第4章理想流体动力学
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
工程流体水力学第四章习题答案
第四章 理想流体动力学和平面势流答案4－1 设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。
已知管径1212d d =，212d D =，过流断面1-1处压强p 1>大气压强p a 。
试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头线和测压管水头线。
解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。
4－2 设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。
已知压差计的读数h ＝150mmH 2O ，空气的密度ρa =1.20kg/m 3，水的密度ρ =1000kg/m 3。
若不计能量损失，即皮托管校正系数c =1，试求空气流速u 0。
解：由伯努利方程得2002s a a p u p g g gρρ+= 00a 2()s p p u g gρ-=（1） 式中s p 为驻点压强。
由压差计得 0s p gh p ρ+=0s p p gh ρ-= （2）联立解（1）（2）两式得0a a 10002229.80.15m/s 49.5m/s 1.2gh h u gg g ρρρρ===⨯⨯⨯= 4－3 设用一装有液体（密度ρs =820kg/m 3）的压差计测定宽渠道水流中A 点和B 点的流速，如图所示。
已知h 1 =1m ，h 2 =0.6m ，不计能量损失，试求A 点流速u A 和B 点流速u B 。
水的密度ρ =1000kg/m 3。
解：（1）1229.81m/s 4.427m/s A u gh ==⨯⨯= （2）由伯努利方程可得22A AA u p h g gρ+= （1）22B BB u p h g gρ+= （2）式中A h 、A p 和B h 、B p 分别为A 点和B 点处的水深和驻点压强。
由（1）、（2）式可得2222A B A BA B p p u u h h g g gρ-=+-- （3） 由压差计得，22ρρρρ--++=A A s B B p gh gh gh gh p ，所以220.82A BA B p p h h h h gρ-=+-- (4) 由（3）式、（4）式得2222 4.427(10.82)0.6(10.82)0.8922229.8B A u u h g g =--=--=⨯ 29.80.892m/s 4.18m/s B u =⨯⨯=。
北航水力学 第四章理想流体动力学和恒定平面势流解读
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
4.2.2 由动能定理推导理想流体的伯努利方程
推导过程同学们自学
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
本公式是由动能定理推导而得，它使伯努利方程有更加明确的 物理意义，说明伯努利方程是一能量方程。
第三节 元流伯努利方程的意义和应用
4.3.1 沿流线的伯努利方程的水力学意义
可见，在同一流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线就是流线。
2、平面内任意两点流函数值的差等于通过这两点连线的流量。
y ABdrBnA x
d r dxi dy j
n cos i sin j dy i dx j
dr dr V ui v j
dq V
ndr
u
dy dr
v
dx dr
等 线和等Ψ线，这两族曲线互相垂直，构
成流网。
两族曲线所构成的正交网络，称为流网
流网的特征：
流网
等 线和速度矢量垂直，或者说， 等 线与等Ψ线（流线）垂直，
【例题】
已知90度角域内无粘流动，速度分布
ux kx uy ky
(k 0, x 0, y 0)
求：（1）判断该流场是否存在速度势函数， 若存在请给出并画出等势线；
流动。但粘滞性对流动 的影响很微小时，影响可以忽略。 --机械能守恒
引入势流的意义：使问题简化。
波浪运动，无分离的边界层外部的流动，多孔介质的流动（渗流） 等等可以看为势流。
4.4.1 流速势函数
以二维流动为例，根据流体运动学，它与无旋流动等价
由 ux 0 无旋流的条件→涡量 z 0
第4章流体动力学基础1
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
流体力学第四章ppt课件
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。
理想流体动力学
2 r0 ln r 1 2 r 2
当 r = r0时 , =
2
ln r0 常 数 , 可见，圆柱表面为一流线。
2
2、速度分布 流场中任一点 p r ,
