间C. 4 到 5 之间D. 5 到 6 之间 2.估计 68 的立方根的大小在( ) A. 2 到 3 之间 B. 3 到4 之间 C. 4 到 5 之间 D. 5 到 6 之间 3.估计介于 ( ) 5?1 2A. 0.4 到 0.5 之间B. 0.5 到0.6 之间C. 0.6 到 0.7 之间D. 0.7 到 0.8 之间 4.在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在( ) 8 A. 段① B. 段 ② C. 段③ D. 段④ 5.如图，数轴上点 P 表示的数可能是( )A. B. C. D. 10532 6.在如图所示的数轴上，AB=AC ，A ，B 两点对应的实数分别是和 -1，则点 3C 所对应的实数是( )A. B. C. D. 1+32+323?123+1 7.如图数轴上有 A 、 B 、 C 、 D 四点，根据图中各点的位置，判断那一点所表示的数与最接近( ) 11?239 A. A B. B C. C D. D 二．填空题8.大于且小于的整数是 ____． 25 9.已知 a 、 b 为两个连续整数，且，则 a+b= ____． a <17< b 10.若两个连续整数 x ，y ，满足，则 x+y 的值是 ____． x <15+1 专题:无理数的整数部分和小数部分问题 解题策略:关键要先估算整数部分，只要整数部分估算出来了，小数部分随之就写出来了．一个无理数减去它的整数部分，剩下的就是它的小数部分． 【例1】已知a，b分别是6－13的整数部分与小数部分，则它的整数部分是__________，小数部分是__________． 【例2】因为，，所以的整数部分为2，小数部分为．(1)如果的整数部分为a，那a= ____．如果，其中b 是整数，且0 < c < 1，那么b= ____，c= ____． (2)将（1）中的a，b 作为直角三角形的两条边长，请你计算第三边的长度． 【例3】阅读材料：学习了无理数后，小明用这样的方法估算的近似值：因为，所以，所以设，（其中0 【跟踪练习】 1. 大于且小于的整数是______. 2. 如图，在数轴上，A，B两点之间表示整数的点有____个。 3.估计的值在_______到_________之间 4. 若a，b均为正整数,且，则a+b的最小值是______. 5.若3+的小数部分为a，3?的小数部分为b，则a+b的值为______. 6. 规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3.[]=1，按此规定， [?1]=______. 7.在数轴上标注了四段范围,如图,则表示的点落在段__________. 8.如图,数轴上,AB=AC,A,B两点对应的实数分别是和?1，则点C所对应的实数是___. 9.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1现对72进行如下操作： 这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行________此操作后变为1； ②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 10. 已知5+的小数部分为a,5?的小数部分为b，则a+b的值是___；a?b的值是___. 11.设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x?1的算术平方根。 12. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：≈1.414…,它是个无限不循环小数,也叫无理数,它的整数部分是1,那么有谁能说出它的小数部分是多少”,小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来,但可以用?1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法。现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是a,的整数部分是b,求a+b?的值。 (2)已知8+=x+y,其中x是一个整数,0 初中数学浅谈无理数的整数部分、小数部分 黄冬林 无理数是无限不循环小数，因此任何一个无理数都由整数部分和小数部分两部分组成。 解决有关无理数的整数部分、小数部分的问题，首先要从无理数的近似值入手确定整数部分，进而求出其小数部分。 例1 若a 为17的整数部分，b 为176-的小数部分，求b a -的值。 解析：根据算术平方根的性质可知251716<<，即5174<<，则21761<-<，从而有：1751176b ,4a -=--==。 故117)175(4b a -=--=-。 练习1、（1）若27的整数部分是a ，365的整数部分是b ，则b a -= 。 （2）若115+的小数部分为a ，115-的小数部分为b ，则a+b 的值是多少？ 例2 求65+的整数部分。 分析：易知362,352<<<<，从而有6654<+<。但由此我们还不能确定它的整数部分，因为既可能是4，也可能是5。但可知65+的值在5左右，因此只需比较65+与5的大小即可。 解法1：∵362,352<<<<，∴6654<+<。 又∵22523621130211)65(<=?+<+=+， ∴5654<+<，故65+的整数部分为4。 