弹性力学 总复习

x
1 2 2 1 M P M ql FS l q1lh 2 2 h 1 2 1 1 2 2 h ( x ) x 0 ydy M ql FS l q1lh M ql FS l 2 2 2 2
Fy FS ql 2h ( xy ) x l dy FS ql
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(1 )(1 2 )
E
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§2-6 边界条件
位移边界条件
(u)s u( s), (v)s v( s), 在Su上
张量形式
应力边界条件
（2 - 14）
ui S ui
on Su
(lσ x m xy ) s f x ( s ) . (2 15) （在sσ上） (mσ y l xy ) s f y ( s )
Fx 0
Fy0
σ x yx fx 0 x y σ y xy fy 0 y x
x

xy
yx

C
y

fx
xy xy x dx
x
fy
x
dy
y
张量形式
yx
y百度文库
yx dy y
x dx x
ij,i f j 0
弹性力学
《弹性力学简明教程》 第四版 徐芝纶 主讲：童中华 安徽工业大学
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§必记公式
平衡微分方程
u , x
σ f 0 x y ( 2 2) σ 0
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u v x 0 u( x, y ) f1 ( y ), y 0 v ( x, y ) f 2 ( x ) x y
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§2-5 物理方程
x 1 1 平面应力问题 y E 0 xy x 1 0 y 0 2(1 ) xy E 平面应力→平面应变 E , 2 1 1 0
x y
2
2
z
y
物体在一个方向的几何尺 寸远小于其它两个方向的 几何尺寸（等厚度薄板） 外力作用平行于板面且不 沿厚度变化
∥xy面，沿板厚不变。
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σ z 0, z

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E
( x y )
物体在一个方向的几何尺 寸远大于其它两个方向的 几何尺寸（等截面长柱体） 外力作用平行于截面且不 沿柱体长度方向变化
∥xy面，沿柱长不变。
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z 0, z ( x y )
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§2-2 平衡微分方程
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
【平面应变问题】对于无限长 柱体，外力和约束都在截面内。
平面应变问题的条件： ⑴无限长等截面柱体； ⑵体力 f x , f y 作用于体内， ∥xy面，沿柱长不变； ⑶面力 f x , f y 作用于柱面， ∥xy面，沿柱长不变； ⑷约束 u , v 作用于柱面， 水坝
( τ yx ) y h
q1
§2-7 圣维南原理及其应用
试列出图示梁右端近似边界条件 解：在CD边界上合力边界条件
Fx
h 2 h 2
A o h/2
D h/2 P l l>>h
x
N x
x x l dy N ,
Fy
h 2 h 2

xy x l
dy 0 B
( x ) x 0 dy FN ,

h 2 h 2
( xy ) x 0 dy FS ,

h 2 h 2
( x ) x 0 ydy M
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作业2-9点评
图2-18右端精确边界条件
x l 边界, (u)
O P u y
u u dx x A
x
v
P
B

