二年级奥数数字分组和拆分

把一个自然数（0除外）拆成几个自然数相加的形式，叫自然数的拆分.在这节课中，我们就将来研究关于自然数的拆分问题.希望通过学习，使学生从中学到一些有序和全面思考问题的方法.
知识点：掌握自然数拆分的一般方法——枚举.
【教学思路】小松鼠把9个松果分成不一样多的三份，6=1+2+3，所以可以分成.小白兔说它把9个蘑菇
分成个数不同的4份.这是不对的.因为1+2+3+4=10.9个蘑菇是分不出个数不同的4
份的.
① 小松鼠和小白兔上学迟到了.熊猫老师问：“你俩今天为什么迟到了?” 小松鼠说：“我在上学的路上遇到三个小弟弟，他们饿(e)得很，我就采了6个松果.分成数量不同的3份，送给他们每人一份.”
② 小白兔说：“我在上学的路上遇到四个小妹妹．她们饿得很，我就采了9个蘑菇.分成数
量不同的4份，送给她们每人一份.” 熊猫老师说：“松鼠说的是实话.小白兔说的是谎话.”
③ 小白兔听后，惭愧地低下头，说：“老师，我错了，今后我一定做个诚实的孩子.” 小
朋友.熊猫老师怎么知道小白兔说的是谎话?
把一个自然数（0除外）分拆成几个自然数相加的形式，这种方法叫做自然数的分拆.下面让我们一起来学习怎样分拆自然数，从中学到一些有序和全面思考问题的方法.
强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象).强强两发共打了12环，明明两发共打了8环.又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环?
【教学思路】要求强强和明明各打中的环数，即是把12，8按环数进行拆分的问题.也就是要把12和8拆分成两个数相加.因为靶子中的环数只有2、4、6、8、10环.所以这两个数只能从这些数
中选择.因为12=8+4=10+2，8=6+2.根据“没有哪两发子弹打在同一环中’’的条件，可以
知道甲打中的是8环和4环，乙打中的是6环和2环.
把5拆成几个自然数相加的形式，共有多少种不同的拆分方法?(0除外)
【教学思路】要做到拆分得不重、不漏，要注意有序思考，一般我们采用枚
举法.例如先拆成两部分，再拆成三部分、四部分，最后拆成
五部分.拆分过程是：
5=1+4=2+3
5=1+1+3=1+2+2
5=1+1+1+2
5=1+1+1+1+1
答：共有6种不同的拆分方法.
按下面的要求，把自然数6进行拆分.
【教学思路】（1）6=1+5=2+4=3+3 ；6=1+1+4=1+2+3=2+2+2 ；6=1+1+1+3=1+1+2+2 ；6=1+1+1+1+2 ；
6=1+1+1+1+1+1 共10种方法.
（2）从（1）中，把完全相同的3种方法剔除6=3+3=2+2+2=1+1+1+1+1+1，则还剩7种.
（3）“几个完全不相同的自然数”也就是“不同的自然数”，即拆分的数不能相同.那么就只有6=1+5=2+4=1+2+3 ，3种拆分方法.
猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘10个，每只小猪至少摘2个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法?
【教学思路】要求有几种不同的分配方法，就是求把10拆成3个不
完全相同的自然数，因为每个小猪至少要摘2个，所以
0，1除外，共有多少种拆分方法呢.拆分过程是：
lO=2+2+6
10=2+3+5
10=2+4+4
10=3+3+4
答：共有4种不同的分组方法.
巩固拓展
体育课上，10个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？
（1）把6拆成几个自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？
（2）把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？
（3）把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？
【教学思路】10个小朋友分成三组做游戏，那么每组最少要有1
个人，这道题和上一题比不同就是，就是多了拆成1
的部分.具体拆分过程如下：
10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5
10=2+2+6=2+3+5=2+4+4
10=3+3+4
答：一共有8种不同的分组方法.
兔妈妈拔了12个萝卜，它要把这些萝卜分给三个兔宝宝吃，每个小兔至少要有1个，并且它们分到的萝卜数量都不同.可以怎样分呢？
【教学思路】这道题也就是要我们把12拆分成3个不同的自然数，
可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数
之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第
三个数就应是9得：
12＝1+2+9．
下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得：
12＝1+3+8．
继续按类似方法变化，可得下列各式：
12＝1+4+7＝2+3+7，
12＝1+5+6＝2+4+6，
12＝3+4+5．
共有7种不同的分拆方式．
巩固拓展
4个小朋友去学校图书室一共借了12本书.图书室规定，每个
人最多只能借9本书，现在这四个小朋友手里的书数量都不
一样多.想一想，他们手中各有几本书？
【教学思路】把12拆分成4个不同的自然数只有唯一一种方法：12=5+4+2+1，所以这几个小朋友手中的书分别是5本、4本、2本、1本。

某个外星人来到地球上，随身带有地球人使用的硬币1元、2元、4元、8元各一枚，如果他想买7元钱的一件商品，他应如何付款?如果买9元、10元、13元、14元和15元的商品呢?他又将如何付款?
【教学思路】这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆．
7＝1+2+4
9＝1+8
10＝2+8
13＝1+4+8
14＝2+4+8
15＝1+2+4+8
所以外星人可按以上方式付款．
巩固拓展
有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨.要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿.共有多少种不同的拿法?
【教学思路】这道题也就是让我们把15进行拆分，拆分得数字只能从1、2、3、5、6、7、9中进行选择.
这样我们可以先从最大的数9考虑选取，其次选7，最后选6.具体拆分情况如下：15=9+6 15=7+6+2 15=6+5+3+1
15=9+5+1 15=7+5+3
15=9+3+2+1 15=7+5+2+1
答：一共有7种不同的拿法.