的速度分量为：
2 r0 v v 1 2 sin r r 2 r
J
A
d J 2 n d A
A
18
2、速度环量 流体质点的旋转角速度矢量无法直接测量，所以旋涡强 度不能直接计算。但是，旋涡强度与它周围的速度密切相关， 旋涡强度愈大，对周围流体速度的影响也就愈大。因此，这 里引入与旋涡周围速度场有关的速度环量的概念。 给定瞬时，在流场的任意封闭曲线上，流体速度矢量沿 封闭曲线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示，即
2 r0 vr v 1 2 co s r r
当 r 时 , v r v cos , v v ห้องสมุดไป่ตู้ sin
表明流体在远离圆柱体处保持原来的均匀流，即满足无穷远 处的边界条件。
3
柱面上 r r0 速度分布：
2 r0 v v 1 2 sin r r 2 r
L
2 0
2 1 2 p v 2 v sin r0 sin d v 2 2 r0
12
L v
上式就是著名的库塔-儒可夫斯基（Kutta-Zhoukowski）升力 公式。上面的计算结果表明，理想流体对圆柱体作有环量绕 流时，流体作用在圆柱体上的阻力等于零，而作用在单位长 度圆柱体上的升力等于流体密度、来流速度和速度环量三者 的乘积。 升力的方向由前方来流速 度矢量 v 沿反环流的方 向旋转 9 0 0 来确定，如图 所示。
水力学 第四章 理想流体动力学和平面势流
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
清华大学流体力学课件-4-理想流体动力学.pdf
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
1
简介
理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性
0
Cv 0
m
Tij pij
理想流体（势流）
真实流体
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
2
基本内容
1. 理想流体运动的基本方程和初边值条件 2. 理想流体在势力场中运动的主要性质 3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分 4. 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质 5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法 6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质 7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法
2 ) V (e
1 2
V
2)
f
V
1
TV q
qR
1
T
pijeie j Vkek pViei pV
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
4
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
V V
t
V V V 1 p f
t
t
Vj
x j
V j x j
Vi t
Vj
Vi x j
理想流体动力学
11
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀，
其物面方程为 R Rb (t)
无穷远处压力 p p ，不计质量力，
Rb (t)
求：球面上的压强分布。
R
V 0
V V V 1 p
t
t 0: V 0
R : V 0 p p R Rb (t) : VR Rb (t)
流体动力学
p60例4-7
(4-2)
4 倾斜式微压计 (p60)
当测量的压力很小时，由于在竖直的玻璃管中液面
高度变化很小，给读数造成困难，使测量误差增大。为 了提高测量的精确度，可以采用倾斜式微压计，如图411。当单管压力计的玻璃管倾斜角为α时，倾斜管中液 面高度由h1变为L
L h sin
由上式得知，
L比h1扩大了1/sin α倍。 由此可见，在相同的压
三、流体的压缩性与膨胀性 (p53)
流体的体积还随温度变化而变化，当温度升高，
则体积膨胀，这称流体的膨胀性。用膨胀系数表示，
它表示流体压力不变时，温度每增加1℃，单位体积的
增加量。即
v = (ΔV/V)/Δt v ——流体膨胀系数，1/K；
ΔV/V ——单位体积的膨胀量； Δt ——温度增加量，K。
g
由图可知，任一点的位置能头 与压力能头之和为一常数H， 即：
Z A hA ZB hB
Z A pA / g ZB pB / g
Z p / g 常数
(4-13)
5 静止液体的能头 (p61)
