第73课柱锥台球的表面积和体积

第73课柱、锥、台、球的表面积和体积

一、教学目标

能运用公式求柱、锥、台、球的表面积和体积.

二、知识梳理

【回顾】

•阅读课本必修2第47页至59页，理解以下内容.

正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式及其关系；圆柱、圆锥、圆台的体积公式及其关系；柱体、锥体、台体的体积公式及其关系；球的表面积、体积公式．

三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。找出学生错误的原因，设计“问题串”，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评

题1．若圆锥的侧面积为π2，底面积为π，则该圆锥的体积为__________.

【分析与点评】本题是容易题，主要是考查圆锥侧面积公式和体积公式的正确使用．

题2．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是__________.

【分析与点评】该多面体是正四棱锥，侧棱长为1，底面正方形外接圆的半径等于

2

2

，

由侧棱、底面正方形外接圆半径及高之间关系求解.

题3．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.

【分析与点评】正方体外接球半径是正方体棱长的3倍得到球的半径求解.

变式1：棱长分别是2，3，4的长方体外接球的体积是________.

变式2：棱长都是2的正四面体的外接球的表面积为________.

题4．五棱台的上、下底面均为正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13cm，则它的侧面积为_________cm 2.

【分析与点评】先求出斜高等于12cm，再运用公式求侧面积.

3、要点归纳

（1）注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用.

（2）如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加.

（3）注意求体积的一此特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用方法.

四、范例导析

例1 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线的长为____________.

【教学处理】先将“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点”改为“沿着三棱柱的

侧面绕行一周到达A点”组织学生讨论解法，在有解决方案后，改回原题．如能

配合实物模型和细线演示一，效果更好．

【引导分析与精讲建议】

1、学生大多接触过“蚂蚁爬火柴盒”问题，先提醒学生对照条件，判断能否用同样的方法解决？

1

C 1

A

1

B

C A

B

2、“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点”与“沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A 点” 的差别是什么？如何调整方案？

3、可继续把条件“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点”变换成：“沿着三棱柱的侧面绕行十周到达A 点”和“沿着三棱柱的侧面绕行一周多（不足两周）到达C 点”让学生讨论如何调整方案．

例2 圆锥高323，侧面展开图的中心角为6π5； （1）求圆锥底面半径及母线长； （2）距离底面多高的平面截其所得圆台有内切球；

（3）求上述圆台的侧面积S 及体积V.

【教学处理】第（1）小题让学生自己解决，第（2）（3）两小题先结合轴

截面图讨论圆锥的内切球与圆台内切球的联系及圆锥内切球与圆锥的联系．

【引导分析与精讲建议】

1、圆锥母线l ，底面圆半径r 、圆锥高h 及侧面展开图的中心角θ的关系是2 π r = θ l ，且l 2 = h 2 + r 2.运用方程组知识求解.

2、圆锥是否有内切球？—→如何求圆锥的内切球半径？—→圆台的高与圆锥内切球半径的关系？

3、可以落实到平面图形（轴哉面）中，运用“图形相似”或“解直角三角形知识”求解． 例3 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．

（1）求证：BE∥平面PDF ；

（2）求证：平面PDF⊥平面PAB ；

（3）求三棱锥P ﹣DEF 的体积．

【教学处理】本题中，（1）（2）两小题属于常规题型，可由学生自

己独立完成，（3）小题属于难题，师生共同探讨完成.

【引导分析与精讲建议】

第一问：如果由线面平行证明，教师完善平面内那条“线”的寻找方法．

如果由面面平行得到，注意提醒学生书写上的注意点。面面平行只能有线面平行证

到，而不能由线线平行直接得到．

第二问：提问学生，为什么是证DF 平面PAB?可以和学生一起归纳，几乎所有的立体几何

证明题，都可以采用“优化假设法”，即假设要证明的结论是成立的，看能得到什

么。再反推要证到结论需要什么条件．

第三问：可以让学生去尝试直接法：选任何一个点作为顶点看能不能求出体积。不行再让学

生尝试，用分割法、补体法是否可行。最后得出结论．

五、解题反思

1、正棱锥、正棱台的计算问题中常利用高关系侧棱、底面多边形外接圆半径及斜高、底面多边形内切圆半径，如课前诊断2及4两题；

2、旋转体常利用轴截面分析、解决问题，如例2；

3、几何体表面路程最短问题常利用展开图中两点的直线距离求解，如例1，有时需分类讨论；

4、柱、锥、台中外接球、内切球问题关键是找到两类物体的联系元素，如长方体的体对角线是其外接球的直径，长方体不一定有内切球。求内切球半径时可考虑体积法；

5、相似几何体的表面积比、体积比与相似比的关系也是考查的热点。

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