v
v dx x
v
v dy y
A

u
u dy y
B
1 ij ui , j u j ,i 2
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1 ij ij , i j 2
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§2-4 几何方程 刚体位移
已知 : x y xy 0, 解： 求位移 u, v
u v v u x , y , xy x y x y
v u u, v 代入 xy 0得 必然为y x y 的函数 必然为x df1 ( y ) df 2 ( x ) 的函数 dy dx 必然等于同 f1 ( y ) u0 y , f 2 (x ) v 0 x 一个常数
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(2 24)
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§1-2 弹性力学中的几个基本概念
【体力和面力】
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
fy
x
fy
fx
y
y
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y
y
同一方程式中，各张量的自由标相同，哑标任意。 因截面位置改变引起 安徽工业大学 应力分量的变化量
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§2-4 几何方程 刚体位移
u v x , y x y v u xy x y
张量形式
假定物体由同种材料组成 → E、μ等与位置无关。
假定物体的弹性在所有各个方向上都相同 → 弹 各向同性 性参数不随方向而变 弹性参数为常数 理想弹性体
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§1-3 弹性力学中的基本假定
小变形假定 假定位移和形变是微小的
x 0边界, (u ) x 0 0 , ( v ) x 0 0
x l边界 (σ x ) x l 0, ( τ xy ) x l 0
y h (σ y ) y h
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2 2 安徽工业大学 建筑工程学院 《弹性力学》主讲：童中华 交流群： 213438710
边界, 2 0,
1 1 ij ij ij kk ij ij kk 2G E 2G 3 2G 张量形式 ij ij kk 2G ij , kk (3 2G ) kk
其中拉梅常数
张量形式
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ijni S f j on S
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§2-6 边界条件
列出图示梁的边界条件 解：
y h 2
2
边界 x , ( τ yx ) y h 0 2 l
(σ y ) y h q
y x x x y x y f y y x
几何方程
x
y
v v u , xy , (2 18) y x y
相容方程
4 0
(2 25)
(常体力)
计算x,y,xy的表达式
2 2 2 x 2 -xf x , y 2 yf y , xy y x xy
y
(l >> h, =1)
y
yx
对x=l 的小边界条件，实际上可不必校核。 安徽工业大学
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§2-9 按应力求解平面问题 相容方程
【习题】无体力情况下，试判断下列平面问题中的 应变分量或者应力分量是否可能存在。
(a ) x ( x 2 y 2 ), y y 2 , xy 2 xy; (b) x 6 x 2 y 2 , y y 4 , xy 4 xy3。
解：(a) 将应变代入相容方程，得到
x 202 2 2 y x xy
2
2 y
2 xy
因此此组应变是可能存在的应变。
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§2-9 按应力求解平面问题 相容方程
(b) x 6 x y , y y , xy 4 xy 。
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
【平面应力问题】对于等厚度 薄板，外力和约束都在面内。
平面应力问题的条件： ⑴等厚度的薄板； ⑵体力 f x , f y 作用于体内， ∥xy面，沿板厚不变； ⑶面力 f x , f y 作用于板边， ∥xy面，沿板厚不变； ⑷约束 u , v 作用于板边，
a b o
2 2 2 2 2 2 2 12 y 12 x 12 y 24 y 12 x 0 y x 2 y 2 x
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
【应力】
定义：截面上某一点处，单位 截面面积上的内力值。 符号：坐标面上的应力以正面 正向、负面负向为正。 正面：外法线为坐标轴正向。



x
z
y

yz zy
yx
z

xy
x
y

zx


xz
x
xy
4
所在面的外法线方向 z 应力分量的方向
y
图1-3
xx x
y
q
h 主要边界 , 2 (σ y ) h 0, ( τ yx ) y
y 2
2
y
h 2
0
FN M FS
x
xy
o q1
yx y
x
h/2 h/2 l
h y 2
q1
y
(l >> h, =1)
y
yx
图2-18左端近似边界条件
x 0 次要边界

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h 2 h 2
C xy
y
应力的合力矩边界条件
MP
h 2 h 2
x x l ydy N
h 2
圣维南原理意 义下的近似积 分边界条件
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作业2-9点评
图2-18精确边界条件
h y 主要边界 , 2 (σ y ) h q , ( τ yx )
a.位移<<物体尺寸； 如：梁的挠度w<<梁高h. b.应变、转角<<1； 如：梁的 ≤10－3 <<1,
<<1弧度（57.3°）. 因此：
在建立平衡条件时，仍采用变形前尺寸，忽略载荷位置 的改变； 在研究应变位移时，可忽略高阶微量。
保证几何方程和平衡微分方程简化为线性方程
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2 2 4 3
(b) 将应力代入平衡微分方程，得到
σ x yx f x 12 xy 2 12 xy 2 0 x y σ y xy f y 4 y 3 4 y 3 0 y x
因此平衡微分方程满足。考查应力相容方程
x l 次要边界,
x l
q
( v ) x l 0
图2-18右端近似边界条件 FN
h 2 h h2
x
xy
o
yx y
h/2 h/2 l
xMP
Fy
Fx FN q1l ( x ) x l dy FN q1l q1
M FS
P xy Fx
xy xy
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§1-3 弹性力学中的基本假定
连续性 完全弹性 均匀性
假定物体是连续的 → 各物理量可用连续函数表示 假定外力取消时变形恢复，无残余变形(完全弹性); 应力与应变成正比(线性弹性) →可用胡克定律