等腰直角三角形旋转(1对1辅导精品)
个性化教学辅导教案
、如图所示，请将一直角梯形形状的地块，分成面积相等的两地，问如何分．
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动点直角三角形问题的解法
“动点直角三角形问题”的三种解法 李永红 中考数学压轴题中常会出现“动点直角三角形问题”，如2013年山西、成都、攀枝花、长春、济宁、绵阳、襄阳等省市中考数学试卷中均出现了“动点直角三角形问题”，对于这类问题的解决，即使是数学尖子生也感到很棘手.其实，解决“动点直角三角形问题”有“法”可循，并不算“难”. 一、例题分析 例1 在直角坐标系中，已知点)0,1(A ，)2,0(-B ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转090至AC ，如图1. （1）求点C 的坐标； （2）若抛物线22 12++-=ax x y 经过点C .①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外）使ABP ?是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析（1）构造三垂图可求得点C 的坐标为)1,3(-C . （2）①将点C 的坐标代入22 12++-=ax x y 可求得抛物线的解析式为22 1212++-=x x y . ②法1（利用数形结合）： 如图2，易求得直线AC 的解析式为2 121+-=x y . 由??? ????++-=+-=2212121212x x y x y 解得???=-=11y x 或???-==13y x （舍去）.此时点P 的坐标为 )1,1(-. 设过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为b x y +-=2 1，将点
)2,0(-B 代入，得2-=b ，所以过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为 221--=x y .由??? ????++-=--=221212212x x y x y 解得???-=-=12y x 或???-==44y x .此时点P 的坐标为)1,2(--或)4,4(-. 综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法2（构造三垂图）： 如图3，延长CA 交抛物线于点),(1n m P ，过点1P 作x D P ⊥1轴于点D ， 易证DA P 1?∽AOB ?，∴OB AD OA D P =1.∵1=OA ，2=OB ，m AD -=1，n D P =1，∴211m n -=，即m n 2121-=.∵点),(1n m P 在抛物线上，∴22 1212++-=m m n .由??? ????++-=-=2212121212m m n m n 解得???=-=11n m 或???-==13n m （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-. 过点B 作直线AC 的平行线，交抛物线于点2P ，3P .过点2P 作y E P ⊥2轴于点E ，易证2BEP ?∽AOB ?，可求得点2P 的坐标为)1,2(--；过点3P 作y F P ⊥3轴于点F ，易证3BFP ?∽AOB ?，可求得点3P 的坐标为)4,4(-； 综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法3（利用勾股定理）： 设抛物线上存在点)22 121,(2++- m m m P ，使ABP ?是以AB 为直角边的直角三角形.分别利用勾股定理可得52=AB ， ,)22121()1(2222++-+-=m m m AP 2222)42 121(++-+=m m m BP . 当点A 、B 分别为直角顶点时，分别由+2AB =2AP 2BP 、 +2AB 2BP 2AP =得到关于m 的一元四次方程，用已学知识难以求解. 例2 已知抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于点)0,3(-A ，)0,1(B ，与y 轴交于点C ，如图4. （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）在抛物线的对称轴l 上存在点Q ，使ACQ ?为直角三角形，请求出点Q 的坐标.
