等腰三角形一对一辅导讲义
等腰三角形讲义1
等腰三角形一、目标认知学习目标：通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法重点：等腰三角形的性质与判定。
难点：比较复杂图形、题目的推理证明二、知识要点梳理知识点一：等腰三角形、腰、底边有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．知识点二：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2、这两个性质证明如下：在△ABC中，AB=AC，如图所示．作底边BC的高AD，则有∴Rt△ABD≌Rt△ACD．∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．于是性质1、性质2均得证．3、说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD；或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．知识点三：等腰三角形的判定定理1、定理内容及证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则所以△ABD≌△ACD（AAS）．所以，AB=AC．2、注意：①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．知识点四：等边三角形1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形如图所示．2、注意：①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．知识点五：等边三角形的性质1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°．注意：这条性质只有等边三角形具有．知识点六：等边三角形的判定1、等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2、证明如下：(1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．于是判定（1）成立．(2)如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形；若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形。
(同步复习精讲辅导)八年级数学上册 等腰三角形讲义 (新版)苏科版
等腰三角形重难点易错点解析题面：下列说法正确的是( )A.两腰相等的三角形是等腰三角形B.等腰三角形的中线、高、角分线三线合一C.“等边对等角”和 “等角对等边”都是等腰三角形的性质D.等腰三角形的外角中一定有钝角等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一等腰三角形的判定：等角对等边金题精讲题一题面：已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．CBD题二题面：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三角形三个内角的度数．题三题面：已知：如图，AB =AC ，CE ⊥BC ，BD ⊥BC .过点A 的直线DE 交BD 于D ，交CE 于E . 求证：AD =AE .B题四题面：如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ．B C思维拓展题面：如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB ＝15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根． HOB讲义参考答案重难点易错点解析答案：D金题精讲题一答案：略题二答案：30°，75°，75°或150°，15°，15°题三答案：略题四答案：略思维拓展答案：5。
等腰三角形复习公开课课件
2023
PART 02
等腰三角形周长与面积计 算
REPORTING
周长计算公式
等腰三角形周长的计算公式为：周长 = 2 × 腰长 + 底边长。
若仅知道等腰三角形的一条腰长和底 边长，以及一个角度（如顶角或底 角），则需要通过三角函数计算出另 一条腰长，再套用周长公式。
在已知等腰三角形两条腰长和底边长 的情况下，可以直接套用此公式计算 周长。
工程测量应用
角度测量
等腰三角形可用于工程测量中的角度测量，通过观测和计算等腰三角形的顶角 和底角，可以推算出其他相关角度。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况下，可以利用等腰三角形的性质，通过测量 其他相关距离间接求得目标距离。
其他领域应用
航海与航空
在航海和航空领域，等腰三角形可用于定位和导航，如通过观测两个已知位置的夹 角来确定自身位置。
解析
设腰长为x，底边长为y，根据题意列 方程组求解，注意分两种情况讨论。
填空题选讲
题目一
等腰三角形的一个外角等于100°， 则它的顶角等于____。
解析
外角与相邻内角互补，故内角为 80°，若80°为顶角则不合题意， 故80°为底角，顶角为180°2×80°=20°。
题目二
已知等腰三角形的周长为21cm， 若有一边长为9cm，则其他两边 长为____。
2023
PART 03
等腰三角形在生活中的应 用
REPORTING
建筑领域应用
建筑设计
等腰三角形在建筑设计中经常出现，如尖顶建筑、拱门等，其 对称性和稳定性为建筑物增添了美感和结构强度。
结构工程
在桥梁、塔楼等建筑结构中，等腰三角形可用于构建稳定的支 撑结构，如斜拉桥的主塔和拉索构成的等腰三角形。
初二等腰三角形讲义
（2） 3、 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，求证 AD 垂直平分 EF
（3）
7
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等腰三角形有时作为隐含的挑拣出现在题目中，需要我们能够识别出来，下面列出五种常见的情形： ①
OC 为∠AOB 的平分线，CD//OB 于 AO 于点 D，则△ODC 是等腰三角形。 想一想：为什么？
∠1= 练习：如图，在下列三角形中若 AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 A A A A 45 ° 36° 90° 108° C B C B C B 。
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例 2．如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD•将这个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这个 三角形的腰长及底边长． 【分析】要分 AB+AD=15，CD+BC=6 和 AB+AD=6，CD+BC=15 两种情况讨论．
（1）
（2）
2
2．如图 2，一个顶角为 40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．
3.等腰△ABC 的底边 BC=8cm，腰长 AB=5cm，一动点 P 在底边上从点 B 开始向点 C 以 0.25cm/秒的速度运动，当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时，点 P•运动的时间应为________．
动手操作： 拿出一张类似于如图（1）的矩形纸张，按照虚线对折如图（2） ，按（3）中的线段剪开，得到图形（4） ，DE、DF 分别是边 AC、BC 上的高线，观察 DF 与 DE 的关系，并给予证明。
（1）
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八年级数学暑假班讲义(教师版) 第5讲 等腰三角形 - 提高班
第5讲等腰三角形1 等腰三角形一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【例题精选】例1 （2019秋•卢龙县期末）已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（）A．2B．3C．2或3D．不能确定【分析】已知等腰三角形有一条边长为2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰长为2时，底边长为8﹣2×2＝4，三角形的三边长为2，2，4，不能构成三角形；当底边长为2时，腰长为（8﹣2）÷2＝3，三角形的三边长为3，3，2，能构成三角形；所以等腰三角形的腰长为3．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．例2（2019秋•崇川区期末）若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为（）A．21B．22或27C．27D．21或27【分析】根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，分别计算即可．【解答】解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，周长＝11+11+5＝27；②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，∵5+5＝10＜11，∴不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为27．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．【随堂练习】1．（2019秋•青龙县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN 交AC于点D，连接BD，∠A＝45°，则∠DBC的度数为（）A．22.5°B．25°C．27.5°D．30°【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝67.5°﹣45°＝22.5°；故选：A．2．（2019秋•富阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，DE是AC边的垂直平分线，则∠BAE的度数为（）A．60°B．50°C．45°D．