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北师大版九年级数学下册第三章《圆》专题测试含答案

《圆》专题训练含答案一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是（填序号）11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于°．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．圆专题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B．2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①正确；②在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；③圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；因此正确的结论是①②；故选：B．3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°【解答】解：连接BD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°．故选：B．5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定【解答】解：∵r＝3，d＝5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：B．6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角【解答】解：∵EF与⊙O相切于点D，∴点D有圆上，∴∠AOB和∠BOD是圆心角，∠ADB是圆周角，∵点F不在圆O上，∴∠BDF不是圆周角，故选：C．7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°【解答】解：∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB＝∠AOB＝70°．故选：C．8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．【解答】解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OF A，∴S阴＝S扇形OF A，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OF A＝＝．故选：C．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是②③（填序号）【解答】解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确，正确的结论有②③，故答案为：②③．11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于18°．【解答】解：由题意这是正二十边形，中心角α＝＝18°，故答案为18．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是8．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．【解答】解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，∴OC＝＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AD＝＝＝，∵E为的中点，∴OE⊥BD，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，∴DE＝＝＝；故答案为：．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于2+．【解答】解：∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，∵F是AB的中点，∴OC⊥AB，设OF为x，则DF＝x﹣4，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，在Rt△BOC中，OB2＝OF2+BF2，∵OB＝OC＝6，∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）∴OF的长的最大值等于2+，故答案为2+．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是70°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．故答案为：70°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于10．【解答】解：根据正n边形内接于半径为R的圆，则可将分割成n个全等的等腰三角形，其中等腰三角形的腰长为圆的半径R，顶角为，∵个n边形的面积为3R2，∴n××R×R×sin＝3R2n sin＝6解得n＝10．故答案为10．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为30cm．【解答】解：根据题意得，r＝30cm，故答案为30cm．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．【解答】（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DF A，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．【解答】解：（1）如图1，连接OD，则OD⊥DE，∵∠∠ODA+∠EDC＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵OA⊥OB，∴∠OAD+∠OCA＝90°，且∠OCA＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDC；（2）由（1）知，∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC，在Rt△ODE中，设ED＝x，则OE＝CE+OC＝2+x，∵OD2+DE2＝OE2，∴82+x2＝（2+x）2，解得，x＝15，∴DE的长为15；（3）如图2，连接OD'，过点O作OH⊥AD'于点H，延长AO交⊙O于点M，过点D作DN⊥AM于点N，设弦AD在圆内扫过的面积为S，则S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'，由题意知，∠OAH＝30°，∴在Rt△OAH中，∠AOH＝60°，AH＝OA＝4，OH＝OA＝4，∴AD'＝2AH＝8，∠AOD'＝120°，∴S弓形ABD'＝S扇形OAD'﹣S△OAD'＝﹣×8×4＝﹣16，在Rt△ODN中，∠DON＝2∠OAD＝30°，∴DN＝OD＝4，∴S△OAD＝OA•DN＝×8×4＝16，∵∠AOD＝180°﹣∠DON＝150°，∴S扇形OAD＝＝，∴S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'＝﹣16﹣（﹣16）＝+16﹣16，∴弦AD在圆内扫过的面积为+16﹣16．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．【解答】证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CF A+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．【解答】解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．【解答】（1）证明：连结OC，如图1，∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，即∠ACO+∠FCD＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∴∠CAO+∠AFH＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠AOC，∴∠FCD＝∠AFH，而∠AFH＝∠DFC，∴∠DFC＝∠DCF，∴△FCD是等腰三角形；（2）解：连结OF，OC，如图2，在Rt△COE中，∠E＝30°，BE＝2，∴OE＝2OC，即OB+2＝2OC，而OB＝OC，∴OC＝2，∴⊙O的半径为2；∵∠EOC＝90°﹣∠E＝60°，∴∠ACO＝∠AOC＝30°，∴∠FCD＝90°﹣∠ACO＝60°，∴△FCD为等边三角形，∵F为AC的中点，∴OF⊥AC，∴AF＝CF，在Rt△OCF中，OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC；（2）解：过点O作OF⊥AC于点F，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD．∵OD∥AC，∴DE⊥AC．∴四边形OFED是矩形．∴OF＝DE．在Rt△AOF中，∠A＝45°，∴OF＝OA＝2，∴DE＝2．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》检测(有答案解析)

一、选择题1．以坐标原点O 为圆心，1为半径作圆，直线y x b =-+与O 相交，则b 的取值范围是（）A ．11b -<<B ．22b -<<C ．20b -<<D ．02b << 2．如图，ABC 是O 的内接三角形，BD 为O 的直径．若10BD =，2ABD C ∠=∠，则AB 的长度为（）A ．4B ．5C ．5.5D ．63．我国古代数学名著《九章算术》中有“勾股定理”问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少步？”此问题的答案是（）．A ．3步B ．4步C ．6步D ．8步4．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为6cm ，当重物上升4cm π时，滑轮的一条半径OA 按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 5．如图，30MAN ∠=︒，O 是MAN ∠内部一点，O 与MAN ∠的边AN 相切于点B ，与边AM 相交于点C ，D ，52AB =，作OE CD ⊥于E ，3OB OE =，则弦CD 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．266．探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm ．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA 的值最接近的是（）A ．8cmB ．7 cmC ．6 cmD ．5 cm7．如图，半圆的直径为AB ，圆心为点O ，C 、D 是半圆的3等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A ．3πB ．6πC ．12D ．138．如图，O 是ABC 的外接圆，BC 的中垂线与AC 相交于D 点，若60A ∠=︒，70B ∠=︒，则AD 的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．20︒D ．309．如图，ABC 内接于O ，A 40∠=︒，ABC 70∠=︒，BD 是O 的直径，BD 交AC于点E ，连接CD ，则AEB ∠等于（）A ．70︒B ．90°C ．110°D ．120°10．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，D ，E 分别为线段AB ，AC 上一点，且AD AE =，连接BE 、CD 交于点G ，延长AG 交BC 于点F ．以下四个结论正确的是（）①BF CF =；②若BE AC ⊥，则CF DF =；③若BE 平分ABC ∠，则32FG =； ④连结EF ，若BE AC ⊥，则2DFE ABE ∠=∠． A ．①②③ B ．③④C ．①②④D ．①②③④ 11．下列说法正确的是（）A ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．平分弦的直径垂直于弦C ．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似D ．对角线相等的四边形是矩形12．如图，AB 为⊙0的直径，点C 在⊙0上，且CO ⊥AB 于点O ，弦CD 与AB 相交于点E ，若∠BEC= 68°，则∠ABD 的度数为（）A ．20°B ．23°C ．25°D ．34°二、填空题13．如图，点A ，B ，C 都在O 上，2tan 3ABC ∠=，将圆O 沿BC 翻折后恰好经过弦AB 的中点D ，则BC AB的值是___________．14．如图，AB 、CD 是O 的两条弦，连接AD 、BC ．若60BAD ∠=︒，则BCD ∠的度数为______度．15．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且AC BD ⊥， OF CD ⊥，垂足分别为E F 、，若52OF =，则AB =_____．16．如图，等腰BAC 中，120ABC ∠=︒，4BA BC ==，以BC 为直径作半圆，则阴影部分的面积为________．17．如图，BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，AD 平分BAC ∠，连接BD 、CD ，若65ACB ∠=︒，则ABD ∠的度数为_________．18．如图，在ABC 中，D 是边BC 上的一点，以AD 为直径的O 交AC 于点E ，连接DE ．若O 与BC 相切，55ADE ∠=︒，则C ∠的度数为______19．点E 在正方形ABCD 的内部，BCE 是以EC 为底边的等腰三角形，1AB =，则DE 的最小值为_________．20．如图，将矩形ABCD 绕点C 沿逆时针方向旋转，使点B 的对应点B '刚好落在DC 延长线上，得到矩形A B CD '''，若4AB =，8AD =，则阴影部分的面积为__________．三、解答题21．如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点O 为圆心，AB 为直径，点A ，B ，C ，D 是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中作出BD 边上的中线CE ．（2）在图2中作BCD ∠的角平分线CF ．22．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，弦AD ∥OC ．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）已知AB ＝6，CB ＝4，求线段AD 的长．23．如图，矩形ABCD 中，22,4AB BC ==，以B 为圆心．BC 为半径画弧，交AD 于点E ，()1求ABE ∠的度数；()2求图中阴影部分的面积．24．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上不同于A ，B 的两点，且OC 平分ACD ∠，延长AC 与DB 交于点E ，过点C 作CF OC ⊥交DE 于点F ．（1）求证：A E ∠=∠．（2）若5BF =，34BD OB =，求O 的半径．25．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．26．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若tan ∠P ＝34，AD ＝6，求⊙O 的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】求出直线y x b =-+与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线y x b =-+与圆相切时，函数经过二、三、四象限b 的值，则b 的值在相交时与相切时两个b 之间；【详解】当直线y x b =-+与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示：在y x b =-+中，令x=0，y=b ，则与y 轴的交点为B(0，b)，令x=b ，y=0，则与x 轴的交点为A(b ，0)，则OA=OB ，即△AOB 是等腰直角三角形，连接圆心O 与切点C ，则OC=1，∴ △BOC 也是等腰直角三角形，∴ BC=OC=1，∴ 22112BO =+= ，同理当直线y x b =-+与圆相切时且函数经过二、三、四象限，b=2- ，∴ 当直线y x b =-+与圆相交时，b 的取值范围是22b -＜＜；故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b 的值．2．B解析：B【分析】连接OA ，首先求出∠ACB=30°得∠AOB=60°，从而证得△AOB 是等边三角形，进一步得出结论．【详解】解：∵BD 是圆O 的直径，且BD=10∴OB=5连接OA ，如图，∵BD 是圆O 的直径，∴90ACB ABD ∠+∠=︒又2ABD C ∠=∠∴3∠C=90°，即∠C=30°，∴∠AOB=60°∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=5故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．3．C解析：C【分析】根据题意，得点E 、点D 、点F 分别为O 与AB 、BC 、AC 的交点，连接OA 、OB 、OC ；根据勾股定理，计算得AC ；设O 的半径为r ；根据内切圆性质，得OD BC ，OE AB ⊥，OF AC ⊥；再结合三角形面积关系，通过计算，即可得到答案．【详解】如图，直角ABC ，O 是直角ABC 的内切圆，点E 、点D 、点F 分别为O 与AB 、BC 、AC 的交点，连接OA 、OB 、OC根据题意，得8AB =，15BC = ∴2217AC AB BC =+= 设O 的半径为r ∵O 是直角ABC 的内切圆∴OD BC ，OE AB ⊥，OF AC ⊥，OD OE OF r === ∴ABC AOB BOC COA S S S S =++△△△△ ∴11112222AB BC AB r BC r AC r ⨯=⨯+⨯+⨯ ∴81581517r r r ⨯=++∴3r =∴O 的直径为6，即直径6步故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内切圆、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内切圆、勾股定理的性质，从而完成求解．4．D解析：D【分析】重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，根据弧长公式计算即可.【详解】∵重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，∴4π=n 6180π⨯⨯，解得n=120，故选D.【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式，读懂题意是解题的关键.5．C解析：C【分析】延长BO 交AM 点F ，计算BF ，后计算OB ，OC ，OE ，最后，运用垂径定理计算即可.【详解】如图，延长BO 交AM 点F ，连接OC ，∵O 与MAN ∠的边AN 相切，∴∠ABF=90°，∵30MAN ∠=︒，AB =∴BF=3，∠AFB=60°，∠FOE=30°，设EF=x ，则OF=2x ，， ∵OB =，∴OB=3x ，∴BF=OB+OF=5x ，∴，∴ ∴，，∵OE CD ⊥，∴在直角三角形OCE 中，，根据垂径定理，得CD=2CE=4，故选C.【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，垂径定理，会用延长线段BO构造特殊的直角三角形是解题的关键.6．B解析：B【分析】先计算出QA的长，由于图甲测得PC=12cm，即圆的半径等于12cm，在图乙中直角三角形OAQ中利用30度角的三角函数可求得tan30°=3=12AQ，解得AQ的值为43．先估计3的近似值，再求解．【详解】解：如图甲，连结OP，并设⊙O与x轴相切于点D，图乙，连结OQ、OA，并设⊙O与x 轴相切于点E，∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD是正方形，∴OQ=OP=PC=12cm，由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC）÷2=60°，∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，∴tan∠QOA=AQ÷OQ，即tan30°=3=12 AQ，解得AQ=∵1.52，∴6＜8．故选B．【点睛】本题考查的是切线的性质，解直角三角形和无理数的估算．估算无理数的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．7．D解析：D【分析】由C、D是半圆的3等分点知∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，据此得S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD＝13S半圆，再根据概率公式求解即可．【详解】解：∵C、D是半圆的3等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD＝13S半圆，∴该点取自阴影部分的概率为1=3CODSS扇形半圆，故选：D．【点睛】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．8．C解析：C【分析】首先连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，由∠B＝70°，∠A＝60°，又由△ABC的边BC 的垂直平分线与△ABC的外接圆相交于点D，根据圆周角定理，即可求得∠AOB与∠BOE 的度数，继而求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，∵OD 是△ABC 的边BC 的垂直平分线，∴∠BOE ＝12∠BOC ， ∵∠BAC ＝12∠BOC ， ∴∠BOE ＝∠BAC ，∵∠A ＝60°，∠B ＝70°，∴50∠=°ACB ，∴∠BOE ＝∠BAC ＝60°，∴∠BOD ＝180°−∠BOE ＝180°−60°＝120°，∵∠AOB ＝2∠ACB ＝100°，∴AB 的度数为：100°，∴AD 的度数为：120°−100°＝20°．故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．D解析：D【分析】根据三角形内角和定理和圆周角定理求解即可；【详解】∵A 40∠=︒，ABC 70∠=︒，∴180407070ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∵BD 是圆O 的直径，∴90BCD ∠=︒，∴20ACD ∠=︒，∴20ABD ACD ∠=∠=︒，∴()1801804020120AEB BAE ABE∠=︒-∠+∠=︒-︒-︒=︒；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形内角和，准确计算是解题的关键．10．D解析：D【分析】先证明∆BAE ≅∆CAD ，再证明∆ABG ≅ ∆ACG ，得AF 是∠BAC 的平分线，进而即可判断①；先证明BDC=∠CEB=90°，根据直角三角形的性质，即可判断②；根据角平分线的性质，得点G 到∆ABC 的三边距离都相等，结合“等积法”即可判断③；先证明B ，C ，D ，E 在以点F 为圆心的圆上，进而即可判断④．【详解】∵AB=AC ，∠BAE=∠CAD ，AE=AD ，∴∆BAE ≅ ∆CAD ，∴∠ABE=∠ACD ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD ，即：∠GBC=∠GCB ，∴BG=CG ，∴∆ABG ≅ ∆ACG ，∴∠BAG=∠CAG ，即AF 是∠BAC 的平分线，∴BF CF =，故①正确；∵BE AC ⊥，∴∠CEB=90°，由①可知：BD=CE ，∠ABC=∠ACB ，又∵BC=CB ，∴∆BDC ≅∆CEB ，∴∠BDC=∠CEB=90°，∵点F 是BC 的中点，∴CF DF =，故②正确；∵BE 平分ABC ∠，AF 平分∠BAC ，∴点G 是角平分线的交点，∴点G 到∆ABC 的三边距离都相等，且等于FG ，∵5AB AC ==，6BC =，AF ⊥BC ，∴4=， ∴S ∆ABC =12(AB+AC+BC)∙FG=12×16FG=8FG ，S ∆ABC =12BC∙AF=12， ∴8FG=12，即：32FG =，故③正确； ∵BE AC ⊥，由①可知：CD ⊥AB ，∴B，C，D，E在以点F为圆心的圆上，∴2∠=∠，故④正确．DFE ABE故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握“等腰三角形三线合一”，“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”，是解题的关键．11．A解析：A【分析】根据菱形的判定定理、垂径定理的推论、相似三角形的判定定理、矩形的判定定理依次对选项进行判断即可．【详解】A：根据菱形的判定定理可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意；B：根据垂径定理可知，平分弦的直径不一定垂直于弦，但垂直于弦的直径一定平分这条弦，故此选项不符合题意；C：根据三角形相似的判定定理可知，两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不符合题意；D：对角线相等且平分的四边形是矩形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查矩形、菱形、相似三角形的判定定理及垂径定理的推论，掌握各判定定理是解题的关键．12．B解析：B【分析】连接OD，可得∠ODC=∠OCD=22°，从而可求得∠AOD=46°，结合圆周角定理，即可求解．【详解】连接OD，∵CO⊥AB，∠BEC= 68°，∴∠OCD=90°-68°=22°，∵CO=CD，∴∠ODC=∠OCD=22°，∴∠COD=180°-22°-22°=136°，∴∠AOD=136°-90°=46°，∴∠ABD=1∠AOD=23°，2故选B．【点睛】本题主要考查圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．二、填空题13．【分析】如图连接ACCD过点C作CE⊥AB于E设AD＝DB＝2a想办法用a 表示BC即可解决问题【详解】解：如图连接ACCD过点C作CE⊥AB于E∵D 为AB的中点设AD＝DB＝2a∵∠ABC＝∠CBD13【分析】如图，连接AC，CD，过点C作CE⊥AB于E．设AD＝DB＝2a．想办法用a表示BC即可解决问题．【详解】解：如图，连接AC，CD，过点C作CE⊥AB于E．∵D 为AB 的中点，设AD ＝DB ＝2a∵∠ABC ＝∠CBD ，∴AC CD =，∴CA ＝CD ，∵CE ⊥AD ，∴AE ＝ED ＝a ，∴BE ＝DE +DB ＝3a ， ∵2tan 3∠==C EC EB AB ， ∴EC ＝2a ，∴BC 22EC EB + 22(2)(3)13a a a +=， ∴131344BC a AB a==，故答案为：134．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．【分析】利用同圆中同弧上的圆周角相等求解即可【详解】∵∴故答案为：60°【点睛】本题考查了圆的基本性质熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键解析：【分析】利用同圆中，同弧上的圆周角相等求解即可．【详解】∵BAD ∠=BCD ∠，60BAD ∠=︒∴60BCD ∠=︒，故答案为：60°．【点睛】本题考查了圆的基本性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．15．【分析】连接DO 并延长与⊙O 相交于点G 连接BGCG 由AC ⊥BDDG 是直径可得∠DBG=90°=∠DCG 可证AC ∥BG 可得可得AB=CG 由OF ⊥CD 可证OF ∥CG 可证△DOF ∽△DGC 由性质由OF=可解析：【分析】连接DO 并延长，与⊙O 相交于点G ，连接BG ，CG ，由AC ⊥BD ， DG 是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG 可证AC ∥BG ，可得AB CG =，可得AB=CG ，由OF ⊥CD ，可证OF ∥CG ，可证△DOF ∽△DGC ，由性质DO OF 1==DG CG 2，由OF=52，可求CG 5=2OF=2=52⨯即可．【详解】解：如图，连接DO 并延长，与⊙O 相交于点G ，连接BG ，CG ，∵AC ⊥BD ，DG 是直径，∴∠DBG=90°=∠DCG ，∴BG ⊥DB,∴AC ∥BG ，∴AB CG =，∴AB=CG ，∵OF ⊥CD ，∴OF ∥CG ，∴∠DOG=∠DGC∴△DOF ∽△DGC ，， ∴DO OF 1==DG CG 2， ∵OF=52，∴CG 5=2OF=2=52⨯，所以AB=CG=5．故答案为：5．【点睛】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．16．【分析】连接BD 作半径OD 先求出BDCD 长△OCD 面积再求出扇形OCD 面积即可求出阴影面积【详解】解：如图连接BD 作半径OD ∵BC 为直径∴BD ⊥AC ∵BA=BC=4∴∠ACB=∠A=30°∴BD=∴解析：433π【分析】连接BD ，作半径OD ，先求出BD 、CD 长，△OCD 面积，再求出扇形OCD 面积，即可求出阴影面积．【详解】解：如图，连接BD ，作半径OD ，∵BC 为直径，∴BD ⊥AC ，∵BA=BC=4，120ABC ∠=︒，∴∠ACB=∠A=30°，∴BD=1BC=22， ∴2223BC BD -=∵O 为BC 中点，∴1112233222ODC BDC S S ==⨯⨯⨯=△△ ∵OD=OC ，∠ACB=30°，∴∠COD=120°，∵直径BC=4，∴半径OC=2， ∴2120423603OCD S ππ=⨯⨯=扇形， ∴阴影部分面积为433π-．故答案为：433π【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，勾股定理，、圆周角定理推论、扇形面积的求法，弓形面积求法等知识，理解割补法是求不规则图形面积的一般方式是解题关键． 17．【分析】由为直径可得∠BAC=∠BDC=90°由平分可证BD=DC 可得∠DBC=∠DCB=45°可求∠ABC=90°-∠ACB=25°可求∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°即可【详解】解：∵是的内解析：70︒【分析】由BC 为直径，可得∠BAC=∠BDC=90°由AD 平分BAC ∠，可证BD=DC ，可得∠DBC=∠DCB=45°，65ACB ∠=︒，可求∠ABC=90°-∠ACB=25°，可求∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°即可．【详解】解：∵BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，∴∠BAC=∠BDC=90°∵AD 平分BAC ∠，∴∠BAD=∠CAD ， ∴BD DC =，∴BD=DC ，∴∠DBC=∠DCB=45°，∵65ACB ∠=︒，∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-65°=25°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=25°+45°=70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键．18．55°【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED=90°由切线的性质得∠ADC=90°然后由同角的余角相等得∠C=∠ADE=55°【详解】解：∵AD为的直径∴∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=9解析：55°【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED=90°，由切线的性质得∠ADC=90°，然后由同角的余角相等得∠C=∠ADE=55°．【详解】解：∵AD为O的直径，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∵O与BC相切，∴∠ADC=90°，∴∠DAE+∠C=90°，∴∠C=∠ADE=55°．故答案为55°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆的相关概念及性质，互余关系等知识点．掌握圆的相关性质是解题的关键．19．-1【分析】根据△BCE是以CE为底边的等腰三角形推出点E在以B为圆心AB长为半径的圆弧AC上根据圆的基本性质得到DE最小时点E的位置从而利用BD-BE计算出结果【详解】解：如图正方形ABCD中∵△-1【分析】根据△BCE是以CE为底边的等腰三角形推出点E在以B为圆心，AB长为半径的圆弧AC 上，根据圆的基本性质得到DE最小时点E的位置，从而利用BD-BE计算出结果．【详解】解：如图，正方形ABCD中，∵△BCE是以CE为底边的等腰三角形，∴BE=BC，∴点E在以B为圆心，AB长为半径的圆弧AC上，连接BD，与弧AC交于点E，则此时DE最小，∵AB=1，∴BE=1，，∴-1，故答案为：2-1．【点睛】本题考查了圆的基本性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意得到点E 在弧AC 上．20．【分析】先求出CE=2CD′求出∠D′EC=30°求出∠D′CE=60°D′E=4分别求出扇形CEB 和三角形CD′E 的面积即可求出答案【详解】解：设与交于点连接∵四边形是矩形∴在中∵∴∴∴故答案为：解析：32833π- 【分析】先求出CE=2CD′，求出∠D′EC=30°，求出∠D′CE=60°，D′E=43，分别求出扇形CEB 和三角形CD′E 的面积，即可求出答案．【详解】解：设BB '与A D ''交于点E ，连接CE ，∵四边形'''A B CD 是矩形，∴A D C ∠''90B CD =∠''=︒，在Rt ED C '中，∵8CE CB ==，=4CD AB '=，∴228443ED '=-=，30CED ∠'=︒，∴60ECD ∠'=︒，∴26081324438336023ECD ECB S S S ππ'⨯=--⨯⨯=-=△阴影扇形故答案为：32833π-【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，题目比较好，难度适中．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线之间的距离处处相等可取BD中点E，连接CE即可；（2）连接OE并延长，与圆O交于点F，连接CF即可．【详解】解：（1）如图，CE即为所作；（2）如图，CF即为所作．【点睛】本题考查了平行线之间的距离处处相等，垂径定理，圆周角定理，实质上是考验学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．22．（1）证明见详解；（2）18 5【分析】（1）连接OD，证明CBO△CDO≌△，即可得到结论．（2）连接BD，根据勾股定理求出OC，根据直径所对的圆周角等于90 ，平行线的性质，可证OCB△ADB∽△，即可求出AD的长【详解】（1）如图：连接OD，//AD OC ，A COB ∴∠=∠，ADO COD ∠=∠，OA OD =，A ADO ∴∠=∠，COD COB ∴∠=∠，∴在COD △和CBO 中OD OB COD COB OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD △≌CBO ，CDO CBO ∴∠=∠，CB AB ⊥，90CDO CBO ∴∠=∠=︒，OD CD ∴⊥，∴DC 是⊙O 的切线；（2）如图:连接BD//AD OCA COB ∴∠=∠ AB 为直径，CB AB ⊥90ADB OBC ∴∠=∠=︒∴ADB OBC ∽OC OB AB AD∴=6,4AB BC ==132OB AB ∴== ∴在Rt OBC 中5OC ===536AD∴= 185AD ∴= 【点睛】本题考查了圆切线的判定定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理和性质，正确作出辅助线是解题关键．23．()145︒；()242π-【分析】（1）由作图可知，BE=BC=4，勾股定理求出AE 长即可求ABE ∠的度数；（2）阴影部分的面积是矩形面积减去△ABE 面积再减去扇形EBC 面积．【详解】解：（1）由作图可知，BE=BC=4，∵∠A=90°，AB =∴AE ===，∴AB=AE ，∴45ABE ∠=；（2）由（1）可知∠EBC=45°，ABE ABCD EBC S S S S =--△阴矩形扇形，(22145442360S π⨯=-⨯-︒阴，42π=-．【点睛】本题考查了勾股定理，扇形面积公式，等腰三角形的性质，解题关键是理解作图意义，熟练运用勾股定理和扇形面积公式．24．（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据角平分线和半径相等证//OC DE ，再用平行线的性质证明即可；（2）设3BD x =，4OB x =，根据（1）中的等角，得到AB=BE ，CE=CD ，列方程即可．【详解】（1）证明：∵OC=OA,∴ACO A ∠=∠．∵∠A=∠D ，∴∠D=∠ACO∵OC 平分ACD ∠，∴ACO OCD ∠=∠，∴OCD D ∠=∠．∴//OC DE ，∴E ACO ∠=∠，∴E A ∠=∠．（2）解：∵34BD OB =，∴设3BD x =，4OB x =，由（1）得E D ∠=∠，∴CD=CE ，∵//OC DE ．CF OC ⊥，∴CF DE ⊥，∴35EF DF x ==+．∴310BE x =+，∵E A ∠=∠，∴AB BE =，即3108x x +=，解得2x =∴半径48OB x ==．【点睛】本题考查了圆周角的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质，解题关键是准确把握已知，合理利用已知条件，设未知数列方程．25．圆锥的底面圆半径为3；圆锥的侧面积为27π．【分析】直接利用圆的周长公式即可求出圆的半径长，根据扇形的面积公式即可求出圆锥的侧面展开图的面积；【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，则2π6πr =，解得3r =，设扇形AOB 的半径为R ，则120π6π180R ⋅⋅=，解得9R =， ∴圆锥的侧面积16π927π2=⨯⨯=．【点睛】本题考查了圆锥的展开图问题，正确以及圆的周长公式以及扇形面积公式是解题的关键； 26．（1）PC 是⊙O 的切线，见解析；（2）154r =【分析】（1）结论：PC 是⊙O 的切线．只要证明OC ∥AD ，推出∠OCP =∠D =90°，即可．（2）先利用锐角三角函数求出PD ，进而求出AP ，再由OC ∥AD ，推出OC OP AD AP=，由此即可计算．【详解】解：（1）结论：PC 是⊙O 的切线．理由：连接OC ．如图1，∵AC 平分∠EAB ，∴∠EAC =∠CAB ，又∵OA =OC ，∴∠CAB =∠ACO ，∴∠EAC =∠OCA ，∴OC ∥AD ，∵AD ⊥PD ，∴∠OCP =∠D =90°，∴PC 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ADP 中，∠ADP =90°，AD =6，tan ∠P =34， ∴PD =8tan AD P =∠，AP =10，设半径为r ，∵OC ∥AD ， ∴OC OP AD AP =，即10610r r -=，解得r =154，故半径为154．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

