初高中数学衔接预习教材(共16讲)：第4讲 分式运算

第4讲 分式的运算

1．分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B

具有下列性质： A A M B B M ⨯=⨯； A A M B B M

÷=÷． 2．繁分式 像a

b c d

+，2m n p m n p

+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【例1】若54(2)2

x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值． 解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)

A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,

A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 2,3A B ==．

【例2】（1）试证：111(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910

+++⨯⨯⨯L ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2

n n +++<⨯⨯+L ． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)

n n n n n n n n +--==+++， ∴111(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）成立． （2）解：由（1）可知

1111223910+++⨯⨯⨯L 11111(1)()()223910

=-+-++-L 1110=-＝910． （3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+L ＝111111()()()23341

n n -+-++-+L ＝1121n -+， 又n ≥2，且n 是正整数， ∴1n ＋1 一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+L ＜12

． 【例3】设c e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0，∴(2e －1)(e －2)＝0，

∴e ＝12

＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．

3．多项式除以多项式

做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式⨯商式+余式

【例4】计算)3()3(2

4x x x -÷- 解：39

39

33330030032222

442--+----++-+++-x x x x

x x x x x x

∴x x x x x 39)3()3()3(224-+--⨯-=-

练习1．)32()2713103(223-+÷-++x x x x x

2．)1()22(232-÷-+x x x

答案：1．32151443)32()2713103(2223-+-+

+=-+÷-++x x x x x x x x x 2．12)1()22(2232-+

+=-÷-+x x x x x x

1．对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112

n n -+)； 2．若223

x y x y -=+，则x y ＝（ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45

（D ）65 3．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y

-+的值． 4．计算1111...12233499100++++⨯⨯⨯⨯． 5．已知1453,21122192

3234+--=-+--=x x x B x x x x A ，求：22B A ÷ 6．填空：

（1）12a =，13

b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22

223x xy y x y

++=+__ __； 7．计算：1111132435911

++++⨯⨯⨯⨯L ． 8．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)

n n n +++⨯⨯⨯⨯++L ＜14 ．

答案

1．12 2．B 3． 1- 4．99100

5．222)23(-=÷x B A 6．（1）37 （2）52

，或－15