解法2：∵2 24202625265+=+= +， 又∵5244,5204<<<<， ∴52 24204,1024208<+<<+<则。 ∴65,5654+<+<故的整数部分为4。 解法3：∵5.262,5.252<<<<， ∴65,5654+<+<的整数部分为4。 练习2、求1211+的整数部分。 例3 若21-的整数部分为a ，小数部分是b ，求b －a 的值。 分析：易知221<<，从而得0211<-<-，所以有22)1(21b ,1a -=---=-=。 解：由题意得421<<，即221<<，故0211<-<-。 ∴23)1(22a b .22b ,1a -=---=--=-=。 注意：任何实数的小数部分必为0或正的纯小数，如－1.6的整数部分为－2，小数部分为0.4。切不可以为－1.6的小数部分为－0.6！ 练习3、设a 为33-的小数部分，b 为31--的整数部分，则b a -的值为 。 阅读至此，我们已知道要求一个无理数的整数或小数部分，必须先把这个无理数放缩在两个相邻的整数之间。在这里，适当的放缩是至关重要的。若a 是一个无理数，m 、n 是相邻的整数，且n a m <<，则a 的整数部分为m ，小数部分为m a -。 参考答案： 1、（1）1 （2）1. 2、6. 3、32+ 考点二：估值 原理：被开方数越大，则其算术平方根、立方根也越大； 即：若0 b a ，则b a 且33b a ； 判断：65 56 80 9 328 3 例1：满足不等式1893 x -的整数x 是 例2：估算75在哪个范围（ ） A.8.0～8.5 B.7.5～8.0 C.7.0～7.5 D.8.5～9.0 用下面“逐步逼近”的方法可以求出7的近似值． 先阅读，再答题： 因为,37222 所以372 ； 第一步：取 5.22 32=+，由725.65.22 =得：375.2 ； 第二步：取75.2235.2=+，由75625.775.22 =得：75.275.2 请你继续上面的步骤，写出第三步，并回答，通过第三步的结论，对7十分位上的数字作一估计． 例3：335 3 76 67 33)45( 3345 215- 2 1 （提示：＞，＜，＝，＞） 例4：阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值． 小明的方法： () ()()67.3323133 2 6913691331310313; 161392 2 2≈+ ≈∴≈+≈∴++=∴+=∴+=k k k k k k k 解得设 请你依照小明的方法，估算41的近似值； 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： （1）103=1000，1003=1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？答： 位数． （2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？答： （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？答： ；因此59319的立方根是 （4）现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？ 答：①它的立方根是 位数，②它的立方根的个位数是 ，③它的立方根的十位数是 ，④185193的立方根是 ． （5）求13824的立方根？ 考点三：无理数的整数部分和小数部分 任何一个小数＝整数部分+小数部分 所以：小数部分＝这个小数－整数部分 填空题： 1．（2011?芜湖）已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=11． 考点：估算无理数的大小。 分析：根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．解答：解：∵，a、b为两个连续的整数， ∴＜＜， ∴a=5，b=6， ∴a+b=11． 故答案为：11． 点评：此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键． 2．（2011?无锡）写出一个大于1且小于2的无理数． 考点：估算无理数的大小。 专题：开放型。 分析：由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 解答：解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一． 点评：此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 3．（2011?六盘水）一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数4与5之间．考点：估算无理数的大小；算术平方根。 分析：本题需要先按要求找到4与5相乘，得出正方形的面积是20，即可求出答案． 解答：解：∵正方形的面积是20， ∴它的边长在整数：在4与5之间． 故答案为：4，5． 点评：本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4．（2011?抚顺）若两个连续的整数a、b满足a＜＜b，则的值为． 考点：估算无理数的大小。 分析：＜＜，由此可确定a和b的值，进而可得出的值． 解答：解：∵3=＜＜=4， ∴a=3，b=4， 即=． 故答案为：． 点评：本题考查无理数的估算，注意夹逼法的运用． 5．（2011?