上式(式4-13)说明，容器内任一点的压力 能头与位置能头随点的位置不同而不同， 但是这两个能头的和却是一个常数。所以 液体内任一点位置发生变化时能头的和都 是一个常数。又因为如此，所以液体内任 一点位置变化时，其位置能头增加若干米， 则压力能头就减少若干米，反之，点的位 置能头减少若干米，则压力能头就增加若 干米。
由于液体所受压力和温度变化不大时，所引起的 液体体积变化量很小，故液体称不可压缩流体。
四、流体的黏滞性 (p54)
流体运动时，流体间产生内摩擦力的性质叫流体的黏 滞性。内摩擦力具有阻止运动的性质，是流体运动时产生 能量损失的原因。
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
流体力学-第四章 流体动力学基础
Dt t CV
CS
单位质量流体的能量 e (u V 2 gz) 流体系统的总能量
2
DE ed eV ndS
Dt t CV
CS
E ed
初始时刻系统与控制体重合
Q WSYS Q WCV
ed eV ndS Q W
t CV
CS
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
§4.1 系统和控制体，雷诺输运定理
雷诺输运定理：
举例：动量定理运用于流体系统
F Dk Dt
F 是外界作用系统的合力，K 是系统的动量，
k Vd
由于系统不断改变位置、形状大小，组成系统的流体质点的密度和速度随
时间也是变化的，所以系统的动量也是变化的，求其对时间的变化率，即
求该流体系统体积分的物质导数。
取 N M 单位体积的质量
DM 0 Dt
d V ndS 0
t CV
CS
d V ndS 0
t CV
CS
积分形式的连续性方程
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
非定常流动情况下：
d V ndS 0
t CV
CS
即单位时间内控制体内流体质量的增加或减少等于同时间内通过控制面流入 或流出的净流体质量。如果控制体内的流体质量不变，则必然同一时间内流 入与流出控制体的流体质量相等。
左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化而产生的力，它反映流体运动的非定常性
左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量
不等所产生的力。
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
定常流动条件：
F
FB FS
VV ndS
CS
VV ndS
第四章理想流体动力学
5
平行六面体，顶点为 Ax, y,z 处的速度 是 vx, y,z ，压强为 px, y,z 。六面体平均密
度为 ，作用在六面体上的力有表面力和质量 力。
以y方向为例进行受力分析： 1. y方向的表面力 由于讨论的流体是理想流体,作用在流体表 面上的力只有法向力,其方向为内法线方向。
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。
对于定常无旋运动，括号中的函数还不 随时间变化，因此它在整个流场为常数：
U p v2 C(通用常数) 2
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
16
U p v2 C(通用常数) 2
对于理想、不可压缩流体，在重力作用下
的定常、无旋运动，上式写为：
第四章 理想流体动力学
1
第四章 理想流体动力学
(Ideal fluid dynamics)
§4-1 欧拉运动微分方程式 §4-2 拉格朗日积分式 §4-3 伯努利积分式及其应用 §4-4 伯努利方程几何意义和能量意义 §4-5 动量定理及动量矩定理
第四章 理想流体动力学
2
重点：伯努利积分式及其应 用、伯努利方程的几何意义和能 量意义、动量定理及动量矩定理
⑵常数性质不同。拉格朗日积分中的常数 在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利 积分常数只在同一根流线上不变，不同流线取 值不同，称为流线常数。或者说拉格朗日积分 在整个空间成立，而伯努利积分只在同一条流 线上成立。
当流动定常且无旋时，两个积分式等同。
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
第二项：
12
vx t
vx
vx x
vy
理想流体动力学基本方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
第4章工程流体力学理想流体动力学
第4章 理想流体动力学自测题一、思考题4.1何谓系统和控制体？它们有何区别与联系？试写出系统—控制体的输运公式并说明其物理意义。
4.2说明连续性方程的物理意义。
4.3说明欧拉运动微分方程的物理意义。
4.4试写出理想流体的伯努利方程，并且说明此方程的物理意义以及它的适用条件。
4.5何谓缓变流和急变流？在缓变流截面上，压强分布有何规律？4.6为什么要引入动能修正系数这个概念？其物理意义是什么？4.7说明动量方程和动量矩方程的适用条件。