40°【解答】解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，，又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝x°，∴∠AEB＝2∠C＝2x°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠CAE＝（180﹣3x）°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝180﹣3x+x＝（180﹣2x）°，∵∠BAC＝100°，∴180﹣2x＝100，解得：x＝40，∴∠BAE＝∠BAE﹣∠CAE＝60°．故选：A．3．（2020•和平区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB＝13．AD＝12．则BC的长为_______．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝13，AD是角平分线，AD＝12，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+122＝132，解得BD＝5，∴BC＝10．故答案为：10．2等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【例题精选】例1（2018秋•渝北区期末）若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例2（2018秋•泉州期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射线BC 上取一点D，使得△ABD为等腰三角形，这样的等腰三角形有几个？（）A．2个B．3个C．4 个D．5个【分析】分三种情况讨论：①如图1，当AB＝AD时；如图2，当AB＝BD时；如图3，当AB为底时，AD＝BD．【解答】解：①如图1，当AB＝AD时，得△ABD的等腰三角形．②如图2，。
北京金雨教育教师1对1等腰三角形y
《等腰三角形》◆考点聚焦： 1．等腰三角形的判定与性质．2．等边三角形的判定与性质．3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．◆备考方法： 1．运用三角形不等关系，•结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题．◆识记巩固 1．等腰三角形的性质定理及推论：____________________________．2．等腰三角形的判定定理及推论：____________________________．识记巩固参考答案:1．等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；•等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）；等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60°. 2．如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．•三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.◆经典例题：例1 （安徽）已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；图1（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．例2如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点．①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，•DF•⊥AC；③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③②；②③①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．◆中考热身1．（辽宁沈阳）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°2．（四川凉山）等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个角，则这个等腰三角形的周长是______．3．（新疆乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，•并写下了四个等式：①AB=DC，②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．•要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）已知：求证：△AED是等腰三角形．证明：4．（四川内江）如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD=BE ，•∠BAD=•∠BCE ，AD 与CE 相交于点F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由．◆迎考精练：一、基础过关训练1．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．65 B ．95 C ．125 D ．165(第1题) (第2题) (第3题)2．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，•沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是______．3．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻2008次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2008的位置，则点P 2008的横坐标为_______．4．如图，△ABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到△DBC ，请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由．二、能力提升训练5．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，•再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则a n =__________（用含n 的代数式表示）．所剪次数1 2 34… n正三角形个数 4 7 10 13 … a n6．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC•和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．•以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中恒成立的有______（把你认为正确的序号都填上）．7．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图），他们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要证正”．（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．8．如图，已知AB=AC．（1）若CE=BD，求证：GE=GD；（2）若CE=mBD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）9．如图，E，F分别是等腰△ABC的腰AB，AC的中点．（1）用尺规在BC边上求作一点M，使四边形AEMF为菱形；（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=5cm，BC=8cm，求菱形AEMF的面积．10．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，• 点E是AB的中点，连结EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．11．在平面直角坐标系中：（1）若A点坐标为（1，1），在坐标轴上找一点P，使△POA为等腰三角形，这样的P•点有多少个？（2）若A点坐标为（2，1），在y轴上找一点，使△POA为等腰三角形，这样的P•点有多少个？（3）若A点坐标为（2，1），在坐标轴上是否存在P点，使△POA为等腰三角形？若存在，请写出符合条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由．《等腰三角形》（答案）◆经典例题：例1 （2008，安徽）已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．解析（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又OB=OC．∴Rt△OEB≌Rt△OFC．∴∠B=∠C．∴AC=AB．（2）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足．由题意知，OE=OF．在Rt△OEB和Rt△OFC中，OE=OF，OB=OC．∴Rt△OEB≌Rt△OFE．∴∠OBE=∠OCF．又OB=OC．∴∠OBC=∠OCB．∴∠ABC=∠ACB．∴AC=AB．（3）不一定成立．当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC，否则AB≠AC，•如示例图．成立不成立点拨本例从O点的特殊位置（BC边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点探究一般位置（点O在△ABC内，点O在三角形外）下图形的性质有何变化，•培养同学们从不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力．例2如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点．①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，•DF•⊥AC；③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③②；②③①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．解析（1）①②⇒③正确；①③⇒②错误；②③⇒①正确．（2）先证①②⇒③，如图1．∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，∠AED=∠AFD=90°．在Rt △AED 和Rt △AFD 中，,,DE DF AD AD =⎧⎨=⎩∴△AED ≌△AFD （HL ）．∴AE=AF ．∴△AEF 是等腰三角形，∴AD ⊥EF ．再证②③⇒①．图1 图2 图3 方法一：如图2，DE ⊥AB ，EF ⊥AD ，DF ⊥AC ．易证△DEH ∽△DAE ，△DFH ∽△DAF ． ∴,DE DH DH DFAD DE DF AD==，∴DE 2=AD·DH ，DF 2=DH·AD ． ∴DE 2=DF 2，∴DE=DF ，∴AD 平分∠BAC ．方法二：如图3，取AD 的中点O ，连结EO ，FO ． ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴OE ，OF 分别是Rt △ADE ，Rt △ADF 斜边上的中线．∴OE=12AD ，OF=12AD ． 即O 点到A ，E ，D ，F 的距离相等．∴A ，E ，D ，F 四点在以O 为圆心，12AD 为半径的圆上，AD 是直径，EF 是⊙O 的弦，而EF•⊥AD ，∴AD 平分 EDF，即 ED DF =． ∴∠DAE=∠DAF ，即AD 平分∠BAC ． 点评 本题是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）八年级上第111•页拓广探索题的变式与拓展，该例在教材中多次以不同形式出现，八年级（上）（人教版）第150页第13题，第158页第11题．因此，•在九年级的学习过程中一定要重视教材中的典型例题，习题，想一想这些题还可以进行怎样的变式，•与前后的知识与方法有什么联系，还可以得到什么结论等．这样可以不断提高自己的综合解题能力． ◆强化训练答案：中考热身1．D 2．7或8 3．略4．解：△AFC 是等腰三角形． 证明：∵BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，∠B=∠B ， ∴△ABD ≌△CBE （AAS ）． ∴AB=AC ，∴∠BAC=∠BCA ．∴∠CAF=∠ACF ．∴△AFC 是等腰三角形．迎考精练：基础过关训练1．C 2．125° 3．2008 4．解：ABDC 是菱形． ∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=AC ． 又△ABC ≌△DBC ，∴BD=AB ，DC=AC ， ∴AB=BD=DC=AC ，∴四边形ABDC 是菱形．能力提升训练5．3n+1 6．①②③⑤ 7（1）BC 的中垂线不一定经过A 点 （2）略8．（1）证明：方法一，如图1，过D 点作DM ∥AE 交BC 于点M ．∴∠1=∠ACB ，∠3=∠2．∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ．∴∠B=∠1，∴BD=DM ．又∵CE=BD ，∴CE=DM ．在△DMG 和△ECG 中，23,,,DGB CGE DM CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DMG ≌△ECG （AAS ）．∴GE=GD ．图1 图2方法二，如图2，过点E 作EN ∥AB 交BC 的延长线于点N ． ∴∠B=∠B ． 又AB=AC ，∴∠B=∠1，∠1=∠2．∴∠B=∠2=∠N ，∴CE=NE ．又∵BD=CE ，∴NE=BD ．在△BDG 和△NEG 中，,,,N B DGB EGN NE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDG ≌△NEG ，∴DG=GE ．（2）GE 与GD 的关系是：GE=mGD ． 9．解：（1）如图．（2）由（1）知：M 是BC 的中点．∵AB=AC ，∴AM ⊥BC ． ∵AB=5cm ，BC=8cm ， ∴EF=4cm ，BM=4cm ． AM=222254AB BM -=-=3．∴S 菱形AEMF =12×3×4=6（cm 2）． 10．（1）证明：∵DC=AC ，CF 平分∠ACB ，∴F 是AD 的中点． 又∵E 是AB 的中点，∴EF ∥BC ．（2）解：设△ABD 的面积为S ． 由（1）知EF=12BD ，△AEF ∽△ABD ．∴6S S -=（12）2，∴S=8． ∴△ABD 的面积为8． 11．解：（1）8个．（2）4个．（3）存在．有8个．它们是P 1（5，0），P 2（-5，0），P 3（4，0），P 4（0，2）•，P 5（0，5）， P 6（0，-5），P 7（0，52），P （54，0）。
2.3.2 等腰三角形的判定
教育一对一辅导教案学生姓名性别年级八年级学科数学授课教师上课时间2016年月日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题第2课时等腰三角形的判定一、等腰三角形的判定1.定义:有相等的三角形是等腰三角形.2.判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).二、等边三角形的判定方法1.三个角都是的三角形是等边三角形.2.有一个角是的三角形是等边三角形.探究一:等腰三角形的判定【例1】如图所示,∠1=∠2,BD=CD,求证:△ABC是等腰三角形.【导学探究】1.要证△ABC是等腰三角形,只需证∠ABC=∠.2.由已知BD=CD,得∠DBC=.要证一个三角形为等腰三角形,可以直接证明两边相等,也可以证明两角相等.变式训练1-1:如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是.变式训练1-2:如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证:DC=AB.探究二:等边三角形的判定【例2】在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.【导学探究】1.由AD=DC知,△ADC是三角形.2.由DC=DB可知,∠ADC=2=60°.判定等边三角形可以从以下几个角度入手.(1)从边入手:有三条边相等的三角形是等边三角形;(2)从角入手:三个内角都相等或有两个角等于60°的三角形是等边三角形;(3)从边及角入手:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.变式训练2-1:给出几种三角形:①有两个角为60°的三角形;②三个外角都相等的三角形;③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形;④有一个角为60°的等腰三角形.其中是等边三角形的有()(A)4种(B)3种(C)2种(D)1种变式训练2-2:(2013宜昌改编)如图,点E,F分别是锐角∠A两边上的点,AE=AF,分别以点E,F为圆心,以AE的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接DE,DF,EF,若AE=8厘米,∠A=60°,求:(1)线段EF的长; (2)∠D的度数.1.如图所示,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3 cm,则CD等于()(A)3 cm (B)4 cm (C)1.5 cm (D)2 cm2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有()(A)5个(B)4个(C)3个 (D)2个3.如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE,当点B的对应点D 恰好落在BC边上时,则CD的长为.4.已知:如图,已知AE∥BC,AE平分∠DAC. 求证:AB=AC.5.已知:如图所示,在△ABC中,∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E,求证:△ACE是等边三角形.1.如图,△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于F,经过F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为()(A)9 (B)8 (C)7 (D)62.(2013河北)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N与灯塔P的距离为()(A)40海里(B)60海里(C)70海里(D)80海里3.如图,下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()(A)①②③(B)①②④(C)②③④(D)①③④4.如图所示,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;④BF=CF.其中正确的有()(A)①②③(B)①②③④(C)①② (D)①5.△ABC中,∠C=∠B,D、E分别是AB、AC上的点,AE=2 cm,且DE∥BC,则AD=.6.上午8时,一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行,12时到达B处,测得∠NAC=32°,∠ABC=116°.则从B处到灯塔C的距离为.7.已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD,连接DE,若BD=2,则DE=.8.如图,是两块完全一样的含30°角的三角板,分别记作△ABC与△A'B'C',现将两块三角板重叠在一起,设较长直角边的中点为M,绕中点M转动上面的三角板ABC,使其直角顶点C恰好落在三角板A'B'C'的斜边A'B'上,当∠A=30°,AC=10时,两直角顶点C,C'间的距离是.。
等腰三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)(解析版)