完整word版北师大9年初三圆中考练习题及答案

圆命题点1圆周角定理及其推论︵1.(2021兰州)如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A＝50°，那么∠BOC＝()A.40°°° D.60°第1题图︵︵2.(2021济宁)如图，在⊙O中，AB＝AC，∠AOB＝40°，那么∠ADC的度数是( )第2题图A.40°B.30°C.20°D.15°(2021永州)如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，那么∠BAC＝________度．第3题图(2021青岛)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，假设∠BCD＝28°，那么∠ABD＝________°.第4题图命题点2 垂径定理及其推论5.(2021黄石)如下图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，那么ON＝()第5题图(2021眉山)如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，假设∠D＝32°，那么∠OAC等于()第6题图A.64°B.58°C.72°D.55°(2021安顺)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，假设AB＝8，CD＝6，那么BE＝________．第7题图命题点3与圆有关的位置关系8.(2021湘西)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以cm为半径画圆，那么⊙C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定9.(2021上海)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r第9题图的取值范围是()1＜r＜42＜r＜41＜r＜8.2＜r＜8命题点4与切线有关的证明与计算10.(2021泉州)如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，那么∠A的大小为()A.15°B.30°C.45°D.60°第10题图(2021湖州)如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，那么∠D的度数是()第11题图A.25°B.40°C.50°D.65°(2021呼和浩特)在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，假设AB和CD之间的距离为18，那么弦CD的长为________．(2021宁波)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点 E.那么⊙O的半径为________．第13题图(2021大连10分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)假设BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．第14题图命题点5扇形的相关计算15.(2021包头)120°的圆心角所对的弧长是6π，那么此弧所在圆的半径是()C.9D.1816.(2021宜宾)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是()A.3πB.6πC.9πD.12π17.(2021湘潭)如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为2，那么该扇形的弧长是________．(结果保存π)第17题图命题点6圆锥的相关计算18.(20212乌鲁木齐)将圆心角为90°，面积为4πcm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么此圆锥的底面圆的半径为()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm19.(2021孝感)假设一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，那么圆锥的母线长是________cm.20.(2021淮安)假设一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，那么该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.命题点7阴影局部面积的计算21.(2021重庆A卷)如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，假设AC＝BC＝2，那么图中阴影局部的面积是()π1ππ1πA.4B.2＋4C.2D.2＋2第21题图22.(2021资阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，假设点D为AB的中点，那么阴影局部的面积是()第22题图2242A.23－3π3－3π3－3πD.3π23.(2021重庆B卷)如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，那么图中阴影局部的面积是()9πA.183－9πB.18－3πC.93－2D.183－3π第23题图24.(2021常德)如图，△ABC 是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，那么图中阴影部分的面积是________．25.第24题图(2021咸宁8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点(1)试判断直线O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点BC与⊙O的位置关系，并说明理由；D，分别交AC，AB于点E、F.(2)假设BD＝23，BF＝2，求阴影局部的面积(结果保存π．)第25题图命题点8圆与正多边形的相关计算26.(2021贵阳)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，假设正方形的面积等于4，那么⊙O的面积等于________．第26题图27.(2021盐城)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，那么B、E两点间的距离为________．第27题图中考冲刺集训(时间：60分钟总分值：70分)一、选择题(共8题，每题3分，共24分)(2021无锡)如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，假设∠C＝70°，那么∠AOD的度数为()A.70°B.35°C．20° D.40°第1题图(2021德阳)如图，AP为⊙O的切线，P为切点，假设∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，那么∠OBC等于()第2题图A.55°B.65°C.70°D.75°3.(2021衢州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，假设∠A＝30°，那么sin∠E的值为()第3题图1233A.2B.2C.2D.3(2021山西)如图，在?ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，AB＝︵12，∠C＝60°，那么FE的长为()ππA.3B.2C．πD．2π第4题图︵︵︵(2021聊城)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF＝BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，假设∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，那么∠E的度数为()第5题图A.45° B.50° C.55°D.60°6.(2021广安)如图，AB 是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝43，那么S阴影＝()第6题图843A.2πB.3πC.3πD.8π7.(2021陕西)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，假设∠BAC与∠BOC互补，那么弦BC的长为()3第7题图8.(2021南通)如下图的扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，那么该圆锥的底面周长是()第8题图A.3πcmB.4πcmC.5πcmD.6πcm二、填空题(共4题，每题4分，共16分)9.(2021广州)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝12︵3，OP＝6，那么劣弧AB的长为________．(结果保存π)第9题图(2021徐州)如图，⊙O是△ABC的内切圆，假设∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，那么∠BOC________°.第10题图(2021枣庄)如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，假设AC＝2，那么tanD＝________．第11题图(2021义乌)如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，那么该脸盆的半径为________cm.第12题图三、解答题(共4题，第13题6分，第14～16题每题8分，共30分)(2021株洲)AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．(1)求证：△DFB是等腰三角形；(2)假设DA＝7AF，求证CF⊥AB.第13题图(2021泰州)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)假设PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．第14题图(2021沈阳8分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；︵(2)假设⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求BD的长．(结果保存π)第15题图(2021宿迁)如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．第16题图1.A【解析】∵OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°，∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝180°－50︵的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝1∠AOB＝40°，应选A.°－50°＝80°，∵点C是AB2第2题解图2.C【解析】如解图，连接︵︵1 CO，∵AB＝AC，∴∠AOC＝∠AOB＝40°，∴∠ADC＝21∠AOC＝×40°＝20°.应选C.3.35【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠B，∠C＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠B＝∠OAB＝70°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠C，∴∠OAC＝∠BAC＝1∠OAB＝35°.24.62【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD＝28°，可得∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD＝∠ACD＝62°.命题点2垂径定理及其推论【命题规律】1.考查形式：①半径、弦长、弦心距中的两个量求另一个量；②结合垂径定理计算角度或线段长.2.利用垂径定理求线段长考查较多，题型多为选择题和填空题．【命题预测】垂径定理及其推论是圆中计算线段长的重要工具，是命题的重点，需对这局部知识做到熟练掌握．AB225.A【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝2＝12，∴在Rt△AON中，ON＝OA－AN＝132－122＝5.6.B【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝1 OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝2(180°－∠AOC)＝12×(180°－64°)＝58°.第7题解图7. 4－7【解析】如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝8，CD＝6，∴CE＝DE＝3，OC＝OB＝4.在Rt△OCE中，OE＝42－32＝7，∴BE＝OB－OE＝4－7.命题点3与圆有关的位置关系【命题规律】考查内容：直线与圆的位置关系；一般考查根据其位置关系，计算某一量的取值范围或圆心和半径，求圆与另一直线的位置关系．【命题预测】与圆有关的位置关系是圆中命题点之一，常需判断直线圆的位置关系，值得注意．8.A【解析】如解图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5.过C作11CD⊥AB于D，那么S△ABC＝2AC·BC＝2AB·CD，解得CD＝，∴直线AB与⊙C相交．第8题解图第9题解图9.B【解析】连接AD，那么AD＝AC2＋CD2＝42＋32＝5，∵⊙A与⊙D相交，∴3r<5<3＋r，解得2＜r＜8，又∵点B在⊙D外，∴r<BD，即r<4.∴2<r<4，应选B.命题点4与切线有关的证明与计算【命题规律】1.主要考查：①利用切线性质求角度或线段长；②判定一条线是圆的切线.2.此类问题一般在三大题型中均有涉及，其中小题中常考查利用切线性质求角度或计算线段长问题，解答题中以两问设题居多，考查切线的判定和运用切线性质进行相关计算．【命题预测】切线性质与判定作为圆的重要知识，越来越受命题人的重视，是全国命题主流．10. B【解析】∵AB和⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠A＝90°－∠AOB＝90°－60°＝30°.第11题解图11.B【解析】∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝65°.如解图，连接OC.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO＝65°.∵CD是⊙的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＝90°－∠BCO＝25°，∴∠D＝∠ABC－∠BCD＝65°－25°＝40°.12.24【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C⊙O＝26π＝2πr，∴r＝13，∵AB∥CD，且AB与CD之间的距离为18，∴OM＝18－r＝5，∵AB为⊙O的切线，∴∠CMO＝∠AEO＝90°，∴在Rt△CMO中，CM＝OC2－OM2＝12，∴CD＝2CM＝24.第12题解图第13题解图2513.4【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，那么OD ＝OA.∵BC 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ⊥AD ，∴DF1＝AF ＝2AD ＝6，在Rt △ODF 中，设 OD ＝r ，那么OF ＝EF －OE ＝AB －OE ＝8－r ，在Rt △ODF 中，由勾股定理得DF 2＋OF 2＝OD 2，即62＋(8－r)2＝r 2，解得r ＝25.∴⊙O 的半径为25.4 414.(1)证明：如解图，连接 DO ， ∴∠BOD ＝2∠BCD ＝∠A ，(2分)第14题解图又∵∠DEA ＝∠CBA ，∴∠DEA ＋∠DOE ＝∠CAB ＋∠CBA ，又∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠ACB ＝90°，(5分)OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴ DE 与⊙O 相切．(7分) (2)解：如解图，连接BD ，可得△FBD ∽△DBO ，BD ＝DF ＝BF，(8分)BOODBDBD ＝DF ＝10，OB ＝5，(10分) 即⊙O 的半径为 5.命题点5 扇形的相关计算【命题规律】 1.考查内容：①弧长的计算(含圆的周长)；②扇形的面积计算；③求弧所在圆的半径.2.考查形式：①扇形圆心角和半径求弧长； ②扇形圆心角和半径求面积；③扇形圆心角和弧长求半径．【命题预测】扇形的相关计算是全国命题趋势之一．n πr15.C【解析】由扇形的弧长公式l ＝180可得：.120π·r 6π＝，解得r ＝9.120×π×6216.D【解析】由扇形的面积公式可得：S ＝＝12π.360n πr90×π×217.π 【解析】由扇形弧长公式l ＝180 可得：l ＝180 ＝π.命题点6 圆锥的相关计算【命题规律】考查内容与形式：结合圆和扇形的知识求圆锥的底面圆周长、半径以及圆锥的母线长或圆心角．【命题预测】圆锥的相关计算的考查结合圆和扇形的性质，能够考查学生的实践操作能力，在这方面更贴近新课标的要求．18.A 【解析】设扇形的半径为90·π·R 2R ，根据题意得＝4π，解得R ＝4，设圆36090·π·4锥的底面圆的半径为 r ，那么2πr ＝，解得r ＝1，即所围成的圆锥的底面圆的半径为1cm.360r360×319.9【解析】由n ＝l 得120＝l，解得l ＝9.20.120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n °，那么2π×2＝n π·6，解得n ＝120. 180命题点7 阴影局部面积的计算【命题规律】阴影局部面积的计算常通过两种方法求解： ①通过等积转换，把不规那么的图形变换成规那么图形的面积计算； ②和差法，把阴影局部面积转化为几个规那么图形面积和或差的形式计算，这是做阴影局部面积计算题的一般思路．【命题预测】阴影局部面积的计算综合知识较多，考查学生识图能力、分析能力和理解能力，是全国命题趋势之一．21.A 【解析】∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝BC ＝2，∴AB ＝2，那么半径OA＝OB ＝1，∵△AOC ≌△BOC ，∴△AOC 的面积与△BOC 的面积相等，∴阴影局部的面积刚好是四分之一圆的面积，即为12＝π4π×14.22.A【解析】设BC ＝x ，∵D 为AB 的中点，∴AB ＝2BC ＝2x,∴在Rt △ABC 中，由勾股定理有(2x)2－x 2＝(23)2，解得x ＝2，又∵sinA ＝BC＝1，∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴AB2S 阴影＝S △ABC －S 扇形BCD ＝1×2×23－60×π×222π.＝23－ 2 360 323.A 【解析】∵∠DAB ＝60°，DF ⊥AB ，AD ＝6，∴DF ＝AD ·sin60°＝33，∠ADC120°，∴S 阴影＝S 菱形ABCD －S 扇形EDG ＝6×33－120π×〔33〕2＝183－9π.360 24.3π【解析】∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形，∴∠AOB ＝2∠C ＝2×60°＝120°，120×π×32∵⊙O 的半径为3，∴阴影局部的面积S 扇形OAB ＝＝3π.36025.(1)解：BC 与⊙O 相切．理由如下：第25题解图如解图，连接 OD ，AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠OAD.又∵∠OAD ＝∠ODA ， ∴∠CAD ＝∠ODA.OD ∥AC ，(2分)∴∠BDO ＝∠C ＝90°，又∵OD 是⊙O 的半径， BC 与⊙O 相切．(4分)(2)解：设⊙O 的半径为r ，那么OD ＝r ，OB ＝r ＋2，由(1)知∠BDO ＝90°，∴在Rt △BOD 中，OD 2＋BD 2＝OB 2，即r 2＋(2 3)2＝(r ＋2)2.解得r ＝2.(5分)∵tan ∠BOD ＝BD ＝23＝ 3， OD2∴∠BOD ＝60°.(7分)1·OD·BD－60πr22π.(8分)∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝＝23－23603命题点8圆与正多边形的相关计算【命题规律】考查内容：①圆内接正多边形的性质；②圆内接正多边形与圆的面积结合．【命题预测】圆与多边形结合类题目的考查形式比拟固定，将圆的面积与多边形的相关性质结合起来进行考查，这个知识点将成为一种常态的命题形式．2＝2，∴26.2π【解析】由题意得，正方形的边长AB＝2，那么⊙O的半径为2×2⊙O的面积是(2)2π＝2π.︵︵︵︵︵︵︵27.8【解析】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴AB＝BC＝EF＝ED＝AF＝CD，∴BE的长是圆周长的一半，那么BE是圆的直径，∴BE＝2×4＝8.中考冲刺集训1.D【解析】∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠B＝20°，∴∠AOD＝∠B＋∠BDO＝2∠B＝2×20°＝40°.第2题解图2.B【解析】连接OP，如解图，那么OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝180°－50°265°.3.A【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，第3题解图∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°＝1 2.第4题解图4.C【解析】如解图，连接OE、OF，∵AB为⊙O的直径，AB＝12，∴AO＝OB＝6，∵⊙O与DC相切于点E，∴∠OEC＝90°，∵在?ABCD中，∠C＝60°，AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°，∠AOE＝∠OEC＝90°，∵在△AOF中，∠A＝60°，AO＝FO，∴△AOF是等边三角形，即∠AOF＝∠A＝60°，∴∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝90°－60°＝30°，弧EF的长＝30π×6＝π.1805.B【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵DF⌒＝BC⌒，∴∠BAC＝∠DCF ＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.第6题解图6.B【解析】如解图，连接OC，设CD与OB交于点E，∵在⊙O中，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝23，∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，在Rt△EOD中，OE＝DE tan60°＝2，∴OD＝4，∴BE＝OB－OE＝4－2＝2，在△DOE和△CBE中，CE＝DE，∠CEB＝∠DEO，OE＝BE，∴△DOE≌△CBE，∴S阴影＝S扇形OBD＝60×π×42＝8π.3603第7题解图7.B【解析】如解图，延长CO交⊙O于点A′，连接A′B.设∠BAC＝α，那么∠BOC＝2∠BAC＝2α，∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA′C＝∠BAC＝3 60°，∵CA′为直径，∴∠A′BC＝90°，那么在Rt△A′BC中，BC＝A′C·sin∠BA′C＝2×4×243.8.D【解析】如解图，由题意可知，OA＝4cm，AB＝5cm，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB＝3cm，∴该圆锥的底面周长是6πcm.第8题解图第9题解图19.8π 【解析】∵AB 是小圆的切线，∴ OP ⊥AB ，∴AP ＝2AB ＝6 3.如解图，连接OA ，OB ，∵OA ＝OB ，∴∠AOB ＝2∠AOP.在Rt △AOP 中，OA ＝OP 2＋AP 2＝12，tan ∠AP ＝63＝3，∴∠AOP ＝60°.∴∠AOB ＝120°，∴劣弧AB 的长为120π·12＝8π.AOP ＝OP618010.125【解析】∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OB 、OC 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴∠ OBC ＋∠OCB ＝1(∠ABC ＋∠ACB)＝ 1(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC ＝180°－22(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.11.22【解析】如解图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵AB ＝32222BC×2＝6，AC ＝2，∴BC ＝AB－AC ＝ 6－2＝42，∵∠D ＝∠A ，∴tanD ＝tanA ＝AC ＝42＝22.2第11题解图第12题解图12.25【解析】如解图，取圆心为O ，连接OA 、OC ，OC 交AB 于点D ，那么OC ⊥AB.设⊙O 的半径为r ，那么OA ＝OC ＝r ，又∵CD ＝10，∴OD ＝r －10，∵AB ＝40，OC ⊥AB ，∴AD ＝20.在Rt △ADO 中，由勾股定理得：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25，即脸盆的半径为25cm.13.(1)证明：∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝∠EFA ＝60°， ∴∠ABC ＝30°，∴ ∴∠FDB ＝∠EFA －∠B ＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC ＝∠FDB ，FB ＝FD ，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF＝a，那么AD＝7a，第13题解图如解图，连接OC，那么△AOC是等边三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝〔7a〕2－1＝7a2－1，在Rt△DCE中，tan30°＝CE＝1－a＝3，DC2－137a1解得a＝－2(舍去)或a＝，(5分)AF＝1 2，在△CAF和△BAC中，CA＝BA＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，AF AC∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA＝∠ACB＝90°，即CF⊥AB.(6分)14.解：(1)AB与⊙O相切．理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，又∵∠AEC＝∠CDF，∠CAE＝∠ADF，∴∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠ADC＝90°，又∵CD为⊙O的直径，AB与⊙O相切．(3分)(2)如解图，连接CF，第14题解图∴CD为⊙O的直径，∴∠CDF＋∠DCF＝90°，又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DCF＝∠ADF，又∵∠CAE＝∠ADF，∴∠CAE＝∠DCF，又∵∠CPA＝∠FPC，∴△PCF∽△PAC，PC＝PF，(6分)∴PAPC又∵PF∶PC＝1∶2，AF＝5，故设PF＝a，那么PC＝2a，2a＝a，a＋52a55解得a＝，10PC＝2a＝2×3＝3.(8分)15.(1)证明：如解图，连接OD，(1分)∵DF是⊙O的切线，D为切点，第15题解图OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，(2分)BD＝CD，OA＝OB，OD是△ABC的中位线，(3分)OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，DF⊥AC.(4分)(2)解：∵∠CDF＝30°，由(1)得∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°，OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，(7分)∴∠BOD＝60°，︵π×5＝5π.(8分)∴lBD＝nπR＝60180180316.(1)证明：如解图，连接OA，OD.设∠ABC＝x，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，第16题解图∴∠DAC＝x，∠AOD＝2∠ABC＝2x，180°－2x∴∠OAD＝＝90°－x，(2分)∴∠OAC＝90°－x＋x＝90°，OA⊥AC，又∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．(4分)(2)解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3,ABC＋∠ADB＝90°，∴∠ABC＋3∠ABC＝90°，(6分)解得∠ABC＝°，∴∠ADB＝°，∠ACB＝45°，∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝°.(8分)。

(完整版)北师大版九年级下册数学第三章圆单元测试(含答案),推荐文档

、选择题1.已知O O 的直径为10,点P 到点0的距离大于8，那么点P 的位置（）A. —定在O 0的内部B. —定在O 0的外部C. 一定在O 0上D. 不能确定 2. 乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8m ,水面宽AB 为8m ,则桥拱半径 0C 为（）A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m3.给出下列说法：① 直径是弦；②优弧是半圆；③ 半径是圆的组成部分；④ 两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的有（）5.如图，点A,B,C 均在坐标轴上， A0=B0=C0=1,过A,0,C 作O D , E 是O D 上任意一点，连结 CE, BE 则6.如图，在O 0中，弦AC 与半径0B 平行，若/ B0C=5O °则/ B 的大小为（）第三章圆A. 1个B. 个C.个D. 个4.一个扇形的圆心角是 120 °面积为3 Mm 2 那么这个扇形的半径是（A.cmB. 3cmC. 6cmD. 9cmB. 5C. 6D.A. 25 °B. 30C. 50 °D. 60 °7. 在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合 ”.由此说明（）A. 圆的直径互相平分B. 垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧C. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心D. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 8.如图，AB 为O O 的直径，点E 、C 都在圆上，连接 AE , CE BC ,过点A 作O O 的切线交BC 的延长线于点D ,若/ AEC=25，则/ D 的度数为（）9.如图，四边形 ABCD 内接于圆O , E 为CD 延长线上一点，若 / B=110:则/ADE 的度数为（）A. 75B. 65C. 55D. 74B. 110C. 90D. 80A. 11510. 已知：O O是厶ABC的外接圆，/ OAB=40°，则/ ACB的大小为（）B. 50 °"C 20 或160 M D. 50 或130A. 2011•如图，O O 内切于四边形 ABCD, AB=10, BC=7, CD=8,贝U AD 的长度为（）12. 如图，在圆心角为 45的扇形内有一正方形 CDEF 其中点C 、D 在半径0A 上，点F 在半径0B 上，点E在匚-上，则扇形与正方形的面积比是（、填空题13. PA , PB 分别切O O 于A , B 两点，点C 为O O 上不同于AB 的任意一点，已知 / P=40°则/ ACB 的度数14. 如图，AB 为O O 的直径，直线I 与O O 相切于点C, AD 丄I ,垂足为D , AD 交O O 于点E ,连接OC BE 若B. 9C. 10D. 11 A. n 8 " B. 5 n ： 8 A. 8515. ________________________________________________________________________________ 如图，AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，/ AOC=40, D 是BC 弧的中点，贝U / ACD= ___________________16. ___________ 如图所示，O I 是Rt A ABC 的内切圆，点 D 、E 、F 分别是且点，若 / ACB=90°, AB=5cm , BC=4cm,则O I 的周长为 __ cm .17•如图，PA, PB 是O O 的切线，CD 切O O 于E , PA=6，则△ PDC 的周长为18.如图，O O 的半径为6cm , B 为O O 外一点，OB 交O O 于点A , AB=OA,动点P 从点A 出发，以n cm/s的速度在O O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止.当点P 运动的时间为 ________ 时，BP 与O O 相ABCD 中，点E 在DC 的延长线上.若 / A=50 °则/ BCE= ___________21.如图，在△ ABC中，AB=AC=3, / BAC=120：以点A为圆心，1为半径作圆弧，分别交AB, AC于点D,P为弧AB的中点，分别在弧AP和弧PB上取中点A i和B i ，再E, 以点C为圆心，3为半径作圆弧，分别交AC, BC于点A, F.若图中阴影部分的面积分别为则S i - S2的值为在弧PA i和弧PB1上分别取中点A2和B2 ,若一直这样取中点，求 / A n PBn=三、解答题23. 如图，AB为O O的直径，C是O O上一点，D在AB的延长线上，且 / DCB=Z A.求证：CD是O O的切O的直径,/ BAC=32°, D是弧AC的中点，求/ DAC的度数.DP// AC,交BA的延长线于P,求证：AD?DC=PA?BC26. (2017?通辽)如图，AB为O O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F,过点D作DE// AC, 交BA的延长线于点E.(1) 求证：DE是O O的切线；(2) 连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.参考答案一、选择题BBABCADBBDDB二、填空题13. 70 或110 °14. 415. 125 °16. 2 n17. 1218. 2秒或5秒19. 50 °20. 1221. - n122. 180 °—X 180 °三、解答题••• / ACB=90 ,°••• / A+Z ABC=90 °又•/ OB=OC, • Z OBC=Z OCB, 又•/ Z DCB=Z A°••• / A+Z ABC=/ DCB+/ OCB=90 ,••• OC X DC,• CD是O O的切线.24. 解：连接BC,••• AB是半圆O的直径，Z BAC=32 ,°•Z ACB=90 ,°Z B=90 - 32 =58 ,•Z D=180 - Z B=122。

