八年级数学上册角度计算中的经典模型(举一反三)(含解析版)

角度计算中的经典模型【举一反三】【模型1 双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【例1】（2019春•润州区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°．求∠A的度数．【变式1-1】（2019秋•凉州区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠A的度数．【变式1-2】（2019春•莲湖区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．【变式1-3】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？【模型2 A字模型】【结论】∠BDE+∠CED=180°+∠A【例2】（2019春•资中县月考）如图所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等于多少度？【变式2-1】（2019春•长沙县校级期中）如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【变式2-2】（2019春•盱眙县期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？Ⅰ．尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？Ⅱ．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．【变式2-3】（2019春•盐都区期中）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝50°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝°．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．（4）如图3，若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【模型3 双内角平分线模型】【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.1∠A.【结论】∠P=90°+2【例3】（2018秋•开封期中）如图，△ABC中，（1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．（2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．【变式3-1】（2018秋•徐闻县期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ． （1）如图1，已知∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数． （2）如图2，已知∠A ＝90°，求∠BOC 的度数． （3）如图1，设∠A ＝m °，求∠BOC 的度数．【变式3-2】（2019春•南岗区期末）已知在△ABC 中，∠A ＝100°，点D 在△ABC 的内部连接BD ，CD ， 且∠ABD ＝∠CBD ，∠ACD ＝∠BCD ． （1）如图1，求∠BDC 的度数；（2）如图2，延长BD 交AC 于点E ，延长CD 交AB 于点F ，若∠AED ﹣∠AFD ＝12°，求∠ACF 的度数．【变式3-3】（2019春•东阿县期末）已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC 中， ∠ABC 的角平分线BO 与∠ACB 的角平分线CO 的交点为O （1）若∠A ＝70°，求∠BOC 的度数； （2）若∠A ＝a ，求∠BOC 的度数；（3）如图2，若BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线，也就是∠OBC=31∠ABC ，∠OCB=31∠ACB ，∠A ＝a ，求∠BOC 的度数．【模型4 内外角平分线模型】【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.1∠P.【结论】∠A=2【例4】（2018秋•江岸区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E．（1）已知∠A＝60°，求∠E的度数；（2）直接写出∠A与∠E的数量关系：．【变式4-1】（2019秋•卫滨区校级期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP 交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB的度数．【变式4-2】（2019秋•莆田校级期中）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE 的平分线，且与BD交于点D；（1）若∠ABC＝60°，∠DCE＝70°，则∠D＝°；（2）若∠ABC＝70°，∠A＝80°，则∠D＝°；（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）【变式4-3】（2018秋•彭水县校级月考）如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE 的外角平分线，CD与BD交于点D．（1）若∠A＝50°，则∠D＝；（2）若∠A＝80°，则∠D＝；（3）若∠A＝130°，则∠D＝；（4）若∠D＝36°，则∠A＝；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．【模型5 双外角平分线模型】【条件】BP 、CP 分别为∠EBC 、∠BCD 的角平分线. 【结论】∠P=90°-21∠A.【例5】（2018秋•鄂伦春自治旗月考）如图，△ABC 中，分别延长△ABC 的边AB 、AC 到D 、E ，∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点P ，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： （1）若∠A ＝60°，则∠P ＝ °； （2）若∠A ＝40°，则∠P ＝ °； （3）若∠A ＝100°，则∠P ＝ °；（4）请你用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系 ．【变式5-1】（2019秋•团风县校级月考）BD 、CD 分别是△ABC 的两个外角∠CBE 、∠BCF 的平分线， 求证：∠BDC ＝90°21∠A ．【变式5-2】（2019春•雨城区校级期中）如图，BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，求∠BIC的大小；（2）若∠A＝96°，试求∠BIC；（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC和∠A的数量关系并进行证明．【变式5-3】如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P．（1）若∠A＝30°，求∠BDC，∠BPC的度数．（2）若∠A＝m°，求∠BDC，∠BPC的度数（直接写出结果，不必说明理由）（3）想一想，∠A的大小变化，对∠D+∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值．【模型6 8字模型】【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【例6】（2019春•辉县市期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【变式6-1】（2018春•新泰市期中）已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．①若∠B＝32°，∠D＝38°，求∠M的度数；②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．