专题17等腰三角形的核心知识点精讲1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定考点2：等边三角形的性质与判定性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定 1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高性质 1.三条边相等2.三个内角相等，且每个内角都等于60°3.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个角相等的三角形是等边三角形3.有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h 是任意边上的高考点3：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1.分别以点A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；2.作直线CD ，CD 为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（）A ．25B ．22C ．19D ．18【答案】C 【解答】解：由题意可得，MN 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ，∵△ABD 的周长是AB +BD +AD ，∴AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，∵AB ＝7，AC ＝12，∴AB +AC ＝19，∴△ABD 的周长是19，故选：C ．1.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°【答案】C【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，故选：C．2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解答】解：由题意得，解得，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：D．3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CD＝ED，理由见解析．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交B C的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△B OC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC故选：C．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是1+．【答案】1+．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝＝，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝AB＝1，∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．故答案为：1+．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．【答案】13．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案为：13．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为55度．【答案】55．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形，∵分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝55°．故答案为：55．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若A B＝4，则DC的长是4．【答案】4．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4，故答案为：4．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是40°．【答案】40°．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或12【答案】C【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°【答案】D【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的一条中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，故选：D．3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处B．AB，AC两边高线的交点处C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处【答案】D【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等，∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．故选：D．4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝3．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，同理可证得DF＝FC，∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20，即△AEF的周长为20，故选：C．6．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AC＝10．∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，故选：C．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则B C长为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解答】解：如图所示，连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠B＝∠EAB，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠C，∴EA＝EC，∴EC＝EB，∴BC＝BE+CE＝2BE＝6，故选：B．8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°，∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∴∠BAE+∠FAC＝40°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°，故选：B．9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，∴∠PBC＝30°，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠E＝30°，∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，故选：C．二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC的度数是18度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线∴AE＝BE∵∠C＝90°，∠A＝36°∴∠EBA＝∠A＝36°∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为．【答案】．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，∵CD＝CD，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BC＝CE＝4，BD＝DE，又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE，∵AC＝7，BC＝4，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴BE＝AE＝3，∴BD＝BE＝，故答案为：．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝30°．【答案】30．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；故答案为30．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为2．【答案】2．【解答】解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，＝S△ABP+S△ACP，则S△ABC即AB•CD＝AB•PE+AC•PF，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴CD＝PE+PF，∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，∴，∴，∴，故答案为：．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．【答案】．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DB＝DA＝5，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4，在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，∴AC＝＝＝3，＝×5×3＝．∴S△ABD故答案为：．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝4，∴DE＝．故答案为：2．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CD E的度数．【答案】30°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵D是边AC的中点，∴，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC，∴∠E＝30°，∵∠BCD＝60°，∴∠CDE＝∠BCD﹣∠E＝30°．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．【答案】（1）见解析；（2）60cm．【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中，，∴△CMP≌△CNP（SSS），∴∠MPB＝∠NPB，∵PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∴PB⊥MN，BM＝BN，∴PC垂直平分MN；（2）解：∵CN＝PN＝60cm，∴当伞收紧时，点P与点A重合，∴AC＝CN+PN＝120cm，当∠CPN＝60°时，∵CN＝PN，∴△CPN是等边三角形，∴PC＝PN＝60cm，∴AP＝AC﹣PC＝60cm．