北师大版九年级中考数学圆的综合题复习练习题

圆的综合题总结1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC，B C.(1)求证：BC平分∠ABE；(2)若∠A＝60°，OA＝2，求CE的长．题图第12 A.PB·上，且C在⊙OPCP＝的延长线上，点的直径，点如图，2. (2019泸州)AB为⊙OP在AB的切线；是⊙O(1)求证：PC︵AB是10，点D＝＝(2)已知PC20，PB的长．，求于点交，，垂足为⊥的中点，DEACEDEABFEF第2题图3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心、OA长为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，过点E作⊙O的切线EF交BC的延长线于F，交AC于点G.(1)试判断BF和EF的大小关系并说明理由；(2)若OA＝3，∠A＝30°，求阴影部分的面题图第34.如图，AB为⊙O的直径，OE⊥BC于点E，AB⊥CD于点F.(1)求证：AD＝2OE；(2)若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求两阴影部分面积的和．4题图第60°.CPBAPC＝∠＝OBA的半径为1，，P，，C是⊙上的四个点，∠O5.如图，⊙的形状，说明理由；请判断△ABC(1) 的面积最大？并求出最大面积．AB的什么位置时，四边形APBC位于弧当点(2)P题图5第6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点D在BC的延长线上，且使∠CAD＝∠B，CE⊥AD于点E.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为8，CE＝2，求CD的长．题图第67.如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是⊙O上一动点(与A，B不重合)，∠ACB的平分线交⊙O于D.(1)判断△ABD的形状，并证明你的结论；(2)若I是△ABC的内心，当点C运动时，CI、DI中是否存在长度保持不变的线段？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．7题图第DO的中点，连接是ABBC＝2，点D，是直径，∠是△8.如图，已知⊙OABC的外接圆，ACA＝30°.AC于点F作于点并延长交⊙OP，过点PPF⊥；(的长结果保留π)PC(1)求劣弧．π)结果保留(求阴影部分的面积(2)．题图第8参考答案O的切线，1. (1)证明：∵CD是∵DE，∵OC∵，BE又∵∵DE，∵OC∵BE，∵∵OCB＝∵CBE∵OB＝OC，∵∵OCB＝∵OBC，∵∵，∵CBEOBC＝ABE；平分即BC∵，A解：∵∵＝60°(2) 2.＝OA＝AC∵∵OAC是等边三角形，OA＝4.＝∵AB2 O的直径，为∵AB∵，90°∵∵ACB＝22AB＝∵BC－AC24＝16－＝3.1 ，∵30°，且OBC＝∵CBEAOC ∵∵OBC＝∵＝2 ∵∵CBE＝30°.1 ＝BC3.＝CE∵2 ：如解图，连接OC，2. (1)证明PCPA2PC∵＝PB·PA，即＝，PBPC．∵＝P，又∵P∵∵PCA.∵∵PBC PAC.∵∵PCB＝∵∵O的直径，∵AB是ACB＝90°.∵∵＝90°.＋∵∵A∵ABC OB，∵OC＝OCB.∵∵OBC＝∵PC.90°，即OC∵∵∵PCB＋∵OCB＝的半径，OC是∵O∵的切线；PC是∵O∵第2题解图2PC10，PC＝20，PB＝∵(2)解：如解图，连接OD，A，＝PB·P2PC＝PA∵40.＝PB 30.∵AB＝，∵∵PBC∵∵PCAAACP∵＝＝2.PCBC x，，则BC＝xAC＝2设222 56BC＝65，即＝，x)(2中，Rt∵在ABCx＋x＝30，解得︵AB为∵点D的直径，O∵为AB的中点，90°.∵∵AOD＝，DE∵AC∵90°.∵∵AEF＝，＝90°ACB又∵.∵BC∵DE .∵ABC∵∵DFO ＝.∵∵ACB∵∵DOF1BCOF∵＝＝，2ODAC15115 ＝.∵OF＝OD＝，即AF 222 BC，∵EF∵1EFAF∵，＝＝4ABBC531＝.BC∵EF＝423. 解：(1)BF＝EF，理由如下：如解图，连接OE，∵EF是∵O的切线，∵∵OEG＝90°，∵∵OEA＋∵BEF＝90°，∵∵ACB＝90°，∵∵A＋∵B＝90°，∵OA＝OE，∵∵A＝∵OEA，，B∵＝BEF∵∵．；∵BF＝EF第3题解图A＝60°，(2)由圆周角定理得，∵EOD＝2∵33，∵EG＝OE·tan∵EOD＝2π93×3160π3 －.S＝S－＝×3×33∵S－＝EOD∵EOG扇形阴影236022 ，：如解图，连接AC4. (1)证明，∵CD∵AB︵︵AC∵AD，＝AD，∵AC＝BC，∵OE∵的中点，E为BC∵的中点，为ABO∵ABC的中位线，为∵OE∵1 ，OE∵＝AC21 AD，∵OE＝2＝2OEAD即；题解图第41122×2π(2)解：S＝π·OB＝π，＝2半圆22 O直径，∵AB为∵90°，∵∵ACB ＝4，ABC＝30°，AB＝∵∵11 ，＝AB＝×4＝2∵AC222AC＝BC 3＝＝，230°tan∵tanABC11 3×2×23＝，2S＝AC·BC＝ABC∵22 ，∵CD∵AB AC的面积，弓形∵AD的面积＝弓形23. 2π－＝∵S＝S－S ABC∵半圆阴影5. 解：(1)∵ABC是等边三角形．理由如下：在∵O中，∵∵BAC与∵CPB是弧BC所对的圆周角，∵ABC与∵APC是弧AC所对的圆周角，∵∵BAC＝∵CPB，∵ABC＝∵APC，又∵∵APC＝∵CPB＝60°，∵∵ABC＝∵BAC＝60°，∵∵ABC为等边三角形；(2)当点P为弧AB的中点时，四边形APBC的面积最大．如解图，过点P作PE∵AB，垂足为E，过点C作CF∵AB，垂足为F.1∵S＝AB·PE，APB∵2．1 ，S＝AB·CF ABC∵21 ，PE＋CF)S∵＝AB·(APBC四边形2 为∵O的直径，的中点时，PE＋CF ＝PC，PCAB当点P为弧∵此时四边形APBC的面积最大．的半径为1，又∵∵O，＝3∵其内接正三角形的边长AB1 33.＝∵S＝×2×APBC四边形2题解图第5 .如解图，连接OA6. (1)证明：6题解图第的直径，BC为∵O∵，BAC＝90°∵∵＝90°，＋∵∵B∵ACB OC，OA∵＝，∵∵∵OAC＝OCA B＝∵，∵∵CAD，90°＝OAD∵，即90°＝OCA∵＋B∵＝OAC∵＋CAD∵∵．，OA∵AD∵的半径，∵O又∵OA是的切线；∵O∵AD是，∵AD(2)解：∵CE，＝90°CED ＝∵OAD∵∵OA，∵CE∵OAD，∵∵CED∵∵CECD∵＝，OAOD 8，＝x＋设CD＝x，则OD82x∵，，解得x＝＝838x＋8 .CD＝∵ 3 是等腰直角三角形．理由如下：(1)∵ABD7. 解：O的直径，∵AB是∵90°，∵∵ADB＝，平分∵ACBCD∵︵︵AD∵，＝BD BD，＝∵AD ABD是等腰直角三角形；∵∵52DI＝(2)DI的长度不变，且如解图，连接BI，∵I是∵ABC的内心，，∵5＝∵∵4．︵︵AD由(1)可知∵＝BD，∵2，∵∵1＝BCI的外角，∵∵3是∵∵5，∵4＝∵2＋＋∵∵3＝∵1 BD是定值，∵DI＝中，ABD在等腰直角∵，，AB＝10∵AD＝BD 2BD＝，5∵52. ＝BD ＝即DI题解图7第经过圆心，AB的中点，PD8. 解：(1)∵点D是，PD∵AB∵，＝30°∵∵A OD，，OA＝260°∵∵POC＝∵AOD＝BD，，AD＝∵OA＝OC，＝2OD∵BC，＝2∵OA＝BC 2，∵∵O 的半径为︵260lπ；PCπ×2×2＝＝3360 ，F于点AC∵PF(2)∵．∵∵OFP是直角三角形，1 ，＝OP＝∵OFOP·cos∵POF 2 1，∵OF＝22OP∵PF＝3－OF，＝23260π×21.－＝×1×＝3－S＝S∵Sπ－OPFCOP∵扇形阴影232360．。

北师大版九年级数学圆测试题及答案(K12教育文档)

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九年级数学圆测试题一、选择题1．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a 〉b ），则此圆的半径为（）A ．2ba + B ．2ba - C．22b a b a-+或D ．b ab a -+或2．如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．83．已知点O 为△ABC 的外心,若∠A=80°,则∠BOC 的度数为（） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120°4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O,若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°5．如图24—A-3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起,并使它们保持垂直，在测直径时,把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位6．如图24-A-4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（）图24—A —5图24—A —1图24—A —2 图24—A —3 图24—A —4A ．80°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图24—A-5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5,则△PCD 的周长为（） A ．5 B ．7 C ．8 D ．108．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是（） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P,且CD=13，PC=4,则两圆组成的圆环的面积是（）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为( ） A ．310 B ．512C ． 2D ．3 11．如图24—A —7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、E 、F 、C 、G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行,直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（）A ．D 点B ．E 点C ．F 点D ．G 点二、填空题12．如图24-A-8，在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于点C,则∠AOC= 。

北师大版九年级(下) 中考题单元试卷：第3章圆(27)

BAD＝120°，则弧 BC 的长度等于
（结果保留 π）．
16．如图，半径为 5 的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b，然后把半圆沿直线 b
进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线 b 重合为止，则圆心 O 运动路径的长度等
于
．
17．如图，点 A、B、C 在半径为 9 的⊙O 上，的长为 2π，则∠ACB 的大小是
弧 EF 的圆心依次是 A、B、C，如果 AB＝1，那么曲线 CDEF 的长是
．
第4页（共6页）
26．如果⊙O1 与⊙O2 的半径分别是 1 和 2，并且两圆相外切，那么圆心距 O1O2 的长
是
．
27．如图，∠AOB＝60°，O1，O2，O3…是∠AOB 平分线上的点，其中 OO1＝2，若分别以
O1，O2，O3…为圆心作圆，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3…均与∠AOB 的两边相切，且相邻
B．2+ 与 2﹣ 互为倒数
C．若 a＞|b|，则 a＞b
D．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半
6．如图，⊙O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上任意一点（P
与 A、B、C、D 不重合），经过 P 作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥CD 于点 N，点 Q 是 MN 的
两个圆相切，则 t＝
．
三、解答题（共 1 小题）
30．若⊙O1 和⊙O2 的圆心距为 4，两圆半径分别为 r1、r2，且 r1、r2 是方程组
的解，求 r1、r2 的值，并判断两圆的位置关系．
第5页（共6页）
北师大版九年级（下）中考题单元试卷：第 3 章圆（27）
参考答案
一、选择题（共 8 小题） 1．B； 2．B； 3．D； 4．C； 5．D； 6．A； 7．B； 8．B；二、填空题（共 21 小题） 9．3； 10．； 11．50°； 12．； 13． π； 14． π； 15．； 16．5π； 17．20°；

北师大版初中数学九年级下册专项训练九圆

6．(2016·连云港中考)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为 1 个单位)选取 9 个格
点(格线的交点称为格点)．如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有
3 个在圆内，则 r 的取值范围为( )
A．2 2＜r＜ 17 B. 17＜r＜3 2 C. 17＜r＜5 D．5＜r＜ 29
第 2 题图
第 3 题图
第 4 题图
第 5 题图
3．(2016·河南模拟)如图所示，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠AOC＝120°，
则∠ABC 的度数是( )
A．100° B．120° C．140° D．110°
4．(2016·徐州模拟)如图，⊙O 的弦 AB＝8，P 是劣弧 AB 中点，连接 OP 交 AB 于 C，
第 6 题图
第 7 题图
第 8 题图
7．(2016·安徽中考)如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部
的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为( )
3
8 13 12 13
A. B．2 C.
D.
2
13
13
8．★(达州中考)如图，AB 为半圆 O 的直径，AD，BC 分别切⊙O 于 A，B 两点，CD 切 ⊙O 于点 E，连接 OD， OC，下列结论中： ①∠DOC＝ 90°； ②AD＋ BC＝ CD； ③S△AOD：S△BOC＝AD2：AO2；④OD：OC＝DE：EC；⑤OD2＝DE·CD，正确的有( )
17．★★(2016·南京中考)如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与 BC 相交于 F，G 两点，与 AB，AC 分别相切于点 D，E，DE∥BC，连接 DF，EG.

北师大版九年级下册数学第三章圆含答案(配有卷)