拓展与提高——巧装馒头
一天，金吒、木吒和哪吒三兄弟去馒头店买馒头吃.
店主是一个老者，见三兄弟长的非常可爱，就想考一考他们.
店主说：“三位小朋友，如果能答对一个问题，今天的馒头就请你
们免费品尝.”三人一听非常高兴.
只见老者拿出5个盒子，然后说：“请你们把18个馒头分装在这5个盒子里，要求每个盒子都不能空着，每个盒子中的馒头数都不相同.”
只见金吒走上前摆弄了一下，18个馒头很快就装进了5个盒子里，老者连连称赞.接着木吒又走上前，很快又完成了任务.最后哪吒想了想说：“看我的！”
一会儿工夫又把这18个馒头装进了这5个盒里.
老者看了连连点头说：“好！好！.三兄弟三种方法，你们真是聪明的孩子.
看来这免费的馒头你们是吃定了！”哪咤三兄弟笑呵呵的吃起了馒头.
小朋友，你知道金吒、木吒和哪吒是怎样放的馒头吗？
从本故事中抽取数学问题：
※把18个馒头分装在5个盒子里，要求每个盒子都不空着，每个盒子中的馒头数都不相同.应该怎样装？
【教学思路】这道题也就是要我们把18拆分成5个不同的自然数相加，我们可以先写出5个连续的自然数相加最接近18的数.
15=1+2+3+4+5 ，多出来的3个，可以分别加在1、2、3、4、5上，通过尝试可得：
18=1+2+3+4+8
18=1+2+3+5+7
18=1+2+4+5+6
所以一共有三种不同的放法.
附加题
（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）
有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好．现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案．
【教学思路】可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8．
这样由8×5＝40及200－40＝160，
可知再由两个8作十位数字可得80×2＝160即可．
最后得到下式：88+88+8+8+8＝200．
从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和．
【教学思路】用枚举法按一定的顺序来列举，具体拆分如下：
以12开头的分拆方式共10种以ll开头的分拆方式共10种
以10开头的分拆方式共8种 以9开头的分拆方式共4种 26＝8+7+6+5} 以8开头的分拆方式共1种 不同的分拆方式总数为： 10+10+8+4+1＝33种．
总结：明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行．
美国硬币有1分、5分、10分和25分四种．现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币．问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚?(此题是美国小学数学奥林匹克试题)．
【教学思路】由于有3枚25分的硬币，它们的价值是： 25×3＝75(分)．
所以其余的7枚硬币的价值是： 100－75＝25(分)．
将25分拆成7个数之和，(注意没有各数不同的限制) 25＝1+1+1+1+1+10+10．
所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分．
按下面的要求，把15进行拆分.
【答案】（1）共8种．
15＝9+5+1 15＝8+6+1 15＝7+6+2 15＝6+5+4 ＝9+4+2 ＝8+5+2 ＝7+5+3 ＝8+4+3
（2）共12种．
15＝12+2+1 15＝ll+3+l 15＝10+4+l 15＝9+5+1 15＝8+6+l 15＝7+6+2 15＝6+5+4 ＝10+3+2 ＝9+4+2 ＝8+5+2 ＝7+5+3 （1）将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方
式，请一一列出．
（2）将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方
式，请一一列出．
1. 从l～9九个数中选取，将1l写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法?
【答案】11=2+9=3+8=4+7=5+6，共有4种不同的写法．
2.把7拆成几个不完全相同的自然数相加的形式，共有多少种不同拆分方法?(0除外)
【答案】拆分过程中除了要有序思考之外，还要注意题目中要求的“不完全相同的自然数”，即可以有相同的数，但不能完全相同.拆分过程是：
7=1+6=2+5=3+4
7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+3+2
7=1+1+l+4=1+1+2+3
7=1+2+2+2
7=1+1+1+1+3=1+1+1+2+2
7=1+1+l+1+1+2
答：一共有13种不同的拆分方法.
3. 有12个苹果分给3个小朋友，要求每人至少分到3个苹果，那么有几种分法？
【答案】12=3+3+6=3+4+5=4+4+4 ，共有3种分法 .
4. 将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出．
【答案】共6种．具体拆分如下：
15＝9+3+2+1 15＝8+4+2+1 15＝7+5+2+l 15＝6+5+3+1
＝7+4+3+l ＝6+4+3+2
5. 把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有数字6，想想看，应该怎样分?
【答案】从已有经验中可知6×6＝36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100－36＝64个馒头．64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求．
即得100＝64+6+6+6+6+6+6．
6.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果．现在要从这七只箱子里取出
87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法?
【答案】可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差87－64＝23个苹果；再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23－16＝7个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：
什么东西越老反而显得越年轻？为什么小丽养的一只小胖猪不吃也不喝呢?
什么宫殿进去容易出来难？有一种棋只有两种棋子，你知道是什么棋吗？
湖面上没有桥也没有船，小刚是怎么过去有一个人最会弄虚作假了，能把东西变没了，的呢? 还能逗大家开心，他是谁呢?
小明把闹表调到早晨六点钟，他在五点钟就一个人手里拿着一些黄豆和绿豆，他把豆子
醒了，可他不知道闹表放到哪去了，他想什放到桌子上，立刻就把黄豆和绿豆分开了，么办法能够找到呢? 请你猜猜他是怎么做到的呢？
【答案】（1）照片;(2)是她的储蓄罐;(3)迷宫;(4)围棋;(5)湖面上结冰了，走过去的;(6)魔术师;
(7)道六点钟闹表响了不就找到了;(8)只有一颗黄豆，一颗绿豆.
二年级奥数。