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为20cm，∴AB+BC+AC＝20cm，∵AC＝7cm，∴AB+BC＝13cm，∵AB＝EC，BD＝DE，∴AB+BD＝DE+EC＝DC，∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm∴．一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图：DG交AB于M，交AC于L，EF交AB于N，AC于K，∵DG∥BC，边AB被DG、EF三等分，∴△AML∽△ANK，△ABC∽△ANK，∴BP＝，，∴，，＝9a，设S△ABC＝a，S△ANK＝4a，则S△AML＝4a﹣a＝3a，∴S四边形MNKL∴未被覆盖的面积为：9a﹣3a＝6a，△A B C被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积，故选：A．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵点M、N都以2cm/s的速度运动则CM＝2t，BM＝10﹣2t，BN＝2t，当∠BMN＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BN＝2BM，即2t＝2×（10﹣2t），解得：，当∠BNM＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，即2×2t＝（10﹣2t），解得：，综上所述，t的值为或时，△BMN是一个直角三角形．故选：D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5，∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°，∴∠BED＝∠EFC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴DB＝EC＝1，∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．故选：C．5.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2B．1cm2C．1.2cm2D．不能确定【答案】B【解答】解：如图，延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△ABP＝S△ABC＝×2＝1（cm2），∴S△PBC故选：B．二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为12 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形，∴阴影部分的周长为3×4＝12cm，故答案为12．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为2．【答案】2．【解答】解：过E点作EH⊥BF，设DE＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵BD＝4，∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴，∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，∵EB＝EF，∴△EBF是等腰三角形，∵EH⊥BF，BF＝8，∴BH＝FH＝4，∴2+x＝4，∴x＝2，∴DE＝2．故答案为：2．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有①②④⑤．【答案】①②④⑤．【解答】解：△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝AD＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠DAC＝∠ADC＝60°＝∠BCE＝∠CBE＝∠CEB，∴∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB＝120°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，故①符合题意；∴∠AOD＝∠ACD＝60°，故⑤符合题意；在△ACM和△DCN中，，△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，CM＝CN，∠AMC＝∠DNC，∴△MCN是等腰三角形；△MCN是等边三角形；故②④符合题意，综上：①②④⑤都符合题意．故答案为：①②④⑤．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为．【答案】##．【解答】【详解】解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，由翻折可知：∠AED＝∠MED，∠BEC＝∠NEC，AD＝MD＝1，BC＝NC＝3，∵E是AB中点，，∴，∵∠DEA+∠CEB＝60°，∴∠AEM+∠BEN＝120°，∴∠MEN＝60°，∴△EMN是等边三角形，∴，∴CD≤DM+MN+CN，当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为，故答案为：．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【答案】（1）△BPQ是等边三角形；（2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等边三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6B．3C．1.5D．1【答案】C【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C．2．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．。
等腰三角形讲义学生版
判定定理
定义：两边相等 的三角形是等腰 三角形
性质：等腰三角 形两底角相等， 中线、角平分线、 高线合一
判定方法：有两 边相等或两角相 等的三角形是等 腰三角形
推论：等腰三角 形底边上的中点 到两腰的距离相 等
综合应用
利用等腰三角形 的性质与判定解 决几何问题
利用等腰三角形 性质证明线段相 等、角相等
等腰三角形在实际问题中的应用
桥梁设计：利用等腰三角形的性质，可以设计出更加稳定和安全的桥梁结 构。
建筑支撑：在建筑行业中，等腰三角形可以用于支撑结构，提供更加稳固 的支撑力。
机械零件：在机械设计中，等腰三角形可以用于制造更加精确和稳定的零 件。
测量工具：等腰三角形可以用于制作测量工具，例如量角器等，提高测量 的准确性和精度。
自然界中的等腰三角形：蜂巢、蜘蛛网等自然现象中也可以观察到等腰三角形的形状
等腰三角形在几何图形中的应用
桥梁设计：利用等腰三角形的性质，实现桥梁的稳定和承重 建筑学：在建筑结构中，利用等腰三角形提高建筑的稳定性 机械工程：在机械设计中，等腰三角形可以用于支撑和固定结构 艺术创作：等腰三角形在各种艺术设计中被广泛应用，如绘画和雕塑
利用等腰三角形 判定定理证明三 角形为等腰三角 形
综合运用等腰三 角形性质与判定 解决实际问题
等腰三角形的面积与周长
第四章
面积计算
面积公式：面积 = (底 × 高) / 2 面积计算方法：先确定等腰三角形的底和高，再代入公式计算 面积与周长的关系：周长一定时，底边越短，高越小，面积越小 面积与角度的关系：角度一定时，底边越短，高越小，面积越小
等腰三角形的作图与构造
第六章
作图方法与技巧
确定等腰三角形的 顶点位置
人教版中考数学复习机构一对一讲义：三角形及角平分线辅助线(教学案)
三角形及角平分线辅助线一、等腰三角形及直角三角形知识梳理一、等腰三角形1．等腰三角形的定义：的三角形是等腰三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：；(3)等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴．3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边，那么这个三角形是等腰三角形．(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边．4.等边三角形的性质等边三角形的各角都，并且每—个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．5.等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.二、直角三角形1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 3.直角三角形的判定(1)两个内角 的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的 的三角形是直角三角形 4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2=c 2，那么这个三角形是 三角形题型一、等腰三角形的性质【例1】若等腰三角形的周长为10cm ，其中一边长为2cm ，则该等腰三角形的底边长为（ ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm【举一反三】1.如图，直线m ∥n ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1= 度．2.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD⊥AC 于点D，则∠CBD=．经典例题剖析【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【举一反三】1.如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°2.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE= °．【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7【举一反三】若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为____________cm.题型四、勾股定理及其逆定理【例4】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（）A．