北师大版九年级下册数学第三章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A.1：3：2：4B.7：5：10：8C.13：1：5：17D.1：2：3：42、如图，在中，，，，是斜边上的中线，以为直径作⊙O，设线段的中点为，则点与⊙O的位置关系是（）A.点在⊙O内B.点在⊙O上C.点在⊙O外D.无法确定3、⊙O的半径r=5cm，直线l到圆心O的距离d=4，则直线l与圆的位置关系（）A.相离B.相切C.相交D.重合4、图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）A.12πmB.18πmC.20πmD.24πm5、如图，⊙O的直径BC=12cm，AC是⊙O的切线，切点为C，AC=BC，AB与⊙O交于点D，则的长是（）A.πcmB.3πcmC.4πcmD.5πcm6、如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数是（）A. B. C. D.7、下列说法正确的是( )A.过任意一点总可以作圆的两条切线B.圆的切线长就是圆的切线的长度C.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等D.过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径8、如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC 交圆O于点F，则∠BAF等于（）A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°9、如图，一量角器放置在∠AOB上，角的一边OA与量角器交于点C、D，且点C处的度数是20°，点D处的度数为110°，则∠AOB的度数是（）A.20°B.25°C.45°D.55°10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（）A.15°B.30°C.45°D.60°11、如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝110°，则∠ACB的度数是（）A.55°B.70°C.125°D.110°12、如图，在直角坐标系中，经过点A（0，2），B（2，0）和原点O（0，0）三点作⊙C，点P为⊙C上任一点（点P与点O、B不重合），则∠OPB的度数为（）A.45°B.135°C.45°或135°D.无法确定13、如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中的格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个14、如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AC=5，BD=3，则AB的长是（）A.2B.4C.6D.815、如图，四边形内接于⊙ ，.若⊙O的半径为2，则的长为（）A. B.4 C. D.3二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=________．17、如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为________ ．（结果保留）18、如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D、E、F是⊙O上三个点，EF//AB，若EF=2 ，则的度数为________.19、如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC=________．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为________．21、如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)，过点D作DE上AC交AB边于点E若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= ________ 时，⊙C与直线AB相切．22、如图（右上），在△ABC中，∠ABC＝24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA 的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为________．23、⊙O 是△ABC的外接圆，连接OB，∠ABO＝38°，则∠C的度数为________.24、如图所示的圆可记作圆O，半径有________条，分别________，请写出任意三条弧：________．25、如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是________ cm．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D=35°，求∠OAC 的度数．27、已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA 于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．28、如图1，P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，以P为圆心，PD为半径作圆.（1）AB与⊙P相切吗？为什么？（2）若平行于PD的直线MN与⊙P相切于T，并分别交AB、AC于M、N，设PD ＝2，∠BAC＝60°，求线段MT的长(结果保留根号)．29、如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，P为上一点，连接AP，CP，求∠P的度数．30、如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点.判断直线与的位置关系，并说明理由；参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、C4、D5、B6、D7、C8、B9、B11、C12、C13、C14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)29、。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．若点A 在O 内，点B 在O 外，3OA =，5OB =，则O 的半径r 的取值范围是（）A ．03r <<B ．28r <<C ．35r <<D ．5r > 2．如图，已知E 是ABC 的外心，P ，Q 分别是AB ，AC 的中点，连接EP ，EQ ，分别交BC 于点F ，D ．若10BF =，6DF =，8CD =，则ABC 的面积为（）A ．72B ．96C ．120D ．144 3．如图，AB 是O 的直径，8AB =，点C 、D 、E 在O 上，45CAB ∠=︒，CD DE EB ==，P 是直径AB 上的一动点，则PCE 周长的最小值为（）A ．243+B ．443+C ．83+D ．12 4．如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA =4，则PC 的长为（）A ．6B ．25C ．210D ．214 5．已知：O 的半径为2，3OA =，则正确的图形可能为（）A ．B ．C ．D ．6．如图．PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，AB ．若 OA =1，∠APB =60°，则△PAB 的周长为（）A ．23B ．4C ．33D ．23+2 7．如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且60COA ∠=º，设扇形AOC 、COB △、弓形BmC 的面积为1S 、2S 、3S ，则他们之间的关系是（）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．132S S S <<D ．321S S S << 8．如图，ABC 中，10,8,4AB AC BC ===，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交BC 的延长线于点D ，则CD 长为（）A ．10B ．9C ．45D ．89．如图，P 是⊙O 外一点，射线PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、点B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点D 、点C ，若PB ＝4，则△PCD 的周长（）A ．4B ．6C ．8D ．10 10．如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，四边形OBCD 是菱形，AC 与OD 相交于点P ，则下列结论错误的是（）A ．OD AC ⊥B ．AC 平分OD C ．2CB DP = D ．2AP OP = 11．如图，CD 是Rt ABC 斜边AB 上的高，8AC =，6BC =，点O 是CD 上的动点，以O 为圆心作半径为1的圆，若该圆与ABC 重叠部分的面积为π，则OC 的最小值为（）A ．54B ．43C ．75D ．5312．如图，AB 是O 的直径，C 、D 分别是O 上的两点．若33BAC ∠=︒，则D∠的度数等于（）A ．57︒B ．60︒C ．66︒D ．67︒二、填空题13．如图，一次函数3233y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若向ABO 的外接圆C 内随机抛掷一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率是_____________．14．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则这个扇形的面积为_____cm 2．15．如图，PA ，PB 是圆O 的切线，切点为A 、B ，∠P ＝50°，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，则∠ACB 等于_____．16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，2AC =，ABC 绕顶点C 逆时针旋转60︒得到A B C ''，点A 的对应点A '恰好落在AB 上，连接A B ''，则图中阴影部分的面积为__________．17．如图，在平面直角坐标系中，过点()11,0A 作x 轴的垂线交直线y x =于点B ，以О为圆心，1OB 为半径作弧，交x 轴于点2A ；过点2A 作x 轴的垂线交直线y x =于点2B ，以O 为圆心，2OB 为半径作弧，交x 轴于点3A ；过点3A 作x 轴的垂线交直线y x =于点3B ，以О为圆心，3OB 为半径作弧，交x 轴于点4A ，……，按此做法进行下去，设由11A B ，12A A ，弧21A B 围成的图形面积记为1S ，由22A B ，23A A ，弧32A B 围成的图形面积记为2S ，由33A B ，34A A ，弧43A B 围成的图形面积记为3S ，……，那么2020S 为_______：18．如图，在边长为4cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF 的面积为________2cm ．19．如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形ADE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形ADE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是________．20．如图，ABC 内接于O ，70B ∠=︒，50OCB ∠=︒，点P 是O 上一个动点（不与图中已知点重合），若ACP △时等腰三角形，则ACP ∠的度数为___．三、解答题21．如图所示，在△ABC 中，AB ＝CB ，以BC 边为直径的⊙O 交AC 于点E ．点D 在BA 的延长线上，且∠ACD ＝12∠ABC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠ACB ＝60°，BC ＝12，连接OE ，求劣弧BE 所对扇形BOE 的面积（结果保留π）．22．已知，如图，O 中两条弦AB ，CD 相交于点E ，且AB=CD（1）求证：AC =BD ；（2）若AEC ∠=80，求A ∠的度数.（3）过点B 作BH ⊥AD 于点H ，交CD 于点G ，若AE=2BE ，求证：EG=GD23．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4（1）试在图中作出ABC 绕A 顺时针方向旋转90°后的图形11AB C △；（2）求1BB 的长．24．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 交AC 于点E ,过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，O 是BEF 的外接圆，BC 与O 交于点D ．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）过点E 作EH AB ⊥于点H ，求证：CD HF =． 25．如图，AB 为O 的直径，点C 为AB 上方的圆上一动点，过点C 作O 的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，交O 于点D ，连接OC ，CD ，BC ，BD ，且BD 与OC 交于点E ．（1）求证：CDE CBE ≅△△；（2）若6AB =，填空：①当CD 的长是________时，OBE △是等腰三角形；②当BC =________时，四边形OADC 为菱形．26．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD ＝60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD ＝30°．（1）求证：DP 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，求图中阴影部分的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据点和圆的位置关系可判断．【详解】解：∵点A 在O 内，3OA =， ∴3r <，∵点B 在O 外，5OB =，∴5r <， O 的半径r 的取值范围是35r <<，故选：C ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解题关键是熟知点和圆的位置关系是由半径和点到圆心的距离决定．2．B解析：B【分析】连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，根据三角形外心的定义，可得PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，进而求得AF ，DF ，AD 的长度，可知△ADF 是直角三角形，即可求出△ABC 的面积．【详解】如图，连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，∵点E 是△ABC 的外心，∴AE=BE=CE ，∴△ABE ，△ACE 是等腰三角形，∵点P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，∴PE ⊥AB ，QE ⊥AC ，∴PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，∴AF=BF=10， AD=CD=8，在△ADF 中，∵2222286=100=AD DF AF +=+，∴△ADF 是直角三角形，∠ADF=90°，∴S △ABC = ()()1122=1068896BF DF CD AD ⨯++⨯++=，故选：B ．【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF 是直角三角形．3．B解析：B【分析】根据圆周角定理可知∠COB=90°，结合圆的对称性可知PCE 周长的最小值为CE C E '+，根据圆周角定理可得90CEC '∠=︒，再根据弧与圆心角的关系可知30CC E '∠=︒，解直角三角形即可．【详解】解：如下图所示，连接CO 并延长至C '，连接CE ，OE ，EC '，∵45CAB ∠=︒，∴∠COB=90°，∴C 点与C '点关于AB 所在直线对称，故当P 为EC '与AB 的交点时，PCE 周长的最小，此时CP PE C E '+=，∵CD DE EB ==，∴1303BOE BOC ∠=∠=︒ ，60COE BOC BOE ∠=∠-∠=︒， ∴30CC E '∠=︒，∵CC '为直径，∴90CEC '∠=︒，8CC AB '==，∴2214,()432CE CC C E CC CE '''===-= ∴PCE 周长为CE EP CP ++，最小值为443CE C E '+=+故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，弧、圆心角的关系，勾股定理，圆的对称性，含30°角的直角三角形．能结合圆的对称性正确作出辅助线是解题关键．4．D解析：D【分析】延长AO 交⊙O 于B ，连接AC ，证明△PAC ∽△PCB ，进而得到PC 2=PA•PB 即可求出PC 的长．【详解】解：如下图所示：连接OC ，延长AO 交⊙O 于B ，连接AC ，BC ，∵AB 为直径，∴∠1+∠2=90°，∵OC=OA ，∴∠1=∠3，∵PC 为圆的切线，∴∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，又∠P=∠P ，∴△PCA ∽△PBC ， ∴=PC PA PB PC，即24(104)56=⨯=⨯+=PC PA PB ， ∴214=PC故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆的切线及圆周角定理等，熟练掌握圆的性质及相似三角形的性质和判定是解决本题的关键．5．C解析：C【分析】根据圆的半径和OA 的大小确定点A 与圆的位置关系，从而作出判断即可．【详解】∵根据图的意义，得OA=2，与OA=3矛盾，∴A 选项错误；∵根据图的意义，得OA＜2，与OA=3矛盾，∴B选项错误；∵根据图的意义，得OA＞2，且离圆较近，与OA=3相符，∴C选项正确；∵根据图的意义，得OA＞2，且离圆较远，与OA=3不符合，∴D选项错误；故选C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握圆心到点的距离与圆的半径的大小比较是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据切线的性质和切线长定理证明△PAB是等边三角形，PA⊥AO，根据直角三角形性质求出PA，问题得解．【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，∠APB=30°，PA⊥AO，∴PA=PB，∠APO=12∴△PAB是等边三角形，∵PA⊥AO，∠APO==30°，∴OP=2OA=2，∴PA=∴△PAB的周长为故选：C【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定，含30°角直角三角形性质，勾股定理等知识，考查知识点较多，熟知相关定理并能熟练运用是解题关键．7．B解析：B【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【详解】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA ＝60°，∴∠COB ＝120°，则∠COD ＝60°．∴S 扇形AOC ＝22603606ππ=R R ； S 扇形BOC ＝221203603ππ=R R ．在三角形OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OD ＝2R ，CD ＝32R ，BC ＝3R ， ∴S △OBC ＝234R ，S 弓形＝22334R R π-＝2(433)12π-R ， 2(433)π-R ＞26πR ＞23R ， ∴S 2＜S 1＜S 3．故选：B ．【点睛】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．8．B解析：B【分析】如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，可得AD=AB=10，根据垂径定理可得DE=BE ，得CE=BE-BC=DE-4，再根据勾股定理即可求得DE 的长，进而可得CD 的长．【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，∴AD=AB=10，根据垂径定理，得DE=BE ，∴CE=BE-BC=DE-4，根据勾股定理，得AD 2-DE 2=AC 2-CE 2，102-DE 2=82-（DE-4）2，解得DE=132， ∴CD=DE+CE=2DE-4=9，故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．9．C解析：C【分析】由切线长定理可求得PA ＝PB ，BC ＝CE ，AD ＝ED ，则可求得答案．【详解】解：∵PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，∴PA ＝PB ＝4，BC ＝EC ，AD ＝ED ，∴PC+CD+PD ＝PC+CE+DE+PD ＝PC+BC+PD+AD ＝PB+PA ＝4+4＝8，即△PCD 的周长为8，故选：C ．【点睛】本题考查了切线长定理以及三角形的周长，熟练掌握切线长定理是解题的关键； 10．D解析：D【分析】根据菱形的性质可以得出四条边平行并且都相等，又根据AB 是直径，即可知道∠ACB=90°，即可判断A ，因为三角形ABC 为直角三角形，根据求∠A 的正弦值即可判断∠A=30°，即可判断D ，根据中位线的性质即可B 、C 选项；【详解】∵ 四边形OBCD 是菱形，∴ OB ∥CD ，OD ∥BC ，OB=OD=CD=BC ，∵ AB 是直径，∴ ∠ACB=90°，∵OD ∥BC ，∴ ∠APO=90°，∴OD ⊥AC ，故A 正确； ∵12BC OD A AB AB ===sin ∠ ， ∴∠A=30°，∴2OA OP = ，故D 错误，∵2OA OP =，∴2OD OP = ，∴DP=OP ，∴AC 平分OD ，故C 正确；∴BC=2DP ，故B 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数、三角形的中位线的性质，圆周角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键；11．D解析：D【分析】根据勾股定理求出AB=10，由OC 取最小值时，O 与BC 相切，证明△OCP ∽△BCD ∽△BAC 得出::3:4:5OP PC CO =，从而求出OC 的最小值．【详解】解：2S r ππ==∵圆O 的半径为1，且圆与ABC 重叠部分的面积为π，∴此圆全部在△ABC 内，如图，在Rt ABC 中，8AC =，6BC =， ∴2210AB AC BC +=若OC 取最小值时，O 与BC 相切，设切点为P ，连接OP ，则OP ⊥BC∵CD ⊥AB∴∠OPC=∠CDB∵∠OCP=∠BCD∴△OCP ∽△BCD同理可证△BAC ∽△BCD∴△OCP ∽△BCD ∽△BAC∵::6:8:103:4:5BC AC AB ==∴::3:4:5OP PC CO =又∵OP=1∴OC= 15533⨯=故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及直线与圆的位置关系，证明△OCP ∽△BCD ∽△BAC 是解答此题的关键． 12．A解析：A【分析】连接OC ，根据圆周角定理计算即可；【详解】连接OC ，∵33BAC ∠=︒，∴266BOC AOC ∠=∠=︒，又∵180DOC AOC ∠+∠=︒，∴180114AOC BOC ∠=︒-∠=︒，∴1572D AOC ∠=∠=︒；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，准确计算是解题的关键．二、填空题13．【分析】利用一次函数解析式求出点AB 的坐标即可得由勾股定理求出求出则可得是等边三角形可得根据圆周角定理求出扇形圆心角的度数并由三角形中线将三角形可分为面积相等的两个三角形得可求出阴影部分的面积及圆的解析：13【分析】利用一次函数解析式求出点A 、B 的坐标，即可得6OA =，OB =AB =，求出BC OC AC ===OBC 是等边三角形，可得60OBA ∠=︒，根据圆周角定理求出扇形圆心角的度数，并由三角形中线将三角形可分为面积相等的两个三角形得OBC OAC SS =，可求出阴影部分的面积及圆的面积，利用面积比即可求出结论．【详解】解：∵一次函数y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令0y =，则6x =，∴()6,0A -，令0x =，则y =∴(0,B ，∴6OA =，OB =在Rt AOB 中，由勾股定理得：AB ==， ∴BC OC AC ===，∴BC OC OB ==， ∴OBC 是等边三角形，∴60OBA ∠=︒， ∴120ACO ∠=︒，∵OC 是AB 边上的中线，∴OBC OAC S S =，∴(2120=4360ACO S S ππ==阴影扇形， (212C S ππ==, ∴针尖落在阴影部分的概率41123P ππ==．故答案为：13．【点睛】此题考查了几何概率，掌握几何概率的计算方法及求出阴影部分的面积是解题的关键．14．3π【分析】根据扇形的面积公式即可求解【详解】解：扇形的面积＝＝3πcm2故答案是：3π【点睛】本题考查了扇形的面积公式正确理解公式是解题的关键解析：3π【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：扇形的面积＝21203360π⨯＝3πcm2．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．15．65°或115°【分析】连接OAOB进而求出∠AOB=130°再分两种情况：当C在劣弧AB上当C在劣弧AB上理由圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】解：如图连接OAOB∵PAPB分别切解析：65°或115°．【分析】连接OA，OB，进而求出∠AOB=130°，再分两种情况：当C在劣弧AB上，当C在劣弧AB 上，理由圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可得出结论．【详解】解：如图，连接OA、OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP＝∠OBP＝90°；在四边形APBO中，∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°①当点C在优弧AB上时，∠ACB＝12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠ACB＝65°；当点C在劣弧AB上时，记作C'，由①知，∠ACB＝65°，∵四边形ACBC'是⊙O的内接四边形，∴∠AC'B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣65°＝115°，故答案为：65°或115°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠AOB 是解本题的关键．16．【分析】先分别求解然后根据进行求解即可【详解】由题意知在中∴∴由题意旋转角为即：且∴为等边三角形设交于点∵∴∴四边形为梯形又∵∴则在中∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质以及扇形面积计算相关问解析：2π【分析】先分别求解ABC S ，BCB S '扇形，AA B C S ''梯形，然后根据ABC BCB AA B C S S S S '''=+-△阴影扇形梯形进行求解即可．【详解】由题意知，在Rt ABC 中，30ABC ∠=︒，∴24AB AC ==，BC =∴11222ABC S AC BC ==⨯⨯=△，由题意，旋转角为60︒，即：60ACA BCB ''∠=∠=︒，且AC A C '=，BC B C '==，∴ACA '为等边三角形，2A C '=，30A CD '∠=︒，设A B ''交BC 于点D ，∵60A CA D '∠=∠=︒，∴60ACA CA D ''∠=∠=︒，∴//AC A B ''，四边形AA B C ''为梯形，又∵90ACB ∠=︒，∴90CDA '∠=︒，则在Rt CDA '△中，112A D A C ''==，CD =∴()()112422AA B C S AC A B CD ''''=+=⨯+=梯形∴(2602360BCB S ππ'⨯==扇形，∴22ABC BCB AA B C S S S S ππ'''=+-=-=△阴影扇形梯形故答案为：2π-【点睛】本题考查旋转的性质以及扇形面积计算相关问题，灵活对不规则图形进行转换，运用规则图形的面积进行求解是解题关键．17．【分析】根据点A 的取法罗列出部分点A 的横坐标由此可发现规律即的横坐标为：再结合已知即可得到答案【详解】观察发现规律：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：故答案为：【点睛】本题解析：2017201822π-【分析】根据点A 的取法，罗列出部分点A 的横坐标，由此可发现规律，即n A 的横坐标为：)12n -，再结合已知即可得到答案．【详解】观察，发现规律：1A 的横坐标为：1，2A 23A 的横坐标为：22，⋯，∴n A 的横坐标为：12n - n B ∴的横坐标为：12n -404020192019201720182020452122223602S ππ⨯⨯∴=-⨯⨯=⋅-故答案为：2017201822π⋅-．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及规律型中的点的变换，解题关键是找出n A 的横坐标为：12n -这一规律．18．【分析】连接BFBE 过点A 作AT ⊥BF 于T 证明S △PEF ＝S △BEF 求出△BEF 的面积即可【详解】解：连接BFBE 过点A 作AT ⊥BF 于T ∵ABCDEF 是正六边形∴CB ∥EFAB ＝AF ∠BAF ＝120 解析：3【分析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．【详解】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BF，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°＝23∴BF＝2BT＝3∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF＝12•EF•BF＝12×4×4383故答案为：3【点睛】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．19．【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r根据题意可得：AD=AE=4∠DAE＝45°∵底面圆的周长等于弧长即解得：∴该圆锥的底面圆的半径是解析：1 2【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可得：AD=AE=4，∠DAE＝45°，∵底面圆的周长等于弧长，即454 2180rππ︒⨯⨯=︒解得：12r=，∴该圆锥的底面圆的半径是12，故答案为12．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．20．或或【分析】根据题意分三种情况讨论即可得∠ACP的度数【详解】解：如图连接OAOB∵∠OCB=50°∴∠OBC=50°∴∠BOC=180°-50°-50°=80°∵∠B=70°∴∠OBA=∠OAB=解析：35︒或40︒或55︒【分析】根据题意分三种情况讨论即可得∠ACP的度数．【详解】解：如图，连接OA，OB，∵∠OCB=50°，∴∠OBC=50°，∴∠BOC=180°-50°-50°=80°．∵∠B=70°，∴∠OBA=∠OAB=20°，∴∠AOB=140°，∴∠AOC=360°-80°-140°=140°，∴∠OAC=∠OCA=20°，∴∠ACB=50°+20°=70°，∴AB=AC．当AP′=AC时，此时点P′与点B重合，不符合题意；当AP=PC时，∵∠B=70°，∴∠APC=180°-70°=110°，∴∠ACP=∠CAP=12(180°-110°)=35°；当AP′=P′C时，∠P′AC=∠P′CA=12(180°-70)=55°；当AC=P′C时，∠ACP′=180°-70°-70°=40°．故答案为：35°或40°或55°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识进行分类讨论．三、解答题21．（1）见解析；（2）12π【分析】（1）连接BE，由圆周角定理可得出∠BEC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，得出∠ACD＝∠CBE，证得∠BCE+∠ACD＝90°，则可得出结论；（2）求出∠BOE＝120°，由扇形的面积公式可得出答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC，又∵AB＝CB，∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∵∠ACD＝12∠ABC，∴∠ACD＝∠CBE，又∵∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∵点C在⊙O上，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠ACB ＝60°，∴∠BOE ＝120°，∵BC ＝12，∴⊙O 的半径是6，∴S 扇形BOE ＝21206360π⨯⨯＝12π．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、扇形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键；22．（1）证明见解析；（2）40；（3）证明见解析【分析】（1）根据相等圆周角对应的弦相等，对应的弧也相等的性质分析，即可完成证明；（2）结合（1）的结论，根据圆周角的性质分析，得A D ∠=∠；再根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质计算，即可得到答案；（3）过E 作EM ⊥AD 于M 点，通过证明AEM ABH △∽△，得21AM AE MH EB ==；再根据等腰三角形三线合一性质，证得MH=HD ；再结合相似三角形性质，通过证明DME DHG △∽△，即可完成证明．【详解】（1）∵AB=CD∴AB =CD∴AB BC CD BC -=-，即AC BD =；（2）由（1）可知AC BD =∴A D ∠=∠∵AEC ∠=80∴12A D AEC ∠=∠=∠=40；（3）如图，过E 作EM ⊥AD 于M 点，∵BH ⊥AD∴90AME AHB ∠=∠=︒∴AEM ABH △∽△ ∴AH AB AM AE= ∴AM MH AE EB AM AE ++= ∴AM AE MH EB= ∵AE=2BE ∴21AM AE MH EB == ∵A D ∠=∠∴AED 为等腰三角形∴M 为AD 中点，即AM MD = ∴1122MH AM MD == ∴MH=HD∵90DME DHG ∠=∠=︒∴DME DHG △∽△ ∴MD ED HD GD= ∴MH HD EG GD HD GD++= ∴1MH EG HD GD==，即EG=GD ．【点睛】本题考查了圆、相似三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆心角、相似三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．23．（1）见解析；（2）52π．【分析】（1）根据△ABC 绕A 顺时针方向旋转90°，即可得到△AB 1C 1；（2）根据弧长计算公式，即可得出点B 运动路径的长．【详解】解：（1）如图所示，△AB 1C 1即为所求；（2）Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4 ∴2222AB AC BC 345=++=又∠BAB 1=90°，∴点B 的运动路径的长为：90551802ππ⨯=．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OE ，根据角平分线证OE BC ∥，得90AEO C ∠=∠=︒，可证；（2）连接DE ，证CDE HFE △≌△即可．【详解】证明：（1）BE EF ⊥，90BEF ∴∠=︒，BF ∴是O 的直径．如图，连接OE ， BE 平分ABC ∠，CBE OBE ∴∠=∠．OB OE =，OBE OEB ∴∠=∠．OEB CBE ∴∠=∠．OE BC ∴．90AEO C ∴∠=∠=︒，∴OE ⊥AC ，AC ∴是O 的切线．（2）如图，连接DECBE OBE ∠=∠，EC BC ⊥于C ，EH AB ⊥于H ，EC EH ∴=．180CDE BDE ∠∠+=︒，180HFE BDE ∠+∠=︒，CDE HFE ∴∠=∠．在CDE △与HFE 中，90CDE HFE C FHE EC EH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩CDE HFE ∴△≌△，CD HF ∴=．【点睛】本题考查了切线的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当的作辅助线，准确的应用切线的判定定理和全等三角形的判定定理进行证明． 25．（1）见解析；（2）①34π；②3【分析】（1）根据题意可证//OC AD ，OC BD ⊥，再结合垂径定理即可证明（2）①根据等腰三角形的性质，结合（1）得CD CB =根据等弦对等弧得CD BC =，再根据弧长公式求解即可；②根据菱形的性质即可求解【详解】解：（1）∵过点C 作O 的切线l ， ∴OC l ⊥，∵AD l ⊥，∴//OC AD ，∵AB 为O 的直径，点D 为AB 上方的圆上一点， ∴AD BD ⊥，∴BD OC ⊥90CED CEB ∴∠=∠=︒，∴点E 为BD 中点，∴BE DE =，∴在CDE △和CEB △中DB BE CED CEB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CDE CBE SAS ≅；（2）①若OBE △为等腰三角形，OC BD ⊥ ∴OBE △为等腰直角三角形∴45EOB EBO ∠=∠=︒CDE CBE ≅△△CD CB ∴=CD BC ∴=6345331801804AB OB n r BC πππ=∴=⨯∴=== 34CD π∴= ∴当34CD π=时OBE △为等腰三角形 ②若四边形OADC 为菱形132AO OC CD DA AB ∴===== CD BC =3BC ∴=∴当3BC =时OADC 为菱形【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上性质和定理是解题关键．26．（1）见解析；（2256π-．【分析】（1）连接OD ，由圆周角定理可得∠AOD=120°，所以∠DOP=60°，再根据∠APD=30°可得OD ⊥DP ，从而根据切线的判定可得解答；（2）由⊙O 的半径为5可以算得△ODP 与扇形DOB 的面积，求出两者之差即可得到解答．【详解】（1）证明：连接OD ，∵∠ACD ＝60°，∴∠AOD ＝2∠ACD ＝120°，∴∠DOP ＝180°﹣120°＝60°，∵∠APD ＝30°，∴∠ODP＝180°﹣30°﹣60°＝90°∴OD⊥DP，∵OD为半径，∴DP是⊙O切线；（2）解：∵∠P＝30°，∠ODP＝90°，OD＝5∴OP＝10由勾股定理得：222210553DP OP OD=-=-=∴S阴＝S△ODP﹣S扇形DOB＝2 1605 5532360π⨯⨯⨯＝2532526π-．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理的应用及扇形面积的计算是解题关键．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试题(包含答案解析)(3)

