直角三角形中的成比例线段射影定理

1.射影： （1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子 B 应是什么？ （2）线段留在MN上的影子是什么？ 定义： 过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 直线l上的正射影，简称射影。 M B’ A
.
A
A’ N B
l
A’
B’
1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂 足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
2 2 2 2
2
2
2
C
2 2
A
D
B
探究：△ ABC 是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射 射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影 影的角度来考察 AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些 的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例 线段之间的某些关系吗？ 中项。
ACD
∽
AC CD AD CBD CD 2 BD AD CB BD CD
在RtABC 中，CD是高，则有
C AC是AD,AB的比例中项。 BC是BD,AB的比例中项。 CD是BD,AD的比例中项。 A D B
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
A A B
M
A´
A
N
M
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影 直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
线段的两个端点在这条
讨论：
1．线段在直线上的射影结果
点或线段
2．直线在直线上的射影结果 点或直线
各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’
A B’
B l
A’ 如图,CD是
B’
A’
B B’
ACD 90 BCD,∴ (AD+BD)² B 90 =AC² BCD . AD CD +BC² ACD B ACD ∽ CBD CD 即2AD· BD=AC² -AD² +BC² -BD² BD 2
0 0
CACD和RtCΒιβλιοθήκη BaiduD 考察Rt ∵AB² =AC² +BC²
l
Rt ABC 的斜边AB的高线
C
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
A D
B
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
BC BD AB 2 AC AD AB 2 CD AD DB
2
C
A
D
B
CD AD DB
2
AC AD AB
2
BC BD AB
2
具体题目运用：
AC BC CD AB

BC BD AB 2
2

C
AC AD AB CD 2 AD DB
A
D
B
根据应用选取相应的乘积式。
C
利用射影定理证明勾股定理:
2 2
A
D
2
B
AC BC AD AB BD AB AB
BC,由 BD AB 同理 CDA ∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
2 用勾股定理能证明吗 ? 有AC AD AB
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
( 3) 同理可证得 BC² = BD· AB A D
B
总结： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可
即CD AD BD (1) ∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD² A D B 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ B是公共角 , BDC BCA BC AB ∴ CD² = AD· BD C 2 2 AC 即 BC AD BD AB AB (2)
你知道吗？
使学生了解射影的概念，掌握射影 定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题 和实际计算中有较多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我 们进一步学习直角三角形的特性。
大家先回忆一下：
C ,有_____________________. 在Rt ABC 中， =90
AC BC AB
2 2
2
(1)一锐角相等
(2)任意两边对应 成比例.
已知直角三角形ABC，CD垂直AB 问：1．图中有几个Rt△? 2．有几对△相似？
2
C
3．CD =？
AC =？ BC =？
2 2
AD· DB AD· AB BD· BA
A D
B
求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三 角形相似。 已知：在RtΔABC中，CD是斜AB上的高。
求证： ΔACD ∽ ΔABC C ∽ ΔCBD 。
A
D
B
如图， ABC 中，C 90, CDAB. C 由母子相似定理，得 ADC ∽ ACB
推出：
D
CDB
AC CD DA AB BC CA
A 同理，得：
B
2 所以： AC AB DA
∽
CD DB CB ACB CB 2 AB DB AC CB AB
射影定理只能用在直角三角形中,且必须
有斜边上的高
这里犯迷糊，可 不行！
利用射影定理证明勾股定理:
AC BC AD AB BD AB AB
2 2 2
利用勾股定理证明射影定理:
AB =(AD＋DB) =AD ＋2AD · DB ＋DB
2 2 2 2
AC ＋BC =AB
AC －AD =CD BC －BD =CD
A
D
B
用文字如何叙述？
直角三角形中,斜边上的高线是两条
直角边在斜边上的射影的比例中项,
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项.
这就是射影定理
C
1．直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项; 2．每一条直角边是这 条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中 项;
以求出其余四条线段，有时需要用到方程的
思想。
C
A
D
B
1.
直角△ABC中已知:CD=60 AD=25
求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
例1
如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD 2 AD DB 2 6 12, CD 12 2 3 cm;