中考专题复习怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题

中考专题复习——怎样证明面积问题以及用面积法解几何

问题

（一）证明面积问题常用的理论依据

1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

（二）证明面积问题常用的证题思路和方法

1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4. 还可以利用面积解决其它问题。

【典型例题】

（一）怎样证明面积问题

1. 分解法

例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。

分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等

③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可

由S△CFE＝S△CFB

故可得出S△AEF＝S△ABC

证明：∵AD//BE//CF

∴△ADB和△ADE同底等高

∴S△ADB＝S△ADE

同理可证：S△ADC＝S△ADF

∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF

又∵S△CEF＝S△CBF

∴S△ABC＝S△AEF

∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC

∴S△DEF＝2S△ABC

2. 作平行线法

例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点

分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h

证明：过M作MN//AB

∵M为腰BC的中点

∴MN是梯形的中位线

设梯形的高为h

（二）用面积法解几何问题

有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：性质1：等底等高的三角形面积相等

性质2：同底等高的三角形面积相等

性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半

性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比

性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比

1. 证线段之积相等

例3. 设AD、BE和CF是△ABC的三条高，求证：AD·BC＝BE·AC＝CF·AB

分析：从结论可看出，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。

证明：∵AD、BE、CF是△ABC的三条高

2. 证等积问题

例4. 过平行四边形ABCD的顶点A引直线，和BC、DC或其延长线分别交于E、F，求证：S△ABF＝S△ADE

分析：因为AB//DF，所以△ABF与△ABC是同底AB和等高的两个三角形，所以这两个三角形的面积相等。

证明：连结AC

∵CF//AB

又∵CE//AD

3. 证线段之和

例5. 已知△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，求证：PE+PF＝BH

分析：已知有垂线，就可看作三角形的高，连结AP，则

故PE+PF＝BH

证明：连结AP，则

∵AB＝AC，PE⊥AB，PF⊥AC

又∵BH⊥AC

∴PE+PF＝BH

4. 证角平分线

例6. 在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点F、E，使AE＝CF，连AE、CF 交于P，求证：BP平分∠APC。

分析：要证BP平分∠APC，我们可以考虑，只要能证出B点到PA、PC的距离相等即可，也就是△ABE和△BFC的高相等即可，又由已知AE＝FC可联想到三角形的面积，因此只要证出S△ABE＝S△BCF即可

由平行四边形ABCD可得S△ABE＝S△ABC，S△BFC＝S△ABC

所以S△ABE＝S△BFC，因此问题便得解。

证明：连结AC、BE、BF

∵四边形ABCD是平行四边形

∴S△ABE＝S△ABC

S△BFC＝S△ABC

∴S△ABE＝S△BFC

又∵AE＝CF

而△ABE和△BFC的底分别是AE、CF

∴△ABE和△BFC的高也相等

即B到PA、PC的距离相等

∴B点在∠APC的平分线上

∴PB平分∠APC

【模拟试题】（答题时间：25分钟）

1. 在平行四边形ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结AF、AE，求证：S△ABE ＝S△ADF

2. 在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点，求证：

3. Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a、b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证：

4. 已知：E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点，G、H为边DC的三等分点，求证：

5. 在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且，CD和BE交于G，求△ABC 和四边形ADGE的面积比。

【试题答案】

1. 证明：连结AC，则

又∵E、F分别为BC、CD的中点

2. 证明：过M作MN//DC//AB

∵M为腰BC上的中点

∴△DCM和△ABM的高相等，设为h1

又∵△DMN与△AMN的高也为h1

∵MN为梯形的中位线

∴

3. 证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB

∴两边同时除以得：