一、选择题1．下列事件是必然事件的是（）A ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B ．若a 2＝b 2则有a ＝bC ．二次函数的图象是双曲线D ．圆的切线垂直于过切点的半径 2．已知一个扇形的半径长为3，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（）A ．12πB ．πC ．3π2D ．3π3．如图，A B C D 、、、是O 上的点，180AOD BOC ∠+∠=︒．若2,6AD BC ==，则BOC ∆的面积为（）A ．3B ．6C ．9D ．12 4．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，AB BC =，30BAC ∠=︒，AD 是直径，8AD =，则AC 的长为（）A ．4B ．43C ．83D ．2 5．如图，O 的半径为5，3OP =，则经过点P 的弦长可能是（）A ．3B ．5C ．9D ．12 6．如图，O 的直径AB 交弦CD 相于点P ，且45,APC ∠=︒若33,3PC PD ==OA 的长为（）A ．3B ．23C ．32D ．157．下列关于正多边形的叙述，正确的是（）A ．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B ．存在一个正多边形，它的外角和为720︒C ．任何正多边形都有一个外接圆D ．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形8．如图，点A ，B ，C ，D 为O 上的四个点，AC 平分BAD ∠，AC 交BD 于点E ，4CE =，6CD =，则AC 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．109．如图，两个正六边形ABCDEF 、EDGHIJ 的顶点A 、B 、H 、I 在同一个圆上，点P 在ABI 上，则tan ∠API 的值是（）A ．3B ．2C ．2D ．110．如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点E 是边BC 的中点，连接OE 并延长交O 于点D ，连接BD ，则D ∠的大小为（）A．55°B．65°C．70°D．75°11．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为8cm，则水面AB的宽度为（）A．12cm B．18cm C．20cm D．24cm12．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则cos∠ADC的值为（）A．213B．13C．313D．23二、填空题13．如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则PA＝______cm．14．如图，AB是O的直径，点C是上半圆的中点，1AC=，点P是下半圆上一点（不与点A，B重合），AD平分PAB∠交PC于点D，则PD的最大值为______．15．如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在AB上，DE切⊙O于C交PA、PB于D、E，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是_____．16．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C的度数等于_____．17．已知O的半径为1，AB是O的弦，2AB=，P为O外一点，且PA切O于PA=，则线段PB的长为________．点A，118．如图所示的是边长为4的正方形镖盘ABCD，分别以正方形镖盘ABCD的三边为直径在正方形内部作半圆，三个半圆交于点O，乐乐随机地将一枚飞镖投掷到该镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为________．19．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形ADE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形ADE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是________．20．已知圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，则该圆锥的展开图（扇形）的弧长为______（结果保留π）．三、解答题21．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，直径AD ＝6cm ，∠DAC ＝2∠B ．（1）连CO ，证明：△AOC 为等边三角形；（2）求AC 的长．22．已知等边三角形ABC （如图）．（1）用直尺和圆规作ABC 的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）．（2）若83cm AB =，求ABC 的外接圆半径．23．如图，在四边形ABCD 中，//,AD BC DE BC ⊥于点,E BAD ∠的角平分线交DE 于点О，以点О为圆心，OD 为半径的圆经过点C ，交BC 于另一点F ．()1求证：AB 与О相切；()2若24,5CF OE ==，求CD 的长．24．如图，ABC 中，D 为AB 边上一点，连接CD ，BD CD =．以AC 为直径作O ，过点O 作OE AC ⊥ 交BC 于点E ，连接DE ，BDE CDE ∠=∠．（1）求证：AB 为O 的切线；（2）若16AB =，8AC =，求BD 的长． 25．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，OD AC ⊥于点D ，过点A 作O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ，连接PC 、BC ．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是O的切线．26．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C 作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠P＝34，AD＝6，求⊙O的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由三角形全等的判定方法可判断,A由平方根的含义可判断,B由二次函数的图像可判断,C 由圆的切线的性质可判断.D 再结合必然事件的概念可得答案．【详解】解：有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以是随机事件，故A 不符合题意；若22a b =则有,a b =±所以是随机事件，故B 不符合题意；二次函数的图象是抛物线，所以是不可能事件，故C 不符合题意；圆的切线垂直于过切点的半径，是必然事件，故D 符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是确定事件与随机事件的概念，同时考查了二次函数的图像，圆的切线的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据计算公式直接套用求解即可．【详解】根据题意，得260333602S ππ⨯⨯==，故选C ．【点睛】本题考查了扇形的面积计算问题，熟记扇形面积计算公式，准确判断计算条件是解题的关键．3．A解析：A【分析】作出辅助线延长BO 交O 于点E ，连接CE ，由此构建圆心角AOD COE ∠=∠，根据圆周角与弧长和弦长的关系得到2AD CE ==，再据此求出BEC △的面积，经由OB OE =即可求出BCE 的面积.【详解】解：如图延长BO 交O 于点E ，连接CE ，∵B O E 、、三点共线∴180COE BOC ∠+∠=︒，90BCE ∠=︒，∴CE BC ⊥，∵180AOD BOC ∠+∠=︒，∴AOD COE ∠=∠，∴AD CE =，∴2AD CE ==,∵6BC =， ∴1162622S BC CE ==⨯⨯=△BCE ， ∵OB OE =，∴116322S S ==⨯=△BOC △BEC . 故选A.【点睛】本题主要考查圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，关键在于作出OB 的延长线OE ，来构造出圆心角相等，以此来解决问题. 4．B解析：B【分析】连接CD ，根据圆周角定理，可以得到30CAD ∠=︒，在Rt ACD △中，利用锐角三角函数求出AC 的长即可．【详解】解：如图，连接CD ，∵AB BC =，30BAC ∠=︒，∴AB 和BC 所对的圆心角都是60︒，∵AD 是直径，∴CD 所对的圆心角也是60︒，∴30CAD ∠=︒，在Rt ACD △中，cos3082AC AD =⋅︒=⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理，以及利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 5．C解析：C【分析】当经过点O 、P 的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP 是垂直时，弦最短为8；判断即可.【详解】当经过点O 、P 的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP 垂直时，根据垂径定理，得半弦长，所以最短弦为8；所以符合题意的弦长为8到10，故选C.【点睛】本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键.6．D解析：D【分析】过点O 作OE CD ⊥，连接OC ，设OE x =，根据垂径定理计算即可；【详解】过点O 作OE CD ⊥，连接OC ，设OE x =，∵45APC ∠=︒，∴PE OE x ==， ∵33PC = ∴33CE x =-，∵CE DE =， ∴333x x -=+， ∴3x = ∴()==+=+=2222(3)2315OA OC OE CE故选：D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答案．【详解】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的性质、中心对称图形、轴对称图形的定义及多边形外角和定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．8．C解析：C【分析】首先连接BC ，由AC 平分∠BAD ，易证得∠BDC=∠CAD ，继而证得△CDE ∽△CAD ，然后由相似三角形的对应边成比例求得AE 的长，进而求出AC 的长．【详解】解：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠CAD∴=BC CD ，∴∠BDC=∠CAD ，∵∠ACD=∠DCE ，∴△CDE ∽△CAD ，∴CD ：AC=CE ：CD ，∴CD 2=AC•CE ，∴62=4（4+AE ），∴AE=5，∴AC=AE+CE=9，故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．A解析：A【分析】连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊥EI 于M ，证明90AIH ∠=︒，设HI JI JE a ===，求出AI 即可．【详解】解：如图，连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊥EI 于M ．∵ABCDEF 是正六边形，∴∠DEF ＝∠F ＝120°，∵FA ＝FE ，∴∠FEA ＝∠FAE ＝30°，∴∠AED ＝90°，同法可证，∠DEI＝∠EIH＝90°，∴∠AED+∠DEI＝180°，∴A，E，I共线，设HI JI JE a===，∵JM⊥EI，∴EM＝MI＝32a，∴AI＝2EI＝23a，∵∠API＝∠AHI，∴tan∠API＝tan∠AHI＝AIHI ＝2323a=，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题．10．B解析：B【分析】连接CD，根据圆的内接四边形的性质得到∠CDB=180°-∠A=130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论；【详解】如图：连接CD，∵∠A=50°，∴∠CDB=180°-∠A=130°，∵ E是边BC的中点，∴ OD⊥BC，∴ BD=CD，∴∠ODB=∠ODC=12∠BDC=65°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．11．D解析：D【分析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交圆O 于点C ，由题意可知CD 为8，然后根据勾股定理求出BD 的长，进而可得出AB 的长．【详解】如图，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交圆O 于点C ，则AB=2BD ，∵圆的直径为26cm ，∴圆的半径r=OB=13cm ，由题意可知，CD=8cm ，∴OD=13-8=5（cm ）， ∴()221692512BD OB OD cm =-=-= ，∴AB=24cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据圆周角定理得到ADC ABC ∠=∠，再根据余弦的定义计算即可；【详解】由图可知ADC ABC ∠=∠，在Rt △ABC 中，2AC =，3BC =， ∴223213AB +=∴cos ∠ADC 3313cos 1313BC ABC AB =∠===；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、余弦定理、勾股定理，准确计算是解题的关键．二、填空题13．10【分析】由于PAPBDE 都是⊙O 的切线可根据切线长定理将△PDE 的周长转化为切线PAPB 长的和【详解】解：∵PAPBDE 分别切⊙O 于ABC ∴PA=PBDA=DCEC=EB ；∴C △PDE=PD+D解析：10【分析】由于PA 、PB 、DE 都是⊙O 的切线，可根据切线长定理将△PDE 的周长转化为切线PA 、PB 长的和．【详解】解：∵PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，∴PA =PB ，DA =DC ，EC =EB ；∴C △PDE =PD +DE +PE =PD +DA +EB +PE =PA +PB =20；∴PA =PB =10，故答案为10．【点睛】此题主要考查的是切线长定理，能够发现△PDE 的周长和切线PA 、PB 长的关系是解答此题的关键．14．【分析】由同弧所得的圆周角相等得到直径所得的圆周角是90°得到继而证明再根据角平分线的性质解得结合三角形外角的性质可证接着由线段的和差解得由此可知当为直径时值最大然后证明为等腰直角三角形最后根据等腰1【分析】由同弧所得的圆周角相等得到APC ABC ∠=∠，直径所得的圆周角是90°得到90ACB ∠=︒，继而证明45APC ABC ，再根据角平分线的性质解得BAD DAP ∠=∠，结合三角形外角的性质可证CAD ADC ∠=∠，接着由线段的和差解得1PD CP CD CP =-=-，由此可知当CP 为直径时PD 值最大，然后证明ACB △为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理解题．【详解】解：点C 是上半圆的中点，AC BC ∴=APC ABC1AC BC ∴== AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒45CAB CBA ∴∠=∠=︒45APC ABC AD 平分PAB ∠ 12BAD DAP BAP ∴∠=∠=∠ 45,45ADC APC DAP DAP CAD CAB BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠∠=∠+∠=︒+∠ CAD ADC ∴∠=∠1AC AD ∴==1PD CP CD CP ∴=-=-要使PD 最大，即使得CP 最大，当CP 为直径时值最大，在Rt ACB 中，45,CAB AC BC ∠=︒=ACB ∴为等腰直角三角形，22AB AC ∴==CP ∴最大值为2PD ∴最大值为21-，故答案为：21-．【点睛】本题考查同弧所得的圆周角相等、直径所得的圆周角是90°、角平分线的性质、三角形外角的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．15．24cm 【分析】连接OAOB 由切线长定理可得：PA=PBDA=DCEC=EB ；由勾股定理可得PA 的长△PDE 的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB 即可求得△PDE 的周长【解析：24cm【分析】连接OA 、OB ，由切线长定理可得：PA=PB ，DA=DC ，EC=EB ；由勾股定理可得PA 的长，△PDE 的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB ，即可求得△PDE 的周长.【详解】解：连接OA 、OB ，如图所示：∵PA 、PB 为圆的两条切线，∴由切线长定理可得：PA=PB ，同理可知：DA=DC ，EC=EB ；∵OA ⊥PA ，OA=5cm ，PO=13cm ，∴在Rt △POA 中，由勾股定理得：12=cm ，∴PA=PB=12cm ；∵△PDE 的周长=PD+DC+CE+PE ，DA=DC ，EC=EB ；∴△PDE 的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24cm ，故答案为：24cm.【点睛】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长.16．【分析】根据圆内接四边形对角互补计算即可；【详解】∵圆内接四边形ABCD 中∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3设根据圆内接四边形对角互补∴∴∴；故答案是【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质准确计算是解题解析：135︒【分析】根据圆内接四边形对角互补计算即可；【详解】∵圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，设A x ∠=，2B x ∠=，3C x ∠=，根据圆内接四边形对角互补，∴3180A C x x ∠+∠=+=︒，∴45x =︒，∴3135C x ∠==︒；故答案是135︒．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，准确计算是解题的关键． 17．1或【分析】先利用勾股定理逆定理求出∠AOB 是直角再利用一组对边平行且相等得到四边形APBO 是平行四边形从而PB 的长等于半径OA 另当B 在右侧时还需讨论【详解】解：①如图所示：连接OAOB ∵OA=OB解析：1【分析】先利用勾股定理逆定理求出∠AOB 是直角，再利用一组对边平行且相等得到四边形APBO 是平行四边形，从而PB 的长等于半径OA ．另当B 在右侧时，还需讨论．【详解】解：①如图所示：连接OA 、OB ．∵OA=OB=1，AB=2，∴根据勾股定理的逆定理，得∠AOB=90°，根据切线的性质定理，得∠OAP=90°，则AP ∥OB ，又AP=OB=1，所以四边形PAOB 是平行四边形，所以PB=OA=1；②当B 在右侧时，如图所示：与①同理可证四边形APOB 是平行四边形，且∠AOB=90°， ∴11,222OC AC BP BC ===，在Rt △OBC 中，根据勾股定理 222215()12BC OC OB =+=+= ∴PB=25BC =故答案为：15【点睛】考查了圆的性质、平行四边形判定和性质以及勾股定理，解题关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，进一步发现特殊四边形平行四边形．18．【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心连接OAOD 则可得出所产生的四个小弓形的面积相等先得出2个小弓形的面积即可求阴影部分面积根据即可求得概率【详解】解：由题意易知两半圆的交点即为正方形的中心设此解析：12【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心，连接OA ，OD ，则可得出所产生的四个小弓形的面积相等，先得出2个小弓形的面积，即可求阴影部分面积，根据ABCD S S 阴影正方形即可求得概率．【详解】解：由题意，易知两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O ，连接AO ，DO ，则图中的四个小弓形的面积相等，∵两个小弓形面积=14AOD AOD AOD ABCD S S S S --△半圆半圆正方形＝，又∵正方形ABCD 的边长为4，∴各半圆的半径为2，∴两个小弓形面积=2112-44=2-424ππ⨯⨯⨯⨯， ∴=2S S ⨯阴影半圆-4个小弓形的面积=()22-22-4=8ππ⨯， ∴飞镖落在阴影部分的概率为：81==162ABCD S S 阴影正方形，故答案为：12．【点睛】本题考查扇形的面积、正方形的性质、几何概率，解题的关键是求出小弓形的面积． 19．【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r 根据题意可得：AD=AE=4∠DAE ＝45°∵底面圆的周长等于弧长即解得：∴该圆锥的底面圆的半径是解析：12【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意可得：AD=AE=4，∠DAE ＝45°，∵底面圆的周长等于弧长，即4542180r ππ︒⨯⨯=︒解得：12r =， ∴该圆锥的底面圆的半径是12，故答案为12．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 20．【分析】根据勾股定理先求出圆锥的底面圆的半径然后根据圆锥的展开图为扇形其弧长等于圆锥底面圆的周长利用圆的周长公式即可计算【详解】设圆锥底面圆的半径为：由勾股定理得：圆锥底面圆的周长为：圆锥的展开图为解析：12π【分析】根据勾股定理先求出圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，利用圆的周长公式即可计算．【详解】设圆锥底面圆的半径为：r ，由勾股定理得：6r ==，∴圆锥底面圆的周长为：22612r πππ=⨯⨯=，圆锥的展开图为扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，∴该圆锥展开图的弧长为：12π，故答案为：12π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，要掌握圆锥的展开图为扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）AC ＝3cm【分析】（1）根据圆周角定理得到∠AOC ＝2∠B ，加上∠DAC ＝2∠B ，所以∠AOC ＝∠DAC ，然后根据等边三角形的判定方法可得到结论；（2）直接利用等边三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B∴∠AOC ＝∠DAC ，∴OC ＝AC ，∵OC ＝OA ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△OAC 为等边三角形；（2）解：∵△OAC 为等边三角形，AD ＝6cm ，∴AC ＝OA ＝12AD ＝12×6＝3（cm ）．【点睛】本题考查了圆周角定理及等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．22．（1）见解析；（2）8cm ．【分析】（1）按尺规作图方法，作出其中两边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任意顶点的距离为半径画圆即可；（2）连接OB ，利用等边三角形的性质，垂径定理，再结合三角函数解直角三角形即可求出半径．【详解】（1）如图：圆O 即为所求（2）如图，连接OB ，设AB 的垂直平分线交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交AC 于点F ，则点B 、O 、F 在同一条直线上，1432BE AB cm ∴==，90AFB BEO ∠=∠=︒，60A∠=︒，30EBO∴∠=︒，∴在t R BEO△中，cosBE EBOBO ∠=，343∴=，8()BO cm∴=，∴ABC的外接圆半径为8cm．【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等边三角形的性质，垂径定理，解直角三角形等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．23．()1见解析；()2613【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G．先证明DE AD⊥，再利用角平分线的性质，得OD＝OG＝r，则AB是⊙O的切线；（2）连接OC，依据垂径定理可知CE＝EF＝12，在Rt△OEC中，依据勾股定理可知求得OC＝13，然后可得到DE的长，最后在Rt△DEC中，利用勾股定理求解即可．【详解】()1证明：过点O作OG AB⊥，垂足为G//AD BC DE BC⊥，，DE AD∴⊥，又BAD∠的角平分线交DE于点OOG OD∴=又OG AB⊥AB∴与O相切()2连接OC．DE CF⊥∴1122CE CF在Rt OEC ∆中，2213OC OE CE OD = 18DE OD OE ∴=+= 在Rt DEC ∆中，22613CDDE CE 【点睛】本题主要考查的是切线的判定、垂径定理、勾股定理的应用，角平分线的性质等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．24．（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据等腰三角形的性质可证点E 为BC 的中点，在结合三角形中位线定理，证明//OE AB ，即可得到结论（2）设BD=CD=x ，在Rt ACD △中利用勾股定理，列出关于x 的方程即可求解【详解】（1）BD CD =BDC ∴是等腰三角形又BDE CDE ∠=∠．BE EC ∴=，AO OC =OE ∴为ABC 的中位线//OE AB ∴，BAC EOC ∴∠=∠OE AC ⊥，90BAC EOC ∴∠=∠=︒ AB AC ∴⊥，AC 为O 的直径，AB ∴是O 的切线（2）设BD x =，CD BD x ∴==，16AB =，16AD x ∴=-在Rt ADC 中，222AD AC DC +=，8AC =()222168x x ∴-+=，解得：10x =， 10BD ∴=【点睛】本题考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质，以及勾股定理，解题关键是熟练掌握圆切线的判定定理，和等腰三角形性质的应用．25．（1）//OD BC ，12CD BC =，证明见解析；（2）见解析【分析】（1）根据垂径定理可得点D 是AC 的中点，则OD 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线定理即可求证结论；（2）连接OC ，设OP 与O 交于点E ，根据全等三角形的判定证得OAP △≌OCP △，利用全等三角形对应角相等可得OCP OAP ∠=∠，继而根据切线的性质和判定定理即可求证结论．【详解】（1）猜想：//OD BC ，12CD BC =证明：∵OD AC ⊥，∴AD ＝DC ，∵AB 是O 的直径，∴OA OB =，∴OD 是△ABC 的中位线，∴//OD BC ，12CD BC =．（2）证明：连接OC ，设OP 与O 交于点E ．∵OD AC ⊥，OD 经过圆心O ，∴AE CE =，即∠AOE ＝∠COE ，在OAP △和OCP △中，∵OA OC =，OP OP =，∠AOE ＝∠COE ，∴OAP △≌OCP △，∴OCP OAP ∠=∠，∵PA 是O 的切线，∴90OAP ∠=︒．∴90OCP ∠=︒，即OC PC ⊥，∴PC 是O 的切线．【点睛】本题考查切线的性质定理和判定定理，三角形中位线定理，涉及到全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握切线的有关知识．26．（1）PC 是⊙O 的切线，见解析；（2）154r =【分析】（1）结论：PC 是⊙O 的切线．只要证明OC ∥AD ，推出∠OCP =∠D =90°，即可．（2）先利用锐角三角函数求出PD ，进而求出AP ，再由OC ∥AD ，推出OC OP AD AP=，由此即可计算．【详解】解：（1）结论：PC 是⊙O 的切线．理由：连接OC ．如图1，∵AC 平分∠EAB ，∴∠EAC =∠CAB ，又∵OA =OC ，∴∠CAB =∠ACO ，∴∠EAC =∠OCA ，∴OC ∥AD ，∵AD ⊥PD ， ∴∠OCP =∠D =90°， ∴PC 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ADP 中，∠ADP =90°，AD =6，tan ∠P =34， ∴PD =8tan AD P=∠，AP =10，设半径为r ，∵OC ∥AD ， ∴OC OP AD AP =，即10610r r -=，解得r =154，故半径为154．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