等腰三角形中的旋转题
https://www.360docs.net/doc/391843455.html, 彰显数学魅力！演绎网站传奇！ 学数学 用专页 第 1 页 共 1 页 搜资源 上网站 等腰三角形中的旋转题 □ 江苏 徐伯良 等腰三角形的性质和判定,有助于解决与之相关的若干问题.请看,它们在解决旋转问题中的应用: 例1如图1，等边△ABC 中，有一点P,连结PA 、PB ，把△ABP 顺时 针旋转 60°，使边AB 与边BC 得重合，连结CQ ． ，试判断△BPQ 的形状，并说明理由． 析解: △BPQ 是等边三角形.理由如下: 由题意可知,BP=BQ ,∠PBQ=60°，所以△BPQ 是等边三角形. 例2 如图2，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3， 点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到 线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 析解:如图3所示,当线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．且使点D 恰好落在BC 上时，OP=OD, ∠DOP=60°， 在△COD 中, ∠C+∠COD +∠CDO=180?,∠C=60°， 而∠COD+∠DOP +∠AOP=180?,∠DOP=60°，所以∠ CDO =∠AOP , 又在△COD 中, ∠A=∠C=60°，可得△COD ≌△APO, 则AP=CO=AC-AO=6.故,选C. 例3 如图4，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 为中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC ，CB 的延长线于点G ，H ． （1）试写出图中除AC ＝BC ，OA ＝OB ＝OC 外其他所有相等的线段； （2）请从你所写的所有相等线段中任选的一组,说明相等的理由． 我选择的相等线段是:_________=_________． 析解:（1）根据等腰三角形的轴对称性以及三角形全等方面的知识, 可以推测,图中除AC ＝BC ，DA ＝DB ＝DC 外其他所有相等的线段 有:CG=BH,AG=CH, D G=D H. （2）在△ABC 中，由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD=DB 可知, CO=OB,C O ⊥AB, ∠ABC ＝45°． 而∠COG+∠GOB ＝90°，∠BOH+∠GOB ＝90°， 所以∠COG ＝∠BOH ， 又∠ABC ＝∠OCB=45°，所以∠OBH ＝180?-45°=135?,∠GOC ＝90?+45°=135?. 于是, ∠GCO=∠OBH ,所以△GCO ≌△HBO, 则CG=BH. 图 4 图 3 图 2 图1
直角三角形存在性问题解决方法汇总
【问题描述】 如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例： 【构造三垂直】 01问题与方法
C3、C4求法相同，以C3为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股 还剩下C1待求，不妨来求下C1： 【解析法】 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1， 可得：kAC=-2， 又直线AC1过点A（1,1）， 可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x轴交点坐标为（1.5,0）， 即C1坐标为（1.5,0）． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上
方法小结 几何法： （1）两线一圆作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法： （1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2； （4）代入列方程，求解． 02从等腰直角说起 再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 2019兰州中考删减 【等腰直角存在性——三垂直构造全等】 通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”． 推理过程如下： 【模型迁移】 二次函数y=ax2+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式； （2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题（精华） 1、图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？ 说明理由； 如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM 相等吗？说明理由； 如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由． 2、如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F． （1）求证：AN=MB； （2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．
3、如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点， 求证：△CMN是等边三角形． （根据△ACD≌△BCE，得出AD=BE，AM=BN；又△AMC≌△BNC，可得CM=CN，∠ACM=∠BCN，证明∠NCM=∠ACB=60°即可证明△CMN是等边三角形；） 1、（锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF 和BE．（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的△ABC 绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； （4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现． （3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立．（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C 为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE．
等腰直角三角形例题
有关等腰直角三角形的几何证明题（2013.12.30FZX） （郭方媛） 【知识要点】等腰直角三角形是几何证明的特殊图形，它的性质（两腰相等、两底角等于45°）在证明中作用重大，充分应用其性质能达到轻松解题的效果。 【例】、如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，AC=BC，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长线上，且MD⊥DN，连MN． （1）求证：DM=DN； （2）若∠DMC=15°，BN=1，求MN的长． 考点：全等三角形的判定与性质． 分析：（1）连接CD，求出CD=BD，∠CDM=∠BDN，∠MCD=∠ DBN，证△DCM≌△DBN，推出即可； （2）求出CM=BN=1，∠MNC=30°，根据含30度角的直角三角形性质推出即可． 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力． 【1】已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点， （1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形； （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰 直角三角形？证明你的结论． 【2】如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC； （2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD． 【3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D