二、选择题4.1连续性方程表示流体运动遵循 守恒定律。
（C ）（A ）能量 （B ）动量 （C ）质量 （D ）流量4.2水在一条管道中流动，如果两过流断面的管径比2/21=d d ，则速度比=21/υυ 。
（C ）（A ）2 （B ）1/2 （C ）4 （D ）1/44.3在 流动中，伯努利方程不成立。
（D ）（A ）恒定 （B ）理想流体 （C ）不可压缩 （D ）可压缩4.4文丘里管用于测量 。
（D ）（A ）点流速 （B ）压强 （C ）密度 （D ）流量4.5毕托管用于测量 。
（A ）（A ）点流速 （B ）压强 （C ）密度 （D ）流量4.6应用总流的伯努利方程时，两断面间 。
（D ）（A ）必须是缓变流 （B ）必须是急变流（C ）不能出现急变流 （D ）可以出现急变流4.7伯努利方程中gV g p z 22αρ++表示 。
（A ） （A ）单位重量流体具有的机械能 （B ）单位质量流体具有的机械能（C ）单位体积流体具有的机械能 （D ）通过过流断面流体的总机械能4.8水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心的压强，有以下关系 。
（C ）（A ）21p p > （B ）21p p = （C ）21p p < （D ）不定4.9应用总流的动量方程求流体对物体合力时，进、出口的压强应使用 。
（B ）（A ）绝对压强 （B ）相对压强（C ）大气压强 （D ）真空值三、计算题4.1如图所示，设一虹吸管a=2m,h=6m,d=15cm 。
理想流体动力学复习题
第四章 理想流体动力学一、思考题1．实际运动流体的动压强和流体静压强有何不同？2．理想流体运动微分方程的应用条件是什么？3．理想流体关于流线的伯努利方程应用时应注意满足什么条件？4．理想流体关于任意两点间的伯努利方程有何差异？应用时应注意满足什么条件？5．总流伯努利万程hw g V p z g V p z +++=++222222221111αγαγ各项的物理意义和几何意义是什么？应用条件是什么？6．动能修正系数α的物理本质是什么？如何定义的？其物理意义是什么?7．什么是水头线、总水头线和测压管水头线？总水头线、测压管水头线和位置水头线三者之间有什么关系？沿程是如何变化的？8什么是水力坡度和测压管坡度？二者在什么情况下相等？9在应用总流动量方程解决实际流动问题时，如何表示前后的动量变化？什么是控制体？如何正确选取控制体？10．总流的动量方程为()12V V Q F -=∑ρ ，∑F 中都包括哪些力？在计算表面力时，如果采用不同的压强标准其结果是否一样？怎样解决？二、单项选择题1．在总流伯努利方程中．速度V 是( )速度。
(A)某点 (B)断面形心处 (C)断面上最大 (D)断面平均2．在( )流动中，伯努利方程不成立。
(A)恒定 (B)可压缩 (C)不可压缩 (D)理想流林3．在( )流动中，伯努利方程不成立。
（A ）恒定 （B ）理想流体 （C ）不可压缩 （D ）可压缩4．文丘里管用于测量( )。
（A ）点流速 （B ）压强 （C ）密度 （D ）流量5．毕托管用于测量( )。
（A ）点流速 （B ）压强 （C ）密度 （D ）流量6．应用总流的伯努利方程时，两断面间( )。
（A ）必须是缓变流 （B ）必须是急变流（C ）不能出现急变流 （D ）可以出现急变流7．应用总流伯努利方程时，两断面上的流速分布应满足( )。
(A)必须是渐变流 (B)必须是急变流(C)不能出现急变流 (D)允许出现急变流8．伯努利方程中gV g p z 22αρ++表示( )。
第四章 流体动力学
3－22 管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别为D ＝100mm 和d ＝30mm ，如通过的流量为0.02m 3/s ，不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。
已已知知：：D=100mm ，d=30mm ，Q=0.02m 3/s ，p m2=0。
解析：由连续性方程，得m /s 55.21.014.302.044221=⨯⨯==D Q u πm /s 31.2803.014.3222=⨯==d u π列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得2221m12121u u p ρρ=+ 22221222122m1N/m 8.397476)55.231.28(100021)(212121=-⨯⨯=-=-=u u u u p ρρρ3－23 水管直径50mm ，末端的阀门关闭时，压力表读数为21kN/m 2，阀门打开后读数降至5.5kN/m 2，如不计管中的压头损失，求通过的流量。
已已知知：：d=50mm ，p 0=21kN/m 2，p=5.5kN/m 2。
