博弈论书后习题

第一章1．下图是两人博弈的标准式表述形式，其中参与者1的战略空间},{1D U S =，参与者2的战略空间},{2R L S =。

参与者2 参与者1LR D U这里h g f e d c b a ,,,,,,,为参数。

（1） 设),(*L U S =是此博弈的占优战略均衡，问：上述参数之间应满足哪些条件？（2） 设),(*R U S =是此博弈的逐步剔除严格劣战略均衡，问：上述参数之间应满足哪些条件？（用两种剔除顺序讨论）（3） 设),(*R D S =是此博弈的纳什均衡，问：上述参数之间应满足哪些条件？（4） 设),(*1L U S =和),(*2R D S =是此博弈的纳什均衡，问：上述参数之间应满足什么条件？这时两个参与者有无严格劣战略？2．在下图所示的标准式表述的博弈中，找出逐步剔除严格劣战略均衡。

参与者2 参与者1 LM MUD R 3.在下图所示的标准式表述的博弈中，哪些战略不会被重复剔除严格劣战略所剔除？纯战略纳什均衡又是什么？参与者2 参与者1 LC MTB R 4.下图所示的标准式表述的三人博弈中，参与者1的战略空间},{1D U S =，参与者2的战略空间},{2R L S =，参与者3的战略空间},,{3C B A S=。

参与者1选择两行中的某一行，参与者2选择两列中的某一列，参与者3选择三个矩阵的某矩阵。

找出此博弈的纯战略纳什均衡。

LR D UA L RB L R C5.(投票博弈)设有三个参与者)3,2,1(=i 要在三个项目（A,B 和C ）中投票选出一个。

三个参与者同时投票，不允许弃权。

因此，三个参与者的战略空间为)3,2,1}(,,{==i C B A S i 。

得票最多的项目被选中。

如果没有任何项目得到多票数，那么项目A 就被选中。

某个项目被选中后三个参与者的收益函数如下：2)()()(321===C u B u A u1)()()(321===A u C u A u0)()()(321===B u A u C u（1） 写出此博弈的标准式表达；（2） 求出此博弈的纯战略纳什均衡。

6.两个人分5只乒乓球，每个人独立地提出自己想得到的数量。

设参与者1想得到1s 只乒乓球，参与者2想得到2s 只。

两人的战略空间为2,1}5,2,1{=⋯=i S i ，，。

分配规则是：如果1s s 21≤+，那么每个参与者均能得到自己想要的数量；如果5s s 21>+，那么两个参与者将什么也得不到。

（1）画出此博弈的标准式表述；（2）找出此博弈的纯战略纳什均衡。

7.俩人分一块蛋糕，每个人独立地提出自己想要的份额。

设1s 为参与者1想要的份额，2s 为参与者2想要的份额，1s ，2s 的可行集为[0，1]。

分配规则是，如果1s s 21≤+，那么每人均能得到自己想要的份额，如果1s s 21>+，那么俩人什么也得不到，试证明：在此博弈中，任何满足关系式1s s *2*1=+的战略组合（*2*1s s ，）都是博弈的纯战略纳什均衡。

8.假定库诺特寡头竞争模型中有n 个企业，设企业i 的产量为),2,1(n i q i ，⋯=，总供给为n q q q Q +⋯++=21。

假设市场逆需求函数为]0)()([)(=>-=<-=Q p a Q Q a Q p a Q Q a Q p 时，；当时，有当。

企业i 生产i q 的总成本)21()(n i cq q c i i i ，，，⋯==，即不存在固定成本，且各企业的边际成本相同，均为c （设a c <）。

假定各企业同时选择各自的产量。

（1）求出此博弈的纳什均衡；（2）问：当n 趋向无穷大时，均衡结果会时怎样？9.考虑库诺特双寡头垄断竞争模型的战略空间有限的情况。

每个企业要么选择生产垄断产量的一半4/)(2/*1c a q s -==，要么选择生产库诺特均衡产量3/)(*2*12c a q q s -===，其他任何产量都是不允许的。

（1）画出此博弈的标准式表述形式；（2）检验这一非此即彼的博弈是一个囚徒困境型的问题，即每一个企业都有一个严格劣战略，并且在均衡状态下，每个企业的利润都比他们相互合作时要小。

10.在库诺特双寡头垄断竞争模型中，如果两企业的边际成本不同，设企业1为1c ，企业2为2c ，其它条件不变。

（1）当)2,1(2/0=<<i a c i 时，求出两企业的纳什均衡产量；（2）当时而12212,c a c a c c +><<,纳什均衡还存在吗？试就31421===c c a ，，，画出两个企业的反应函数，并加以解释。

11.考虑伯川德双寡头垄断竞争模型中的两个企业之间进行的是价格竞争，而不是产量竞争的情况。

假定两个企业生产的产品是完全替代的，并且无固定成本，边际成本为c 。

企业1选择的价格为1p ，企业2选择的价格为2p 。

如果21p p <，这时1企业的市场需求函数是11p a Q -=，企业2的市场需求为0；如果21p p >，这时企业1的市场需求为0，企业2的市场需求函数为22p a Q -=；如果p p p ==21，这时市场需求在两个企业之间平分，即2/)(21p a Q Q -==。

问：纳什均衡价格是什么？12.考虑产品有差异时的价格竞争。

假定两个企业的产品并不完全相同，企业1和企业2的产品单位成本分别为1c 和2c ，他们选择的价格分别为1p 和2p 。

设企业1的市场需求函数为21211),(p p a p p Q +-=，这表明1Q 随着1p 的上升而减少，随着2p 的上升而增加；企业2的市场需求函数为12212),(p p a p p Q +-=。