是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC． 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想． 【4】如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC角平分线BD于D，AC，BD交于E．AF 为BC中线，交BE于G． （1）求证：BE=2CD； （2）CE和BG大小如何？不必证明． 【5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．（3）求证：BD=BF 【6】等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M． （1）求证：△EGM为等腰三角形； （2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论
等腰直角三角形的旋转
（图1） （图2） （图3） 等腰直角三角形的旋转 1.如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，以BC 为边作等腰Rt △BCD ，连接AD ，把△ACD 绕D 点，逆时针方向旋转900 ，得到△EBD 。 （1）画出△EBD ； （2）当BC=4时，连接AE ，求△ABE 的面积； （3）当BC 的长度发生变化时，请直接写出AD 长的取值范围。 ( 备用图） 2.(1)如图1， △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求证：△ACD ≌△BCE. (2) 如图2，将图1中△DCE 绕点C 逆时针旋转n °(0＜n ＜45)，使∠BED=90°，又作△DCE 中DE 边上的高CM ，请完成图2，并判断线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在正方形ABCD 中，CD=5，若点P 满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP 的距离．
3.如图(1)，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt△AD 1E 1，如图(2)，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ． （1）求证：BD 1= CE 1； （2）当∠=1CPD 2∠1CAD 时，求1CE 的长； （3）连接PA,PAB ?面积的最大值为 ．（直接填写结果） 4.在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △A 1B 1C 1中,斜边B 1C 1中点O 也是BC 的中点。 (1)如图1，则AA 1与CC 1的数量关系是 ；位置关系是 。 (2)如图2，将△A 1B 1C 1绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。 (3)如图3，在（2）的基础上，直线AA 1、CC 1交于点P ，设AB=4，则PB 长的最小值是 。 B P E 1B C E D D 1A 1 11 1图1
全等三角形与旋转问题专题
全等三角形与旋转问题 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后 证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性 质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件， 决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化
【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________． 【解析】A 【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心_____________。 A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到 G F E D C B A 【解析】D 【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A．1对B．2对C．3对D．4对 K G F E D C B A 【解析】C 【例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：AN BM =． M D N E C B F A 【解析】∵ACM ?、CBN ?是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ?? ≌，∴AN BM = 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形． 【例5】如图，B，C，E三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC 例题精讲
(完整版)等腰直角三角形中的常用模型
等腰直角三角形中的常用模型 模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶 点 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三 角形： 例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作 BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。 （1）求证：BE-CF=EF ； （2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立， 请写出新的结论并证明。 1.如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90o，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。 （1）求证：M 为BE 的中点 （2）若PC=2PB ，求 MB PC 的值 （2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角 三角形： 3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。 （1）求证：BG=AF ； （2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45o，∠BAC =90o，AB=AC ，点D 是AB 的 中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE . G G B A C D E F (2)(1)F E D C B A F D A A (2)F E D C A A B C D E F (1)(2)(3)(1)D D E E C E A A A B
一个等腰直角三角形的旋转问题的探究
图 2 图 1 图 3 图 5 图4 图 6 图 7 一个等腰直角三角形旋转问题的探讨 原题：在△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90O , △ADE 为等腰直角三角形，DE ⊥AD 。M 为线段EB 的中点, 连结DM 、CM 。请探究DM 与CM 的关系（如图1）。 证明分析：利用直角三角形斜边中线性质和三角形的内外角和定理不难证明DM 与CM 垂直且相等。 问题：把等腰直角△ADE 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，其它条件不变，则上述命题的结论仍然成立吗？ 一、特殊位置时结论的证明 旋转一：当线段AD 旋转到线段AC 上时（如图2）。 证明分析（如图3）：设线段AE 与线段BC 的延长线相交于点N 。由直角三角形斜边中线性质可得，AM ＝EM ；由等腰直角三角形的定义可得，AD=ED ，所以，根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可得DM ⊥AE ，可证DM ∥AB 。 同理，CM ∥AN ，综合可证△CDM 是等腰直角三角形。于是，命题得证。 旋转二：当E 、D 、B 三点旋转到同一条直线上时（如图4）。 证明分析（如图5）：延长AD 至N ，使DN=DM ，连结CN 。△EDA 是等腰直角三角形，所以可证得AN=EM=BM 。由三角形内角和可证∠NAC=∠CBM ，用“SAS ”证明△CBM ≌△CAN 。得∠MCB=∠NCA ，证 出∠NCM=90O ，再由△CBM ≌△CAN 可得∠N=∠DMC,由四边形内角和可证得∠N=∠DMC =90O ，从而证明四边形DMCN 为正方形。于是命题得以证明。 旋转三：当点E 、A 、B 三点在同一条直线上时（如图6）。
