1.1 集合的含义与表示 课件8 (北师大必修1)(2)

元素与集合的关系
设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}.若a∈A，
b∈B，试判断a＋b与A，B的关系.
【思路点拨】 因为A是偶数集，B是奇数集，所以a是偶数，b是奇数，从 而a＋b是奇数.
【解析】 ∵a∈A，∴a＝2k1(k1∈Z).
∵b∈B，∴b＝2k2＋1(k2∈Z). ∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1. 又∵k1＋k2∈Z， ∴a＋b∈B，从而a＋b A.
的不同对象.因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素.
集合中元素的特性
已知集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，求实数a的值. 【思路点拨】 检验得x值 如果令a2=1，0或a 解方程求a
【解析】 (1)若a2＝1，则a＝±1， 当a＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去； 当a＝－1时，集合A中有三个元素1,0，－1，符合. (2)若a2＝0，则a＝0， 此时集合A中有两个相同元素0，舍去.
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合， 它的任何两个元素都是不同的.如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不 能记为{1,1}.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中 的未知元素. (3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a， c}是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系. 【注意】 集合中元素的互异性在解题中经常用到.如已知两个集合的关系，
(3)0与1之间的全体无理数构成一个集合；
(4)集合A＝{(1，－3)}与B＝{(－3,1)}是同一集合.
【解析】
(1)不正确.因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求顺
序，只要是相同几个元素即可，故{a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个相同
的集合.
(2)不正确.对于一个集合，它的元素是互异的，而 2 ＝0.50，因此，此种表 示不能构成集合.要想表示集合，应写作 1， ， ，0.71 ，含有4个元素. 2 4
x＝0 y＝3 x＝1 x＝2 或 或 y＝2 y＝1
x＝3 或 y＝0
所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}； (4)描述法：{(x，y)|y＝2x＋1}.
1.集合的概念可以从以下几个方面来理解 (1)集合是一个“整体”； (2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征.这两个特征不 是模棱两可的. 判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来
故实数a不能取的值的集合是{1，－1}. 【答案】 {1，－1}
4.以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有多少个元素？
【解析】 ∵方程x2－2x－3＝0的解是 x1＝－1，x2＝3， 方程x2－x－2＝0的解是 x3＝－1，x4＝2， ∴以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1,2,3，共有3个元素.
不含任何
1.“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？ 【提示】 “高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算
高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没 有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象.因此，它们都不 能构成集合.
2.“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是 否正确？ 【提示】 在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的数(对象)1,2,4，并且都是确定

1
1 1

(3)正确.符合集合中元素的特性，它是一个无限数集. (4)不正确.A＝{(1，－3)}表示的是由点(1，－3)组成的单元素点集，B＝{( －3,1)}表示的是由点(－3,1)组成的单元素点集，而(1，－3)和(－3,1)是不同 的两个点，因此A与B是不同的集合.
(1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存
在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用 “，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复；③不考虑元素顺序. (2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举 出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.
x＋y＝3 x－y＝－1
的解是有序实数对，
而集合{x＝1，y＝2}表示两个方程的解集， 正确的表示应为{(1,2)}或 (x，y) x＝1 y＝2 【答案】 D
.
1.下列关系中，正确的个数为(
2
)
① 1 ∈R； ② Q； ③|－3|N；④|－|∈Q. A.1 C.3 【答案】 B B.2 D.4
(3)若a2＝a，则a＝0或1，不符合集合元素的互异性，都舍去.
综上可知：a＝－1. 根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值， 再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最
易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运
用.
1.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1){a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个不同的集合； (2)集合 中有5个元素；
鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，
否则不能构成集合.
2.对集合中元素三个特性的认识 (1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的.即一个集合一旦 确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要
么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.
是，如果从上下文的关系看，表示代表元素的范围，如x∈R是明确的，则
x∈R可以省略，只写其元素x； (4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”、“
或”等表示描述语句之间关系的词.
下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组 x＋y＝3 的解集为{x＝1，y＝2}. x－y＝－1
【解析】 (1)比4大2的数显然是6，故可表示为{6}.
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为
(x－2)2＋(y＋3)2＝0 ∴
x＝2 y＝－3
，∴方程的解集为{(2，－3)}.
(3)由x－2>3，得x>5. 故不等式的解集为{x|x>5}. (4)“二次函数y＝x2－1的图象上的点”用描述法表示为 {(x，y)|y＝x2－1}.
通常用 大写字母A，B，C，„ 表示集合；
通常用 小写字母a，b，c，„ 表示集合中的元素.
2.元素与集来自百度文库的关系
知识点 元素 与集 合的 关系
关系
概念 如 a是集合A的元素
记法
a∈A
读法
属于
果
“a属于A”
a A
，就说a属于A
a不是集合A的元素
如 果
不属于
“a不属于
，就说a不属于A
A”
3.常用数集及表示符号
判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对象 是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个元素是某个
集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质.
2.所给下列关系正确的个数是(
)
①π∈R；② 3 Q；③0∈N＋；④|－4| N＋. A.1 C.3 B.2 D.4
§1
集合的含义与表示
1.列出满足“大于5而小于10”的所有整数 6、7、8、9. . 2.实数可以分为 有理数 、 无理数 ；有理数可以分为 整数 、分数 ；
整数可以分为 正整数 、 负整数 、 零 .
3.到一个定点的距离等于定长的点的集合是 圆 .
1.集合的含义
(1)一般地，指定的 某些对象的全体 称为集合，集合中的 每个对象 叫作 这个集合的元素. (2)集合与元素的表示
【解析】 ∵π是实数，是无理数，
∴①②正确，N＋表示正整数集，而0不是正整数；
|－4|是正整数，∴③④错误. 【答案】 B
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合 (1)比4大2的数； (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (3)不等式x－2>3的解的集合； (4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合. 【思路点拨】 解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无 限个.
非负整数集 名称 (自然数集) 符号
4.集合的表示方法
正整数集 整数集
有理数 实数 集 Q 集 R
N
N＋
Z
列举法
把集合中的元素
一一列举
出来写在大括号内表示
集合的方法
描述法
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的
方法
5.集合的分类
有限集
含有 有限个 元素的集合
无限集
空集
含有
无限个
元素的集合
元素的集合

其中正确的有(
A.3个 C.1个
)
B.2个 D.0个
【错解】 A
【错因】 对于描述法表示集合，一应清楚符号“{x|x的属性}”表示的是所 有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表 元素是什么.
【正解】 ①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1 N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}. ②集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号 “R”已表示所有的实数，正确的表示应为{x|x为实数}或R. ③方程组
3.用适当的方法表示下列集合
(1)二元二次方程组
y＝x 2 y＝x
的集合；
(2)大于4的全体奇数组成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}； (4)一次函数y＝2x＋1图象上所有点组成的集合. 【解析】 (1)列举法：{(0,0)，(1,1)}； (2)描述法：{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}； (3)列举法：因为x∈N，y∈N，x＋y＝3， 所以
求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性.
3.使用描述法必须注意 (1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，或是有序实数 对(点)，或是集合，或是其他形式； (2)准确说明集合中元素的共同特征； (3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但
2.已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( A.3∈A C.0∈A B.1∈A D.－1 ∈ A
)
【解析】 集合A表示不等式3－3x>0的解集.显然3,1不满足不等式，而0，
－1满足不等式，故选C.
【答案】 C 3.已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是 【解析】 由互异性知a2≠1，即a≠±1， .