用面积法求解几何问题

人教版 初中
解决几何问题有很多方法，在这些方法中很容易被大家忽略的是面积法. 面积法既能解决题目中直接涉及面积的问题，也可解决一些题目中不涉及面积的问题. 在平时的学习、解题过程中，如果有意识的使用面积法.，可以使有些几何图形性质的证明、几何问题的解决等起到事半功倍的作用.
对有些几何题，如果单纯用图形的几何性质、全等三角形或相似三角形等知识来解答，会使计算或证明过程很复杂，而用面积法却可以轻松得到解决.下面举例说明.
例1 如图1，E 、F 分别为□ABCD 的边CD 、AD 上的点，且AE=CF ，设AE 、CF 交于P ，求证：BP 平分∠APC .
证明 连BE 、BF ，
∵AE=CF ，
∴ 三角形ABE 的面积等于三角形FBC 的面积
即ABE FBC S S ∆∆=
∴ 点B 到AE 、FC 的距离相等.
即点B 到∠APC 的两边P A 、PC 的距离相等，
∴ BP 平分∠APC .
例2 如图2，已知：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线.
求证：AB BD AC CD
=. 分析 由于AD 是∠A 的平分线，且在△ABD 与△ADC 中，BD 、DC 边上的高相等，因此可利用三角形面积公式来证明.
证明 设△ABC 中BC 边上的高为h ，则
12
ABD S BD h ∆=⋅， 12
ACD S CD h ∆=⋅. 又 过D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则
12
ABD S AB DE ∆=⋅， 12
ACD S AC DF ∆=⋅. 于是 11221122
ABD ADC BD h AB DE S S CD h AC DF ∆∆⋅⋅==⋅⋅. ∵ ∠1=∠2， ∴ DE =DF . 故 AB BD AC CD
=. .1. 例3 如图3，P 为△ABC 内任意一点，连AP 、BP 、CP 并分别延长交对边
于D 、E 、F ，求证：1PD PE PF AD BE CF
++=. 分析 本题应用了线段的比转化为面积的比来解决.
证明 设P 到BC 、CA 、AB 三边的距离分别为x y z 、、，三边上的高为a b c h h h 、、.
显然有BPC a ABC S PD x AD h S ∆∆==， APC b ABC
S PE y BE h S ∆∆==， APB c ABC
S PF z FC h S ∆∆== 三式相加得1PD PE PF AD BE CF
++=. 例4 如图4，矩形ABCD 中，,,AB a BC b ==M 是BC 的中点，DE AM ⊥ 于E . 求证：224DE a b =+证明 连DM ，
∵ M 是BC 的中点， ∴1=22AMD ABCD ab S S ∆=矩形，12
AMD S AM DE ∆=⋅ ∴ AM DE ab ⋅=
又22142AM a b =+ ∴ 224DE a b
=+ 例 5 如图5，E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 、CD 上，若3,4,5,CEF ABE ADF S S S ∆∆∆===则AEF S ∆= .
解析 连AC ，设ACF S x ∆=，ACE S y ∆=. 则
45y x +=+ ∴ 1y x =+ ①
又 5,3x CD y AB x CF CF +==， ∴ 53
x y x += ② 由①、②联立方程组 解得 5, 6.x y ==
∴ 35638.AEF S x y ∆=+-=+-=
例5 如图6，梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O . 设梯 .2. 形ABCD 的面积为S ，△AOD 的面积为1S ，△AOD 的面积为2S ，△AOD 的面积为3S 12S S 、230x Sx S +=的两根.
分析 利用面积之比可以转化为线段之比的办法，可以解决这一问题. 证明 ∵ 1233,.S S DO OC S OB S AO
== ∴1223.S S DO OC S OB AO
⋅⋅=⋅ ∵//AD BC ， ∴
DO AO OB OC =. ∴122
31S S S ⋅= ,123.S S S = ① 又∵ 1232S S S S =++ 12122S S S S =++
212()S S =，
∴12S S S = ② 12S S 、230x Sx S +=的两根.
以上几个例子，若用其它方法解答，其过程要繁琐得多.像这样的问题还很多，如果在学习过程中有意采用面积法，既能提高学习、解题效率，又能提高分析问题、解决问题的能力，实现解题能力的全面提高.
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