两个企业同时选择价格。

求此价格竞争博弈的纳什均衡。

13.求下图所示标准式表述的博弈的混合战略纳什均衡。

参与者1参与者2LR DUC 14.求第3题给出博弈的混合战略纳什均衡。

15.斗鸡博弈故事的一种版本是，两个人相遇在一个独木桥上，每个人要选择是自己先过还是让对方先过。

如果两个人选择T （表示“强硬”，自己要先过），那么他们将在桥中间顶牛，甚至掉如水中，这时每个人得到的效用为-1；如果两个人均选择W （表示“软弱”，让对方先过），那么他们都将在桥头等待，这时每个人得到的效用为0；如果一个人选择T 而另一个人选择W ，那么选择T 的人将先过河，得到的效用为2，选择W 的人将后过河，得到的效用为1。

（有人又称这一博弈为“鹰鸽博弈”。

他们将战略T 解释为“鹰派”，将战略W 解释为“鸽派”）（1）求此博弈的混合战略纳什均衡；（2）如果再补充一个信息：两个人是一男一女。

你认为此博弈的两个纯战略纳什均衡，哪一个应作为聚焦均衡？16.(空袭博弈)A 军有一架轰炸机，它可以接受指令选择摧毁两个目标中的任一个。

B 军有一门防空导弹，它可以选择保护两个目标中的任一个。

如果目标不设防且A 去打击它，该目标就一定被摧毁；如果目标配备导弹防御且A 去打击它，那么导弹将击落飞机，目标受保护。

设飞机价值为a ，导弹价值为d ，目标1与目标2的价值分别为1u 与2u 。

双方收益以战果计算。

求此博弈的混合战略纳什均衡，并就四个参数21,,,u u d a 相对大小（即飞机、导弹、目标1和目标2的相对重要性）对均衡结果作一些讨论。

17.针对猜硬币博弈，解答下列问题：（1）建立参与者1与参与者2的最优反应对应关系；（2）分别画出两个参与者的最优反应对应图形；（3）观察两个参与者的最优反应对应图形的交点，找出博弈的纳什均衡（包括纯战略的和混合战略的）。

18.针对性别战博弈，解答下列问题：（1）建立参与者1与参与者2的最优反应对应关系；（2）分别画出两个参与者的最优反应对应图形；（3）观察两个参与者的最优反应对应图形的交点，找出博弈的纳什均衡（包括纯战略的和混合战略的）。

19.证明：在n 个参与者的标准式博弈},,,,{11n n u u s s G ；=中，如果战略组合为),,(**1n s s 是一个纳什均衡，那么它不会被逐步剔除严格劣战略所剔除。

（提示：用反证法。

）20.证明：有n 个参与者的标准式博弈},,,,{11n n u u S S G ；=，且G 为有限博弈。

如果逐步剔除严格劣战略后剩下的战略组合为),,(**1n s s ，那么这一战略组合是博弈的唯一的纳什均衡。

（提示：惟一性已由第19题得到证明，证明),,(**1n s s 是纳什均衡仍用反证法。

）第二章1.参与者1(丈夫)和参与者2(妻子)必须独立地决定出门郊游时是否带上雨伞。

他们知道下雨的概率是50%。

每个人的收益如下：如果只有一人带伞，下雨时带伞者的效用为-2.5，不带伞者（沾点光）的效用为-3；不下雨时带伞者的效用为-1,不带伞者的效用为0。

如果两个都带伞，下雨时每人的效应为-2，不下雨时每人的效用为-1。

如果两人都不带伞，下雨时每人的效用为-5，不下雨时每人的效用为1。

试就下列三种情况给出博弈的扩展式表述（博弈树）和标准式表述（收益的双变量矩阵）。

(1) 两人出门前都不知道是否会下雨，并且两人同时决定是否带伞，即每一方在决策时都不知道对方的决策；(2) 两人出门前都不知道是否会下雨，但参与者1先决策，参与者2在观察到参与者1是否带伞后再决定自己是否带伞；(3) 参与者1出门前知道是否会下雨，参与和2不知道，但参与者1先决策，参与者2决策。

2.下图所示的博弈树表示一个动态博弈。

（1）分别写出参与者1和参与者2的战略；（2）写出此博弈的标准式表述（双变量矩阵），并找出纳什均衡；（3）如果将图中参与者2的三个决策结用虚线连接连结起来，也就是参与者2只有一个信息集，写出这时参与者2的战略，并找出纳什均衡。

3.下面是一个有两个参考者的三阶段动态博弈。

（1）设,150,100==b a 试用逆向归纳法求此博弈的子博弈精炼纳什均衡（写出均衡战略、均衡路径与均衡收益）；（2）要使参与者2能获得不低于300的收益， b a ,应满足什么条件？4.用逆向归纳法的思想，求下图所示的扩展式表述博弈的子博弈纳什均衡（写出各阶段均衡战略、均衡收益）5.在一个由三寡头垄断竞争的市场中，市场需求函数由Q P -=100给出，这里321q q q Q ++=，其中i q 表示企业i 的产量（3,2,1=i ）。

已知三个企业生产的边际成本为2，并且没有固定成本。

（1）各企业按下述顺序进行产量决策：①企业1和企业2先同时选择产量1q 、2q ；②企业3观测到1q 、2q ，再选择产量3q 。

求此博弈的子博弈精炼解（各企业均衡产量和利润）。

（2）各企业按下述顺序进行产出决策：①企业1选择产量1q ；②企业2和企业3观测到1q ，并同时选择产量2q 、3q 。