12B．18C．24D．48【举一反三】1.直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为．2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B 落在A C边上的点B′处，则BE的长为．1、已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC 于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．3B．4C．8D．92.如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接P A、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2B．54C．53D．754．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若()221a b+=，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3B．4C．5D．65.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为．课堂练习6.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为度．7. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．8.如图，∠AOB=45°，点M、N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．9.在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．二、三角形的相似知识梳理1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角，对应边的比．2．相似三角形的判定(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应，那么这两个三角形相似；(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应，且夹角，那么这两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应，那么这两个三角形相似；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形．3.相似三角形的性质(1)相似三角形周长的比等于(2)相似三角形面积的比等于(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于4.相似多边形的性质(1)相似多边形周长的比等于(2)相似多边形面积的比等于5.位似图形（1）定义：两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做，对应边的比叫做．位似是一种特殊的相似.（2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于点；(3)位似图形对应边；(4)位似图形对应角题型一、平行线分线段成比例【例1】如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC ，则DEEF=（ ） A ．12 B ．34 C ．23D ．1 【举一反三】如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ；直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F 。
13.3等腰三角形讲义教师版
13.3等腰三角形讲义教师版13.3 等腰三角形学习目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形2.正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用其解决相关问题。
3.借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30?的直角三角形的性质学习重难点：1. 理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法2. 能够用等腰三角形的知识点解决相应的数学问题。
3. 等腰三角形性质和判定的探索与应用。
知识点一：等腰三角形的概念有两条边氙灯的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两条边叫做腰，另一条叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底脚。
如图，在ABC中,AC AB =，则ABC ?为等腰三角形，其中AB ，AC 为腰，BC 为底边，A ∠为顶角，B ∠、C ∠为底角.【例题1】1．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（）A ．7B ．8C ．5D ．7或8【分析】因为腰长没有明确，所以分①2是腰长，②3是腰长两种情况求解．【解答】解：①2是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7，②3是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8，所以，它的周长是7或8．故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解．【例题2】已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40° B．70° C．100°D．140°【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理进行解答即可．【解答】解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．【变式1】若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（）A．8 B．10 C．8或10 D．6或12【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当2为底时，其它两边都为4，2、4、4可以构成三角形，周长为10；当2为腰时，其它两边为2和4，因为2+2=4，所以不能构成三角形，故舍去．∴答案只有10．故选：B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【变式2】若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（）A．20° B．50° C．80° D．100°【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的一个底角为（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B ．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．知识点二等腰三角形的性质【重点】性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等角）几何语言：在ABC ?中，C B AC AB ∠=∠∴= （等边对等角）性质2：等腰三角形的顶角的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）几何语言：如图所示（1）;21,∠=∠=AC ABBC AD CD BD ⊥=∴,（2）BC AD AC AB ⊥=,CD BD =∠=∠∴,21（3）CD BC AC AB ==,BC AD ⊥∠=∠∴,21【例题1】如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，BD 平分∠ABC ，则∠ABD 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．20°D ．25°【分析】根据等腰三角形的性质就可以求出∠ABC 和∠C 的度数，由角平分线的性质就可以求出∠ABD 的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°．∵B D平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=20°．故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，此题比较简单．【例题2】如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为（）A．15° B．20° C．25° D．40°【分析】根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．【解答】解：设∠B=x∵AC=DC=DB∴∠CAD=∠CDA=2x∴∠ACB=（180°﹣4x）+x=105°解得x=25°．故选：C．【变式1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（）A．110°B．130°C．140°D．120°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=，∴∠1+∠PBC=70°，∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=70°，∴∠BPC=180°﹣（∠2+∠PBC）=180°﹣70°=110°，故选：A．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答．【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD=AE，则下列结论不一定成立的是（）A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AEDC．∠B=∠C D．∠AED=2∠ECD【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D不一定成立，即可得出答案．【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角，∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，选项B正确；∵AB=AC，∴∠B=∠C，选项C正确；∵ED≠EC，∴∠AED=2∠ECD不一定成立，选项D错误；故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．知识点三等腰三角形的判定【重难点】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
