等腰三角形、梯形的轴对称性 讲义

课题等腰三角形、等腰梯形的轴对称性学习目标与考点分析①了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；②了解等边三角形的概念并探索其性质。

学习重点1.等腰三角形的性质2.等腰三角形的判定3.等腰梯形的定义4.等腰梯形的性质5.等腰梯形的识别学习方法引导、分析、探究学习内容与过程知识点一等腰三角形的性质（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴（2）等腰三角形的两个底角相等（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）例1 填写下表文字语言图形语言符号语言在△ABC中，因为AB=AC所以在△ABC中，AB=AC若，那么AD⊥BC，BD=CD若，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC若，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD知识点二等腰三角形的判定（1）两边相等的三角形是等腰三角形（2）若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等例2 在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，试判断△ABC是什么三角形？知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，那么CD= ，理由是知识点四等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形性质：（1）等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴（2）等边三角形每个角等于60°判定：（1）三个角相等的三角形是等边三角形（2）两个角等于60°的三角形是等边三角形（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形例4 如图，△ABC为等边三角形（1）AB= = ，∠B= = = ；（2）试画出它的对称轴典型例题一图形的识别例1 如图，△ABC中，AB=AC，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB.过点O作DE∥BC分别交AB、AC于点E、D.试写出图中所有的等腰三角形，并任选一个说明理由二运用性质解题例2 如图，△ABC中，AB=AC，DE为AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点D，若∠A=40°，求∠DBC的度数例3 如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE.试说明AH=2BD例4 如图，AD、BE是△ABC的高，F为DE中点，G是AB的中点，试说明GF⊥DE本节中的数学思想方法例5 有一个等腰三角形，一个角为50°，求其余两个角的度数例6 有一个等腰三角形，其中一个角是另一个角的4倍，求这个三角形的三个内角综合型试题例7 如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm，（1）求BE的长（2）试说明BD=ED例8 如图，等腰Rt△ABC，∠A=90°，CD平分∠ACB。

试说明BC=AC+AD第二部分等腰梯形的轴对称性知识点一等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫等腰梯形知识点二等腰梯形的性质（1）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴为过两底中点的直线（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等（3）等腰梯形的对角线相等例1 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，连接AC、BD，则（1）= ；（2）= ；（3）= ；知识点三等腰梯形的识别（1）两腰相等的梯形是等腰梯形（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形一简单说理题例1 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为BC的中点，试说明AE=DE二简单的计算例2 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=AD=BC，DC=BD,AC，求梯形各内角的度数三本节中的数学思想方法例3 若等腰梯形的三边长分别为5,6,17，则这个等腰梯形的周长为（）A.33B.45C.33或45D.33或34或35四探索题例4 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD,E为CD的中点，AE与BC的延长线交于点F。

（1）判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，并说明理由（2）判断S△ABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由（3）上述结论对于一般梯形是否成立？为什么？课内练习与训练已知△ABC 中AB ＝AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数。

如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BD ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，AB ＝12cm ，DC ＝5cm ，则△DEB 的周长为 。

DE CBA如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任意一点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论。

（1）如图，已知AD 是线段BC 的垂直平分线，且BD ＝3cm ，△ABC 的周长为20cm ，求AC 的长．（2）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∠BAD ＝40°，AD ＝AE ．求∠CDE 的度数．【专题训练】1、如图，等边三角形ABC 的三条中线交于点O 。

则图中除△ABC 还有_______________是等腰三角形．2、已知等腰三角形的一个外角为80°，则这个等腰三角形的内角分别是________。

3、周长为15，边长都是整数的等腰三角形共有________种。

5、已知AB＝AC＝5，BC＝3，沿BD所在的直线，折叠使点C落在AB上的E点，求△AED的周长。

6、已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为（）A．6 B．8 C．10 D．127、如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，取AC的中点E，连结DE，则图中与DE相等的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．4条如图，过已知线段AB的两个端点，作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列步骤画图，并回答：（1）画∠MAB，∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？（2）过点E任作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？说明你的猜想。

（3）试说明，无论D、C的两个端点在AM、BN上如何移动，只要DC经过点E，AD＋BC都等于AB。

8、∠MAN是一钢架，且∠MAN＝15°，为使钢架更加坚固，需在其内部加一些钢管CD、DE、EF、……添加的钢管长度都与AC相等，则最多能添加这样的钢管______根。

【典例导析】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，∠ABC＝60°，BC＝16cm，求等腰梯形ABCD 的周长。

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，请你画出一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都为等腰三角形，这样的点P有_______个。

如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC。

由四个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形。

（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个四条边都相等的四边形吗？若能，请你画出大致的示意图。

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，AC＝8cm。

求梯形ABCD 的面积。

中考真题（2010无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）A．两边之和大于第三边B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．有两个锐角的和等于90°D．内角和等于180°（2009江苏）（1）观察与发现小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）。

小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。

（2）实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）。

求图⑤中∠α的大小。

（2010无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P 是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点。

若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN。

下面给出一种证明思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明。

证明：在边AB上截取AE＝MC，连ME。

正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC。

∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE。

（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由。

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN ＝________°时，结论AM＝MN仍然成立。

（直接写出答案，不需要证明）。