旋转第二篇：两个等腰直角三角形
旋转试题篇：抓基本图形，看变化 接着上一篇旋转，这篇选取其中一个特例---等腰直角三角形进行讲解。 如图，△ABC和三角形ADE为等腰直角三角形，△ABC固定不动，△ADE绕顶点A顺时针旋转。不难想象，△ADE的顶点旋转轨迹如图乙所示：D、E始终在在以点A为圆心、AD长为半径的圆上，且长度不变。 图甲图乙 在旋转的过程中，我们发现，△ADE的位置可以大致分为三种情况： 情况①：一边在△ABC内一边在△ABC外，如图1所示： 情况②：一边在△ABC上，如图2所示： 情况③：两边都在△ABC外，如图3所示： 图1图2图3 这三种情况，几何题中，是很常见的，且贯穿整个初中。请看题： 一、对接情况①的常考题。 【题1】⑴问题发现：如图⑴，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE。填空，∠AEB的度数为；线段AD,BE之间的数量关系为； ⑵拓展探究如图⑵，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由。
【题2】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值． 二、对接情况②的常考题。 【题3】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF； ⑴求证：Rt△ABE≌Rt△CBF; ⑵若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。 【题4】如图所示，H是△ABC的高AD,BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC； ③BH=AC；④CE=CD中，正确的有。 三、对接情况③的常考题。 【题5】如图①，已知△ABC，以△ABC的边AB、AC为边，分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE。 （1）试说明：△ADC≌△ABE； （2）判断CD与BE有怎样的位置关系； （3）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由。
等腰直角三角形中的常用模型
-- 等腰直角三角形中的常用模型 模型一:一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点 (1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边,必定可以构造一对全等的直角三角 形: 例１.如图：Rt ΔＡBC 中,∠BAC =90o,AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作ＢE ⊥ＡＤ于点E ，过C 作C Ｆ⊥A Ｄ于点F 。 （1)求证：BE －ＣＦ=EF ； (2)若D 在BC 的延长线上(如图（2）)，（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出 新的结论并证明。 １．如图1,等腰Rt △ABC 中，A Ｂ=CB ,∠ABC =90o,点P 在线段BC 上(不与B 、C 重合）,以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ,连CQ 交ＡB 于M 。 (１)求证:M 为B Ｅ的中点 (２）若P Ｃ＝２ＰB,求MB PC 的值 （２）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边,必定可以构造一对全等的直角 三角形: 3、如图:Rt ΔＡBC 中,∠BAC =90o,ＡＢ=ＡＣ，点D 是ＢC 上任意一点,过B 作B Ｅ⊥A Ｄ于点Ｅ，交ＡC 于点Ｇ,过C 作CF ⊥AC 交A Ｄ的延长线与于点Ｆ。 (1)求证:BG=AF ； （2)若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 变式１：如图,在R t △ＡＢC 中，∠ＡC Ｂ＝45o，∠BAC ＝90o,AB=AC ,点Ｄ是A Ｂ的 中点，A Ｆ⊥ＣＤ于H 交BC 于Ｆ，B Ｅ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证:BC 垂直且平分ＤE ． G G B A C D E F (2)(1)F E D C B A D E F F E D (2)(1)C C A B B A (2)F E D C B A A B C D E F (1)(2)(3)(1)D D E E C E A A A B
挑战压轴题----直角三角形的存在性问题
挑战压轴题----直角三角形的存在性问题 1．（10分）（2015?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2 +bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标． 2.（2015?连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y= 4 1x 2 交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是-2． （1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标． （2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由． （3）过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三 点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标． 4.如图，抛物线y=-x 2 +bx+c 的顶点为 D ，与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当四边形OBMC 的面积最大时，求△BPN 的周长； （3）在（2）的条件下，当四边形OBMC 的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标．
初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形手拉手的旋转
等腰直角三角形手拉手的旋转 例：已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,点D 在直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ，如图，当点D 在线段BC 上时，求证：（1）CF=BD; （2）CF ⊥ BD; 分析：根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，正方形的性质可得AD=AF, ∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF ，再利用“边角边”证明△ABD 和△ACF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD ，全等三角形的对应角相等可得∠ACF=∠ABD ，然后求出∠BCF==90°,再根据垂直的定义证明即可. 证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°, ∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=AF,∠DAF==90°， ∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF, 在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =??∠=∠??=? ，∴△ABD ≌△ACF ， 所以CF=BD. （2）∠ACF=∠ABD, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴CF ⊥BD; 总结：（1）两个相似的共直角顶点的等腰直角三角形，旋转所形成的全等三角形相对孤立的边的关系是垂直且相等，如图，△BCD ≌△ECA ，则AE=BD.AE ⊥BD,
（2）延伸：两个共顶点的全等三角形旋转90°时，对应的孤立边的位置关系是垂直且相等,如图，BC=DE.BC⊥DE. 练习：1.如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD 分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由 2.如图,已知F是正方形ABCD中BC边上一点,延长AB到E,使得BE=BF,试用旋转的性质说 明:AF=CE且AF⊥CE.