【变式6-2】（2018秋•南昌期中）如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，则我们把形如这 样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A +∠C ＝∠B +∠D ；（2）如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与CD 、AB 分别相交于点M 、N ． ①以线段AC 为边的“8字型”有 个，以点O 为交点的“8字型”有 个； ②若∠B ＝100°，∠C ＝120°，求∠P 的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=31∠CAB ，∠CDP=31∠CDB ”，试探究∠P 与∠B 、∠C 之间存在的数量关系，并证明理由．【变式6-3】（2018秋•青岛期末）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A +∠B ＝∠C +∠D【简单应用】（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，若∠ABC ＝20°，∠ADC ＝26°，求∠P 的度数（可直接使用问题（1）中的结论） 【问题探究】（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，猜想∠P 的度数为【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C ＝x ，∠B ＝y ，∠CAP=31∠CAB ，∠CDP=31∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为 （用x 、y 表示∠P ）（5）在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论 ． 【模型7 燕尾模型】【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【例7】（2019春•冠县期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC ＝∠A +∠B +∠C ．（2）应用：如图2，∠ABC ＝100°，∠DEF ＝130°，求∠A +∠C +∠D +∠F 的度数．【变式7-1】（2019秋•平度市期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我 们不妨把这样图形叫做“规形图”． 解决问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝°．Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．【变式7-2】（2019秋•阜阳月考）在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．如图（1）中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于多少时，我们可以连接CD，利用三角形的内角和则有∠B+∠E ＝∠ECD+∠BDC，这样∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和就转化到同一个△ACD中，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．尝试练习：图（2）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于．图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于．图（4）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数等于．【变式7-3】（2019秋•襄城区期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【模型8 筝型】【结论】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P【例8】（2019春•邳州市校级月考）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝．（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝．（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．【变式8-1】（2018春•迁安市期末）动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．观察猜想（1）如图1，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝°；若∠A＝55°，则∠1+∠2＝°；若∠A＝n°，则∠1+∠2＝°．探索证明：（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．拓展应用：（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．【变式8-2】（2019春•宿城区校级月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为：．（不需说明理由）．【变式8-3】（2019秋•南漳县校级月考）如图（1），在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝；如图（2），当点A落在△ABC外部时，那么∠2﹣∠1＝．专题02 角度计算中的经典模型【举一反三】【模型1 双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【例1】（2019春•润州区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°．求∠A的度数．【分析】首先由FD⊥AB于D，根据直角三角形两锐角互余得出∠BED+∠B＝90°，同理，由∠ACB＝90°，得出∠A+∠B＝90°，然后根据同角的余角相等得出∠A＝∠BED＝55°．【答案】解：∵FD⊥AB于D，∴∠BED+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠BED＝55°．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质以及余角的性质，比较简单．【变式1-1】（2019秋•凉州区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠A的度数．【分析】利用外角性质可求得∠C，在△ABC中利用三角形内角和定理可求得∠A．【答案】解：∵DF⊥BC，∴∠FDC＝90°，∵∠AFD＝152°，∴∠C＝∠AFD﹣∠FDC＝152°﹣90°＝62°，∵∠B＝∠C，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣62°﹣62°＝56°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角和为180°是解题的关键．【变式1-2】（2019春•莲湖区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CF A＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．【答案】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CF A＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．【变式1-3】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可；（2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可；（3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可．【答案】解：（1）∠ACD＝∠B，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）△ADE是直角三角形．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴△ADE是直角三角新；（3）∠A+∠D＝90°．∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠A+∠D＝90°．