复数项级数

n→∞ n
∑ ∑ 但 ∞ 1 + i2n+1 = ∞ 1 + (−1)n i
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ = (1 + 1 + 1 + ") − i(1 − 1 + 1 − ")= ∞ 1 + i ∞ (−1)n 1
23
23
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ 因为 级数 ∞ 1 发散, 虽 ∞ (−1)n 1收敛,
α
n
=α.
[证毕]
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
5
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
=
1 1
+ −
ni ni
;
(2)
zn
=
(−1)n
+
n
i +
; 1
(3)
zn
=
1
e
−
nπi 2
.
n
6
二、级数的概念
1.定义 设{α n } = {an + bn } (n = 1,2,")为一复数列 ,
=
(1 +
1
)e
i
π n
;
n
(2) αn = ncos in .
解
(1) 因为αn
=
(1
+
1
)e
i
π n
=
n
(1
+
1 )(cos n
π n
+
i
sin
π ),
n
所以
an
=
(1
+
1 ) cos n
π n
,
bn
=
(1
+
1 ) sin nπ n来自.而lim
n→∞
an
=
1
,
lim
n→∞
bn
=
0
20
所以数列
αn
n=1 n
n=1
n
原级数仍发散 .
22
∑ 例3 级数 ∞ (8i)n 是否绝对收敛？
n=1 n!
解
因为
(8i )n
=
8n ,
n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
∑∞ 8n 收敛,
n=1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
23
∑ 例4
级数
∞ (−1)n [
n=1 n
+
1 2n
i ] 是否绝对收敛？
α
n
=
0
∞
∑ 重要结论:
limα
n→∞
n
≠
0
⇒
级数 αn发散.
n=1
13
∞
∑ 例如,级数 ein : n=1
因为
limα
n→∞
n
=
lim ein
n→∞
≠
0,
不满足必要条件,
所以原级数发散.
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
limα
n→∞
n
?=
0
⎧lim 如果⎪⎨n→∞
α
n
≠
0,
⎪⎩lni→m∞αn = 0,
第二节 复数项级数
一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 四、小结与思考
一、复数列的极限
1.定义 设 {αn } (n = 1,2,") 为一复数列, 其中 αn = an + ibn , 又设 α = a + ib 为一确定的复数 , 如果任意给定 ε > 0, 相应地都能找到一个正 数
bn
=
b.
反之, 如果
lim
n→ ∞
an
=
a,
lim
n→∞
bn
=
b,
那末当 n > N 时,
an
−
a
<
ε
2
,
bn
−
b
<
ε
2
.
4
从而有 αn − α = (an + ibn ) − (a + ib)
= (an − a) + i(bn − b)
≤ an − a + bn − b < ε ,
所以
lim
n→∞
ak2 + bk2 ≤ ak + bk ,
k =1
k =1
k =1
18
所以
∞
∞
∑ an与∑ bn绝对收敛时,
n=1
n=1
∞
∑α n也绝对收敛 .
n=1
综上:
∞
∞
∞
∑αn绝对收敛 ⇔ ∑ an与∑ bn绝对收敛.
n=1
n=1
n=1
19
三、典型例题
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1) αn
k =1
可知
n
n
∑ ∑ lim
n→∞
k
α
=1
k
≤
lim
n→∞
k =1
α
k
∞
∞
或 ∑αk ≤ ∑ αk .
k =1
k =1
[证毕]
17
定义
∞
如果 ∑ αn
收敛,
那末称级数
∞
∑α n为绝对收敛.
n=1
n=1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
说明 由
an2 + bn2 ≤ an + bn ,
n
n
n
∑ ∑ ∑ 知
∑ ∑ 解 因为 ∞ (−1)n 收敛; n=1 n
∞ n=1
1 2n
也收敛
,
故原级数收敛.
∑ 但 ∞ (−1)n 为条件收敛 , n=1 n 所以原级数非绝对收敛.
24
四、小结与思考
通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛 的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对 收敛与条件收敛的概念与性质.
n=1
n=1
而 an ≤ an2 + bn2 , bn ≤ an2 + bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
∞
∞
∑ an 及 ∑ bn 都收敛,
n=1
n=1
∞
∞
故 ∑ an 及 ∑ bn 也都收敛.
n=1
n=1
16
∞
由定理二可得 ∑αn 是收敛的. n=1
又由
n
n
∑αk ≤ ∑ αk ,
k =1
级数发散; 应进一步判断.
