反射变换与旋转变换

选修4-2 矩阵与变换

§2.2 几种常见的平面变换（理科）（第2课时） 总第42教案

————反射变换、旋转变换

一、【教学目标】

1．理解可以用矩阵来表示平面中的反射变换与旋转变换。

2．掌握反射变换与旋转变换的矩阵表示及其几何意义。

二、【课前导学】

1．____________________________________________________________称为反射变换。

2．矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1- 00 1表示的变换是将一个平面图形F 变为____________________________。 3．表示以原点为反射点的变换矩阵是____________，表示以y 轴为反射轴的变换矩阵是_______________。

4．一般地二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线或点。当a=b=c=d=0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0 00 0把平面上所有点都变换到坐标原点(0，0)。

5．___________________________________________________________称为旋转变换。

6．矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθθθcos

sin sin - cos 中的角θ叫做___________，旋转中心是__________。旋转变换只改变____________________________，不改变___________________________。

7．我们在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时只需考察_________________________。

三、【实例分析】

例1．分别写出下列矩阵对右图中的图形作用的结果，并指出他们所代表的变换。

(1) ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-1 0 0 1，(2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0 11 0，(3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0

1-1 - 0

例2．求直线x y 4=在矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡0 11 0作用下变换所得的图形。

例3．设变换T 将每个点绕原点O 沿逆时针旋转

4

π角，点A 的坐标为(1,1)。以下图形变成了什么图形？

(1)点A ； (2)线段OA ； (3)直线x y =； (4)直线1:=+y x l

例4．分别给出下列矩阵表示的变换对△ABC 的作用结果，其中A(-2,0),B(0，1),C(2，0). (1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0 11 0； (2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡23 2

121- 23

例5．已知A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得

到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图。

例6. 研究ABC ∆在矩阵⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21212121对应的变换作用下所得到的图形， 其中A(1,1)，B(2,3)，C(3，-1)

课 外 作 业

1．将平面图形变为关于直线x y =对称的平面图形的反射矩阵是__________________。

2．已经知道变换A 由矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡21 21-21

21

决定，则A 表示的变换是____________________。 3．函数)(x f y =的图象与函数)(x f y -=的图象具有轴对称性，则从)(x f y =到)(x f y -=的变换矩阵为________________。

4．与左图中变换对应的变换矩阵是__________。

5．把平面上的所有点都变换到坐标原点的变换

所对应的矩阵是________________。

6．曲线x

y 2=在变换T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 0 11 0''作用下变成曲线__________________。 7．△ABC 顶点为A(1,2)，B(3,3)，C(2,1)，则在矩阵⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡2- 00 2对应的变换下所得图形的面积是________________。

8．如图，三角形OBC 逆时针右旋变换到三角形OB 1C 1，

则对应的旋转变换矩阵为__________。

9．将矩形ABCD 绕原点顺时针旋转300，其旋转变换矩阵为__________________。

10．点A 、B 坐标为(1,1)、(2,3)，则线段AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢

⎣⎡1 1-1- 1作用下变换得到的图形是_____________，____)(____(B B _____)(_____(A A ，，，’‘⇒⇒

11．设R b a ∈,，若⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=b a M 1-0 所定义的线性变换把直线072:=-+y x l 变换成另一直线,07:'

=-+y x l 求a,b 的值。

12．二阶矩阵M 对应的变换将(1，-1)与(-2,1)分别变换成(5,7)与(-3，6)。

(1)求矩阵M ；

(2)求直线4:=-y x l 在此变换下所变换成的直线'

l 的解析表达式。

13、求出平行四边形ABCD 在矩阵⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-=1 00 1M 对应的变换作用下得到的几何图形，并画出示意图，其中A(0,0),B(3,0),C(4,2),D(1,2).

14、求出曲线)0(≥=

x x y 在矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 1- 00 1对应的变换作用下得到的曲线。

15、求出ABC ∆在矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2123232

1对应的变换作用下所得到的图形，并画出示意图， 其中A(0,0)，B )31(，，C(0,2).

16、已知曲线xy=1，将它绕坐标原点顺时针旋转0

90后，会得到什么曲线？曲线方程是 什么？