【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余．【模型2 A字模型】【结论】∠BDE+∠CED=180°+∠A【例2】（2019春•资中县月考）如图所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等于多少度？【分析】根据三角形内角和定理求出∠A+∠B，根据多边形的内角和公式求出即可．【答案】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C，∵∠C＝75°，∴∠A+∠B＝180°﹣75°＝105°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B），∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和公式，能熟记定理是解此题的关键．【变式2-1】（2019春•长沙县校级期中）如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．【答案】解：∵∠A＝40°，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝180°﹣∠A＝140°．∴∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．【点睛】此题主要是三角形内角和定理的运用．【变式2-2】（2019春•盱眙县期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？Ⅰ．尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？Ⅱ．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；【答案】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A）在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A；即∠P＝90°﹣∠A；故答案为：50°，∠P＝90°﹣∠A．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．【变式2-3】（2019春•盐都区期中）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝50°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝°．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．（4）如图3，若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．【答案】解：（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；（2）∠1+∠2＝180°+50°＝230°．故答案是：230；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；故答案是：∠1+∠2＝180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EF A折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，即∠1+∠2＝2∠A．【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．【模型3 双内角平分线模型】【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.1∠A.【结论】∠P=90°+2【例3】（2018秋•开封期中）如图，△ABC中，（1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．（2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．【分析】（1）依据点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，即可得到∠P AC＝∠BAC，∠PCA ＝∠BCA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠APC的度数．（2）依据点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，即可得到∠P AC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，进而得出∠P AC+∠PCA＝（∠P AC+∠PCA），再根据∠P＝180°﹣（∠P AC+∠PCA）进行计算即可．【答案】解：（1）∵∠B＝70°，∴∠BAC+∠BCA＝110°，∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P AC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，∴∠P AC+∠PCA＝（∠P AC+∠PCA）＝×110°＝55°，∴∠P＝180°﹣55°＝125°；（2）∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P AC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，∴∠P AC+∠PCA＝（∠P AC+∠PCA），∴∠P＝180°﹣（∠P AC+∠PCA）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解决问题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．【变式3-1】（2018秋•徐闻县期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．（1）如图1，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数．（2）如图2，已知∠A＝90°，求∠BOC的度数．（3）如图1，设∠A＝m°，求∠BOC的度数．【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可；【答案】解：（1）∵BC平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠OBC＝∠ABC＝20°，∵CO平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠OCB＝∠ACB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣20°﹣30°＝130°．（2）∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣90°＝90°，又∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝45°，∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°．（3）∵∠A＝m°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，又∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣m°，∴∠BOC＝90°+m°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-2】（2019春•南岗区期末）已知在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD．（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度数．【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BDC的度数；（2）设∠ACF＝α，则∠BCD＝α，∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD，依据三角形外角性质，即可得到∠AED ＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，再根据∠AED﹣∠AFD＝12°，即可得到α的值．