4.1.1 复数项级数和复数序列

第四章 级 数 第一节 级数和序列的基本性质

1、复数项级数和复数序列：

复数序列就是：

,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。如果任给

0>ε，可以找到一个正数N ，

使得当n>N 时

ε<-||0z z n , 那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并

且收敛于0z

，记作 0lim z z n n =+∞→。 如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。

令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。由不等式

||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及

容易看出，0lim z z n n =+∞

→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞

→+∞→ 因此，有下面的注解：

注解1、序列

}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}

{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。

注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z

的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z

在这个邻域内。

注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

复数项级数就是 ......21++++n z z z

或记为∑∞+=1n n z

，或∑n z ，其中n z

是复数。定义其部分和序列为： n n z z z +++=...21σ

如果序列

}{n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果}{n σ的极限是

σ，那么说∑n z 的和是σ，或者说∑n z 收敛于σ，

记作 σ=∑∞+=1n n z

，

如果序列}{n σ发散，那么我们说级数∑n z 发散。

注解1、对于一个复数序列

}{n z ，我们可以作一个复数项级数如下

...)(...)()(123121+-++-+-+-n n z z z z z z z 则序列}{n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。

注解2、级数∑n z 收敛于σ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε

εσ<-∑=||1n

k k z ，

注解3、如果级数∑n z 收敛，那么

,0)(lim lim 1=-=++∞

→+∞

→n n n n n z σσ 注解4、令 σσIm ,Re ,Im ,Re ,Re =====b a z b z a z a n n n n n n ，我们有

∑∑==+=n

k k n k k n b i a 11σ

因此，级数∑n z 收敛（于σ）的必要与充分条件是：级数∑n

a 收敛（于a ）以及级数∑n b

收敛（于b ）。 注解5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：

柯西收敛原理（复数项级数）：级数

∑n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当n>N ，p=1,2,3,…时，

ε<++++++|...|21p n n n z z z

柯西收敛原理（复数序列）：序列

}{n z 收敛必要与充分条件是：任

给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当m 及n>N ， ε

<-||m n z z 对于复数项级数∑n z ，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数

...||...||||21++++n z z z

收敛，我们称级数

∑n z 绝对收敛。 注解1、级数

∑n z 绝对收敛必要与充分条件是：级数∑n a 以及∑n b 绝对收敛：事实上，有

,

||||||||||111

22111∑∑∑∑∑∑======+≤+=≤k k n k k n k k

k n k nk n k k n k k b a b a z b a 及

注解2、若级数

∑n z 绝对收敛，则∑n z 一定收敛。 例、当1||<α时，......12+++++n ααα绝对收敛；

并且有 0lim ,11...1112=--=++++++∞

→+n n n n αααααα 我们有，当1||<α时，

.11......12αααα-=+++++n

如果复数项级数

'∑n z 及"∑n z 绝对收敛，并且它们的和分别为",'αα，那么级数

)...("1'"1'21"'1z z z z z z n n n n +++-∞+=∑ 也绝对收敛，并且它的和为

"'αα。