2024版等腰三角形复习公开课[1]
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•等腰三角形基本概念与性质•等腰三角形周长与面积计算•等腰三角形在生活中的应用•等腰三角形相关定理与推论目录•等腰三角形证明题解题技巧•等腰三角形拓展知识01定义及特点定义特点性质1性质2性质3030201等腰三角形性质判定方法判定方法1判定方法2判定方法302等腰三角形周长公式注意在使用周长公式时，需要确保腰长和底边长单位一致，且均为正数。
等腰三角形面积公式$S = frac{1}{2} times b times h$，其中$b$ 是底边长，$h$ 是高。
高$h$ 的求法在等腰三角形中，高$h$ 可以通过勾股定理求得，即$h = sqrt{a^2 -(frac{b}{2})^2}$。
注意在使用面积公式时，需要确保底边长、高以及最终面积的单位一致，且均为正数。
典型例题解析1. 例题一•解析典型例题解析2. 例题二已知等腰三角形的周长为20cm，腰长为6cm，求其底边长和面积。
•解析根据周长公式$P = 2a + b$，代入$P = 20cm$ 和$a = 6cm$，得$b = 20cm -2 times 6cm = 8cm$。
再根据面积公式$S = frac{1}{2} times b times h$，先求高$h = sqrt{6^2 -(frac{8}{2})^2} = sqrt{20}cm$，然后代入$b = 8cm$ 和$h= sqrt{20}cm$，得$S = frac{1}{2} times 8cm times sqrt{20}cm =8sqrt{5}cm^2$。
03建筑领域应用建筑设计结构稳定性工程测量应用高程测量距离测量其他领域应用美学物理学等腰三角形在美学中也有一定的应用，如在绘画、摄影等领域中，等腰三角形可以构成优美的画面和构图。
数学教育04等腰三角形底角相等定理定理内容等腰三角形的两个底角相等。
定理证明可以通过作底边上的高，利用三角形的全等性质进行证明。
应用举例在解决与等腰三角形相关的问题时，可以运用该定理来求解角度或边长。
等腰三角形讲义
数学辅导讲义——等腰三角形1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30的直角三角形的性质建议2分钟将一张长方形的纸片对折后，用剪刀剪出一个三角形，再把它展开，得到的ABC ∆有什么特点？折痕AD 是ABC ∆的什么线？1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形是轴对称图形吗？它的内角有何性质？它的高线、中线、内角平分线有何性质专题一、等腰三角形的有关概念(★)如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。
(★★)已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________；【答案】1．(★)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为A．16 B．18C．20 D．16或202. (★)下列说法正确的是（）A. 等腰三角形的底角一定是锐角B. 等腰三角形的底角可以是直角，但不能是钝角C. 等腰三角形一内角平分线与此角所对边上的高一定重合D. 等腰三角形的一个内角等于40，那么其余的两个内角一定都等于70专题二：等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
符号语言：性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
符号语言：中，在ABC等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。
(★)如图，AC 和BD 相交于点O ，AB//CD ，OA=OB ，求证：C D ∠=∠。
(★★)已知：如图，AB AC =，BD AC ⊥。
求证：12DBC A∠=∠。
1.( ★) 如图，在ABC ∆中，点D 在AC 上，且AB=AD ，30ABC C ∠=∠+，则CBD ∠等于（ ）A. 15B. 18C. 20D. 22.52.( ★) 如图，在ABC ∆中，AB=AC ，36A ∠=，BD 、CE 分别是ABC ∠、ACB ∠的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8【答案】专题三：等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法有两个：（1）定义法；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
等腰三角形(1对1辅导精品)
等腰三角形【知识要点】：1.等腰三角形的性质：（1）性质定理内容：等腰三角形的两个底角相等．（简写：等边对等角） （2）定理的作用是证明同一个三角形中的两个角相等．（3）性质定理的推论1：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（4）推论1的作用：可证明角相等，线段相等或线段垂直．（5）性质定理的推论2：等边三角形的每条边相等，每个角都等于︒60． （6）等腰直角三角形的两个底角都等于︒45．（7）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角或钝角，但顶角都可以． 2．等腰三角形的判定（1）定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简写成“等角对等边”．（此定理可用来证明同一个三角形中的线段相等） （2）推论1：三个角相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是600的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 推论1、2的作用可用来证一个三角形为等边三角形，推论3的作用是证明线段的倍半关系． （3）证明一个三角形是等腰三角形的方法：①利用定义证明．②利用“等角对等边”证明． （4）证明一个三角形是等边三角形的方法．①利用定义证明．②证明三个角相等．③证明它是等腰三角形并且有一个角是︒60．【典型例题】例1．如图所示，ABC ∆中，AC AB =，D 在BC 上，且,,AC DC AD BD ==求B ∠的度数．例2．已知：如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，O 是ABC ∆内一点，且OC OB =，求证：BC AO ⊥.AD CAO例3．已知：如图所示，ABC ∆D AC AB ,=是AB 上一点，过D 作E BC DE 于⊥，并与CA 的延长线相交于F ．求证：AF AD =．2．已知：如图所示，ABC ∆是等边三角形，点D 、E 在AC 、BC 上，且DE DF AB DE ⊥,//，交BC 的延长线于点F ．求证：CF CD =．例4．已知：如图所示，ACB ABC ∠∠,的平分线交于F ，过F 作,//BC DE 交AB 于D ，交AC 于E ．求证：DE EC BD =+．【经典练习】1．如图所示，ABC ∆中，D 为AC 上一点，并且,,DC DB AD AB ==若︒=∠29C ，则A ∠= ．2．如图所示ABC ∆中，AB=AC ，点D 在AC 上且BD=BC=AD ，求ABC ∆各角的度数．A CEDFABCEFD ABCEFDA3．如图所示，已知：点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AE AD AC AB ==,．求证：CE BD =．4．已知：如图所示，D C AD AC ∠=∠=,．求证：BD BC =（试不用三角形全等证明）．5．如图所示，BF 平分CF ABC ,∠平分ACG ∠且BG DF //．问DB 、EC 和DE 之间存在着怎样的关系呢？请证之．【大展身手】1．等腰三角形周长为13㎝，其中一边长为3㎝，则该等腰三角形的底边长为（ ）A ．7㎝．B ．3㎝．C ．7㎝或3㎝．D ．5㎝． 2．等腰三角形的一个底角的余角等于（ ）A ．顶角B ．底边上高与一腰的夹角C ．顶角的两倍D ．一腰上高与另一腰的夹角3．ABC ∆中BD AC AB ,=是内角平分线，︒=∠75BDC ，则A ∠等于（ ） A ．350 B ．400 C ．1100 D ．700ABCDEABCDA BCGFDE4．已知等腰三角形的周长为24㎝，其中一边长为7㎝，则与它相邻的另一边长为（ ） A ．7㎝或10㎝ B ．8.5㎝或7㎝ C ．7㎝或10㎝或8.5㎝ D ．10㎝或8.5㎝. 5．已知下列命题：①有一个角为300，腰长相等的两个等腰三角形全等．②有一个角为1100的腰长相等的两个等腰三角形全等．③腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等．④底角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑤一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑥顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑦底和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等。
《等腰三角形》 讲义
《等腰三角形》讲义一、等腰三角形的定义在平面几何中，如果一个三角形有两条边长度相等，那么这个三角形就被称为等腰三角形。
这两条相等的边被称为腰，另一条边则被称为底边。
等腰三角形的两个底角也是相等的。
二、等腰三角形的性质1、等腰三角形的两腰相等这是等腰三角形最基本的特征。
通过这个性质，我们可以快速判断一个三角形是否为等腰三角形。
2、等腰三角形的两底角相等这是等腰三角形的一个重要性质。
我们可以利用这个性质来求解角度问题。
比如，已知一个等腰三角形的顶角为 80°，那么底角的度数就是（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°。
3、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简称为“三线合一”）这个性质在解决与等腰三角形相关的几何问题时非常有用。
例如，如果已知等腰三角形底边上的高，就可以同时得到顶角的平分线和底边上的中线。