直角三角形的存在性问题(教案)
直角三角形的存在性问题（教案） 学习目标： 1、经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。 2、体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。 一、课前准备 1.已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为 . 2.如图，A （0，4），C （4，0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为 . 【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、M 型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题. 二、我们一起来探究 如图，A （0，1），B （4，3）是直线12 1 += x y 上的两点，点P 是x 轴上一个动点. 问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标. y x B A O y x B A O y x B A O （备用图1） （备用图2） 提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 需要针对直角顶点进行分类. （2）一般会有几种情况？ 三种. （3）分类之后需要做什么？ 画图. （4）解题有哪些方法？ （5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点. 变式跟进：将上述直线向上平移a 个单位，A 、B 两点也同时向上平移到相应的位置，x 轴上存在唯一的点P ，使得∠APB=90°. 求a 的值. 【小结】直角三角形的存在性问题解题策略： . 【设计意图】通过这个环节，探究直角三角形存在性问题解题策略：分类——画图——解题，重在让学生了解这类题的的三种解法：几何法、解析法、代数法，从而为后面的练习做好铺垫. 三、反馈练习 1.如图，点O （0，0），A （1，2），若存在格点P ，使△APO 为直角三角形，则点P 的个数有 个.
等腰直角三角形中的常用模型复习过程
等腰直角三角形中的 常用模型
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 等腰直角三角形中的常用模型 模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶 点 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全 等的直角三角形： 例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一 点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。 （1）求证：BE-CF=EF ； （2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立 吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 1.如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90o，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。 （1）求证：M 为BE 的中点 （2）若PC=2PB ，求MB PC 的值 （2全等的直角三角形： 3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点， 过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。 （1）求证：BG=AF ； D E F F E D (2) (1) C C A B B A (2) F E D C B A A B C D E F (1) (2) (3) (1) D D E E C E A A A B
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 （2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？ 若不成立，请写出新的结论并证明。 变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45o，∠BAC =90o，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE . 变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点， AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。 变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，求证：∠1=∠2。 模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边 等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对 应边构造全等三角形 A B C D E F (2) (1) F E D C B A G G B A C D E F (2) (1) F E D C B A
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)附答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米． 【解析】 试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形， ∴CE=AB=12m， 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE ， ∴BE=CE?cot30°=12×3=123， 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°， 得DE=BE=123． ∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4． 答：楼房CD的高度约为32.4m． 考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
2．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N， ∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题： （1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM； （2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=，CF=． 【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣ 【解析】 【分析】 (1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF， NC=NM=BM进而得出结论； （2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM， ②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM； (3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，， 可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长. 【详解】 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠C=45°， ∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC， ∴BM=MN， 在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°， ∵∠ENF=135°，， ∴∠BME=∠NMF， ∴△BME≌△NMF， ∴BE=NF， ∵MN⊥AC，∠C=45°， ∴∠CMN=∠C=45°，
