反射变换与旋转变换

反射变换

【问题引入】在平面直角坐标系中，第一象限内有一点(,)P x y ，将它做关于x 轴，y 轴和坐标原点的对称的变换，分别得到点123,,P P P .

由题意知：假设三个变换分别为123,,T T T ，对应的变换矩阵分别为123,,M M M ，则有：

1:x x x T y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，11001M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 2:x x x T y y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，21001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 3:x x x T y y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，31001M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

1.反射变换概念：像1

001⎡

⎤⎢

⎥-⎣⎦，1001-⎡⎤⎢⎥

⎣⎦，1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，相应地，前者称作轴反射，后者称做中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点. 2.反射变换的分类：

与矩阵11

001M ⎡

⎤

=⎢

⎥-⎣⎦对应的变换是关于x 轴的轴反射变换. 与矩阵21001M -⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦对应的变换是关于y 轴的轴反射变换. 与矩阵31001M -⎡⎤

=⎢⎥

-⎣⎦对应的变换是关于原点的中心反射变换. 与矩阵40110M ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

对应的变换是关于直线y x =的中心反射变换. 3.线性变换的概念：一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换. 考查点1：有关反射变换的问题

例1. 求直线6y x =在矩阵0

110⎡

⎤

⎢

⎥⎣⎦

对应的变换下所得的图形的表达式.

例2.

求出曲线0)y x =

≥在矩阵1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

作用下变换得到的曲线的表达式. 例3. 求曲线22:9C x y +=在矩阵0110M ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

对应的反射变换作用下得到的图形的周长

例4：研究直线3210x y -+=在矩阵1 01 -1⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

对应的变换作用下变成曲线的表达式

解：任取直线3210x y -+=的一点00(,)P x y ，它在矩阵1 01 -1⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

对应的变换作用下变为0

0(,)P x y '''， 则有00

001 01 -1x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢

⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故00000,x x x y y '=⎧⎨'-=⎩即0000

0x x y x y '=⎧⎨''=-⎩ 又因为点P 在直线3210x y -+=上，所以003210x y -+=

即有0

000032()10,210x x y x y '''''--+=++= 从而直线3210x y -+=在矩阵1 01 -1⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

作用下变成直线210x y ++=。 旋转变换

【问题引入】假设大风车的叶片在同一个平面内转动，以旋转中心O 为坐标原点建立坐标系，在大风车的叶片上任取一点(,)P x y ，它围绕中心点O 逆时针旋转θ角后得到另外一点(,)P x y '''，则旋转前后叶片上的点的位置变化也可以看做是一个几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换呢？

设OP 与x 轴正向夹角为α，||||OP OP r '==，则有cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩

，

cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin x r r r y r r r αθαθαθ

αθαθαθ

'=+=-⎧⎨'=+=+⎩.将cos ,sin x r y αα== 代入有cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩

由题意知：cos sin :sin cos x x x y T y y x y θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦即cos sin :sin cos x x x T y y y θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

所以得到变换矩阵为cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦

. 1.

旋转变换的概念：矩阵cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤

⎢

⎥

⎣⎦

通常称为旋转变换矩阵，对应的变换称做旋转变换，其中角θ叫做旋转角，定点O 叫做旋转中心. 2. 知识扩展

（1） 当旋转中心为坐标原点且逆时针旋转θ角时，旋转变换的变换

矩阵为cos sin sin cos θθθθ-⎡

⎤⎢

⎥

⎣⎦

；当旋转中心为坐标原点用

顺时针旋转θ角时，

旋转变换的矩阵为cos sin sin cos θθθθ⎡⎤

⎢⎥

-⎣⎦

. （2） 旋转变换只改变几何图形的相对位置，不改变几何图形的形状

和大小.

（3） 图形的旋转由旋转中心和旋转的角度共同决定.

（4） 显然，绕定点旋转180的变换相当于关于原点的中心反射变换. 【典例剖析】

考查点1：有关旋转变换的问题

例1：已知)0,0(A )0,2(B )1,2(C )1,0(D ，求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转90后得到的图形的顶点坐标.

例2：将双曲线C ：221x y -=上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图

形C '，试求C '的方程。

解：由题意，得旋转变换矩阵M

=2 -cos 45 -sin4522sin45 cos452 22⎡⎢⎡⎤⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎥⎣⎦

， 任意选取双曲线221x y -=上的一点00(,)P x y ，它在变换T M 作用下变为0

0(,)P x y '''，