北师大版数学九年级下册+第3章+圆+综合测试卷(有答案)

北师大版九年级下册第3章圆综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的个数是（）①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直线垂直于弦；③圆的对称轴是直径；④圆的对称轴有无数条；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积为（）cm2．A．3πB．πC．6πD．2π3．已知圆的直径是13cm，如果圆心到某直线的距离是6.5cm，则此直线与这个圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（）A．8 B．12 C．16 D．205．如图，⊙O的半径是5，弦AB=6，OE⊥AB于E，则OE的长是（）A．2 B．3 C．4 D．56．自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的特征（）A．圆是轴对称图形B．直径是圆中最长的弦C．圆上各点到圆心的距离相等D．圆是中心对称图形7．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个B．2个C．1个D．4个A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．无法确定10．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．11．一圆锥的母线长6cm，底面半径为2cm，则这个圆锥的表面积为cm2．12．如图，AB是圆O的直径，∠A=30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD=6，则CE的长为．14．在半径为13的圆O中，弦AB平行于弦CD，弦AB和弦CD之间的距离为6，若AB=24，则CD长为．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为．16．如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D 在⊙O上运动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O重叠部分的面积是．三．解答题（共7小题）17．如图，在平面直角坐标系中，⊙D与坐标轴分别相交于A（﹣，0），B（，0），C（0，3）三点．（1）求⊙D的半径；（2）E为优弧AB一动点（不与A，B，C三点重合），EN⊥N，求证：∠DMN=3∠MNE；（3）在（2）的条件下，当∠DMN=45°时，求E点的坐标．18．如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，连接AC．求证：（1）AC是⊙O的直径；（2）作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，则四边形ODBE是正方形．19．如图，AB是⊙O直径，C是半圆上一点，连接BC、AC，过点O作OD ∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=3，CE=，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积（结果保留根号和π）．20．【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）．如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：（1）如图④，已知∠BCD=∠BAD，∠CAD=40°，求∠CBD的度数．（2）如图⑤，若四边形ABCD中，∠CAD=90°，作∠CDF=90°，交CA延长线于F，点E在AB上，∠AED=∠ADF，CD=3，EC=2，求ED的长．21．如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0＜t＜15），（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留π．（2）设点C始终为的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N．求证：①CN∥AE；②四边形CGFN为菱形；③是否存在这样的t值，使BE2=CF•CB？若存在，求t值；若不存在，说明理由．22．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=1寸，CD=10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径．23．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，AC=6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．一．选择题1．B；2．A；3．B；4．C；5．C；6． C；7．D；8．D；9．B；10．B；二．填空题11．16π；12．3；13．51；14．8或4；15．115°；16． +1；三．解答题略。