解析：列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得2021u p p ρ+= 则 m /s 568.51010)5.521(2)(2330=⨯-⨯=-=ρp p u 流量为 /s m 011.0568.505.014.34141322=⨯⨯⨯==u d Q π 3－24 用水银压差计测量水管中的点速度u ，如读数Δh ＝60mm ，求该点流速。
已已知知：：Δh=60mm 。
解析：根据题意，由流体静力学方程，得h g h p p ∆ρρ∆γγ)()(0-=-=-汞汞列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得2021u p p ρ+= 则 m /s 85.31006.01081.9)16.13(2)(2)(2330=⨯⨯⨯-⨯=-=-=ρ∆ρρρhg p p u 汞 3－25 流量为0.06m 3/s 的水，流过如图所示的变直径管段，截面①处管径d 1＝250mm ，截面②处管径d 2＝150mm ，①、②两截面高差为2m ，①截面压力p 1＝120kN/m 2，压头损失不计。
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Q=0.036m3/s，水柱的来流速度V=30m/s，若被截取的流量
Q=0.012m3/s，试确定水柱作用在板上的合力R和水流的偏
转角
（略去水的重量及粘性）。 解：设水柱的周围均为大气压。由于不计重力，因此由伯努利方程可知
由连续方程
取封闭的控制面如图，并建立 坐标，设平板对射流柱的作用力为 （由于不考虑粘性，仅为压力）。由动量定理
<<
,
<<
以及与水箱A中流出的流量相比，从B中吸出的流量为小量。） 解：（1）在
及
的假定下，本题可看作小孔出流 由Torricelli定理
处为基准，对水箱 自由液面及最小截面
建立总流伯努利方程 其中
， 故 要使最小截面处压强
低于大气压即为负值必须使 由连续方程
得 故
得此时的条件应为 （2）若从水槽中吸出水时，需具备的条件为 或者 将 代入
时，
例如，当 则
【4.18】 如图,锅炉省煤气的进口处测得烟气负压 h1=10.5mmH2O，出口负压h2=20mmH2O。如炉外空气 ρ=1.2kg/m3，烟气的密度ρ'= 0.6 kg/m3，两测压断面高度 差H=5m，试求烟气通过省煤气的压强损失。 解：本题要应用非空气流以相对压强表示的伯努利方程形式。 由进口断面1至出口断面2列伯努利方程
即 或者 ，
由于 将上述不等式代入
得 【4.14】 如图，一消防水枪，向上倾角
水管直径D=150mm，压力表读数p=3m水柱高，喷嘴直径 d=75mm，求喷出流速，喷至最高点的高程及在最高点的 射流直径。 解：不计重力，对压力表截面1处至喷咀出口2处列伯努利方程
其中
得
式得
另外，由连续方程 得 上式代入
） 若
， 处的截面面积各为 及 ，由连续方程
得 将上式代入（ ）式
得
则文丘里管中的流量
倘若阀门C关闭，阀门D开启时，真空容器内的压强减至
水 则
银柱时，
即
此时流量
【4.11】
如图，一呈上大下小的圆锥形状的储水池，底部 有一泄流管，直径d=0.6m，流量因数μ＝0.8，容器内初始 水深h=3m，水面直径D=60m，当水位降落1.2m后，水面直 径为48m，求此过程所需时间。 解：本题按小孔出流，设某时刻
式中 其它同上 则
以此 代入上述动量定理式中解得
【.1】 【4.20】 下部水箱重224N，其中盛水重897N，如 果此箱放在秤台上，受如图所示的恒定流作用。问 秤的读数是多少。
解：水从上、下水箱底孔中出流速度由Torricelli定理得
流量 而流入下水箱时的流速，由伯努利方程
式中 ，
则 设封闭的控制面如图，设下水箱中水受到重力为 ,水箱对其作用力为 ,并建立坐标轴
当叶片喷咀均固定时，设流体受到叶片的作用力为
由动量定理
方向：
即
得
叶片受到射流对其作用力大小为
，方向与
方向相反。
(2)当控制体在作匀速运动时，由于固结于控制体上的坐
标系仍是惯性
系，在动量定理中只要将相对速度代替
绝对速度即可。
现当叶片以
速度后退，此时射流相对于固结于叶片上的控制面的
相
对速度为
，因此叶片受到的力大小为
由动量定理 即 即 因此秤的读数 水箱自重+流体对水箱的作用力
因此 设最高点位置为
，则根据质点的上抛运动有
射流至最高点时，仅有水平速度
，列喷咀出口处2至 （在大气中压强均为零）。
最高点处3的伯努利方程
得 或者水平速度始终是不变的 由连续方程，最高点射流直径 为
故
【4.15】
如图，水以V=10m/s的速度从内径为50mm的喷管
中喷出，喷管的一端则用螺栓固定在内径为100mm水管的
其中
，
， 则 管内体积流量
(2)以管口2处为基准，对自由液面1处及管内最高点 列1流
线伯努利方程。则 其中
, , , ,
即 9 807
即 点的真空压强
(3)当
不变，
点
增大时，当
点的压强
等于水的汽化压强时，
此时