【答案】解：（1）∵∠A＝100°，∴∠ABC +∠ACB ＝80°，又∵∠ABD ＝∠CBD ，∠ACD ＝∠BCD ， ∴∠CBD ＝∠ABC ，∠BCD ＝∠ACB ， ∴∠CBD +∠BCD ＝（∠ABC +∠ACB ）＝40°， ∴∠BDC ＝180°﹣40°＝140°；（2）设∠ACF ＝α，则∠BCD ＝α， ∵∠BDC ＝140°，∴∠CBD ＝40°﹣α＝∠ABD ，∵∠AED 是△DCE 的外角，∠AFD 是△BDF 的外角， ∴∠AED ＝∠ACF +∠CDF ，∠AFD ＝∠ABE +∠BDF ，∴∠AED ﹣∠AFD ＝∠ACF +∠CDF ﹣∠ABE ﹣∠BDE ＝α﹣（40°﹣α）＝12°， 解得α＝26°， ∴∠ACF ＝26°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．【变式3-3】（2019春•东阿县期末）已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC 中， ∠ABC 的角平分线BO 与∠ACB 的角平分线CO 的交点为O （1）若∠A ＝70°，求∠BOC 的度数； （2）若∠A ＝a ，求∠BOC 的度数；（3）如图2，若BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线，也就是∠OBC=31∠ABC ，∠OCB=31∠ACB ，∠A ＝a ，求∠BOC 的度数．【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC +∠ACB ，根据角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB ，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；（3）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可．【答案】解：（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°；（2）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣）＝90°+；（3）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝60°﹣，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣）＝120°+．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，能求出∠OBC+∠OCB是解此题的关键，求解过程类似．【模型4 内外角平分线模型】【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.1∠P.【结论】∠A=2【例4】（2018秋•江岸区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E．（1）已知∠A＝60°，求∠E的度数；（2）直接写出∠A与∠E的数量关系：．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，根据三角形的外角的性质计算；（2）仿照（1）的计算过程证明．【答案】解：（1）∵CE、BE分别平分∠ACD、∠ABC，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝30°；（2）由（1）得，∠E＝∠A，∴∠A＝2∠E故答案为：∠A＝2∠E．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【变式4-1】（2019秋•卫滨区校级期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB的度数．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠PCD＝∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，然后整理得到∠PCD＝40°+∠ABC，再代入数据计算即可得解．【答案】解：在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC+40°，∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，即∠CAB＝80°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并求出∠PCD＝40°+∠ABC是解题的关键．【变式4-2】（2019秋•莆田校级期中）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE 的平分线，且与BD交于点D；（1）若∠ABC＝60°，∠DCE＝70°，则∠D＝°；（2）若∠ABC＝70°，∠A＝80°，则∠D＝°；（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；（2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；（3）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D、∠A的等式，推出∠D＝∠A，即可求得结论．【答案】解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∵∠DCE＝70°，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝70°﹣30°＝40°；（2）∵∠ABC＝70°，∠A＝80°，∴∠ACE＝150°∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∠DCE＝∠ACE＝75°，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝75°﹣35°＝40°；（3）不变化，理由：∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∴∠D＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠A+∠ABC）﹣∠ABC＝∠A．故答案为40；40．【点睛】此题考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质的综合运用，解此题的关键是求出∠D＝∠A．【变式4-3】（2018秋•彭水县校级月考）如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE 的外角平分线，CD与BD交于点D．（1）若∠A＝50°，则∠D＝；（2）若∠A＝80°，则∠D＝；（3）若∠A＝130°，则∠D＝；（4）若∠D＝36°，则∠A＝；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．【分析】先根据角平分线定义得到∠ACE＝2∠2，∠ABC＝2∠1，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠ABC+∠A，则2∠2＝2∠1+∠A，接着再根据三角形外角性质得∠2＝∠1+∠D，易得∠A＝2∠D，即∠D ＝∠A，然后利用此结论分别解决（1）、（2）、（3）（4）（5）．【答案】解：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，∴∠ACE＝2∠2，∠ABC＝2∠1，∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∴2∠2＝2∠1+∠A，而∠2＝∠1+∠D，∴2∠2＝2∠1+2∠D，∴∠A＝2∠D，即∠D＝∠A，（1）当若∠A＝50°，则∠D＝25°；（2）若∠A＝80°，则∠D＝40°；（3）若∠A＝130°，则∠D＝65°．（4）若∠D＝36°，则∠A＝72°，故答案为25°，40°，65°，72°；（5）综上所述，∠D＝∠A；【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．也考查了三角形外角性质．