14
3. 绝对收敛与条件收敛
定理三
∞
∞
如果 ∑ αn 收敛, 那末 ∑αn 也收敛.
n=1
n=1
∞
∞
且不等式 ∑αn ≤ ∑ αn 成立.
n=1
n=1
注意
∞
∑ αn 的各项都是非负的实数 ,
n=1
应用正项级数的审敛法则判定.
15
∞
∞
∑ ∑ 证
由于 αn =
an2 + bn2 ,
=
(1 +
1
)e
i
π n
收敛,
n
且
limα
n→∞
n
=
1
.
解 (2) 由于 α n = ncos in = n ei⋅in + e−i⋅in = n e−n + en ,
2
2
当 n → ∞ 时, αn → ∞,
所以数列发散.
21
∑ 例2 级数 ∞ 1 + i2n+1 是否收敛？
n=1 n 解 级数满足必要条件, 即 lim 1 + i2n+1 = 0,
= σ n + iτ n ,
10
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{σ n } 和 {τ n }的极限存在,
∞
∞
于是 级数 ∑ an 和 ∑ bn 都收敛.
n=1
n=1
说明 复数项级数的审敛问题
⇓ (定理二)
实数项级数的审敛问题
11
∑ 课堂练习 级数 ∞ 1 (1 + i ) 是否收敛？
n=1 n
n
∑ ∑ 解
因为
∞
an
n=1
=
∞ n=1
1 n
发散;
∑ ∑ ∞ bn
n=1
=
∞ n=1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
12
必要条件
∞
∞
因为实数项级数 ∑ an和∑ bn收敛的必要条件是
n=1
n=1
lim
n→∞
an
=0
和
lim
n→∞
bn
=
0
.
∞
所以复数项级数 ∑αn收敛的必要条件是 n=1
lim
n→∞
=
1 1−
z
,
所以当 z < 1时级数收敛.
9
2.复数项级数收敛的条件
∞
∞
∑ ∑ 定理二 级数 αn = (an + ibn ) 收敛的充要条件
n=1
n=1
∞
∞
∑ an 和 ∑ bn 都收敛.
n=1
n=1
证 因为 sn = α1 + α2 + " + αn
= (a1 + a2 + " + an ) + i(b1 + b2 + " + bn )
表达式
∞
∑αn = α1 +α2 +"+αn +"
n=1
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
sn = α1 + α2 + " + αn 称为级数的部分和.
7
收敛与发散 ∞
∑ 如果部分和数列 {sn } 收敛, 那末级数 αn收敛, n=1
并且极限
lim
n→∞
sn
=
s
称为级数的和
.
如果部分和数列 {sn } 不收敛,
N (ε ), 使 αn − α < ε 在 n > N 时成立, 那末 α 称为复数列 {αn }当 n → ∞ 时的极限,
记作
lim
n→∞
α
n
=α
.
此时也称复数列 {αn } 收敛于 α .
2
2.复数列收敛的条件
复数列 {αn } (n = 1,2,") 收敛于 α 的充要条件是
lim
n→∞
an
=
a,
lim
n→∞
bn
=
b
.
证
如果
limα
n→∞
n
=
α
,
那末对于任意给定的 ε
>0
就能找到一个正数N, 当 n > N 时,
(an + ibn ) − (a + ib) < ε ,
3
从而有 an − a ≤ (an − a) + i(bn − b) < ε ,
所以
lim
n→∞
an
=
a.
同理
lim
n→∞
25
思考题
∞
∞
如果复数项级数 ∑αn和∑ βn均发散 ,问:
n=1
n=1
∞
∑ 级数 (αn ± βn )也发散吗?
n=1
26
思考题答案
否.
放映结束，按Esc退出.
27
∞
那末级数 ∑αn发散. n=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是:
利用极限
lim
n→∞
sn
=
s.
8
∞
例如, 级数 ∑ zn : n=0
sn
= 1+ z + z2
+ " + zn-1
= 1− zn 1− z
(z ≠ 1),
由于当 z < 1 时,
lim
n→∞
sn
=
1− zn lim n→∞ 1 − z