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圆命题点 1 圆周角定理及其推论︵1. (2016 兰州 )如图，在⊙ O 中，点 C 是 AB 的中点，∠ A ＝ 50°，则∠ BOC＝ ()A. 40°B.45 °C.50 °D. 60°第1题图︵︵2. (2016 济宁 )如图，在⊙ O 中， AB ＝AC ，∠ AOB ＝ 40°，则∠ ADC 的度数是 ()第2题图A. 40°B. 30 °C. 20°D. 15°3.(2016 永州 )如图，在⊙ O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠ AOB ＝40°，直径 CD∥ AB ，连接 AC ，则∠ BAC ＝________度．第3题图4.(2016 青岛 )如图， AB 是⊙ O 的直径， C， D 是⊙ O 上的两点，若∠ BCD ＝28°，则∠ABD ＝ ________°.第4题图命题点 2垂径定理及其推论5. (2016 黄石 )如图所示，⊙O 的半径为13，弦 AB 的长度是24，ON ⊥ AB ，垂足为N，则 ON＝()A.5B.7C.9D.11第5题图6.(2016 眉山 )如图， A 、D 是⊙ O 上的两个点， BC 是直径，若∠ D ＝ 32°，则∠ OAC 等于()第6题图A. 64°B. 58°C. 72° D . 55 °7.(2016 安顺 ) 如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB ＝ 8， CD ＝6，则BE ＝ ________．第7题图命题点 3与圆有关的位置关系8. (2016 湘西 )在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， BC＝ 3 cm，AC ＝ 4 cm，以点 C 为圆心，以2.5 cm 为半径画圆，则⊙ C 与直线 AB 的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离 D . 不能确定9. (2016 上海 )如图，在Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ 4，BC ＝7，点 D 在边 BC 上，CD＝ 3，⊙ A 的半径长为3，⊙ D 与⊙ A 相交，且点 B 在⊙ D 外，那么⊙ D 的半径长r第9题图的取值范围是()A.1＜ r＜ 4B.2＜ r＜ 4C.1＜ r＜ 8D. 2＜ r＜ 8命题点 4 与切线有关的证明与计算10. (2016 泉州 )如图， AB 和⊙ O 相切于点B，∠ AOB ＝ 60°，则∠ A 的大小为 ()A. 15°B. 30°C. 45° D . 60°第10题图11.(2016 湖州 )如图，圆 O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ ACB ＝ 90°，∠ A ＝ 25°.过点 C 作圆 O 的切线，交AB 的延长线于点 D ，则∠ D 的度数是 ()第 11题图A. 25 °B. 40 °C. 50 °D. 65 °12.(2016 呼和浩特 )在周长为 26π的⊙ O 中， CD 是⊙ O 的一条弦， AB 是⊙ O 的切线，且AB ∥ CD ，若 AB 和 CD 之间的距离为 18，则弦 CD 的长为 ________．13.(2015 宁波 )如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 8，AD ＝ 12，过 A ，D 两点的⊙ O 与 BC 边相切于点 E.则⊙ O 的半径为 ________．第 13题图14.(2016 大连 10 分) 如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C、D 在⊙ O 上，∠ A ＝ 2∠ BCD ，点E 在 AB 的延长线上，∠AED ＝∠ ABC.(1)求证： DE 与⊙ O 相切；(2)若 BF ＝ 2， DF＝10，求⊙ O 的半径．第14题图命题点 5 扇形的相关计算15. (2016 包头 )120 °的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是 ()A.3B.4C. 9D. 1816. (2016 宜宾 )半径为 6，圆心角为 120 °的扇形的面积是 ( )A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π17. (2016 湘潭 ) 如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为 2 ，则该扇形的弧长是________． (结果保留π)第17题图命题点 6 圆锥的相关计算18. (20162乌鲁木齐 )将圆心角为 90°，面积为 4π cm 的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为( )A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cm D . 4 cm19. (2016 孝感 )若一个圆锥的底面圆半径为 3 cm，其侧面展开图的圆心角为 120 °，则圆锥的母线长是 ________cm.20. (2016 淮安 )若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为 6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 ________° .命题点 7 阴影部分面积的计算21. (2016 重庆 A 卷 )如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 AC ＝ BC ＝ 2，则图中阴影部分的面积是( )π 1 ππ 1 πA. 4B. 2＋4C. 2D.2＋2第21题图22. (2016 资阳 )如图，在Rt△ ABC 中，∠ACB ＝ 90°，AC ＝ 23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D，若点D为AB 的中点，则阴影部分的面积是( )第22 题图2 2 4 2A. 2 3－3πB.4 3－3πC.2 3－3πD . 3π23.(2016 重庆 B 卷 )如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，∠ DAB ＝60°，以点 D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E，交CD 于点G，则图中阴影部分的面积是( )9πA. 183－ 9πB. 18－ 3πC. 9 3－ 2D. 18 3－ 3π第23题图24. (2016 常德 )如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．第24题图25.(2016 咸宁 8 分 )如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D，点O 在AB 上，以点(1)试判断直线O 为圆心， OA 为半径的圆恰好经过点BC 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；D，分别交AC，AB 于点E、 F.(2)若 BD ＝ 2 3， BF ＝ 2，求阴影部分的面积(结果保留π．)第25题图命题点 8 圆与正多边形的相关计算26. (2015 贵阳 )如图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O 的面积等于 ________．第26题图27. (2016 盐城 )如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B 、E 两点间的距离为 ________．第27题图中考冲刺集训(时间： 60 分钟满分：70分)一、选择题 (共 8 题，每题 3 分，共 24 分 )1.(2016 无锡 )如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 切⊙ O 于 A ， BC 交⊙ O 于点 D，若∠ C＝70°，则∠ AOD 的度数为 ( )A. 70°B. 35°C． 20° D. 40°第1题图2.(2016 德阳 )如图， AP 为⊙ O 的切线， P 为切点，若∠ A ＝ 20°， C、 D 为圆周上两点，且∠ PDC＝ 60°，则∠ OBC 等于 ()第2题图A. 55°B. 65°C. 70° D . 75°3. (2016 衢州 )如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上的点，过点 C 作⊙ O 的切线交 AB 的延长线于点E，若∠ A＝ 30°，则 sin∠ E 的值为 ()第3题图1 2 3 3A. 2B. 2C. 2 D . 34.(2016 山西 ) 如图，在 ?ABCD 中， AB 为⊙ O 的直径，⊙ O 与 DC 相切于点 E，与 AD相交于点 F，已知 AB ＝︵12，∠ C＝ 60°，则 FE的长为 ()ππA. 3B. 2 C．π D ．2π第4题图︵︵︵5.(2016 聊城 )如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O， F 是 CD 上一点，且 DF ＝BC ，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点E，连接 AC ，若∠ ABC ＝ 105°，∠ BAC ＝ 25°，则∠ E 的度数为()第5题图A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°6. (2016 广安 ) 如图，AB 是圆O 的直径，弦CD⊥AB ，∠ BCD ＝ 30°， CD＝ 43，则S 阴影＝()第6题图8 4 3A. 2πB. 3πC. 3πD. 8π7. (2016 陕西 )如图，⊙ O 的半径为4，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，连接OB 、OC，若∠BAC 与∠ BOC 互补，则弦BC 的长为 ()A.3 3B.4 3C.5 3D.6 3第7题图8. (2016 南通 )如图所示的扇形纸片半径为 5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是 4 cm，则该圆锥的底面周长是( )第8题图A. 3π cmB. 4π cmC. 5π cm D . 6π cm二、填空题 (共 4 题，每题 4 分，共 16 分 )9. (2016 广州 )如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点 P为切点， AB ＝ 12︵3， OP＝ 6，则劣弧 AB 的长为 ________． (结果保留π)第9题图10.(2016 徐州 )如图，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，若∠ ABC ＝ 70°，∠ ACB ＝ 40°，则∠ BOC ＝________°.第10题图11.(2016 枣庄 )如图，在半径为 3 的⊙ O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC ，BD ，若 AC ＝ 2，则 tanD＝ ________．第 11题图12.(2016 义乌 )如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为 A ，B， AB ＝40 cm，脸盆的最低点 C 到 AB 的距离为10 cm，则该脸盆的半径为 ________cm.第12题图三、解答题 (共 4 题，第 13 题 6 分，第 14～ 16 题每题 8 分，共 30 分 )13.(2016 株洲 )已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径， C 是圆上一点， D 是 BC 延长线上一点，过 D 点的直线交AC 于 E 点，交 AB 于 F 点，且△ AEF 为等边三角形．(1)求证：△ DFB 是等腰三角形；(2)若 DA ＝7AF ，求证 CF⊥ AB.第13题图14.(2016 泰州 )如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙ O 交BC 于点 E，连接 AE 交 CD 于点 P，交⊙ O 于点 F，连接 DF ，∠ CAE ＝∠ ADF.(1)判断 AB 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；(2)若 PF∶ PC＝ 1∶ 2， AF＝ 5，求 CP 的长．第14题图15.(2016 沈阳 8 分 )如图，在△ ABC 中，以 AB 为直径的⊙ O 分别与 BC，AC 相交于点D， E， BD ＝ CD，过点 D 作⊙ O 的切线交边AC 于点 F.(1)求证： DF ⊥ AC ；︵(2)若⊙ O 的半径为5，∠ CDF＝ 30°，求 BD 的长． (结果保留π)第15题图16.(2016 宿迁 )如图①，在△ ABC 中，点 D 在边 BC 上，∠ ABC ∶∠ ACB ∶∠ ADB＝1∶ 2∶ 3，⊙ O 是△ ABD 的外接圆．(1)求证： AC 是⊙ O 的切线；(2)当 BD 是⊙ O 的直径时 (如图② )，求∠ CAD 的度数．第16题图1. A 【解析】∵ OA＝ OB，∠ A＝ 50°，∴∠ B＝ 50°，∴∠ AOB＝ 180°－∠ A－∠ B＝180 °－ 50 ︵的中点，∴∠ BOC＝∠ AOC＝1∠ AOB＝40°，故选 A.°－ 50°＝ 80°，∵点 C 是AB 2第 2题解图2. C 【解析】如解图，连接︵︵1 CO，∵ AB ＝AC，∴∠ AOC＝∠ AOB＝ 40°，∴∠ ADC＝21∠AOC ＝× 40°＝ 20°.故选 C.3. 35【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠ OAB＝∠ B，∠ C＝∠ OAC，∵∠ AOB＝40°，∴∠ B＝∠ OAB ＝ 70°，∵ CD ∥AB ，∴∠ BAC ＝∠ C，∴∠ OAC ＝∠ BAC ＝1∠ OAB ＝ 35°. 24. 62【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠ BCD ＝28°，可得∠ ACD ＝∠ ACB －∠ BCD ＝ 90°－ 28°＝ 62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD ＝∠ ACD ＝ 62°.命题点 2垂径定理及其推论【命题规律】 1.考查形式：①已知半径、弦长、弦心距中的两个量求另一个量；②结合垂径定理计算角度或线段长.2.利用垂径定理求线段长考查较多，题型多为选择题和填空题．【命题预测】垂径定理及其推论是圆中计算线段长的重要工具，是命题的重点，需对这部分知识做到熟练掌握．AB 2 25. A 【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝2 ＝ 12，∴在 Rt △ AON 中，ON＝OA －AN ＝132－ 122＝ 5.6. B【解析】∵∠D与∠ AOC同对弧AC，∴∠ AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝1 OC，∴∠ OAC＝∠ OCA，在△ OAC 中，根据三角形内角和为 180 °，可得∠ OAC＝2(180 °－∠AOC )＝12× (180 °－64°)＝ 58°.第 7题解图7.4－7【解析】如解图，连接OC，∵ AB 是⊙ O 的直径， CD ⊥ AB ，AB ＝ 8，CD ＝6，∴ CE＝ DE＝ 3， OC＝ OB ＝4. 在 Rt△OCE 中， OE＝42－ 32＝7，∴ BE＝ OB － OE ＝4－7.命题点 3与圆有关的位置关系【命题规律】考查内容：直线与圆的位置关系；一般考查根据其位置关系，计算某一量的取值范围或已知圆心和半径，求圆与另一直线的位置关系．【命题预测】与圆有关的位置关系是圆中命题点之一，常需判断直线圆的位置关系，值得注意．8. A【解析】如解图，在Rt△ ABC 中， AC＝ 4，BC＝ 3，由勾股定理得AB＝ 5.过 C 作1 1CD⊥ AB 于 D ，则 S△ABC＝2AC·BC＝2AB·CD，解得 CD＝ 2.4<2.5，∴直线 AB 与⊙ C 相交．