点发生水的汽化，管内的流动即中止。查表，在常温下
（15
℃）水的汽化压强为1 697
（绝对压强）以管口2为基准，列
式中
【4.19】
故
得
如图,直径为d1=700mm的管道在支承水平面上分 支为d2=500mm的两支管，A—A断面的压强为70kN/m2，管 道流量Q=0.6m3/s，两支管流量相等。（1）不计水头损 失，求支墩受的水平推力；（2）若水头损失为支管流速水 头的5倍，求支墩受的水平推力。（不考虑螺栓连接的作 用） 解：(1)在总管上过流断面上平均流速为
解：以右箱出口处4为基准，对右箱自由液面3到出口处4列流 线伯努利方程
其中
，
则
以左箱出口处2为基准，对左箱自由液面1到出口处2列流线
伯
努利方程
其中
，
，
故
流入右 等，即
当流动处于恒定流动时，应有右箱出口处的流量和左水箱 水箱的流量及补充入左水量的流量均相
即
或者
且左水箱需补充的流量为
【4.8】
本题要注意的是左水箱的水仅是流入右水箱，而不能从1-4直 接列一条流线。
其中 ，
即
由连续性原理，由于 故
又 由于 故 由于
故
流经管路的体积流量
（2）以管口为基准，该处总水头等于
，由于不计粘性损失，因此各截面上总水头均等于
【4.9】
。 如图，在水箱侧壁同一铅垂线上开了上下两个小孔，若两股 射流在O点相交,试证明
。 解： 列容器自由液面0至小孔1及2流线的伯努利方程，可得到 小孔处出流速度
方向： 即
方向：
即
故
代入
式
即作用在板上合力大小为
，方向与
方向相反
【4.17】
一水射流对弯曲对称叶片的冲击如图所示，试就下
面两种情况求射流对叶片的作用力：（1）喷嘴和叶片都固
定；（2）喷嘴固定，叶片以速度
后退。 解：(1)射流四周均为大气压，且不计重力，由伯努利方程， 各断面上的流速均相同。取封闭控制面如图，并建立 坐标，
时，水面已降至
处， 则由托里拆利公式，泄流管处的出流速度为
储水池锥度为 ，因此当水面降至 处时，水面的直径为
由连续方程 在
时间内流出的水量等于液面下降的水量 故
由于 故
本题从总的过程是非恒定流，若应用非恒定流的伯努利方程很 复杂，为此将整个过程微分，每个微分时间内作为恒定流来处 理，然后应用积分的方法来求解。 【4.12】 如图，水箱通过宽B=0.9m，高H=1.2m的闸门往外泄 流，闸门开口的顶端距水面h=0.6m。试计算（1）闸门开 口的理论流量；（2）将开口作为小孔处理时所引起的百分 误差。 解：（1）由图
（
）
计算题
【4.6】
如图，设一虹吸管a=2m,h=6m,d=15cm。试求：
（1）管内的流量；（2）管内最高点S的压强；（3）若h不
变，点S继续升高（即a增大，而上端管口始终浸入水
内），问使吸虹管内的水不能连续流动的a值为多大。
解：(1)以水箱底面为基准，对自由液面上的点1和虹吸管下端 出口处2建立1-2流线伯努利方程，则
点的伯 努利方程，
， ， ， ，
【4.7】
其中
（大气绝对压强） 即
本题要注意的是伯努利方程中两边的压强计示方式要相同，由 于 为绝对压强，因此出口处也要绝对压强。 如图，两个紧靠的水箱逐级放水，放水孔的截面积分别为A1 与A2，试问h1与h2成什么关系时流动处于恒定状态，这时 需在左边水箱补充多大的流量。
由于
，故本题应按大孔出流来处理，将大孔口，沿水
平
方向分割成许多小孔，然后对于每一小孔
按Torricelli定理
出流速度
，小孔面积
理论出流量为
总出流量
（2）当按小孔出流处理时， 出流量
两者引起的相对误差为
【4.13】
今想利用水箱A中水的流动来吸出水槽B中的 水。水箱及管道各部分的截面积及速度如图所示。试求 （1）使最小截面处压强低于大气压的条件；（2）从水槽B 中把水吸出的条件。（在此假定
。此公式称托里拆利公式（Toricelli），它在形式上与初始速 度为零的自由落体运动一样，这是不考虑流体粘性的结果。
由
公式，分别算出流体下落
距离所需的时间，其中
经过
及
时间后，两孔射流在某处相交，它们的水平距离相
等，
即
， 其中
，
， 因此
即
【4.10】 如图，
Venturi管A处的直径d1=20cm，B处的直径
d2=2cm。当阀门D关闭，阀门C开启时测得U型压力计中水
银柱的差h=8mm，求此时Venturi管内的流量。又若将阀门
C关闭，阀门D开启，利用管中的射流将真空容器内的压强
减至100mm（水银柱）时，管内的流量应为多大。
解：由于本题流体是空气，因此忽略其重力。
从A至B两过流断面列总流伯努利方程
因此 （
第4章 理想流体动力学
选择题
【.1】 【4.1】 如图等直径水管，A—A为过流断面，B—B 为水平面，1、2、3、4为面上各点，各点的运
；（
）
。
解：对于恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布规 律，即 ，故在同一过流断面上满足
（ ） 【4.2】 伯努利方程中
表示（ ）单位重量流体具有的机械能；（
法兰上，如不计损失，试求作用在连接螺栓上的拉力。
解：由连续方程
故
对喷管的入口及出口列总流伯努利方程