必修2第四章圆与方程测试卷

必修 2 第四章圆与方程测试卷

（100 分钟，150 分）
一 选择题（每题 5 分，共 60 分）

1．若 P(2, ?1) 为圆 (x ?1) 2 ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（ ）

A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ?1 ? 0 D. 2x ? y ? 5 ? 0

2 圆 x 2 ? ?y ?1?2 ? 3 绕直线 kx ? y ?1 ? 0 旋转一周所得的几何体的体积为（ ）
A. 36? B. 12? C． 4 3? D. 4?

3，从直线 y＝3 上的点向定圆 x 2 ? y 2 ? 2x 作切线，则切线长的最小值为
（ ）
（A） 2 2 （B） 7 （C）3 （D） 10

2 2
4．过直线 y ? x 上的一点作圆 (x ? 5) ? (y ?1) ? 2 的两条切线 l1，l2 ，当直线 l1，l2 关于

y ? x 对称时，它们之间的夹角为

A． 30o…. B． 45o C． 60o D． 90o

5．若直线 x ? y ? 2 被圆 (x ? a) 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为

（ ）
A． ?1或 3 B．1或 3 C． ?2 或 6 D． 0 或 4

6．直线 l 过点（? 2，0）， l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x 有两个交点时，斜率 k 的取值范围是( )

A．（? 2 2，2 2） B．（? 2，2）

2 2 1 1
　C．（? ， ） D．（? ，）
4 4 8 8

7．若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 ? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的部分

有交点，则 k 的取值范围是（ ）

A. 0 ? k ? 5 B. ? 5 ? k ? 0

C. 0 ? k ? 13 D. 0 ? k ? 5

8． 方程 x ?1 ? 1? (y ?1)2 表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆

2 2
9. 已知圆 C1 ： (x ?1) + (y ?1) =1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ?1 ? 0 对称，则圆 C2 的

方程为

（A） (x ? 2)2 + (y ? 2)2 =1 （B） (x ? 2)2 + (y ? 2)2 =1

（C） (x ? 2)2 + (y ? 2)2 =1 （D） (x ? 2)2 + (y ? 2)2 =1

10．圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点到直线 3x ? 4y ? 25 ? 0 的距离的最小值是（ ）
A．6 B．4
C．5 D．1

11．若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x ? 3y ? 0 和 x 轴相切，则该圆的标

准方程是（ ）

2
2 ? 7 ? 2 2
A． (x ? 3) ? ? y ? ? ?1 B． (x ? 2) ? (y ?1) ?1

? 3 ?

2
2 2 ? 3 ? 2
C． (x ?1) ? (y ? 3) ?1 D． ? x ? ? ? (y ?1) ?1
? 2 ?


12．已知圆的方程为 x2 ? y2 ? 6x ?8y ? 0 ，设该圆过点 (3,5) 的最长弦和最短弦分别为

AB,CD ，则四边形 ACBD 的面积为（ ）

A．10 6 B． 20 6 C． 30 6 D． 40 6






二 填空题（每题 5 分，共 20 分）

13．由动点 P 向圆 x2 ? y2 ?1引两条切线 PA, PB ，切点分别为 A, B,?APB ? 600 ，则动

点 P 的轨迹方程为 。
14.过圆 x2+y2-x+y-2=0 和 x2+y2=5 的交点，且圆心在直线 3x+4y-1=0 上的圆的方程为 .

15 对于任意实数 k ，直线 (3k ? 2)x ? ky ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 2x ? 2y ? 2 ? 0 的位置关系

是_________
y ? 2
16．已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1，则 的取值范围为_________
x ?1


三 解答题（70 分）

17．（12 分)求过点 M (5,2), N(3,2) 且圆心在直线 y ? 2x ? 3上的圆的方程。











18.(14 分)过原点 O 作圆 x2+y2+6x=0 的弦 OA (1)求弦 OA 中点 M 的轨迹方程； (2)延长
OA 到 N，使|OA|=|AN|，求 N 点的轨迹方程.












19.(14 分）已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x ? 3y ? 0 上，且被直线 y ? x 截得的弦长

为 2 7 ，求圆 C 的方程。















20.（14 分）已知圆 C：x2+y2－2x+4y－4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被
圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点.若存在，求出直线 l 的方程;若不存在，说
明理由.










22（16 分）

在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2 ? y2 ?12x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ，过点 P(0，2)

且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A， B ．

（Ⅰ）求 k 的取值范围；
uuur uuur uuur
（Ⅱ）是否存在常数 k ，使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线？如果存在，求 k 值；

如果不存在，请说明理由．























解：（Ⅰ）圆的方程可写成 (x ? 6)2 ? y2 ? 4 ，所以圆心为 Q(6，0) ，过 P(0，2)

且斜率为 k 的直线方程为 y ? kx ? 2 ．

代入圆方程得 x2 ? (kx ? 2)2 ?12x ? 32 ? 0 ，

整理得 (1? k 2 )x2 ? 4(k ? 3)x ? 36

? 0 ． ①

直线与圆交于两个不同的点 A， B 等价于

? ? [4(k ? 3)2 ]? 4?36(1? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k) ? 0 ，

3 ? 3 ?
解得 ? ? k ? 0 ，即 k 的取值范围为 ? ? ，0? ．
4 ? 4 ?
uuur uuur
（Ⅱ）设 A(x1，，，y1) B(x2 y2 ) ，则 OA ? OB ? (x1 ? x2， y1 ? y2 ) ，
由方程①，
4(k ? 3)
x ? x ? ? ②
1 2 1? k 2

又 y1 ? y2 ? k(x1 ? x2 ) ? 4 ． ③
uuur
而 P(0，，2，，)， Q(6 0) PQ ? (6 ? 2) ．
uuur uuur uuur
所以 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 (x1 ? x2 ) ? 6(y1 ? y2 ) ，
3
将②③代入上式，解得 k ? ? ．
4
? 3 ?
由（Ⅰ）知 k ?? ，0? ，故没有符合题意的常数 k ．
? 4 ?
解法二 圆 C 化成标准方程为(x－1)2+(y+2)2=9,
假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆心 M 的坐标为(a,b).
b ? 2
由于 CM⊥l,∴kCM·kl=－1,即 ×1=－1,
a ?1
∴b=－a－1, ①
| b ? a ? 3|
直线 l 的方程为 y－b=x－a,即 x－y+b－a=0,∴| CM |? ,
2
∵以 AB 为直径的圆 M 过原点，∴|MA|=|MB|=|OM|，
(b ? a ? 3) 2
而|MB|2=|CB|2－|CM|2=9－ ,
2