4、等腰三角形是轴对称图形对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。
三、等腰三角形的判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形这是最直接的判定方法，通过测量三角形的边长来确定。
2、如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）例如，在一个三角形中，如果两个角都是 70°，那么这两个角所对的边一定相等，这个三角形就是等腰三角形。
四、等腰三角形中的常见题型1、角度计算已知等腰三角形的顶角或底角，求其他角的度数。
或者已知三角形的内角和以及一些角度关系，判断三角形是否为等腰三角形，并计算角度。
2、边长计算给出等腰三角形的腰长、底边长度中的部分信息，以及一些其他条件（如周长、面积等），计算未知的边长。
3、证明等腰三角形通过已知条件，运用等腰三角形的判定方法来证明一个三角形是等腰三角形。
4、与其他几何图形的综合等腰三角形常常与平行线、直角三角形、四边形等其他几何图形结合在一起，考查综合运用几何知识的能力。
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教学目标
1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线
合一．
2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明．
重点、难点1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一.
2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。
考点及考试要求1、等腰三角形的性质
2、等腰三角形的证明
教学内容
第一课时等腰三角形知识梳理
1、已知线段a，h（如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高线为h。
2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是 cm。
3、请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。
4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。
5、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。
求证：∠DBC=
2
1∠A。
课前检测
A
B C
D
图2-5
A
B C
D （1）等腰三角形的定义
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC），相
等的两边叫做腰（AB和AC），另一边叫底边（BC），两腰的夹角叫做顶角（A
∠），
腰和底边的夹角叫做底角（C
∠
∠和
B）
（2）等腰三角形的性质
等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。
或“在一个三角形中，等边对等角”。
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。
简称等腰三角形三线合一。
注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理
（3）等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。
第二课时等腰三角形典型例题
题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度
例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为
【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是底角：顶角=1:2还是顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。
变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为度。
知识梳理
典型例题
变2、一个等腰三角形的一个外角等于110度，则这个三角形的顶角为度。
例2：如图，等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边长为cm
【点拨】：要分要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．
变3、已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24,则这样的三角形共有个。
变4、在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=20•°，且AE=•AD，D底边上一点，E是腰上一点，
则∠CDE=________．
题型二：利用等腰三角形的性质证线段或角相等
例3：如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，•以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，证明CQ2+PQ2=PC2
【分析】（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．•利用等边三角形的性质证△ABP ≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，
AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，
【点拨】利用等边三角形性质、判定、三角形全等完成此题的证
明．
变5、已知：如图所示，ACB
ABC∠
∠,的平分线交于F，过F作,
//BC
DE交AB于D，交AC于E．求证：DE
EC
BD=
+．
变6、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于P，AB=5，BP=2，AC=9。
求证：∠ABP=2∠ACB。
题型三：利用等边三角形的性质证线段或角相等
例4：已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
求证：BD＋EC＝DE。
变7、如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。
求证：（1）∠AOB＝120°；
（2）CM＝CN；
（3）MN∥AB。
A
P
D C
B
A
B C
E
F
D
题型四：利用直角三角形的性质证线段或角相等
例5：已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。
求证：（1）AB＝2BC；
（2）CE＝AE＝EB。
变8、如图所示，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F，且BF＝CE。
判断△ABC的形状并证明。
第三课时等腰三角形课堂检测
课堂检测
1、如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= 度。
图1 图2
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC 的大小是度。
3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC的度数为度。
M
图3 图4
4、如图，AM、BN分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AM=BN=AB，则∠BAC的度数为
度。
5、如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若
∠BAM=∠NAC，则∠MAC= 度。
图5 图6
6、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=0.5（AB+AD），则∠ABC+∠ADC的度数是180 度。
7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（ B ）。
A、60 °
B、45 °
C、30 °
D、不确定
8、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（ A ）。
A、90°—0.5 ∠A
B、90°—∠A
C、180°—∠A
D、45°—0.5 ∠A
第7题第8题
9、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（ A ）
A、20 °
B、25 °
C、30 °
D、45 °
10、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为（ B ）
A、∠AED> ∠AGF
B、∠AED=∠AGF
C、∠AED <∠AGF
D、不能确定
第9题第10题
11、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=0.5BD，求证：BD是∠ABC的角平分线。
12、如图，已知△ABC中，∠ABC=45 °，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE ⊥AC于E，与CD 相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G，（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=0.5BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。
13、如图，AE、AD是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若∠DAE=x°,求x的值
14、如图所示，是城市部分街道示意图，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点，“甲公共汽车”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“乙公共汽车”从B站出发，沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。
如果甲、乙分别同时从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先
到达指定站？为什么？。