初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形手拉手模型的补全【含解析】
等腰直角三角形手拉手模型的补全 例：如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线 段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形； ② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案． （2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，在正方形ABCD 中，AB PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离． D A B C P D C A B 图1 图2 分析：（1）②∠ADC +∠CDE =180°．根据旋转的性质即可解答 （2）根据旋转的性质，可证明A 、D 、E 三点在同一条直线上，得到AE=AD+DE ，再根据旋转，实质得到两个等腰直角三角形手牵手相似，则可证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE ，又CD=CE,∠DCE=90°，CM⊥DE，得到DE=2CM ，∴AE=BE+2CM. （3）作AF⊥BP 于F ，此图可看成不完整的等腰直角三角形手牵手，则相当于△ADP 绕点A 顺时针旋转90°，∴作AH⊥BP 于H ，如图，形成三角形△ABD 和△AHP 手牵手，∴△ABH≌△ADP，∴BP=BH+HP=PD+2AF，在Rt△BPD 中借助勾股定理可得AF =
解：（1）① 依题意补全图形（如下图）； ② ∠ADC+∠CDE=180°． （2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：∵ 线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE， ∴ CD=CE，∠DCE=90°．∴ ∠CDE=∠CED=45°． 又∵ ∠ADC=135°，∴ ∠ADC+∠CDE=180°， ∴ A、D、E三点在同一条直线上. ∴ AE=AD+DE. 又∵ ∠ACB=90°，∴ ∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵ AC=BC，CD=CE，∴ △ACD≌△BCE．∴ AD=BE． ∵ CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴ DE=2CM． ∴ AE=BE+2CM．
旋转专题 90°
旋转专题（二） ————类型二 旋转90°，构造垂直 1. 如上图：P 为等腰直角三角形ABC 平面上一点，将三角形ABP 绕点A 逆时针旋转90. 证明：三角形APP'为等腰直角三角形，三角形PCP'实质上是由PB ，PC 和 2PA 构成。 2. 如右图，当P 点在BC 上时， 证明：22222''PA PP C P PC ==+ 3. 如右图，在正方形中，可以把看成与等腰直角三角形 的关系处理，用上述旋转的思想来构图，处理问题.
例1. 如图以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 同侧作正方形BCEF, 设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB=4，AO=6√(2)，求AC 的长. 例2. 如图为正方形内一点，若PA=a ，PB=2a ，PC=3a (a>0) . 求：（1）∠APB 的度数；（2）正方形的面积. 例3. 如图，D ，E 分别是等腰RtABC 斜边BC 所在直线上的两点，且满足 ∠DAE=135°. 求证：222DE BE CD =+
练习 1. 把Rt △ABC 和Rt △EFG （其短直角边长均为4）如图放置，且使△EFG 的直角顶点G 与AB 中点O 重合.将△EFG 绕点O 顺时针旋转（0<α<90）. （1）求BH 与CK 数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？请证明你的结论. （2）连接HK ，设BH=x ，△GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写 出x 的取值范围. （3）在（2）的条件下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积等于△ABC 面积的 161 ？请说明理由.
基础训练(二)等腰直角三角形的旋转
基础训练（二）等腰直角三角形的旋转 [直角对直角] 1、如图1，在等腰Rt△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若将△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置。 （1）点M、P、N分别是DE、DC、BC的中点，连接MN、PM、PN，判断△PMN的形状； （2）将△ADE绕A点在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，说明S△PMN的最大面积。
2、在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D、E分别为AB、AC的中点。若Rt△ADE绕A 点逆时针旋转，得到△ADE，如图1，设旋转角为α（0<α<180°），记BD与CE交于P。 （1）探求BD、CE的数量关系和位置关系； （2）如图2，CE=2时，求α；
[锐角对锐角] 1、已知等腰直角三角形△ABC与△DEC中，CE=DE，AB=AC，∠CED=∠CAB=90°。（1）将△DCE绕C点旋转至如图1位置，N是BD中点，试探求EN与AN的关系并证明；（2）如图2，M是CD的中点，BE交AM于F，求AM与BE的数量关系。
2、等腰直角三角形△ABC与△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，连接EC、BF，点D为BF中点，连接CD。 （1）如图1，当点E落在AB边上时，探求线段EC与CD的数量关系，并证明； （2）将△AEF绕点A顺时针旋转至图2位置，探求线段EC与CD的数量关系，并证明。
如图1，△ABC与△DCE均为等腰Rt△，∠BAC=∠DCE=90°，点O为DE中点，连AD，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连AF。 （1）当D在线段AC上时，如图1，判断线段AF与AO的数量关系和位置关系； （2）若AB=4，CE=2，在图1的基础上，将△CED绕C点继续逆时针旋转到某一位置如图2，此时平行四边形ABFD 为菱形，求AF的长度。 如图，AB垂直平分CD于O，AB=BC，E是BC延长线上一点，F为DB延长线上一点，连接AE、AF，∠EAF=∠EBF。（1）探求BE、BF、OB之间的关系； （2）若OB=4，OA=1，BF=6，求S△ABE。