柱锥台球的表面积和体积公式

柱锥台球的表面积和体积公式

高三数学 刘玉国 2011年12月5日 星期一

A 级 课时对点练 一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于4

3

π，则该

圆锥的体积为 ( )

A.2281π

B.881π

C.4581π

D.1081π

解析：设圆锥的底面半径为r ，则2πr 1＝43π，∴r ＝2

3

，

∴圆锥的高h ＝ 1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫232＝53.

∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝45

81

π.

答案：C

2．(2010·杭州二次质检)如图，是一个几何 体的三视图，侧视图和正视图均为矩形， 俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何 体的侧面积为 ( )

A ．6

B ．12 3

C ．24

D ．3

解析：注意到此题的几何体是底面边长为2的正三角 形，于是侧面积为S ＝6×4＝24. 答案：C

3．(2010·德州质检)下图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点) ( )

A ．6＋3＋π

B ．18＋3＋4π

C ．18＋23＋π

D ．32＋π

解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为1的球，其中正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，故其表面积

S ＝4π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫122

＋2×

3

4

×22＋3×2×3＝18＋23＋π. 答案：C

4．(2010·淮南模拟)一个多面体的三视 图分别为正方形、等腰三角形和矩形， 如图所示．则该多面体的体积 ( )

A ．48 cm 3

B ．24 cm 3

C ．32 cm 3

D ．28 cm 3

解析：据已知三视图可知几何体为一个三棱柱，如图．

其中侧面矩形ABCD 中，AD ＝6(cm )，AB ＝4(cm )，底面等

腰三角形ADF 的底边AD 上的高为4(cm )，则其体积V ＝

1

2×4×4×6＝48(cm 3)．

答案：A

5．(2010·厦门模拟)已知某几何体的 三视图如图，其中正(主)视图中半圆

的半径为1，则该几何体的体积为 ( )

A ．24－32π

B ．24－π

3

C ．24－π

D ．24－π

2

解析：据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径

为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－1

2

×π×12×3＝

24－3π2

.

答案：A

二、填空题：

6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视 图都是边长为1的正方形，俯视图是直径

为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．

解析：由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所以

侧面积S ＝π. 答案：π

7．若球O 1、O 2表面积之比S 1S 2＝4，则它们的半径之比R 1

R 2

＝

________.

解析：∵S1＝4πR21，S2＝4πR22，∴S1

S2＝R21

R22＝4，∴

R1

R2＝2.

答案：2

8．(2010·泰安模拟)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积

为________．

解析：由三视图知该几何体是一个半圆柱，因此V＝1 2

×π×12×2＝π.

答案：π

三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)

9．已知某几何体的俯视图是如右图所

示的矩形，正视图(或称主视图)是一个

底边长为8、高为4的等腰三角形，侧

视图(或称左视图)是一个底边长为6、 高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .

解：由题设可知，几何体是一个高为4

的四棱锥，

其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其

相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，

左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形， 如右图所示．

(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝1

3×6×8×4＝64.

(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5. 左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.

故几何体的侧面面积为：

S ＝2·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12×8×5＋1

2×6×42＝40＋24 2.

10．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩

的上半部分是正四棱锥P —EFGH ，下半部分是长方体ABCD —EFGH .图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．

(1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积．

解：(1)侧视图同正视图，如图所示：

(2)该安全标识墩的体积为 V ＝V P －EFGH ＋V ABCD －EFGH ＝1

3

×402×60＋402×20 ＝64 000(cm 3)．

B 级 素能提升练

(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)

1．(2010·新课标全国卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有

棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )

A ．πa 2

B.73πa 2

C.113

πa 2 D ．5πa 2

答案：B