【模型5 双外角平分线模型】【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线.1∠A.【结论】∠P=90°-2【例5】（2018秋•鄂伦春自治旗月考）如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD 与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：（1）若∠A＝60°，则∠P＝°；（2）若∠A＝40°，则∠P＝°；（3）若∠A＝100°，则∠P＝°；（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系．【分析】（1）若∠A＝60°，则有∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC+∠BCE＝360°﹣120°＝240°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数．（2）（3）和（1）的解题步骤相似．（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP ＝（∠A +∠ABC ），∠CBP ＝（∠A +∠ACB ）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A 与∠P 的关系．【答案】解：（1）∵∠A ＝60°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣60°＝120°，∠DBC +∠BCE ＝360°﹣120°＝240°，又∵∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点P ，∴∠PBC ＝∠DBC ，∠PCB ＝∠BCE ，∴∠PBC +∠PCB ＝（∠DBC +∠ECB ）＝120°，∴∠P ＝60°．同理得：（2）70°；（3）40°（4）∠P ＝90°﹣∠A ．理由如下：∵BP 平分∠DBC ，CP 平分∠BCE ，∴∠DBC ＝2∠CBP ，∠BCE ＝2∠BCP又∵∠DBC ＝∠A +∠ACB ∠BCE ＝∠A +∠ABC ，∴2∠CBP ＝∠A +∠ACB ，2∠BCP ＝∠A +∠ABC ，∴2∠CBP +2∠BCP ＝∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ＝180°+∠A ，∴∠CBP +∠BCP ＝90°+∠A又∵∠CBP +∠BCP +∠P ＝180°，∴∠P ＝90°﹣∠A ．故答案为：60，70，40，90°﹣∠A ．【点睛】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．【变式5-1】（2019秋•团风县校级月考）BD 、CD 分别是△ABC 的两个外角∠CBE 、∠BCF 的平分线， 求证：∠BDC ＝90°21∠A ．【分析】先根据BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠DBC＝∠EBC，∠BCD＝∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，故∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，根据在△DBC中∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）即可得出结论．【答案】证明：∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线∴∠DBC＝∠EBC，∠BCD＝∠BCF，∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A∴∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．【变式5-2】（2019春•雨城区校级期中）如图，BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，求∠BIC的大小；（2）若∠A＝96°，试求∠BIC；（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC和∠A的数量关系并进行证明．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，求出∠IBC+∠ICB的值，即可解决问题．（2）先根据∠A＝96°，得出∠1+∠2＝84°，再运用（1）中的方法即可解决问题．（3）证明思路方法即（2）中的方法．【答案】解：（1）如图所示，∵∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，∴∠DBC＝140°，∠ECB＝144°，又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，∴∠3＝∠DBC＝70°，∠4＝∠ECB＝72°，∴△BCI中，∠I＝180°﹣70°﹣72°＝38°；（2）∵∠A＝96°，∴∠1+∠2＝84°，∴∠DBC+∠ECB＝276°，又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，∴∠3+∠4＝（∠DBC+∠ECB）＝×276°＝138°，∴△BCI中，∠I＝180°﹣138°＝42°；（3）∠BIC＝90°﹣∠A．证明：△ABC中，∠1+∠2＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，∴∠3+∠4＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，∴△BCI中，∠I＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义的运用；解题的关键是灵活运用三角形内角和为180°．【变式5-3】如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P．（1）若∠A＝30°，求∠BDC，∠BPC的度数．（2）若∠A＝m°，求∠BDC，∠BPC的度数（直接写出结果，不必说明理由）（3）想一想，∠A的大小变化，对∠D+∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值．【分析】（1）通过角的平行线的定义以及三角形的内角和可得出∠CBD+∠BCD＝75°，再利用三角形的内角和为180°即可得出∠BDC的度数，同理可求出∠BPC的度数；（2）根据（1）的求角过程将30换成m，即可得出结论；（3）由（2）的结论，将两角相加即可得出结论．【答案】解：（1）∵BD，CD是内角平分线，∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∴∠CBD+∠BCD＝75°．又∵∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，∴∠BDC＝105°．∵∠CBE+∠BCF＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝210°，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，∴∠CBP+∠BCP＝（∠CBE+∠BCF）＝105°，∵∠BPC+∠CBP+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝75°．（2）根据（1）的求角过程可知：∠BDC＝90°+°，∠BPC＝90°﹣°．（3）∵∠D+∠P＝90°+°+90°﹣°＝180°为定值，∴∠A的大小变化，对∠D+∠P的值无影响．【点睛】本题考查了三角形外角性质、三角形内角和定义以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理是关键．【模型6 8字模型】【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【例6】（2019春•辉县市期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【答案】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．由∠D+∠1+∠2＝∠B+∠3+∠4①由∠ONC＝∠B+∠4＝∠P+∠2，②①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1，。