第8题解图第9题解图9. B【解析】连接AD，则AD＝AC2＋ CD2＝42＋ 32＝ 5，∵⊙ A 与⊙ D 相交，∴ 3 －r <5<3 ＋ r ，解得 2＜ r ＜ 8，又∵点 B 在⊙ D 外，∴ r <BD ，即 r <4.∴ 2<r<4，故选 B.命题点 4 与切线有关的证明与计算【命题规律】 1.主要考查：①利用切线性质求角度或线段长；②判定一条线是圆的切线.2. 此类问题一般在三大题型中均有涉及，其中小题中常考查利用切线性质求角度或计算线段长问题，解答题中以两问设题居多，考查切线的判定和运用切线性质进行相关计算．【命题预测】切线性质与判定作为圆的重要知识，越来越受命题人的重视，是全国命题主流．10.B【解析】∵AB和⊙ O相切于点B，∴ OB ⊥AB，∴∠ ABO＝ 90°，∵∠ AOB ＝60°，∴∠ A＝90°－∠ AOB＝ 90°－ 60°＝ 30°.第 11 题解图11. B 【解析】∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝65°.如解图，连接OC.∵OB＝OC，∴∠ ABC＝∠ BCO＝ 65°.∵ CD 是⊙的切线，∴ OC⊥CD，∴∠ OCD ＝90°，∴∠ BCD ＝90°－∠ BCO ＝ 25°，∴∠ D＝∠ ABC－∠ BCD ＝ 65°－ 25°＝ 40° .12. 24 【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C⊙O＝26π＝ 2π r，∴ r＝ 13，∵ AB ∥ CD ，且 AB 与 CD 之间的距离为 18，∴ OM ＝ 18－r＝ 5，∵AB 为⊙ O 的切线，∴∠ CMO ＝∠ AEO ＝ 90°，∴在 Rt△ CMO 中，CM ＝ OC2－ OM 2＝ 12，∴CD ＝ 2CM ＝ 24.第 12 题解图第 13 题解图2513.4【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OD、OA，则OD＝OA.∵BC与⊙ O 相切于点 E，∴ OE⊥ BC ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ∥ BC，∴ EF⊥AD ，∴ DF 1＝AF ＝2AD ＝ 6，在 Rt△ ODF 中，设OD＝ r，则 OF＝ EF－ OE＝ AB － OE＝ 8－ r，在 Rt△ODF 中，由勾股定理得DF 2＋ OF2＝ OD 2，即 62＋ (8－r)2＝ r2，解得 r＝25.∴⊙ O 的半径为25.4 414. (1)证明：如解图，连接DO ，∴∠ BOD ＝ 2∠BCD ＝∠ A ，(2 分 )第 14 题解图又∵∠ DEA ＝∠ CBA ，∴∠ DEA ＋∠ DOE ＝∠ CAB ＋∠ CBA ，又∵∠ ACB ＝ 90°，∴∠ ODE＝∠ ACB ＝ 90°，(5 分 )∴OD⊥ DE，又∵ OD 是⊙ O 的半径，∴DE 与⊙ O 相切． (7 分)(2)解：如解图，连接BD ，可得△ FBD ∽△ DBO ，∴BD＝DF＝BF，(8 分) BO OD BD∴BD ＝DF ＝ 10，∴OB＝5， (10 分 )即⊙ O 的半径为 5.命题点 5扇形的相关计算【命题规律】 1.考查内容：①弧长的计算 (含圆的周长 )；②扇形的面积计算；③ 求弧所在圆的半径 .2.考查形式：①已知扇形圆心角和半径求弧长；②已知扇形圆心角和半径求面积；③已知扇形圆心角和弧长求半径．【命题预测】扇形的相关计算是全国命题趋势之一．n π r15. C 【解析】由扇形的弧长公式l ＝ 180 可得：.120π · r6π ＝，解得 r ＝ 9.120×π × 6216. D【解析】由扇形的面积公式可得：S ＝＝ 12π.360n π r90× π× 217. π 【解析】由扇形弧长公式 l ＝180 可得： l ＝180 ＝ π .命题点 6 圆锥的相关计算【命题规律】考查内容与形式：结合圆和扇形的知识求圆锥的底面圆周长、半径以及圆锥的母线长或圆心角．【命题预测】圆锥的相关计算的考查结合圆和扇形的性质，能够考查学生的实践操作能力，在这方面更贴近新课标的要求．18. A 【解析】设扇形的半径为90· π ·R 2R ，根据题意得＝ 4π ，解得 R ＝ 4，设圆36090·π · 4锥的底面圆的半径为r ，则 2π r ＝，解得 r ＝ 1，即所围成的圆锥的底面圆的半径为 1 cm.360r360× 319. 9 【解析】由 n ＝ l 得 120＝l ，解得 l ＝9.20. 120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n °，则 2π × 2＝n π · 6，解得 n ＝ 120. 180命题点 7 阴影部分面积的计算【命题规律】阴影部分面积的计算常通过两种方法求解：①通过等积转换，把不规则的图形变换成规则图形的面积计算；②和差法，把阴影部分面积转化为几个规则图形面积和或差的形式计算，这是做阴影部分面积计算题的一般思路．【命题预测】阴影部分面积的计算综合知识较多，考查学生识图能力、分析能力和理解能力，是全国命题趋势之一．21. A 【解析】 ∵ AB 为直径，∴∠ ACB ＝ 90°，∵ AC ＝ BC ＝ 2，∴ AB ＝2，则半径 OA ＝OB ＝ 1，∵△ AOC ≌△ BOC ，∴△ AOC 的面积与△ BOC 的面积相等，∴阴影部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为12＝π4π × 14.22. A 【解析】设 BC ＝x ，∵ D 为 AB 的中点，∴ AB ＝ 2BC ＝ 2x, ∴在 Rt △ ABC 中，由勾股定理有 (2x)2－ x 2＝ (2 3)2，解得 x ＝ 2，又∵ sinA ＝BC ＝1， ∴∠ A ＝30°，∠ B ＝ 60°，∴AB2S 阴影＝ S △ABC － S 扇形 BCD ＝1× 2× 23－ 60× π× 222π .＝2 3－2 360 323. A 【解析】 ∵∠ DAB ＝ 60°，DF ⊥ AB ，AD ＝ 6，∴ DF ＝AD ·sin60°＝ 3 3，∠ ADC＝ 120°，∴ S 阴影＝ S 菱形 ABCD － S 扇形 EDG ＝ 6× 3 3－ 120π ×（ 3 3） 2＝18 3－ 9π . 36024. 3π 【解析】 ∵△ ABC 是⊙ O 的内接正三角形， ∴∠ AOB ＝ 2∠C ＝ 2× 60°＝ 120 °，120×π × 32∵⊙ O 的半径为 3，∴阴影部分的面积S 扇形 OAB ＝＝ 3π .36025. (1)解： BC 与⊙ O 相切．理由如下：第 25 题解图如解图，连接 OD ，∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ CAD ＝∠ OAD. 又∵∠ OAD ＝∠ ODA ， ∴∠ CAD ＝∠ ODA.∴ OD ∥AC ，(2 分)∴∠ BDO ＝∠ C ＝ 90°，又∵ OD 是⊙ O 的半径，∴ BC 与⊙ O 相切． (4 分)(2)解：设⊙ O 的半径为 r ，则 OD ＝ r ， OB ＝ r ＋ 2，由 (1)知∠ BDO ＝ 90°，∴在 Rt △BOD 中， OD 2＋ BD 2＝ OB 2，即 r 2＋ (2 3)2＝ (r ＋2) 2. 解得 r ＝ 2.(5 分 )∵ tan ∠ BOD ＝BD＝23＝ 3， OD2∴∠ BOD ＝ 60°.(7 分 )1·OD · BD －60π r22π .(8 分 ) ∴ S 阴影＝ S △OBD － S 扇形 ODF ＝＝ 2 3－2 3603 命题点 8 圆与正多边形的相关计算【命题规律】考查内容： ①圆内接正多边形的性质； ②圆内接正多边形与圆的面积结合．【命题预测】圆与多边形结合类题目的考查形式比较固定，将圆的面积与多边形的相关性质结合起来进行考查，这个知识点将成为一种常态的命题形式．2＝ 2，∴26. 2π 【解析】由题意得，正方形的边长 AB ＝ 2，则⊙ O 的半径为2× 2 ⊙O 的面积是 ( 2)2 π＝ 2π .︵︵︵︵︵︵︵27. 8 【解析】 ∵六边形 ABCDEF 为正六边形， ∴AB ＝ BC ＝ EF ＝ ED ＝ AF ＝ CD ，∴BE的长是圆周长的一半，则BE 是圆的直径，∴ BE ＝ 2× 4＝8.中考冲刺集训1. D 【解析】 ∵ AB 是⊙ O 的直径， AC 切⊙ O 于点 A ，∴∠ BAC ＝ 90°，∵∠ C ＝70°， ∴∠ B ＝ 20°，∴∠ AOD ＝∠ B ＋∠ BDO ＝ 2∠ B ＝ 2× 20°＝ 40°.第 2题解图2. B 【解析】连接 OP ，如解图，则 OP ⊥ AP.∵∠ D ＝60°，∴∠ COP ＝ 120 °，∵∠ A＝ 20°，∠ APO ＝ 90°，∴∠ AOP ＝70°，∴∠ AOC ＝ 50°，∵ OB ＝ OC ，∴∠ OBC ＝180°－50°2＝ 65°.3. A 【解析】如解图，连接 OC ，∵ EC 切⊙ O 于 C ，∴∠ OCE ＝ 90°，∵ OA ＝ OC ，第 3题解图∴∠ ACO ＝∠ A ＝ 30°，∴∠ COE ＝∠ ACO ＋∠ A ＝ 30°＋ 30°＝ 60°，∴∠ E ＝ 180°－∠OCE －∠ COE ＝ 180°－ 90°－ 60°＝ 30°，∴在 Rt △ COE 中， sin ∠ E ＝ sin30°＝12.第 4题解图4. C 【解析】如解图，连接OE、OF，∵AB为⊙O的直径，AB＝12，∴AO＝OB＝6，∵⊙O 与 DC 相切于点 E，∴∠ OEC＝90°，∵在 ?ABCD 中，∠ C＝ 60°，AB∥ DC，∴∠ A＝∠C＝60°，∠ AOE ＝∠ OEC＝ 90°，∵在△ AOF 中，∠ A＝ 60°，AO＝ FO，∴△ AOF 是等边三角形，即∠ AOF ＝∠ A＝ 60°，∴∠ EOF ＝∠ AOE－∠ AOF＝ 90°－ 60°＝ 30°，弧 EF 的长＝30π × 6＝π.1805. B 【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵DF ⌒＝ BC⌒，∴∠ BAC＝∠ DCF ＝ 25°，∴∠ E＝∠ ADC －∠ DCF ＝ 50°.第 6题解图6. B【解析】如解图，连接OC，设 CD 与 OB 交于点 E，∵在⊙ O 中，弦 CD⊥ AB，∴CE ＝DE ＝ 2 3，∵∠ BCD＝ 30°，∴∠ BOD＝ 2∠BCD ＝ 60°，在 Rt △ EOD 中，OE＝DE tan60°＝ 2，∴ OD ＝ 4，∴ BE＝ OB－ OE＝ 4－ 2＝ 2，在△ DOE 和△ CBE 中， CE＝ DE ，∠ CEB ＝∠DEO ，OE＝ BE，∴△ DOE ≌△ CBE，∴ S 阴影＝ S 扇形OBD＝60×π ×4 2＝8π .360 3第 7题解图7. B 【解析】如解图，延长CO交⊙O于点A′，连接A′B.设∠BAC＝α，则∠BOC＝2∠BAC ＝ 2α，∵∠ BAC＋∠ BOC ＝ 180°，∴ α＋2α＝180°，∴ α＝ 60°.∴∠ BA′C＝∠ BAC ＝3 60°，∵ CA′为直径，∴∠ A′BC＝ 90°，则在 Rt △A′ BC 中，BC＝ A′C·sin∠ BA′ C＝ 2× 4×2 ＝4 3.8. D 【解析】如解图，由题意可知，OA＝4 cm，AB＝5 cm，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得 OB＝ 3 cm，∴该圆锥的底面周长是 6π cm.第8题解图第9题解图19. 8π【解析】 ∵AB 是小圆的切线，∴ OP ⊥ AB ，∴ AP ＝ 2AB ＝ 6 3.如解图，连接OA ， OB ，∵ OA ＝ OB ，∴∠ AOB ＝ 2∠ AOP.在 Rt △ AOP 中， OA ＝ OP 2 ＋AP 2＝12， tan ∠ AP ＝ 6 3＝ 3，∴∠ AOP ＝ 60°.∴∠ AOB ＝ 120°，∴劣弧 AB 的长为 120π · 12＝ 8π .AOP ＝ OP6180 10. 125 【解析】 ∵⊙ O 是△ ABC 的内切圆，∴ OB 、OC 分别是∠ ABC 、∠ ACB 的平分线，∴∠ OBC ＋∠ OCB ＝ 1 (∠ ABC ＋∠ ACB) ＝ 1(70 °＋ 40°)＝ 55°.∴∠ BOC ＝ 180 °－22 (∠ OBC ＋∠ OCB) ＝ 180 °－ 55°＝ 125 °.11.2 2【解析】如解图，连接 BC ，∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝ 90°，∵ AB ＝ 32222BC×2＝ 6，AC ＝ 2，∴BC ＝ AB －AC ＝ 6 － 2 ＝ 4 2，∵∠ D ＝∠ A ，∴ tanD ＝ tanA ＝ AC ＝4 2＝2 2.2第 11 题解图第 12 题解图12. 25 【解析】如解图，取圆心为 O ，连接 OA 、OC ，OC 交 AB 于点 D ，则 OC ⊥ AB. 设⊙ O 的半径为 r ，则 OA ＝OC ＝ r ，又∵ CD ＝ 10，∴ OD ＝ r － 10，∵ AB ＝ 40，OC ⊥ AB ，∴AD ＝ 20.在 Rt △ ADO 中，由勾股定理得： r 2＝ 202＋ (r － 10)2，解得 r ＝ 25，即脸盆的半径为 25 cm.13. (1)证明：∵ AB 为直径， ∴∠ ACB ＝ 90°， ∵△ AEF 是等边三角形， ∴∠ EAF ＝∠ EFA ＝ 60°， ∴∠ ABC ＝ 30°，∴∠ FDB ＝∠ EFA －∠ B ＝ 60°－ 30°＝ 30°，(2 分)∴∠ ABC ＝∠ FDB ，∴ FB ＝ FD ，∴△ BDF 是等腰三角形．(3 分)(2)解：设 AF ＝ a，则 AD ＝7a，第 13 题解图如解图，连接OC，则△ AOC 是等边三角形，由 (1)得， BF ＝ 2－a＝ DF ，∴DE＝ DF －EF＝2－ a－ a＝ 2－ 2a， CE＝ AC －AE ＝ 1－ a，在 Rt△ ADC 中， DC ＝（7a）2－ 1＝7a2－ 1，在 Rt△ DCE 中， tan30°＝CE＝1－a＝3，DC2－1 37a1解得 a＝－ 2(舍去 )或 a＝， (5 分 )∴AF＝1 2，在△ CAF 和△ BAC 中，CA＝BA＝ 2，且∠ CAF ＝∠ BAC ＝ 60°，AF AC∴△ CAF ∽△ BAC ，∴∠ CFA＝∠ ACB ＝ 90°，即 CF⊥ AB.(6 分 )14.解：(1)AB与⊙O相切．理由如下：∵∠ ACB ＝ 90°，∴∠ CAE ＋∠ AEC ＝ 90°，又∵∠ AEC ＝∠ CDF ，∠ CAE ＝∠ ADF ，∴∠ CDF＋∠ ADF ＝ 90°，∴∠ ADC ＝ 90°，又∵ CD 为⊙ O 的直径，∴AB 与⊙ O 相切． (3 分)(2)如解图，连接 CF，第 14 题解图∵CD 为⊙ O 的直径，∴∠CDF＋∠ DCF ＝ 90°，又∵∠CDF ＋∠ ADF ＝ 90°，∴∠ DCF＝∠ ADF ，又∵∠ CAE ＝∠ ADF ，∴∠ CAE ＝∠ DCF，又∵∠ CPA＝∠ FPC，∴△ PCF∽△ PAC，∴PC＝PF， (6 分 ) PA PC又∵ PF∶ PC＝ 1∶ 2， AF ＝ 5，故设 PF ＝ a，则 PC＝ 2a，∴2a ＝a，a＋ 5 2a5解得 a＝，510∴PC＝ 2a＝ 2×3＝3 .(8 分 )15. (1)证明：如解图，连接OD ， (1 分)∵ DF 是⊙ O 的切线， D 为切点，第 15 题解图∴OD⊥ DF，∴∠ ODF＝ 90°，(2 分)∵BD＝CD，OA ＝OB，∴OD 是△ ABC 的中位线， (3 分 )∴OD∥AC ，∴∠ CFD＝∠ ODF ＝ 90°，∴DF⊥ AC.(4 分 )(2)解：∵∠ CDF ＝ 30°，由 (1)得∠ ODF ＝ 90°，∴∠ ODB ＝ 180°－∠ CDF －∠ ODF ＝60°，∵OB＝OD ，∴△ OBD 是等边三角形，(7 分 )∴∠ BOD ＝ 60°，︵π ×5＝5π.(8 分 )∴ lBD ＝nπR＝60180 180 316. (1)证明：如解图，连接OA ，OD. 设∠ ABC ＝ x，∵∠ ABC ∶∠ ACB ∶∠ ADB ＝ 1∶ 2∶ 3，∴∠ ADB ＝ 3x，∠ ACB ＝ 2x ，第 16 题解图∴ ∠DAC ＝ x，∠ AOD ＝ 2∠ABC ＝ 2x，180°－ 2x∴∠ OAD ＝＝90°－x，(2分)∴∠ OAC ＝ 90°－ x＋ x＝ 90°，∴OA⊥AC，又∵ OA 为⊙ O 的半径，∴ AC 是⊙ O 的切线． (4 分)(2)解：∵ BD 是⊙ O 的直径，∴∠ BAD ＝ 90°，∵∠ ABC ∶∠ ACB ∶∠ ADB ＝ 1∶ 2∶ 3,∠ABC ＋∠ ADB ＝ 90°，∴∠ ABC ＋ 3∠ABC ＝ 90°，(6 分)解得∠ ABC ＝ 22.5 °，∴∠ ADB ＝ 67.5 °，∠ ACB ＝ 45°，∴∠ CAD ＝∠ ADB －∠ ACB ＝22.5 °.(8 分 )。