崇文区）与最接近的整数是4． 考点：估算无理数的大小；二次根式的性质与化简。 专题：推理填空题。 《实数》教学设计(一) 人教课标七年级下册 一、教学目标 1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数； 2.了解实数绝对值的意义, 3.掌握有理数的运算法则在实数运算法则中仍适用； 4.通过实数的分类,是学生进一步领会分类的思想; 5.数形结合体现了数学的统一性的美. 二、教学重点和难点 教学重点：使学生了解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质. 教学难点：无理数意义的理解． 三、教学方法 讲练结合 四、教学手段 多媒体 五、教学过程 (一)复习提问 什么叫有理数?有理数如何分类?由学生回答，教师帮助纠正： 1．整数和分数统称为有理数． 2．有理数的分类有两种方法： 第一种：按定义分类：第二种：按大小分类： (二)引入新课 同学们，有理数由整数和分数组成，下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是0的小数，如3可写做3.0、3.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示。如3=3.0， ，，但是是不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢? 答案是否定的，我们来看这样一组数： 我们会发现这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范围．这就是我们今天要学习的一个新的概念：无理数． 1．定义：无限不循环小数叫做无理数． 请同学们判断以下说法是否正确? (1)无限小数都是无理数． (2)无理数都是无限小数． (3)带根号的数都是无理数． 答：(1)错，无限不循环小数都是无理数． (2)错，无理数是无限不循环小数． 现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今天学习的又一新的概念． 2．实数的定义：有理数和无理数统称为实数． 3．实数的分类： 对于实数，我们可按定义分类如下： 由上述分类，我们发现有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可以按大小分类如下： 对于这两种分类的方法，同学们应牢固地掌握． 例1 判断题： (1)任何实数的偶次幂是正实数．( ) (2)在实数范围内，若｜x｜=｜y｜，则x=y．( ) (3)0是最小的实数．( ) (4)0是绝对值最小的实数．( ) 解：(1)错，0的偶次幕是0，它不是正实数． (2)错，若x=3，y=-3，则满足｜x｜=｜y｜，但x≠y． (3)错，负实数都小于0． (4)对，因为任何实数的绝对值都为非负实数，0自然是绝对值最小的实数． 六、总结 今天我们学习了实数这一新的内容，请同学们首先要清楚，实数我们是如何定义的，它 与有理数是怎样的关系，再有就是对实数两种不同的分类要清楚．并应对照有理数中有关相反数、绝对值的定义以及运算律和运算性质，来理解在实数中的定义和运用． 解答题 1写出所有适合下列条件的数： (1) 大于「忙小于的所有整数； (2) 绝对值小于.二的所有整数. 考点：估算无理数的大小。 分析：(1)由于 16 v 17V25, 9v 11V 16?由此得到-5v ~<- 4, 3v 一 v 4?所以 只需写出在-5和4之间的整数即可； (2)由于16< 18<25,所以4< .-?< 5?只需写出绝对值小于 5的所有整数即可. 解答：解：(1)v 16< 17< 25, 9< 11 < 16, ???- 5< I' <- 4,3<".<4, ???大于-咚T 小于甘丨.的所有整数：-4，土 3，土 2,± 1, 0; (2) T 16< 18< 25, ? 4< ~?< 5, _ ?绝对值小于寸「门的所有整数：土 4,± 3,± 2，土 1 , 0. 点评：此题主要考查了无理数的估算能力， 能够对一个无理数正确估算出其大小在哪两个整 数之间，同时理解整数、绝对值的概念. 2. (1)如图1,小明想剪一块面积为 25cm 的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长 吗？ (2)若小明想将两块边长都为 3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图 2所示的一个大 正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数， 那么请你 估计这个边长的值在哪两个整数之 考点：估算无理数的大小；平方根。 分析：(1)根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长； _ (2)由于大正方形是由两个小正方形所拼成的， 易求得大正方形的面积为 18,边长为'■:; 因此大正方形的边长不是整数，然后估算出 .二的大小，从而求出与甘上相邻的两个整数. 解答：解：(1)边长 二：cm ； (2分) (2)大的正方形的面积=32 +32 =18； (3分) 边长二 二，二边长不是整数，(4分) ?/ ( 5 分) 间 .培优专题4 无理数的整、小数部分的应用(含解答)
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